Quelltext der Seite Quanten-Hall-Effekt

Der '''Quanten-Hall-Effekt''' (kurz: '''QHE''') äußert sich dadurch, dass bei tiefen Temperaturen und starken Magnetfeldern die senkrecht zu einem Strom auftretende Spannung nicht wie beim klassischen [[Hall-Effekt]] ''linear'' mit dem Magnetfeld anwächst, sondern in Stufen. Der Effekt tritt an Grenzflächen auf, bei denen die Elektronen als [[zweidimensionales Elektronengas]] beschrieben werden können.

Der sog. [[Hall-Widerstand]] <math>R_\mathrm{H}</math>, also das Verhältnis der Hall-Spannung zur Stromstärke, nimmt dabei als Plateauwerte Bruchteile der Größe der [[Von-Klitzing-Konstante]]
: <math>R_\mathrm{K} = h/e^2 \approx 25{,}8\,\mathrm{k\Omega}</math>
an, wobei <math>h</math> die [[Planck-Konstante]] und <math>e</math> die [[Elementarladung]] ist. Beide sind [[Physikalische Konstante|Naturkonstanten]]; die Plateauwerte hängen also weder von den Materialeigenschaften wie der Ladungsträgerdichte, noch von der Probengröße, noch von der Magnetfeldstärke ab. Beim '''integralen Quanten-Hall-Effekt''' kommen nur ganzzahlige Nenner von <math>R_\mathrm{K}</math> vor, beim '''fraktionalen Quanten-Hall-Effekt''' (auch '''fraktionierter QHE''') nehmen die Nenner die Form von Brüchen an (siehe [[#Gebrochenzahliger Quanten-Hall-Effekt (Fraktionaler QHE)|unten]]).

Für die Entdeckung des quantisierten Hall-Effekts erhielt [[Klaus von Klitzing]] im Jahr 1985 den [[Nobelpreis für Physik]].<ref name="Nobel" /><ref name="RMP" /> Die Von-Klitzing-Konstante <math>R_\mathrm{K}</math> wurde als [[Normal]] des [[Elektrischer Widerstand|elektrischen Widerstandes]] verwendet. Seit der [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Reform des SI von 2019]], bei der den Konstanten ''h'' und ''e'' ein exakter Wert zugewiesen wurde,<ref name="CGPM-26-1" /> hat auch die Von-Klitzing Konstante einen exakten Wert.

== Beschreibung des Phänomens ==
[[Datei:Quantum Hall effect.png|mini|360px|Hall-Widerstand ρ<sub>xy</sub> und elektrischer Widerstand ρ<sub>xx</sub> bei tiefen Temperaturen, abhängig von der magnetischen Fluss&shy;dichte ''B''. Für das höchste gezeigte Plateau von ρ<sub>xy</sub> gilt ''ν&nbsp;=&nbsp;3''.]]
Beim klassischen [[Hall-Effekt]] fließt [[elektrischer Strom]] durch eine Platte, die senkrecht zu ihrer Oberfläche von einem [[Magnetismus|Magnetfeld]] durchsetzt wird. Die im Magnetfeld fließenden Ladungsträger werden durch die [[Lorentzkraft]] seitlich abgelenkt, so dass an den Kanten der Platte quer zur Stromrichtung eine [[elektrische Spannung]] gemessen werden kann, die als [[Hall-Spannung]] bezeichnet wird.

Das Verhältnis der seitlich anliegenden Hall-Spannung zum Strom wird als [[Hall-Widerstand]] bezeichnet und beträgt in zweidimensionalen Hall-Streifen beim klassischen Hall-Effekt
:<math>R_{\mathrm{H}} =\frac{U_{\mathrm{H}}}{I} = \frac{B}{n e}</math>,&nbsp;<ref>Es wird das [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheitensystem]] benutzt; im [[Gaußsches Einheitensystem|Gauß’schen System]] wäre dagegen <math>B</math> durch <math>B/c</math> zu ersetzen.</ref>
wobei <math>U_{\mathrm{H}}</math> die quer zum Gesamtstrom auftretende Hallspannung, <math>I</math> der Gesamtstrom (senkrecht zur Richtung, in der die Hallspannung gemessen wird), <math>B</math> die Magnetfeldstärke, <math>n</math> die Ladungsträgerdichte&nbsp;<ref>Natürlich ist im Zusammenhang mit dem (zweidimensionalen) QHE die Ladungsträgerdichte keine Volumendichte, sondern eine ''Flächendichte'', Gesamtladung / (Länge mal Breite des Hall-Streifens).</ref><ref>Zu den experimentellen Gegebenheiten: Man stelle sich eine Fläche der Länge <math>L_1</math> und der Breite <math>L_2</math> vor. Die „Dicke“ des Streifens betrage nur eine Atomlage (Monolage) oder einen ähnlich kleinen Betrag, während <math>L_1</math> und <math>L_2</math> viel größer sind und daher eine Flächenbetrachtung ermöglicht wird. Durch diese Versuchsanordnung wird sichergestellt, dass es sich um ein [[zweidimensionales Elektronengas]] handelt. Das elektrische Feld <math>E</math> und der Strom <math>I</math> sind in Längsrichtung (<math>x</math>-Richtung), die Hall-Spannung <math>U_H</math> wirkt in Quer-Richtung (<math>y</math>-Richtung), quer über die Breite der Probe, und die Richtung des Magnetfeld <math>B</math> sei die <math>z</math>-Richtung, also die ''senkrechte'' Richtung auf der Fläche gebildet aus <math>L_1</math> und <math>L_2</math>.</ref> und <math>e</math> die [[Elementarladung]] ist. Der klassische Hall-Widerstand ist also proportional zum anliegenden Magnetfeld. Man sieht dies im Bild für kleine <math>B</math>-Feldwerte.

Bei hinreichend tiefer Temperatur und starkem Magnetfeld nimmt der Hall-Widerstand jedoch unabhängig vom Material einen der Plateau-Werte
:<math>R_{\mathrm{H}} = \frac{h}{\nu e^2} = \frac{R_{\mathrm{K}}}{\nu}</math> (im nebenstehenden Bild wird <math>R_{\mathrm{H}}</math> mit <math>\rho_{xy}</math> gekennzeichnet)
an, wobei hier<ref>Es gibt auch eine andere Konvention für <math>\nu</math></ref> <math>\nu =1,2, \dots</math> ganze Zahlen sind, <math>h</math> die [[Planck-Konstante]] und <math>R_\mathrm{K}</math> die [[Von-Klitzing-Konstante]] („von Klitzing’scher Elementarwiderstand“) ist.

Eine kontinuierliche Zunahme der Stärke des Magnetfeldes <math>B</math> lässt jetzt den Hall-Widerstand zunächst konstant, bis dieser auf den nächsten Stufenwert wechselt. Die Mitte der Stufen entspricht der oberen Formel, also dem klassischen Hall-Effekt. Genau in der Stufenmitte verschwindet die in Stromrichtung an der Probe anliegende Spannung <math>U_x</math>, das heißt, der [[Elektrischer Widerstand|elektrische Widerstand]] ist dort Null und die Leitung wird [[dissipation]]sfrei, anscheinend im ganzen Plateaubereich zwischen den Stufen. An den Stufen selbst ergeben sich scharfe Maxima im Widerstand.

Bei den Plateauzuständen des Quanten-Hall-Effekts handelt es sich also, ähnlich wie bei der [[Supraleitung]], um einen [[Makroskopischer Quantenzustand|makroskopischen Quantenzustand]].

== Versuchsbedingungen ==
Versuche zur Beobachtung des Quanten-Hall-Effektes werden üblicherweise in einem einfachen [[Helium]]-[[Kryostat]]en bei 4,2&nbsp;[[Kelvin]] durchgeführt. Tiefere Temperaturen, die nur durch deutlich aufwändigere Kühltechnik möglich werden, sind meistens nicht nötig, außer für die Beobachtung des gebrochenzahligen Effektes. Eine Stickstoffkühlung reicht allerdings nicht aus, da die Kühltemperatur bei ca. 70&nbsp;Kelvin liegt und aufgrund dessen die [[mittlere freie Weglänge]] der Elektronen noch zu gering ist, die Messung also durch Wechselwirkungen zu stark gestört wird.

Je nach Probe werden Magnetfelder von einigen [[Tesla (Einheit)|Tesla]] verwendet und konnten bei von Klitzings Apparatur bis zu 40 Tesla betragen, was einem Vielfachen der mittleren [[Erdmagnetfeld]]stärke in Deutschland von etwa 50 Mikrotesla entspricht. Für sehr starke Magnetfelder wird meist ein [[Helmholtz-Spule]]n-Paar aus supraleitendem Material verwendet, in dem typischerweise Spulenstromstärken zwischen 10&nbsp;A und 100&nbsp;A fließen. Der Strom durch die Probe selbst liegt dagegen nur bei 0,1 bis 10&nbsp;μA.

Die bei QHE-Versuchen verwendeten Proben sind [[MOSFET]]s (''metal oxide semiconductor field effect transistors''), bei denen die Ladungsträgerdichte durch eine am [[Transistor]]gatter angelegte Spannung verändert werden kann, oder aber Halbleiter-Isolator-Heterostrukturen (z.&nbsp;B. Al<sub>x</sub>Ga<sub>1-x</sub>As/GaAs-Heterostrukturen), also dünne Plättchen, die einen Übergang zwischen einem Isolator und einem Halbleiter besitzen. An einer solchen Grenzschicht verlieren die Elektronen eine Bewegungsrichtung: Die <math>z</math>-Richtung, in der das Magnetfeld angelegt wird, ist im Grenzpotential durch eine [[Quantenzahl]] fixiert, die Besetzungswahrscheinlichkeit des nächsthöheren Energieniveaus ist verschwindend gering. Man spricht daher von einem [[Zweidimensionales Elektronengas|zweidimensionalen Elektronengas]]. An diesem Teil der wissenschaftlichen Arbeit wirkten [[Gerhard Dorda]] und [[Michael Pepper]] mit.<ref>[http://prl.aps.org/abstract/PRL/v45/i6/p494_1 von Klitzing K., Dorda G. und Pepper M., ''New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance''], Phys. Rev. Lett., Band 45, 1980, S. 494–497</ref>

In dem im Jahr 2004 erstmals hergestellten Material [[Graphen]] wurde der Quanten-Hall-Effekt ''bei Raumtemperatur'' beobachtet, siehe auch unten im Abschnitt [[#Ungewöhnlicher Quanten-Hall-Effekt in Graphen-Monolagen|Ungewöhnlicher Quanten-Hall-Effekt in Graphen-Monolagen]].

== Theorie ==
=== Leitfähigkeitstensor ===
Aufgrund eines Magnetfelds oder von bevorzugten Leitungsrichtungen in einem Festkörper ist das [[Ohmsches Gesetz|Ohmsche Gesetz]] allgemein mithilfe eines [[Elektrische Leitfähigkeit#Leitfähigkeit als Tensor|Leitfähigkeitstensors]] <math>\stackrel{\leftrightarrow}{\sigma}</math> zu schreiben:

:<math>\vec j = \stackrel{\leftrightarrow}{\sigma} \vec E\,.</math>

In zwei Dimensionen lässt sich der Leitfähigkeit- <math>\stackrel{\leftrightarrow}{\sigma}</math> und der Widerstandstensor <math>\stackrel{\leftrightarrow}{\rho}</math> als 2x2-Matrizen darstellen:

:<math>\stackrel{\leftrightarrow}{\sigma} = \left(\begin{array}{cc} \sigma_{xx} & -\sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xx} \end{array} \right),\ \ 
   \stackrel{\leftrightarrow}{\rho} = \stackrel{\leftrightarrow}{\sigma}^{\,-1} = \frac{1}{\sigma_{xx}^2 + \sigma_{xy}^2} \left(\begin{array}{cc} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ -\sigma_{xy} & \sigma_{xx} \end{array} \right)= \left(\begin{array}{cc} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ -\rho_{xy} & \rho_{xx} \end{array} \right)</math>.

Wählt man für die Beschreibung des QHE <math>x</math> als die Stromrichtung, <math>y</math> als die seitliche Richtung, in die die Hall-Spannung anliegt, und <math>z</math> als die Magnetfeldrichtung, so gilt aufgrund der Anordnung <math>j_y=0</math>.

=== Orthogonales E- und B-Feld ===
Die klassische Bewegung von freien Elektronen, die sich in zueinander senkrecht ([[Orthogonalität|orthogonal]]) stehenden [[Elektrisches Feld|elektrischen]] und [[Magnetisches Feld|magnetischen Feldern]] befinden, ist eine auf Spiralbahnen entlang des <math>B</math>-Feldes und kann als Überlagerung der folgenden Komponenten aufgefasst werden:<ref>K. Kopitzki: ''Einführung in die Festkörperphysik'', B.G. Teubner, ISBN 3-519-13083-1.</ref>
* eine Kreisbewegung mit der [[Zyklotronfrequenz]] <math>\omega_c = \frac{eB}{m}</math> um die <math>B</math>-Feldrichtung,
* einer Driftbewegung mit <math>v_D = -E/B</math> ''senkrecht'' zu <math>E</math>- und <math>B</math>-Feld,
* einer unbeschleunigten Bewegung in <math>B</math>-Feldrichtung.

Die Zyklotronfrequenz spielt auch beim QHE eine wichtige Rolle, wie wir gleich sehen werden.

=== Quantenmechanische Betrachtung ===
Mit <math>\vec p = i\hbar \nabla + e \vec A</math>, der [[Coulomb-Eichung]] <math>\vec A = (0, xB,0)</math> und dem Separationsansatz <math>\psi = \xi(x)\cdot \mathrm e^{i(k_y y+ k_z z)}</math> kann die [[Schrödingergleichung]] für das freie Elektron, also

:<math>\frac{\vec p^2}{2m}\ \psi\ =\ E\ \psi</math>,

in eine Differentialgleichung für die <math>x</math>-abhängige Funktion <math>\xi</math> umgeformt werden, die die Schrödingergleichung eines [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] um den Ruhepunkt <math>X=\frac{\hbar k_y}{m \omega_c}</math> ist. Man erhält als [[Energieniveau|Energieeigenwerte]] nur die [[Landau-Niveau]]s:
:<math>E = E_z + \left(l + \frac{1}{2}\right)\ \hbar \omega_c\,</math>, wobei <math>l = 0, 1, 2, \dots</math>.

Bei einer Probenabmessung von <math>L_x</math> in Stromrichtung bzw. <math>L_y</math> in Richtung der Hall-Spannung gilt dann: Die [[Wellenzahl|Kreiswellenzahl]] in <math>y</math>-Richtung kann die Werte <math>k_y = \frac{2\pi}{L_y}\cdot \kappa</math> mit ganzzahligem <math>\kappa</math> annehmen, sie taucht aber auch in der Ruhelage des harmonischen Oszillators auf, für die <math>0\leq X \leq L_x</math> gilt. Daraus ergibt sich für <math>\kappa</math> der Wertebereich

:<math>0\leq \kappa \leq L_x L_y \frac{e B}{h}</math>.

Jedes Landau-Niveau hat also in diesem Bauteil als [[Entartung (Quantenmechanik)|Entartungsgrad]] pro Flächeneinheit eine Größe ''g<sub>L</sub>'' („Zustandsflächendichte“), für die folgende Beziehung gilt:
:<math>g_L = \frac{e B}{h}\,.</math><ref>Auf einen gegebenen Landau-Zustand entfällt also eine zugehörige Fläche <math>\Delta F=\Phi_0 /B</math>, wobei die Größe <math>\Phi_0 = h/e</math> auch als „Flussquant“ bezeichnet werden kann. (In der Theorie der Supraleitung wird <math>e</math> durch <math>2e</math> ersetzt, weil die Ladungsträger dort [[Cooper-Paar]]e sind.)</ref>

Am Probenrand und durch Unordnungspotenziale in der Probe treten weitere Effekte auf, die beim Verständnis des QHE eine entscheidende Rolle spielen und im Folgenden erläutert werden, denn allein mit den idealen Landau-Niveaus lässt sich der QHE nicht erklären.

=== Vereinfachte Erklärung des QHE ===
[[Datei:QuantumHallEffectExplanationWithLandauLevels.ogv|mini|Liegt das Ferminiveau zwischen zwei Landau-Niveaus, so findet keine Streuung statt, und es treten Plateaus auf.]]
Durch das Anlegen eines Magnetfeldes (senkrecht zum [[Zweidimensionales Elektronengas|zweidimensionalen Elektronengas]] (2DEG)) werden die Elektronen dazu gebracht, sich auf Kreisbahnen – den [[Zyklotronfrequenz|Zyklotronbahnen]] – zu bewegen. Mit der [[Coulomb-Eichung]] lässt sich die [[Hamilton-Funktion]] <math>H</math> des Systems schreiben als <math>H = \tfrac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2+(p_z+eBx)^2)</math>. Dies lässt sich umschreiben zu einer Hamilton-Funktion des [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|harmonischen Oszillators]] in <math>x</math>-Richtung mit der [[Zyklotronfrequenz]] <math>\omega_c</math>. Dessen Zustände sind quantisiert und bilden die [[Landau-Niveau]]s.<ref>Wolfgang Nolting: ''Quantum Theory of Magnetism'', Springer</ref>

Legt man nun ''senkrecht'' zum Magnetfeld ein zusätzliches longitudinales [[elektrisches Feld]] (etwa durch ein externes Potential) parallel zum 2DEG an, so erfahren die Elektronen eine zusätzliche Ablenkung. Im idealen Fall (ohne [[Streuung (Physik)|Streuung]]) werden sie dabei in die zum elektrischen Feld senkrechte Richtung abgelenkt und erzeugen die Hall-Spannung ''U''<sub>H</sub>, d.&nbsp;h., sie beschreiben eine Spiralbahn senkrecht zum elektrischen und Magnetfeld (die Bewegung ist durch das 2DEG in diese zwei Dimensionen eingeschränkt). Da ohne Streuung die Streuzeit τ gegen unendlich geht, verschwinden sowohl die Leitfähigkeit (in Richtung des externen elektrischen Feldes/Potentials) als auch der zugehörige Widerstand, da sich die Elektronen senkrecht zum Potential bewegen. Bezieht man nun die Streuung mit ein, so ändert sich die Richtung eines Elektrons, das an einer Störstelle gestreut wurde. Dadurch erfahren die Ladungsträger eine Komponente in Richtung des elektrischen Feldes, die zu einem Strom führt.

Quantenmechanisch kann man die Oszillationen von Widerstand und Leitfähigkeit vereinfacht dadurch erklären, dass je nach Position der Fermienergie relativ zu den Landau-Niveaus Streuung stattfinden kann oder nicht. Die Landau-Niveaus sind durch die endlichen Umläufe der Elektronen nicht [[Delta-Distribution|deltaförmig]], sondern ''verbreitert'' (Halbwertsbreite <math> \Gamma \propto 1/\tau </math>). Befindet sich die Fermienergie innerhalb eines Niveaus, so tritt Streuung auf, da freie Zustände existieren, in die gestreut werden kann. Liegt die Fermienergie jedoch zwischen zwei Landau-Niveaus, wird die Streuung mangels freier Zustände idealerweise vollständig unterdrückt und es findet nur über die [[Randkanalmodell|Randkanäle]] widerstandfreier Transport statt (siehe unten).

Die Position der Landau-Niveaus zueinander ändert sich über <math>\hbar \omega_c</math> mit dem <math>B</math>-Feld. Die [[Fermi-Kante]], also der Energiewert, bis zu dem sich freie Elektronen im Festkörper befinden, liege zwischen den Niveaus <math>\nu</math> und <math>\nu+1</math>. Wie oben festgestellt wurde, verschwindet die Komponente <math>U_x</math> in der Mitte der Plateaus; die Hall-Spannung <math>U_\mathrm{H}</math> verschwindet dagegen nicht. Aus der Ladungsträgerdichte <math>n = \nu g_L</math>, der jeweiligen Ladung und ihrer Driftgeschwindigkeit <math>v_\mathrm{D} = E_\mathrm{H}/B</math> lässt sich die Stromdichte <math>j_x</math> bestimmen:
:<math>j_x = -e n v_\mathrm{D} = \nu \cdot e g_L v_\mathrm{D} = \nu \cdot \frac{e^2}{h} E_\mathrm{H}\ \stackrel{!}{=}\ \sigma_{xy}E_\mathrm{H}</math>.
Die Nebendiagonalkomponente <math>\sigma_{xy}</math> des Leitfähigkeitstensors ist also ein ganzzahliges Vielfaches (<math>\nu=1, 2, \dots</math>) der von Klitzing’schen Grundeinheit <math>e^2/h</math>, woraus <math>R_\mathrm{H} = \frac{U_\mathrm{H}}{I} = \frac{h}{\nu\cdot e^2}</math> folgt. Wird <math>B</math> verändert, so bleibt die Zahl <math>\nu</math> konstant, bis ein neues Landau-Niveau an die Fermikante stößt und <math>\nu</math> seinen Wert ändert.

Strenggenommen kann das Fermi-Niveau nicht zwischen zwei Landau-Niveaus liegen: Wird ein Landau-Niveau durch ein steigendes <math>B</math>-Feld entvölkert, so springt die Fermienergie in das nächstniedrigere Niveau, ohne dazwischen zu verbleiben. Das widerspricht jedoch der Annahme, unter der das Auftreten der Oszillationen erklärt werden soll. Die Lösung dieses scheinbaren Problems sind Effekte in ''realen'' [[Kristall]]en. Nur bei völlig reinen Kristallen, die auch keine [[Gitterfehler]] aufweisen, tritt obiges Verhalten auf. Durch die in Realität vorhandenen Störstellen werden die „glatten“ Landau-Niveaus „wellig“. Befindet sich nun die Fermienergie in der Nähe eines solchen Niveaus, gibt es nicht mehr nur am Rand Schnittpunkte ([[Randkanalmodell|„Randkanäle“]]), sondern auch im Innern der Probe. Somit kann das Ferminiveau auch ''zwischen'' den Landau-Niveaus liegen.

=== Zusammenhang mit Magnetflussquanten ===
Wird der Entartungsgrad mit der Probenfläche multipliziert, so erhält man den folgenden Zusammenhang zwischen der Anzahl von Elektronen im Landauniveau und der Anzahl von Flussquanten in der Probe:
: <math> N_\text{Zustände pro Landauniveau} = g_L \cdot L_x L_y = \frac{e B}{h} \cdot L_x L_y  = \frac{\Phi}{h/e} = N_\text{Flussquanten in der Probe} </math>.
(Flussquant ist hier die Konstante <math>\tfrac h e</math>; in der Theorie der [[Supraleitung]] hingegen wird <math>\tfrac h {2e}</math> als Flussquant bezeichnet.)
Im Plateauzustand rotiert um jedes [[Flussquant|Magnetflussquant]] also die gleiche Anzahl <math>\nu\,</math> von Elektronen.<ref>J. Hajdu, B. Kramer: ''Der QHE'', Phys. Blätter. 41 Nr. 12 (1985) 401.</ref> Dieser Zusammenhang spielt insbesondere beim fraktionalen Quanten-Hall-Effekt eine Rolle, bei dem sich aus Elektronen und Flussquanten [[Quasiteilchen]] bilden ([[Robert B. Laughlin]], [[Jainendra K. Jain]]).

=== Zusammenhang mit der Feinstrukturkonstante ===
Für [[Elementarteilchenphysik|Elementarteilchen-]], [[Atomphysik|Atom-]] und [[Molekülphysik]]er bzw. für [[Chemie|Chemiker]] ist der Quanten-Halleffekt u.&nbsp;a. deshalb interessant, weil der reziproke Von-Klitzing-Widerstand die in diesen Disziplinen sehr wichtigen [[Feinstrukturkonstante|Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante]] <math>\alpha</math> direkt mit der [[Elektrische Feldkonstante|elektrischen Feldkonstante]] <math>\varepsilon_0</math> verknüpft:<ref name="Sommerfeld" />
:<math>\alpha\ =\ \frac{1}{2 c\, \varepsilon_0}\;\frac{e^2}{h}
               =\ \frac{1}{2 c\, \varepsilon_0}\;\frac{1}{R_\mathrm{K}}.</math>

=== Notwendigkeit der Versuchsbedingungen ===
Das starke Magnetfeld ist einerseits dazu notwendig, dass die Landau-Niveaus voneinander getrennt sind. Es bringt aber auch die Anzahl von Flussquanten in dieselbe Größenordnung wie die Anzahl von freien Ladungsträgern.

Die Übergänge auf höhere Landau-Niveaus sind thermisch nur bei niedrigen Temperaturen wahrscheinlich. Ebenso wird die Einschränkung auf zwei Dimensionen benötigt, um <math>E_z</math> als einen festen Wert ansehen zu können.

== Geschichte ==
Der QHE geht kontinuierlich aus dem klassischen [[Hall-Effekt]] hervor, wenn die Temperatur abgesenkt wird, Proben mit höherer [[Beweglichkeit (Physik)#Ladungsträgermobilität einiger Stoffe|Beweglichkeit]] der Elektronen untersucht werden und das Magnetfeld stark anwächst. Abhängig von diesen Parametern tritt der Quanten-Hall-Effekt bei sehr hohen Magnetfeldstärken auf. Die späte Entdeckung des Effekts beruht unter anderem darauf, dass – im Gegensatz zu vielen anderen physikalischen Größen – die apparative Erzeugung von dauerhaften Magnetfeldern verhältnismäßig stark limitiert ist (20–40&nbsp;[[Tesla (Einheit)|Tesla]]). Deshalb dauerte der Übergang vom klassischen Hall-Effekt, der seit 1879 bekannt ist, zum Quanten-Hall-Effekt mehr als 100&nbsp;Jahre, bis genügend hochbewegliche Elektronensysteme in [[Heteroübergang|Halbleiter-Heterostrukturen]] zur Verfügung standen.

Obwohl die Plateaus im Hall-Widerstand bereits früher beobachtet wurden, wurden die Werte erst [[1980]] am Hochfeldmagnetlabor in Grenoble (GHMFL) (damals noch dt.-frz. Kooperation von [[Max-Planck-Institut für Festkörperforschung|MPI-FKF]] und [[Centre national de la recherche scientifique|CNRS]]) durch [[Klaus von Klitzing]] mit Naturkonstanten in Verbindung gebracht.

Da die ''[[Von-Klitzing-Konstante]]'' <math>R_\mathrm{K}</math> eine universelle Bezugsgröße für die Messung von Widerständen ist, die überall auf der Welt exakt reproduziert werden kann, wurde sie 1990 durch internationale Übereinkunft als [[Normal]] für die Darstellung der Maßeinheit [[Ohm]] festgelegt.<ref name="CGPM-18-6" /><ref name="CGPM-19-2" /> Sie hängt, wie oben erwähnt, über zwei weitere Größen mit der [[Feinstrukturkonstante]] <math>\alpha</math> aus der [[Quantenelektrodynamik]] zusammen.<ref name="Sommerfeld">K.v. Klitzing: ''The Fine-Structure Constant <math>\alpha</math>, A Contribution of Semiconductor Physics to the Determination of <math>\alpha</math>'', Festkörperphysik, XXI (1981) 1.</ref> Seit der [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Revision von 2019]] ist das [[Internationales Einheitensystem|Internationale Einheitensystem (SI)]] dadurch definiert, dass einigen Konstanten, darunter ''e'' und ''h'', feste Werte zugewiesen wurden.<ref name="CGPM-26-1" /> Dadurch hat die Von-Klitzing Konstante in SI-Einheiten nun einen exakten Wert.

== Varianten und verwandte Effekte ==

=== Gebrochenzahliger Quanten-Hall-Effekt (Fraktionaler QHE) ===
Wenige Jahre nach der Entdeckung des ''Quanten-Hall-Effekts'' wurden in GaAs zusätzliche Plateaus mit nicht-ganzzahligem <math>\nu</math> gefunden, wobei viele konkrete Ähnlichkeiten zum ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt auftreten. Gut beobachtbar sind gebrochene Quantenzahlen <math>\nu</math>, für die <math>\nu = \frac{m}{2m+1}</math> oder <math>\nu = 1 - \frac{m}{2m+1}</math> gilt.<ref>H.L. Störmer, M. Hill: ''Der fraktionale QHE'', Phys. Blätter, Nr.&nbsp;9 (1984).</ref>

Ursache für die Ähnlichkeiten ist anscheinend die Tendenz der Elektronen, zusammen mit dem Magnetfeld ''gebundene Zustände'' (''composite fermions'') zu bilden. Die gebundenen Zustände bestehen hier jeweils aus einem oder mehreren Elektronen und einer passenden Anzahl [[Flussquant|magnetischer Flussquanten]].<ref>Diese passende Anzahl wird <math>p</math> genannt, ist geradzahlig und hat in einer Vielteilchentheorie den Effekt, dass bei <math>p</math>-facher Erhöhung des Magnetfeldes, <math>B\nearrow B^*=p\cdot B</math>, durch die „composite particle“-Näherung der Wert <math>B^*</math> wieder auf den beim integralen Quanten-Hall-Effekt gültigen einfachen Wert <math>B</math> reduziert wird; also <math>B^*{\searrow}B\,.</math></ref>

Für die Entdeckung des Gebrochenzahligen Quanten-Hall-Effekts erhielten [[Horst Ludwig Störmer]] und [[Daniel Tsui]] gemeinsam mit [[Robert B. Laughlin]], der den Effekt als [[Quantenflüssigkeit]] interpretierte, den Nobelpreis für Physik 1998. Störmer und Tsui entdeckten den Effekt 1981 an den [[Bell Laboratories]] mit [[Arthur Gossard]].

=== Ungewöhnlicher Quanten-Hall-Effekt in Graphen-Monolagen ===
In dem im Jahr 2004 erstmals hergestellten Material [[Graphen]] wurde der Quanten-Hall-Effekt bei ''Raumtemperatur'' beobachtet.<ref>{{Literatur |Autor=K. S. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang, S. V. Morozov, H. L. Stormer, U. Zeitler, J. C. Maan, G. S. Boebinger, P. Kim, A. K. Geim |Titel=Room-Temperature Quantum Hall Effect in Graphene |Sammelwerk=[[Science]] |Band=315 |Nummer=5817 |Datum=2007 |Seiten=1379 |Online=http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/315/5817/1379 |DOI=10.1126/science.1137201}}</ref>

Wegen der Besonderheiten in der [[Dispersion (Physik)|Dispersion]] ist in diesem Material (siehe [[Graphen]]) die Treppenstruktur der ganzzahligen Quanten-Hall-Plateaus, <math>\sigma_{xy}\propto \nu</math>, für alle Stufen genau „um 1/2 verschoben“, <math>\nu\to \nu+\tfrac{1}{2}\,,\,\forall \,\nu=\, 1,\, 2,\,\dots\, .</math><ref>Geim, A.K., Novoselov, K.S.: ''The rise of graphene'', [[Nature Materials]] 6 (2007) S.&nbsp;183–191</ref> Die „Zwei-Valley“-Struktur von Graphen und die Spin-Entartung ergeben einen zusätzlichen Faktor 4. Die Differenz der Plateauzentren ist aber immer noch ganzzahlig.

=== Quanten-Spin-Hall-Effekt ===
Der Quanten-[[Spin-Hall-Effekt]] wurde zuerst 2005 von [[Charles L. Kane]] und [[Gene Mele]] aufbauend auf einer Arbeit von [[F. Duncan M. Haldane]] in [[Graphen]] vorgeschlagen<ref>Kane, Mele, Quantum Spin Hall Effect in Graphene,  Physical Review Letters, Band 95, 2005, S.&nbsp;22608</ref> und unabhängig von [[Andrei Bernevig]] und [[Shoucheng Zhang]].<ref>Bernevig, Zhang, Quantum Spin Hall Effect,  Physical Review Letters, Band 96, 2006, S.&nbsp;106802.</ref> Die zugrundeliegenden Transportphänomene sind topologisch geschützt, zum Beispiel [[Topologischer Isolator|topologische Isolatoren]].<ref name="wurz">[https://www.physik.uni-wuerzburg.de/tp1/team/professoren/prof-dr-dr-hc-werner-hanke/recent-research-topics/ Werner Hanke, Universität Würzburg], Vorschlag für Raumtemperator Quanten-Spin-Hall</ref>

Forscher der [[Princeton University]] um [[Zahid Hasan]] und [[Robert Cava]] berichteten in der Zeitschrift [[Nature]] vom 24. April 2008 über Quanten-Hall-artige Effekte in [[Kristall]]en aus [[Bismut]]-[[Antimon]], ohne dass ein externes Magnetfeld angelegt werden musste. Diese Bismut-Antimon-Legierung ist ein Beispiel eines [[Topologisches Metall|topologischen Metalls]]. Die [[Spin-Strom|Spinströme]] konnten jedoch nur indirekt gemessen werden (mit Synchrotron-Photoelektronenspektroskopie).<ref>D. Hsieh, D. Qian, L. Wray, Y. Xia, Y.S. Hor, R.J. Cava, und M.Z. Hasan: ''A topological Dirac insulator in a quantum spin Hall phase,'' Nature, 452, S.&nbsp;970–974 (2008). [[doi:10.1038/nature06843]]</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.heise.de/newsticker/meldung/Forscher-entdecken-Quanten-Hall-Effekt-ohne-externes-Magnetfeld-204857.html |titel=Forscher entdecken Quanten-Hall-Effekt ohne externes Magnetfeld |zugriff=2009-04-23 |autor=Andreas Stiller, ct}}</ref>

Die direkte Messung von Spinströmen in solchen Bi-Sb-Legierungen gelang 2009 einem internationalen Team, darunter [[Charles L. Kane]], Zahid Hasan, Robert Cava, Gustav Bihlmayer vom Forschungszentrum Jülich. Die Spinströme fließen ohne äußeren Anreiz aufgrund der inneren Struktur des Materials. Der Informationsfluss erfolgt verlustfrei, selbst bei leichten Verunreinigungen.<ref>D. Hsieh, Y. Xia, L. Wray, A. Pal, J.H. Dil, F. Meier, J. Osterwalder, G. Bihlmayer, C.L. Kane, Y.S. Hor, R.J. Cava, M.Z. Hasan: ''Observation of unconventional quantum spin textures in topologically ordered materials.'' Science Band 323, Nr.&nbsp;5916, 13. Februar 2009, [[doi:10.1126/science.1167733]] [http://www.fz-juelich.de/SharedDocs/Pressemitteilungen/UK/DE/2009/index1d0f_htm.html?nn=692088 Pressemitteilung FZ Jülich]</ref>

Der erste experimentelle Nachweis gelang der Gruppe um [[Laurens Molenkamp]] um 2007 in Würzburg in Tellur-Cadmium-Quantentöpfen. 2017 wurde ein Vorschlag für ein Quanten-Spin-Hall-Material bei Raumtemperatur gemacht ([[Werner Hanke (Physiker)|Werner Hanke]] u.&nbsp;a.).<ref name="wurz" />

=== Schubnikow-de-Haas-Effekt ===
Der [[Schubnikow-de-Haas-Effekt]] beschreibt die Oszillationen der Leitfähigkeit entlang des angelegten Strompfades (<math> \sigma_{xx} </math>), also senkrecht zur Richtung des Quanten-Hall-Effekts. Auf den ersten Blick sinkt paradoxerweise sowohl die Leitfähigkeit als auch der Widerstand in paralleler Richtung (bei hoher Reinheit des [[2DEG]]) genau dann auf 0, wenn die Hallspannung (<math> \sigma_{yy} </math>) gerade ein Plateau erreicht. Eine anschauliche Beschreibung liefert das [[Randkanalmodell]], welches durch den [[Landauer-Büttiker-Formalismus]] beschrieben werden kann.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Zyun F. Ezawa
   |Titel=Quantum Hall Effects
   |TitelErg=Field Theoretical Approach and Related Topics
   |Verlag=World Scientific
   |Ort=Singapore
   |Datum=2008
   |ISBN=978-981-270-032-2
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Hrsg=Benoît Douçot et al.
   |Titel=The Quantum Hall Effect
   |TitelErg=Poincaré Seminar 2004
   |Verlag=Birkhäuser
   |Ort=Basel
   |Datum=2005
   |ISBN=978-3-7643-7300-9
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Hrsg=Sankar D. Sarma, Aron Pinczuk
   |Titel=Perspectives in Quantum Hall Effects
   |TitelErg=Novel Quantum Liquids in Low-Dimensional Semiconductor Structures
   |Verlag=Wiley-VCH
   |Ort=Weinheim
   |Datum=2004
   |ISBN=978-0-471-11216-7
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Autor=Lucjan Jacak, Piotr Sitko, Konrad Wieczorek und Arkadiusz Wojs
   |Titel=Quantum Hall Systems
   |TitelErg=Braid Groups, Composite Fermions, and Fractional Charge
   |Sammelwerk=The International Series of Monographs on Physics
   |Nummer=119
   |Verlag=Oxford University Press
   |Ort=Oxford
   |Datum=2003
   |ISBN=0-19-852870-1
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Autor=J. H. Davies
   |Titel=The physics of low-dimensional semiconductors: An introduction
   |Verlag=Cambridge University Press
   |Ort=Cambridge
   |Datum=1998
   |ISBN=978-0-521-48491-6
   |Sprache=en}}
* „[[:Datei:1982 Hannover Messe Exponat-Information Klaus von Klitzing PTB Bewahrung und Darstellung der Einheit des elektrischen Widerstandes Ohm.pdf|Bewahrung und Darstellung der Einheit des elektrischen Widerstandes Ohm]]“. Exponat-Informationsblatt der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, Hannover Messe ’82, 21. April 1982
* Klaus von Klitzing, [[Gerhard Dorda]], [[Michael Pepper]]: ''New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance'', Phys. Rev. Letters, Band 45, 1980, S.&nbsp;494–497 (Originalarbeit zum Quanten-Hall-Effekt)
* Michael Lohse, Christian Schweizer, Hannah M. Price, Oded Zilberberg, Immanuel Bloch: Exploring 4D quantum Hall physics with a 2D topological charge pump, in: [[Nature]], 4. Januar 2018, [[doi:10.1038/nature25000]], dazu:<br />[https://www.mpq.mpg.de/5596845/18_01_04 Leaving Flatland – Quantum Hall Physics in 4D], Pressemitteilung der MPG vom 4. Januar 2018
* {{Literatur
   |Autor=[[Bernhard Schiekel]]
   |Titel=Festkörperphysik und Topologie - eine Einführung
   |Ort=Ulm
   |Datum=2023
   |Seiten=85–231
   |DOI=10.18725/OPARU-49527}}

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references>
<ref name="CGPM-18-6">
{{Internetquelle
 |url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/18-1987/resolution-6
 |titel=Resolution 1 of the 18th CGPM. Forthcoming adjustment to the representations of the volt and of the ohm
 |werk=
 |hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]]
 |datum=1987
 |sprache=en
 |abruf=2021-04-16
}}
</ref>
<ref name="CGPM-19-2">
{{Internetquelle
 |url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/19-1991/resolution-2
 |titel=Resolution 2 of the 19th CGPM. The Josephson and quantum-Hall effects
 |werk=
 |hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]]
 |datum=1991
 |sprache=en
 |abruf=2021-04-16
}}
</ref>
<ref name="CGPM-26-1">
{{Internetquelle
 |url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1
 |titel=Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI)
 |titelerg=Appendix&nbsp;1
 |werk=
 |hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]]
 |datum=2018
 |sprache=en
 |abruf=2021-04-15
}}
</ref>
<ref name="Nobel">
{{cite web|url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1985/klitzing-lecture.html|title=The Quantized Hall Effect, Nobel Lecture|accessdate =2009-12-11|date=1985-12-09|author=Klaus von Klitzing|language=en|publisher=Nobel Foundation}}
</ref>
<ref name="RMP">
{{cite journal|journal=Rev. Mod. Phys.|volume=58|issue=3|pages=519–531|date=1986|author=Klaus von Klitzing|title=The quantized Hall effect|doi=10.1103/RevModPhys.58.519|language=en}}
</ref>
</references>

== Weblinks ==
* [http://www.ptb.de/de/org/2/Inhalte/qhe/_quantenhalleffekt.htm Physikalisch-Technische Bundesanstalt]
* {{Internetquelle |url=https://www.weltderphysik.de/gebiet/teilchen/quanteneffekte/quanten-hall-effekt/|titel=Der Quanten-Hall-Effekt |datum=2000 |hrsg=weltderphysik.de |sprache=de |zugriff=2019-07-28 |abruf-verborgen=1}}
* {{Literatur |Titel=Quanten-Hall-Effekt |Sammelwerk=Lexikon der Physik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=1998 |Sprache=de |Online=http://www.spektrum.de/lexikon/physik/quanten-hall-effekt/11861}}
* {{Internetquelle |url=http://archiv.pressestelle.tu-berlin.de/pi/1996/pi168.htm |titel=Neues vom Quanten-Hall-Effekt |hrsg=TU&nbsp;Berlin |datum=1996-07-23 |sprache=de |zugriff=2018-02-17 |abruf-verborgen=1}}
* {{Literatur |Autor=D. Tong |Titel=Lectures on the Quantum Hall Effect |Fundstelle=S. 46ff |Datum=2016 |Sprache=en |arXiv=1606.06687}}
* {{Internetquelle |url=https://www.uni-giessen.de/fbz/fb07/fachgebiete/physik/studium/fprak/anleitungen/quantenhall/at_download/file |titel=Fortgeschrittenen-Praktikum: Der Quanten-Hall-Effekt |hrsg=Uni Giessen, I. Physikalisches Institut, Abt. für Mikro- und Nanostrukturierung, Peter J. Klar |sprache=de |zugriff=2018-02-17 |abruf-verborgen=1}}
* [http://www.bourbaphy.fr/novembre2004.html Quanten-Hall-Effekt, Poincaré Seminar 2004]
* Yi-Xin Chen: Quasiparticle excitations and hierarchies of four-dimensional quantum Hall fluid states in the matrix models, Zhejiang U., Inst. Mod. Phys. (PrePrint), 8. Oktober 2002, [https://arxiv.org/abs/hep-th/0210059 arXiv], [https://www.researchgate.net/publication/2054626_Quasiparticle_excitations_and_hierarchies_of_4-dimensional_quantum_Hall_fluid_states_in_the_matrix_models ResearchGate], [https://inspirehep.net/literature/598994 iNSPIRE HEP]

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