Quelltext der Seite Quadratzahl

[[Datei:Square number 16 as sum of gnomons.svg|mini|16 Kugeln bilden ein Quadrat.]]
Eine '''Quadratzahl''' oder '''Viereckszahl''' ist eine Zahl, die durch [[Quadrieren]] einer [[Ganze Zahl|ganzen Zahl]], also die [[Multiplikation]] einer solchen mit sich selbst, entsteht. Beispielsweise ist <math>144 = 12 \cdot 12</math> eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind
: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … ({{OEIS|A000290}})
Einige [[Mathematiker]] sehen die Null nicht als Quadratzahl; sie beginnen diese [[Zahlenfolge]] mit der Eins.

Die Bezeichnung ''Quadratzahl'' leitet sich von der [[Geometrische Figur|geometrischen Figur]] des [[Quadrat (Geometrie)|Quadrats]] her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. So lässt sich beispielsweise mit 16 Steinen ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 legen.

Aufgrund ihrer Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den [[Figurierte Zahl|figurierten Zahlen]], zu denen auch die [[Dreieckszahl]]en und [[Kubikzahl]]en gehören. Diese Begriffe waren schon den griechischen Mathematikern der [[Antike]] bekannt.<ref>[[Helmuth Gericke]]: ''Mathematik in Antike, Orient und Abendland.'' Marix Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 142–143.</ref>

Die Quadratzahlen zählen – ebenso wie die [[Dreieckszahl]]en – insbesondere auch zu den [[Polygonalzahl]]en.<ref name="HS-WS-1">Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: ''Elemente der Arithmetik und Algebra'', 2016, S. 90ff.</ref>

== Eigenschaften ==
Eine Quadratzahl <math>a^2</math> ist [[Logische Äquivalenz|genau dann]] eine [[gerade Zahl]], wenn ihre [[Potenz (Mathematik)|Basis]] <math>a</math> gerade ist.
Allgemeiner gilt: Eine Quadratzahl <math>a^2</math> ist genau dann durch eine Primzahl <math>p</math> teilbar, wenn ihre Basis durch <math>p</math> teilbar ist.

== Rekursion ==
Bezeichnet man die Folge der Quadratzahlen mit <math>\left( Q_n \right)_{n \in \N}</math>, so hat man die folgende [[Rekursion#Rekursion in der Mathematik|Rekursionsvorschrift]]:<ref name="HS-WS-1" />
:<math>Q_n = \left\{\begin{matrix}
1 && \text{falls } n = 1   && \text{(Rekursionsanfang)} \\
Q_{n-1} + 2 \cdot n -1 && \text{sonst} && \text{(Rekursionsschritt)}
\end{matrix}\right.</math>

== Formeln zum Generieren von Quadratzahlen ==
Jede Quadratzahl <math>n^2</math> ist die [[Summe]] der ersten <math>n</math> [[Parität (Mathematik)|ungeraden]] [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]].
: <math>\begin{align}
&1 &= 1 &= 1^2\\
&1 + 3 &= 4 &= 2^2\\
&1 + 3 + 5 &= 9 &= 3^2\\
&1 + 3 + 5 + 7 &= 16 &= 4^2\\
& & \vdots &
\end{align}</math>

Diese Gesetzmäßigkeit, in englischsprachiger Literatur auch als ''Odd Number Theorem'' bekannt,<ref>{{MathWorld|id=OddNumberTheorem|title=Odd Number Theorem}}</ref> wird durch die folgenden Bilder veranschaulicht.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| style="width:25%"| [[Datei:Square number 1 with gnomon.svg]]
| style="width:25%"| [[Datei:Square number 4 with gnomon.svg]]
| style="width:25%"| [[Datei:Square number 9 with gnomon.svg]]
| style="width:25%"| [[Datei:Square number 16 with gnomon.svg]]
|-
| <math>0 + {\color{blue}1} =  1</math>
| <math>1 + {\color{blue}3} =  4</math>
| <math>4 + {\color{blue}5} =  9</math>
| <math>9 + {\color{blue}7} = 16</math>
|}
Von links nach rechts sind hier die ersten vier Quadratzahlen durch die entsprechende Anzahl an Kugeln dargestellt. Die blauen Kugeln zeigen jeweils den Unterschied zur vorhergehenden Quadratzahl an. Da von links nach rechts immer eine Reihe und eine Spalte hinzukommt, erhöht sich die Anzahl der blauen Kugeln jeweils um 2. Beginnend mit der 1 ganz links durchlaufen so die blauen Kugeln alle ungeraden Zahlen.

Das Bildungsgesetz
: <math>\forall n\in\N\colon n^2 = \sum^n_{i=1} (2i-1) = 1 + 3 + 5 + \dotsb + (2n-1)</math>
lässt sich [[Vollständige Induktion|induktiv]] beweisen. Der Induktionsanfang
: <math>1^2 = \sum^1_{i=1} (2i-1)</math>
folgt aus dem offensichtlichen <math>1^2 = 1</math> und
: <math>\sum^1_{i=1} (2i-1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1.</math>
Aus der Induktionsvoraussetzung
: <math>n^2 = \sum^n_{i=1} (2i-1)</math>
folgt wegen der [[Binomische Formel|binomischen Formel]] <math>(n+1)^2 =n^2+2n+1</math> und
: <math>\sum^{n+1}_{i=1} (2i-1) = \sum^n_{i=1} (2i-1) + 2(n+1)-1 = \sum^n_{i=1} (2i-1) + 2n+1</math>
sofort die Induktionsbehauptung
: <math>(n+1)^2 = \sum^{n+1}_{i=1} (2i-1).</math>

Außerdem ist jede Quadratzahl <math>n^2</math> die doppelte [[Gaußsche Summenformel|Summe der ersten <math>n-1</math> natürlichen Zahlen]] plus der Zahl <math>n</math>:

: <math>n^2 = 2 \cdot \sum^{n-1}_{i=1} i + n = 2 \cdot \tfrac {(n-1) \cdot n}2 + n = n^2-n + n = n^2</math>

Beispiele:
: <math>\begin{align}
&2 \cdot 0 + 1 &= 1 &= 1^2\\
&2 \cdot 1 + 2 &= 4 &= 2^2\\
&2 \cdot (1 + 2) + 3 &= 9 &= 3^2\\
&2 \cdot (1 + 2 + 3) + 4 &= 16 &= 4^2\\
& & \vdots &
\end{align}</math>
Dies lässt sich auch leicht geometrisch veranschaulichen: In dem aus <math>n^2</math> Kugeln gelegten Quadrat liegen auf einer der Diagonalen <math>n</math> Kugeln, diesseits und jenseits von ihr je <math>1 + 2 + 3 + \dotsb + (n-1)</math>.

== Geometrische Generierung ==
{{Hauptartikel|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}}
In der Quadratzahl <math>a^2</math> ist die Basis <math>a</math> eine [[reelle Zahl]] und der Exponent <math>2</math> eine positive [[ganze Zahl]]. Aus diesem Grund ist der [[Potenz (Mathematik)#Potenzwert mit Zirkel und Lineal|Potenzwert]] von <math>a^2</math> auf einer [[Zahlengerade]]n als [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]] darstellbar.

Es ist zu unterscheiden, ob die Basis <math> a</math> größer oder kleiner als die Zahl <math>1</math> ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten beschrieben.

=== Vorgehensweise für Basis > 1 ===
# Ziehe auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen mit Mittelpunkt <math>A=0</math> und der Basis <math>a=\overline{AB}</math> als Radius.
# Bestimme den [[Abstand]] mit der Länge <math>=1</math> zum Punkt <math>A</math> und errichte eine [[Orthogonalität|Senkrechte]] zur Zahlengeraden im Punkt <math>1</math>, bis sie den Kreisbogen in <math>B</math> schneidet.
# Errichte eine Senkrechte zur Basis <math>\overline{AB}</math> im Punkt <math>B</math>, bis sie die Zahlengerade in <math>\overline{AB}^2</math> schneidet.

<gallery mode="packed" heights="200">
 01 Square a line segment.svg|Konstruktion der Quadratzahl <math>\overline{AB}^2</math> mit Basis <math>\overline{AB}>1</math>
 01 Square a line segment-2.svg|Konstruktion der Quadratzahl <math>\overline{AB}^2</math> mit Basis <math>\overline{AB}<1</math>
</gallery>

=== Vorgehensweise für Basis < 1 ===
# Bestimme auf der Zahlengeraden die Basis <math>a</math> als Strecke <math>\overline{AB}</math> mit <math>B=0</math>.
# Bestimme auf der Zahlengeraden ab <math>B</math> die Strecke <math>\overline{B1}</math> mit der Länge <math> = 1</math> und konstruiere einen Halbkreis um <math>\overline{B1}</math>.
# Ziehe einen Kreisbogen um <math>B</math> mit dem Radius <math>\overline{AB}</math>, bis er den Halbkreis in <math>C</math> schneidet.
# Das abschließende Lot von <math>C</math> auf die Zahlengerade liefert als [[Fußpunkt]] die Quadratzahl <math>\overline{AB}^2</math>.

== Trick zum Berechnen des Quadrats einer Zahl mit Einerziffer 5 ==
Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden (die sich also in der Form <math>10 \cdot k+5</math> mit einer natürlichen Zahl <math>k</math> darstellen lassen), lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z.&nbsp;B. bei 65 die 6) mit ihrem Nachfolger (hier 6 + 1 = 7) und hängt an das Produkt (hier 6 · 7 = 42) die Ziffern 2 und 5 an (Endergebnis 4225).
: <math>\underline{1}5^2 = \underline{2}25 </math>
: <math>\underline{2}5^2 = \underline{6}25</math>
: <math>\underline{3}5^2 = \underline{12}25</math>
: <math>\underline{4}5^2 = [4 \cdot (4+1)]25 = \underline{20}25 </math>
: <math>[a]5^2 = [a \cdot (a+1)]25 </math>

Beweis: <math>(10\cdot k+5)^2 = 100k^2+100k+25 = k(k+1) \cdot 10^2 + 25</math>

== Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen ==
=== Dreieckszahlen ===
[[Datei:Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg|gerahmt|10 + 15 = 25]]

Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender [[Dreieckszahl]]en darstellen. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Quadratzahl 25 als Summe der Dreieckszahlen <math>\Delta_4 = 10</math> und <math>\Delta_5 = 15</math> ergibt.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.
: <math>\begin{align}
n^2 &= \frac{n(n-1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2}\\
    &= \Delta_{n-1} + \Delta_n\\
\end{align}</math>

Jede ungerade Quadratzahl lässt sich als Nachfolger einer 8-fachen Dreieckszahl darstellen.
: <math>(2n+1)^2 = 8\Delta_n+1</math>
Beweis: <math>(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1=8\cdot\frac{n(n+1)}{2}+1=8\Delta_n+1</math> mit <math>\Delta_n=\frac{n(n+1)}{2}</math>

=== Zentrierte Quadratzahlen ===
Neben dem den Quadratzahlen zugrundeliegenden Muster gibt es noch ein zweites Muster, um ein Quadrat zu legen. Dabei werden um einen Stein in der Mitte des Quadrats weitere Quadrate gelegt. Die für diese Muster notwendige Anzahl an Steinen entspricht jeweils einer [[Zentrierte Quadratzahl|zentrierten Quadratzahl]]. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen, wie sich an deren geometrischem Muster erkennen lässt.

[[Datei:Centered square number 13 as sum of two square numbers.svg]]

Der Term <math>2n^2 + 2n + 1</math> für zentrierte Quadratzahlen lässt sich mit Hilfe der binomischen Formel <math>(n+1)^2 =n^2+2n+1</math> so umstellen, dass die beiden Quadratzahlen sichtbar werden:
: <math>\begin{align}
2n^2 + 2n + 1 &= n^2 + (n^2 + 2n + 1) \\
&=n^2 + (n+1)^2
\end{align}</math>

=== Pyramidenzahlen ===
Die Summe der ersten <math>n</math> Quadratzahlen ergibt die <math>n</math>-te [[Pyramidenzahl]]:
: <math>\sum^n_{i=1} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dotsb + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
Das folgende Bild veranschaulicht diese Beziehung am Beispiel der vierten Pyramidenzahl.

[[Datei:Square pyramidal number.svg|360px]]

== Endziffern von Quadratzahlen ==
Quadratzahlen enden nie mit einer der Ziffern 2, 3, 7 oder 8, da kein Quadrat einer einstelligen Zahl mit einer dieser Ziffern endet.

Ist <math>y</math> die letzte Ziffer einer beliebigen Zahl <math>a = 10 \cdot x + y</math>, dann gilt für deren Quadrat
: <math>a^2 = 100 \cdot x^2 + 20 \cdot xy + y^2.</math>
Die letzte Ziffer von <math>a^2</math> ist somit identisch mit der letzten Ziffer von <math>y^2</math>. Unter den zehn Quadraten 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 aller Ziffern findet sich jedoch keines, das auf 2, 3, 7 oder 8 endet.

=== Symmetrie in den beiden Endziffern um die Basis 25 ===
Die Quadratzahlen sind um die Basis 25 herum in den beiden Endziffern symmetrisch:
: <math>\begin{align}
&24^2 = 576; & 26^2 &= 676.\\
&23^2 = 529; & 27^2 &= 729.\\
&22^2 = 484; & 28^2 &= 784.\\
&21^2 = 441; & 29^2 &= 841.\\
& \vdots & \vdots &
\end{align}</math>

Das erklärt sich wie folgt: Für jede natürliche Zahl <math>a</math> gilt:
: <math>(25 + a)^2 - (25 - a)^2 = 25^2 + 50 a + a^2 - (25^2 - 50 a + a^2)
                        = 25^2 + 50 a + a^2 - 25^2 + 50 a - a^2
                        = 100 a.</math>
Da die Differenz also ein Vielfaches von <math>100</math> ist, sind die beiden Endziffern gleich.

== Restklassen von Quadratzahlen ==
Die vorherige Aussage über mögliche Endziffern von Quadratzahlen bedeutet, dass <math>0, 1, 4, 5, 6, 9</math>  die möglichen [[Restklassen]] der Quadratzahlen modulo <math>10</math> repräsentieren. Auch für andere Zahlen <math>n</math> sind die Restklassen der Quadratzahlen modulo <math>n</math> immer nur ein Teil der insgesamt möglichen Restklassen. Für <math>n=11</math> sind beispielsweise die möglichen Restklassen der Quadratzahlen <math>0, 1, 3, 4, 5, 9</math>. Insbesondere sind <math>0, 1</math> die Restklassen sowohl der Quadrate modulo <math>3</math> als auch modulo <math>4</math> und <math>0, 1, 4</math> sind die Restklassen der Quadrate modulo <math>8</math>. Daraus folgt beispielsweise sowohl, dass <math>3</math> keine Restklasse der Summe zweier Quadratzahlen modulo <math>4</math> ist, als auch, dass <math>7</math> keine Restklasse der Summe dreier Quadratzahlen modulo <math>8</math> ist.

In der [[Zahlentheorie|elementaren Zahlentheorie]] spielen Untersuchungen über [[Quadratischer Rest|quadratische Reste]] eine wichtige Rolle.

== Teileranzahl ==
Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von [[Teilbarkeit|Teilern]]. Beweis: Sei <math>n\in\N</math>, <math>A=\{d\in\N\mid d^2\leq n, d|n\}</math> und <math>B=\{d\in\N\mid n\leq d^2, d|n\}</math>. Es ist <math>|A|=|B|</math>, denn <math>\textstyle B=\{\frac n d\mid d\in A\}</math>. <math>A\cup B</math> enthält alle Teiler von <math>n</math>, also ist die Anzahl der Teiler von <math>n</math> gleich <math>|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B| = 2|A|-|A\cap B|</math>. Ist <math>n</math> eine Quadratzahl, so ist <math>A\cap B=\{\sqrt n\}</math>. Andernfalls ist <math>A\cap B=\emptyset</math>.

== Reihe der Kehrwerte ==
{{Hauptartikel|Basler Problem}}

Die Summe der [[Kehrwert]]e aller Quadratzahlen ist
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dotsb = \frac{\pi^2}{6}</math>.
Es war lange Zeit nicht bekannt, ob diese [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Erst [[Leonhard Euler]] fand im Jahr 1735 den Wert der Reihe.

== Summen zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ==

Mit der Dreieckszahl gilt die Identität: <math>n^2 + (n+1)^2 = 4 \cdot \Delta_n +1</math>.

== Summen aufeinanderfolgender Quadratzahlen ==
Es gibt einige merkwürdige Beziehungen für die Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen:

:<math>
\begin{align}
3^2+4^2 &= 5^2 \\
10^2+11^2+12^2 &= 13^2+14^2 \\
21^2+22^2+23^2+24^2 &= 25^2+26^2+27^2 \\
36^2+37^2+38^2+39^2+40^2 &= 41^2+42^2+43^2+44^2
\end{align}
</math>

oder allgemein

:<math>\sum_{k=2n^2+n}^{2n^2+2n} k^2 = \sum_{k=2n^2+2n+1}^{2n^2+3n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot (12n^2+12n+1)</math>

Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder gar sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben (andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich):

* <math>n=2</math>'':''
: <math>1^2 + 2^2 = 5</math>
: <math>2^2 + 3^2 = 13</math>
: <math>4^2 + 5^2 = 41</math>
: <math>\vdots</math>
:({{OEIS|A027861}}, {{OEIS|A027862}})
* <math>n=3</math>'':''
: <math>2^2 + 3^2 + 4^2 = 29</math>
: <math>6^2 + 7^2 + 8^2 = 149</math>
: <math>12^2 + 13^2 + 14^2 = 509</math>
: <math>\vdots</math>
:({{OEIS|A027863}}, {{OEIS|A027864}})
* <math>n=6</math>'':''
: <math>2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 = 139</math>
: <math>3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 = 199</math>
: <math>4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 = 271</math>
: <math>\vdots</math>
:({{OEIS|A027866}}, {{OEIS|A027867}})

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Peter Bundschuh]]
   |Titel=Einführung in die Zahlentheorie
   |Reihe=Springer-Lehrbuch
   |Auflage=Dritte, vollständig überarbeitet
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg
   |Datum=1996
   |ISBN=3-540-60920-2}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Emil Grosswald]]
   |Titel=Representations of Integers as Sums of Squares
   |Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
   |Ort=New York&nbsp;/ Berlin&nbsp;/ Heidelberg&nbsp;/ Tokio
   |Datum=1985
   |ISBN=0-387-96126-7
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1980&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Grosswald&s5=Sums&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=gt&r=1&mx-pid=803155 MR0803155]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Harald Scheid]], [[Wolfgang Schwarz (Mathematiker)|Wolfgang Schwarz]]
   |Titel=Elemente der Arithmetik und Algebra
   |Auflage=6.
   |Verlag=[[Springer Spektrum]]
   |Ort=Heidelberg, Berlin
   |Datum=2016
   |ISBN=978-3-662-48773-0
   |DOI=10.1007/978-3-662-48774-7}}

== Siehe auch ==
* [[Vier-Quadrate-Satz]]
* [[Kubikzahl]]
* [[Polygonalzahl]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Square numbers}}
{{Wiktionary}}
* [https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/quadratzahl/8208 Eintrag '''Quadratzahl''' im Lexikon der Mathematik (2017)]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Figurierte Zahl]]