Quelltext der Seite Pythagoreisches Tripel

[[Datei:Dreieck rechtwinklig 1.svg|mini|Kleinstes Tripel: <math>(3,\ 4,\ 5)</math>]]

In der [[Zahlentheorie]] besteht ein '''Pythagoreisches [[Tupel|Tripel]]''' oder '''Pythagoreisches Zahlentripel''' aus drei verschiedenen [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]],<ref name="Null">In diesem Artikel gilt <math>0 \notin \N,</math> 0 ist also ''keine'' natürliche Zahl.</ref> bei denen die Summe der Quadrate der beiden kleineren Zahlen gleich dem Quadrat der größten Zahl ist. Nach dem [[Satz des Pythagoras]] können die drei Zahlen eines Pythagoreischen Tripels auch als die Seitenlängen eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks in der [[Euklidische Geometrie|Euklidischen Geometrie]] aufgefasst werden. Wenn <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> außer 1 [[Teilerfremdheit|keinen Teiler gemeinsam]] haben, spricht man von einem ''primitiven'' pythagoreischen Tripel.

== Geschichte ==
[[Datei:Plimpton 322.jpg|mini|Die Tontafel [[Plimpton 322]]]]

Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf [[babylon]]ischen [[Tontafel]]n, die in die Zeit der [[Hammurabi-Dynastie]] datiert werden (1829 bis 1530 v.&nbsp;Chr.). Die [[Keilschrift]]tafel [[Plimpton&nbsp;322]] enthält 15 verschiedene pythagoreische Tripel,<ref>{{Literatur |Autor=Georges Ifrah |Titel=The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer |Datum= |Seiten=151}}</ref> u.&nbsp;a. <math>(56, 90, 106)</math>, <math>(119, 120, 169)</math> und <math>(12709, 13500, 18541)</math>, was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500 Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln nur aus einem demotischen Papyrus des 3.&nbsp;Jahrhunderts v.&nbsp;Chr. bekannt,<ref>Corinna Rossi: ''Mathematics and Architecture in Ancient Egypt.'' Cambridge UP 2003, S.&nbsp;217. Sie zitiert Richard Parker: ''Demotic Mathematical Papyri.'' Brown University Press 1972, S.&nbsp;3–4, 35–40.</ref> doch wurde auch die Verwendung insbesondere der Tripel <math>(3,\ 4,\ 5)</math> und <math>(20,\ 21,\ 29)</math> für [[Böschungswinkel]] bei einigen Pyramiden aus einer Zeit rund zweitausend Jahre vor dem erwähnten Papyrus diskutiert.<ref>Rossi, loc. cit., S.&nbsp;219. Die [[Chephren-Pyramide]] mit einem Böschungswinkel von rund 53° käme demnach für die Verwendung von <math>(3,\ 4,\ 5)</math> in Betracht, die [[Rote Pyramide]] mit einem Böschungswinkel von rund 43° für <math>(20,\ 21,\ 29)</math>.</ref>

Das indische [[Sulbasutra|Baudhayana-Sulbasutra]] aus dem 6.&nbsp;Jahrhundert vor Christus enthält fünf pythagoreische Tripel.<ref>{{Literatur |Autor=[[Helmuth Gericke]] |Titel=Mathematik in Antike, Orient und Abendland |Verlag=Matrix-Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2005 |ISBN=3-937715-71-1 |Seiten=68}}</ref>

Pythagoreische Tripel wurden bei den Griechen von [[Euklid]], nach dem Kommentar von [[Proklos]] zu Euklids Elementen von [[Pythagoras]] und [[Platon]] behandelt und später von [[Diophant von Alexandrien|Diophant]].

== Beispiele ==
* <math>(3,\ 4,\ 5)</math> ist das kleinste und bekannteste pythagoreische Tripel. Es ist primitiv, denn die drei natürlichen Zahlen haben nur 1 als Teiler gemeinsam.
* <math>(5,\ 12,\ 13)</math> und <math>(8,\ 15,\ 17)</math> sind Beispiele für weitere kleine primitive pythagoreische Tripel.
* Beispiele für nicht primitive pythagoreische Tripel sind <math>(15,\ 20,\ 25)</math> mit <math>5</math> als einem gemeinsamen Teiler oder <math>(15,\ 36,\ 39)</math> mit dem gemeinsamen Teiler <math>3</math>.

== Familien pythagoreischer Tripel ==
{| class="wikitable"
! Familie
! Eigenschaft
! Beispiele
|-
|Pythagoras
|<math>c-b=1</math>
|<math>[5,12,13]\; [7,24,25]\; [9,40,41]</math>
|-
|Platon
|<math>c-b=2</math>
|<math>[8,15,17]\; [12,35,37]\; [20,99,101]</math>
|-
|
|<math>c-b=8</math>
|<math>[20,21,29]\; [28,45,53]\; [36,77,85]</math>
|-
|
|<math>c-3a=2</math>
|<math>[145,408,433]\; [840,2378,2522]\; [4901,13860,14701]</math>
|-
|
|<math>c-3a=4</math>
|<math>[287,816,865]\; [1683,4756,5045]\; [9799,27720,29401]</math>
|-
|
|<math>c-2a=2</math>
|<math>[16,30,34]\; [240,418,482]\; [3360,5822,6722]</math>
|-
|
|<math>c-2a=3</math>
|<math>[5,12,13]\; [95,168,193]\; [1349,2340,2701]</math>
|-
|
|<math>c-2a=-1</math>
|<math>[33,56,65]\; [451,780,901]\; [6273,10864,12545]</math>
|-
|
|<math>|3a-2c|=1</math>
|<math>[65,72,97]\; [1155,1292,1733]\; [20737,23184,31105]</math>
|-
|
|<math>|3a-2c|=5</math>
|<math>[21,20,29]\; [319,360,481]\; [5781,6460,8669]</math>
|-
|
|<math>|b-2a|=2</math>
|<math>[5,12,13]\;  [39,80,89]\; [272,546,610]</math>
|-
|Fermat
|<math>|b-a|=1</math>
|<math>[696,697,985]\; [4059,4060,5741]\; [23660,23661,33461]</math>
|-
|
|<math>|3b-2a|  \in  \{2,6,18\}</math>
|<math>[91,60,109]\; [15,8,17]\; [819,540,981]</math>
|-
|
|<math>|2b-a|  \in  \{1,4,5\}</math>
|<math>[273,136,305]\; [416,210,466]\; [1363,684,1525]</math>
|}
Die Mitglieder dieser Familien können durch die Anwendung der Euklidischen Formel <math>\frac{n}{d}\ \rightarrow\ [a,\ b,\ c]=[n^2\!-d^2,\ 2\!\cdot\! n \!\cdot\! d,\ n^2\!+d^2]</math> auf den Zähler <math>n</math> und den Nenner <math>d</math> in Folgen von Brüchen identifiziert werden, insbesondere in Folgen von Brüchen, die aus den [[Kettenbrüche quadratischer Irrationalitäten|periodischen Kettenbrüchen quadratischer Irrationalitäten]] stammen.<ref>{{Literatur|Sprache=de|Autor=Frédéric BEATRIX|Titel=Unlocking a new realm of Pythagorean triples|Sammelwerk=parabola|Band=59|Nummer=2|Datum=2023|Online=https://www.researchgate.net/publication/388046763_Unlocking_a_new_realm_of_Pythagorean_triples|Format=pdf}}</ref>

== Erzeugung der pythagoreischen Tripel ==
[[Datei:PythTrip.gif|mini|250px|Pythagoreische Tripel im kartesischen Koordinatensystem mit x und y von 1 bis 2500. Die deutlich dunklen Linien markieren Tripel der Form <math>(3n,\ 4n,\ 5n).</math> Weitere Regelmäßigkeiten werden in der [[:Datei:PythTrip.gif|Vergröße&shy;rung]] sichtbar. Die Symmetrie zur 45°-Achse ist eine Folge des [[Kommutativgesetz]]es.]]

Die drei Formeln
: <math>a = m^2 - n^2</math>
: <math>b = 2\;\!mn</math>
: <math>c = m^2 + n^2</math>
liefern für beliebige <math>m, n \in \N, m > n > 0</math><ref name="Null" /> ein pythagoreisches Tripel <math>(a,\ b,\ c)</math>. Es ist genau dann primitiv, wenn <math>m</math> und <math>n</math> [[teilerfremd]] und nicht beide ungerade sind.

Diese Formeln wurden von [[Euklid]] angegeben (Elemente, Buch 10, Proposition 29, Lemma 1).<ref>David Joyce: ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/elements/bookX/propX29.html Euclids Elements.]''</ref> Sie werden manchmal ''indische Formeln'' genannt, da sie explizit auch vom indischen Mathematiker [[Brahmagupta]] (598–668) knapp 900 Jahre später angegeben wurden.<ref>Dickson: ''History of the Theory of Numbers.'' Band 2, Carnegie Institution 1920, S.&nbsp;166.</ref><ref>{{Literatur |Autor=Harald Scheid |Titel=Zahlentheorie |Auflage=3. |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg u.&nbsp;a. |Datum=2003 |ISBN=3-8274-1365-6 |Seiten=225}}</ref> Möglicherweise waren sie auch den Babyloniern bekannt bei ihrer Erstellung pythagoreischer Tripel,<ref>André Weil: ''Number theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre.'' Birkhäuser 1984, S.&nbsp;8. Als Alternative gibt er die Formel <math>a^2 = (b-c)(b+c)</math> an, wobei die Babylonier entsprechend ihrem Zahlensystem auf Basis 60 für <math>a</math> nur Produkte von 2, 3, 5 genommen hätten und <math>b</math> und <math>c</math> sich durch systematisches Ausprobieren ergäben.</ref> denn die Formeln ergeben sich unmittelbar aus der [[Babylonische Mathematik|babylonischen Multiplikationsformel]]

:<math>k \cdot l = {\left( \frac {k+l}{2}\right)\!}^2 - {\left( \frac {k-l}{2}\right)\!}^2,</math>

wenn man <math>k = m^2</math> und <math>l = n^2</math> setzt und mit <math>2^2</math> multipliziert: <math>\quad (2\;\!mn)^2 = \left(m^2+n^2\right)^2 - \left(m^2-n^2\right)^2</math>.

Umgekehrt lässt sich jedes primitive pythagoreische Tripel <math>(a,\ b,\ c)</math> mit Hilfe dieser Formeln aus teilerfremden <math>m, n \in \N</math> erzeugen.

Jedes nicht-primitive pythagoreische Tripel <math>(A, B, C)</math> kann aus einem primitiven pythagoreischen Tripel <math>(a, b, c)</math> durch <math>(A, B, C) = (Na, Nb, Nc)</math> berechnet werden. Die natürliche Zahl <math>N</math> ist der [[Größter gemeinsamer Teiler|größte gemeinsame Teiler]] von <math>A,\ B,\ C</math> und damit eindeutig bestimmt.

''Beispiele:''
* <math>m = 2,\ n = 1</math> liefert das Tripel <math>(3,\ 4,\ 5)</math>.
** Multiplikation mit <math>N = 2</math> liefert <math>(6,\ 8,\ 10)</math>. Es ergibt sich auch nach der babylonischen Multiplikationsformel aus <math>k = 3,\ l = 1.</math> Weil <math>3</math> und <math>1</math> beide ungerade sind, ist es nicht primitiv.
* <math>m = 3,\ n = 2</math> liefert das primitive Tripel <math>(5,\ 12,\ 13)</math>.
** Multiplikation mit <math>N = 7</math> liefert <math>(35,\ 84,\ 91)</math>; dies ist ein pythagoreisches Tripel, das sich nicht mit den Formeln nach Euklid erzeugen lässt. Diese erzeugen zwar alle primitiven, aber nur einen Teil der nicht-primitiven Tripel.

Die Verbindung der von B. Berggren (1934)<ref>B. Berggren: ''Pytagoreiska trianglar.'' Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (in Swedish) 17 (1934), S.&nbsp;129–139.</ref> und von A. Hall (1970)<ref>A. Hall: ''Genealogy of Pythagorean triads.'' Math. Gazette 54 (1970), S.&nbsp;377–379.</ref> bekannten [[Baum primitiver pythagoreischer Tripel|Baumstruktur der primitiven pythagoreischen Tripel]] mit der [[Modulare Gruppe (M-Gruppe)|modularen Gruppe]] untersuchte R.&nbsp;C.&nbsp;Alperin (2005).<ref>{{Internetquelle |autor=R. C. Alperin |url=https://web.archive.org/web/20231014013915/http://www.math.sjsu.edu/~alperin/pt.pdf |titel=The Modular Tree of Pythagoras |werk=math.sjsu.edu |datum=2005 |format=PDF |abruf=2025-10-01 |kommentar=Archivlink}}</ref> Sämtliche primitiven pythagoreischen Tripel lassen sich über sieben verschiedene [[Lineare Abbildung|Lineartransformationen]], jeweils ausgehend von <math>(3, 4, 5)</math>, in (bis auf die Anordnung) genau drei verschiedenen ternären [[Wurzelbaum|Wurzelbäumen]] erzeugen, wie Firstov allgemein bewies.<ref>{{Internetquelle |autor=V. E. Firstov |url=http://mi.mathnet.ru/eng/mz4074 |titel=A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples |werk=mathnet.ru |datum=2008 |format=PDF; 669&nbsp;kB |abruf=2020-05-04}}</ref> Genau ein Wurzelbaum hat mit einem anderen jeweils eine Lineartransformation gemeinsam, eine davon erzeugt bspw. alle (primitiven) pythagoreischen Tripel <math>(x,\ y,\ y+1)</math>, auch alle mit einer beliebigen ungeraden Primzahl <math>x</math>, und der von Price<ref>{{Internetquelle |autor=H. Lee Price |url=https://arxiv.org/pdf/0809.4324.pdf |titel=The Pythagorean Tree: A New Species |werk=arxiv.org |datum=2008-09 |format=PDF; 298&nbsp;kB |abruf=2020-02-29}}</ref> entdeckte andere Wurzelbaum die beiden (gemischten) Darstellungen <math>(p'q',\ 2pq,\ pq'+qp')</math> und <math>(p'q',\ 2pq,\ pq'-qp')</math> der primitiven Tripel mit ungeradem <math>q  </math>, einem dazu teilerfremden <math>q'</math> und <math>p=q'+q,\ p'=q+p</math>.<ref>{{Internetquelle |autor=Frank Bernhart, H. Lee Price |url=https://arxiv.org/pdf/math/0701624.pdf |titel=Heron’s Formula, Descartes Circles, and Pythagorean Triangles |werk=arxiv.org |datum=2007-01-01 |format=PDF; 285&nbsp;kB |abruf=2020-02-29}}</ref>

=== Herleitung der Formel zur Bildung der pythagoreischen Tripel ===
Ist <math>(a,b,c)</math> ein pythagoreisches Tripel, so ergibt die Division der zugehörigen Gleichung <math>a^2 + b^2 = c^2</math> durch <math>c^2</math>

{{NumBlk |1=: |2=<math>\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1</math>. {{Anker|Nrm1}} |3=Nrm1}}

Die Zahlen <math>x := \tfrac{a}{c}</math> und <math>y := \tfrac{b}{c}</math> sind rational und positiv und erfüllen die Koordinatengleichung des [[Einheitskreis]]es

: <math>x^2 + y^2 = 1</math>.

Also ist <math>(x,y)</math> ein [[Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis|Punkt mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis]]. Die Gerade durch die Punkte <math>(-1,0)</math> und <math>(x,y)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse in einem Punkt <math>(0,t)</math>, wobei <math>t</math> die Steigung dieser Geraden ist, für die gilt:
: <math>t = \frac{y}{x+1}</math>
Daher ist <math>t</math> eine [[rationale Zahl]].

Eliminiert man <math>y</math> aus dieser Gleichung und der des Einheitskreises, erhält man mit
: <math>\begin{align}
x^2 + t^2 (x+1)^2 &= 1\\
(x^2-1) + t^2 (x+1)^2 &= 0\\
(x+1)\left[(x-1) + t^2 (x+1)\right] &= 0
\end{align}</math>
eine Bestimmungsgleichung für <math>x</math>.

Wegen <math>x>0</math> gilt <math>x+1 \ne 0</math>, sodass man beide Seiten durch <math>(x+1)</math> dividieren darf:
: <math>\begin{align}
(x-1) + t^2 (x+1) &= 0\\
x &= \frac{1-t^2}{1+t^2}\\
y &= t \cdot (x+1) = t \cdot \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}+1\right) = \frac{2t}{1+t^2}
\end{align}</math>

Damit haben wir also
: <math>(x,y) = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)</math>
oder, weil man <math>t = \tfrac {v}{u}</math> mit teilerfremden natürlichen Zahlen <math>u, v</math> setzen kann:
: <math>\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right) = \left(\frac{1-\frac{v^2}{u^2}}{1+\frac{v^2}{u^2}},\frac{\frac{2v}u}{1+\frac{v^2}{u^2}}\right) = \left(\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2}\right)</math>

Dies ergibt das pythagoreische Tripel
: <math>(a,b,c) = (u^2-v^2,2uv,u^2+v^2).</math>

Es kann vorkommen, dass <math>u^2 - v^2</math>, <math>2uv</math> und <math>u^2 + v^2</math> einen gemeinsamen Teiler <math>N > 1</math> haben. Aus <math>u=3,\ v=1</math> würde beispielsweise <math>a=8,\ b=6,\ c=10</math> folgen.

Als einzige Möglichkeit hierfür kommt jedoch <math>N = 2</math> in Betracht. Denn angenommen, eine ''ungerade'' Primzahl <math>p</math> teilte sowohl <math>u^2-v^2</math> als auch <math>u^2+v^2</math>, so wäre
: <math>v^2 \equiv u^2 \pmod p</math> und <math>v^2 \equiv-u^2 \pmod p,</math>
woraus man, weil <math>p</math> prim und <math>2</math> teilerfremd zu <math>p</math> ist, so weiter schließen kann:
: <math>\begin{align}
u^2  & \equiv -u^2     \pmod p\\
2u^2 & \equiv 0 \quad\ \pmod p\\
u^2  & \equiv 0 \quad\ \pmod p\\
u    & \equiv 0 \quad\ \pmod p\\
\end{align}</math>

Die ungerade Primzahl <math>p</math> teilt also <math>u</math> und wegen <math>v^2 \equiv u^2 \pmod p</math> auch <math>v</math>. Das steht jedoch in Widerspruch zur Teilerfremdheit von <math>u</math> und <math>v</math>, sodass <math>p</math> nicht ungerade sein kann. Also bleibt nur <math>N = 2</math>, was mit <math>u \equiv v \equiv 1 \pmod 2</math> offenbar auch tatsächlich möglich und immer der Fall ist.

Man kann solche <math>u, v</math>, die teilerfremd und beide ungerade sind, jedoch aussortieren, ohne primitive pythagoreische Tripel zu verlieren. Denn, wenn <math>u</math> und <math>v</math> das Tripel <math>(2a,2b,2c)</math> ergeben, so ergeben <math>u' = (u+v)/2</math> und <math>v' = (u-v)/2</math> das Tripel <math>(b,a,c)</math>. Dabei sind <math>u', v'</math> teilerfremd und nicht beide ungerade.

=== Erzeugung primitiver pythagoreischer Tripel mit der babylonischen Multiplikationsformel ===
Die [[Babylonische_Mathematik|babylonische Multiplikationsformel]]
: <math>a = k l</math>
: <math>b = \frac{k^2 - l^2}{2}</math>
: <math>c = \frac{k^2 + l^2}{2}</math>
<!-- Siehe Erzeugung der pythagoreischen Tripel, da steht das schon mal -->
liefern für teilerfremde ungerade <math>k, l \in \N</math><ref name="Null" /> mit <math>k > l</math> ein primitives pythagoreisches Tripel.<ref>{{Internetquelle |autor=Franz Lemmermeyer |url=https://www.researchgate.net/profile/Franz_Lemmermeyer/publication/240907491_Kreise_und_Quadrate_modulo_p/links/568f8dc508aef987e569ee2b/Kreise-und-Quadrate-modulo-p.pdf |titel=Kreise und Quadrate modulo p |werk=researchgate.net |format=PDF; 331&nbsp;kB; S.&nbsp;2. |abruf=2020-10-11}}</ref>

=== Herleitung aus Hilbert 90 ===
Dass diese Parametrisierung pythagoreischer Tripel mit [[Hilberts Satz 90]] für den Fall <math>\Q[\mathrm{i}]/\Q</math> geradeswegs äquivalent ist, hat [[Noam D. Elkies]] erkannt, vor ihm womöglich schon [[Olga Taussky]] und [[Takashi Ono (Mathematiker)|Takashi Ono]].<ref name="LemmermeyerTausskyOno">[[Noam D. Elkies]]: ''Pythagroean triples and Hilbert's Theorem 90'', siehe [[#Literatur|Literatur]]. Beachte allerdings, dass Noam Elkies [https://people.math.harvard.edu/~elkies/Misc/ auf seiner Homepage] (unter „One-page Papers“) einen Dank an [[Franz Lemmermeyer]] richtet, der seinerseits auf Arbeiten [[Olga Taussky]] und [[Takashi Ono (Mathematiker)|Takashi Ono]] hingewiesen hat: ''“Thanks to F.Lemmermeyer for recognizing the Pythagorean case of this proof from the beginning of Olga Taussky's ‘Sums of Squares’, American Mathematical Monthly, Vol.77 (1970), 805-830. Lemmermeyer notes that Ono gives the same proof in his book ‘Variations on a Theme of Euler: Quadratic Forms, Elliptic Curves and Hopf Maps’ [Plenum Press 1994]. There's no reference to O.Taussky there either, so presumably Ono also discovered this independently.”''</ref>

Denn das Bestehen der Gleichung [[#Nrm1|(Nrm1)]] ist äquivalent damit, dass <math>N_{\Q[\mathrm{i}]/\Q} \left( \frac{a + \mathrm{i}b}{c} \right) = 1</math>. Hilberts Satz 90 liefert ein Element <math>x\in \Q[\mathrm{i}]</math> mit <math>\frac{a + \mathrm{i}b}{c} = \frac{x}{\overline{x}}</math>, welches sogar ohne Einschränkung aus dem [[Ganzheitsring]] <math>\Z[\mathrm{i}] </math> der [[Gaußsche Zahl|Gaußschen Zahlen]] gewählt werden kann, so dass mit <math>x = m + n\mathrm{i}</math> insgesamt <math> \frac{a + \mathrm{i}b}{c} = \frac{x^2}{|x|^2} = \frac{m^2 - n^2 + 2mn\,\mathrm{i}}{m^2 + n^2}</math> gilt, woraus die Behauptung folgt, denn diese trifft eine Aussage über die [[Homogene Koordinaten|''homogenen Koordinaten'']] <math>(a:b:c)</math> und ihre homogene Parametrisierung durch die in den Variablen <math>m, n</math> [[Homogene Funktion|''homogenen'' Polynomfunktionen]] vom Grad <math>2</math>. Dass sich alle ''primitiven'' pythagoreischen Tripel durch <math>(m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2)</math> darstellen lassen, folgt mit derselben elementaren Überlegung wie oben (nämlich: <math>\operatorname{ggT}(a,b,c)=1 \Leftrightarrow 2|mn \land \operatorname{ggT}(m,n)=1</math>).

=== Weitere Formeln für pythagoreische Tripel ===
Aus der Antike stammen nach Proklos die Formeln von Pythagoras und Plato.

Pythagoras gibt die Seitenlängen
: <math>a = k,\ b = \frac{k^2-1}{2},\ c = \frac{k^2+1}{2}</math>
für ungerades <math>k \ge 3</math> an.
Plato gibt die Seitenlängen
: <math>a = l,\ b = {\left(\frac{l}{2}\right)}^{\!2}\!\!-1,\ c = {\left(\frac{l}{2}\right)}^{\!2}\!\!+1</math>
für gerade <math>l \ge 4</math> an.

Setzt man <math>k = 2n+1</math> mit <math>1 \le n \in \N</math>, ergibt die Formel von Pythagoras
: <math>(2n+1,\ 2n^2+2n,\ 2n^2+2n+1)</math>.
Die Formel für Plato ergibt für <math>l = 2n</math> mit <math>2 \le n \in \N</math>
: <math>(2n,\ n^2-1,\ n^2+1)</math>.

Viele weitere Formeln findet man unter [[Formeln zur Erzeugung pythagoreischer Tripel]].

== Primitive pythagoreische Tripel ==
Primitive pythagoreischen Tripel <math>(a,\ b,\ c)</math> sind solche, für die <math>a, b</math> und <math>c</math> keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben (diese drei Zahlen sind dann auch paarweise [[teilerfremd]]).

* Von den Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> ist jeweils eine ungerade und die andere durch 4 teilbar, die größere Zahl <math>c</math> ist jeweils ungerade.
* Für jeden Primfaktor <math>p</math> von <math>|b-a|</math> gilt: <math>\quad p \equiv \pm 1 \pmod 8</math>.<ref>[[OEIS:A058529]].</ref>
* Für jeden Primfaktor <math>p</math> des Quadrats der Kathetenhalbierenden <math>a^2 + (\tfrac{b}{2})^2</math> gilt: <math>\quad p \equiv 1 \pmod {12} </math>.<ref>{{Internetquelle |url=https://web.archive.org/web/20201204051758/https://register.austms.org.au/Conferences/AustMS2020/Resources/booklet.pdf |titel=Vortragsreihe auf der 64th Annual Meeting of The Australian Mathematical Society |abruf=2025-10-01 |kommentar=Archivlink}}</ref>
* Das Produkt <math>a \!\cdot\! b \!\cdot\! c</math> aller drei Zahlen ist immer durch 60 teilbar (gilt natürlich auch für nicht primitive Tripel).

=== Beispiele primitiver pythagoreischer Tripel ===
Nach den Euklidischen Regeln erhält man als ''primitive'' pythagoreische Tripel zum Beispiel (aufsteigend geordnet nach <math>m+n</math> und bei Gleichheit dann nach der kleineren Zahl <math>n</math>):

{| class="wikitable" style="text-align:right; border:0;"
|-
! style="width:15px;"| m
! style="width:15px;"| n
! rowspan="15" class="hintergrundfarbe-basis" style="border:0;"|
! style="width:25px;"| a
! style="width:25px;"| b
! style="width:25px;"| c
! rowspan="15" class="hintergrundfarbe-basis" style="border:0; width:20px;" |
! style="width:15px;"| m
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! style="width:25px;"| a
! style="width:25px;"| b
! style="width:25px;"| c
|-
|  2 || 1 ||  3 ||  4 ||   5 ||  7 || 2 || 45 || 28 ||  53
|-
|  4 || 1 || 15 ||  8 ||  17 ||  5 || 4 ||  9 || 40 ||  41
|-
|  3 || 2 ||  5 || 12 ||  13 || 10 || 1 || 99 || 20 || 101
|-
|  6 || 1 || 35 || 12 ||  37 ||  9 || 2 || 77 || 36 ||  85
|-
|  5 || 2 || 21 || 20 ||  29 ||  8 || 3 || 55 || 48 ||  73
|-
|  4 || 3 ||  7 || 24 ||  25 ||  7 || 4 || 33 || 56 ||  65
|-
|  8 || 1 || 63 || 16 ||  65 ||  6 || 5 || 11 || 60 ||  61
|}

Die primitiven pythagoreischen Tripel mit <math>c < 300</math> (aufsteigend geordnet nach der größten der drei Zahlen und bei Gleichheit dann nach der kleinsten) sind:

:{| cellspacing="0" cellpadding="0"
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (3, 4, 5)
|style="padding:0 1em"| (5, 12, 13)
|style="padding:0 1em"| (8, 15, 17)
|style="padding:0 1em"| (7, 24, 25)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (20, 21, 29)
|style="padding:0 1em"| (12, 35, 37)
|style="padding:0 1em"| (9, 40, 41)
|style="padding:0 1em"| (28, 45, 53)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (11, 60, 61)
|style="padding:0 1em"| (16, 63, 65)
|style="padding:0 1em"| (33, 56, 65)
|style="padding:0 1em"| (48, 55, 73)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (13, 84, 85)
|style="padding:0 1em"| (36, 77, 85)
|style="padding:0 1em"| (39, 80, 89)
|style="padding:0 1em"| (65, 72, 97)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (20, 99, 101)
|style="padding:0 1em"| (60, 91, 109)
|style="padding:0 1em"| (15, 112, 113)
|style="padding:0 1em"| (44, 117, 125)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (88, 105, 137)
|style="padding:0 1em"| (17, 144, 145)
|style="padding:0 1em"| (24, 143, 145)
|style="padding:0 1em"| (51, 140, 149)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (85, 132, 157)
|style="padding:0 1em"| (119, 120, 169)
|style="padding:0 1em"| (52, 165, 173)
|style="padding:0 1em"| (19, 180, 181)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (57, 176, 185)
|style="padding:0 1em"| (104, 153, 185)
|style="padding:0 1em"| (95, 168, 193)
|style="padding:0 1em"| (28, 195, 197)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (84, 187, 205)
|style="padding:0 1em"| (133, 156, 205)
|style="padding:0 1em"| (21, 220, 221)
|style="padding:0 1em"| (140, 171, 221)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (60, 221, 229)
|style="padding:0 1em"| (105, 208, 233)
|style="padding:0 1em"| (120, 209, 241)
|style="padding:0 1em"| (32, 255, 257)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (23, 264, 265)
|style="padding:0 1em"| (96, 247, 265)
|style="padding:0 1em"| (69, 260, 269)
|style="padding:0 1em"| (115, 252, 277)
|- style="text-align:right;"
|style="padding:0 1em"| (160, 231, 281)
|style="padding:0 1em"| (161, 240, 289)
|style="padding:0 1em"| (68, 285, 293)
|}

=== Bemerkenswertes ===
Zwei Folgen von pythagoreischen Tripeln sind noch bemerkenswert:
* <math>m = k+1</math> und <math>n = k \quad (1 \le k \in \N)</math><ref name="Null" /> ergibt mit <math>(m^2-n^2,\ 2\;\!mn,\ m^2+n^2)</math>
:: <math>(3, 4, 5),\; (5, 12, 13),\; (7, 24, 25),\; (9, 40, 41),\; (11, 60, 61),\; (13, 84, 85),\; \dotsc,\; (2k+1,\ 2k^2+2k,\ 2k^2+2k+1),\ \dotsc</math><ref>Die letztgenannte Formel nennt schon [[Pythagoras]] (etwa 570–510 v.&nbsp;Chr.); vgl. {{Literatur |Autor=Harald Scheid |Titel=Zahlentheorie |Auflage=3. |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg u.&nbsp;a. |Datum=2003 |ISBN=3-8274-1365-6 |Seiten=225}}</ref>
:für jede Zahl <math>k</math> ein Tripel, das die ungerade Zahl <math>2k+1</math> (als kleinste Zahl) enthält und bei dem sich die beiden anderen Zahlen um genau <math>1</math> unterscheiden.
:Der Halbumfang eines rechtwinkeligen Dreiecks mit diesen Seitenlängen beträgt <math>s = 2n^2+3n+1</math>.
* <math>m = 2k \quad (1 \le k \in \N)</math><ref name="Null" /> und <math>n = 1</math> ergibt mit <math>(m^2-n^2,\ 2\;\!mn,\ m^2+n^2)</math>
:: <math>(3, 4, 5),\; (15, 8, 17),\; (35, 12, 37),\; (63, 16, 65),\; (99, 20, 101),\; (143, 24, 145),\; \dotsc, (4k^2-1,\ 4k,\ 4k^2+1),\ \dotsc</math>
:für die durch 4 teilbare Zahl <math>4k</math> ein Tripel, das <math>4k</math> (als kleinste Zahl, außer für <math>k = 1</math>, dort ist es die mittlere Zahl) enthält und bei dem sich die beiden anderen Zahlen um genau <math>2</math> unterscheiden.
:Der Halbumfang eines rechtwinkeligen Dreiecks mit diesen Seitenlängen beträgt <math>s = 4n^2+2n</math>.

<!-- unverständlich, was fehlt? Klingt nach Menschsprech -->Auch in dem noch fehlenden Fall <math>2 \cdot (2n+1)</math> des Doppelten einer ungeraden Zahl findet man leicht immer ein (natürlich nicht primitives) pythagoreisches Tripel, indem man die Lösungen der ersten Folge einfach zu <math>(4n+2, 4n^2+4n, 4n^2+4n+2)</math> verdoppelt. Somit kann man zu ''jeder'' natürlichen Zahl <math>x > 2</math> ein Zahlenpaar <math>(b,c)</math> finden, mit dem sich <math>x</math> zu einem pythagoreischen Tripel <math>(x,\ y,\ z)</math> ergänzen lässt&nbsp;– bei ungeradem <math>a</math> mit der Differenz&nbsp;1, bei geradem <math>a</math> mit Differenz&nbsp;2:

{| class="wikitable" style="text-align:right; border:0;"
|-
! style="width:25px;"| a
! style="width:25px;"| b
! style="width:25px;"| c
! rowspan="9" class="hintergrundfarbe-basis" style="border:0;"|
! style="width:25px;"| a
! style="width:25px;"| b
! style="width:25px;"| c
! rowspan="9" class="hintergrundfarbe-basis" style="border:0;"|
! style="width:25px;"| a
! style="width:25px;"| b
! style="width:25px;"| c
|-
|  3  ||   4  ||   5 || 11  ||  60  ||  61 || 19  || 180  || 181
|-
|  4  ||   3  ||   5 || 12  ||  35  ||  37 || 20  ||  99  || 101
|-
|  5  ||  12  ||  13 || 13  ||  84  ||  85 || 21 || 220 || 221
|-
|  '''*'''6 ||  8  ||  10 || '''*'''14 ||  48 ||  50 || '''*'''22 || 120 || 122
|-
|  7  ||  24  ||  25 || 15  || 112  || 113 || 23 || 264 || 265
|-
|  8  ||  15  ||  17 || 16  ||  63  ||  65 || 24 || 143 || 145
|-
|  9  ||  40  ||  41 || 17 || 144 || 145 || 25 || 312 || 313
|-
| '''*'''10 ||  24 ||  26 || '''*'''18 ||  80 ||  82 ||  '''*'''26 ||  168 || 170
|}

Mit '''*''' sind nichtprimitive Tripel markiert. Diese Fälle für <math>a = 4n+2</math> sind redundant, da sie auch durch Verdoppelung von <math>a = 2n+1</math> entstehen.

=== Höhe primitiver pythagoreischer Tripel ===
Primitive pythagoreische Tripel <math>\left( (1 + 2 i) (1 + 2 j), 2 (i - j) (1 + i + j), (i - j)^2 + (1 + i + j)^2 \right)</math> mit <math>i, j \in \N_0, i > j, \operatorname{ggT}(i - j, 1 + i + j)=1</math> haben (zur Hypotenuse) stets eine unkürzbare Höhe
: <math>h = \frac {2 (1 + 2 i)  (1 + 2 j)}{\frac {i - j}{1 + i + j} + \frac {1 + i + j}{i - j}}</math>.

== Verallgemeinerung auf pythagoreische (''N'' + 1)-Tupel ==
Pythagoreische Tripel können als Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf einem Kreis mit ganzzahligem Radius aufgefasst werden. Diese Idee lässt sich auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinern derart, dass ein pythagoreisches <math>(N+1)</math>-Tupel einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf einer <math>N</math>-dimensionalen [[Sphäre (Mathematik)|Hypersphäre]] mit ganzzahligem Radius darstellt.

Alle diese <math>(N+1)</math>-Tupel sind Lösungen der [[Diophantische Gleichung|diophantischen Gleichung]] <math>\textstyle \sum_{k=1}^N x_k^2 = r^2</math>, wobei <math>r</math> den Radius bezeichnet. Für jedes <math>N > 1</math> sind für alle <math>N</math>-Tupel ganzer Zahlen unendlich viele Lösungen dieser Gleichung durch die folgende Identität gegeben:
: <math>\forall (z_1, z_2, \dotsc, z_N) \in \mathbb{Z}^N \exists (x_1, x_2, \dotsc, x_N) \in \mathbb{Z}^N \colon \sum_{k=1}^N x_k^2 = r^2, r \in \mathbb{N}</math>
: mit <math>x_N = z_N^2 - \sum_{k=1}^{N-1}z_k^2</math> sowie <math>x_k = 2 z_N z_k</math> für alle <math>k<N</math>.

Damit ergibt sich <math>r</math> als Summe von Quadraten ganzer Zahlen und somit als natürliche Zahl zu <math>\textstyle r = \sum_{k=1}^{N} z_k^2</math>. Der Beweis erfolgt direkt durch Einsetzen und Vereinfachen:

=== Beweis der Identität ===
:<math>\begin{align}
 \sum_{k=1}^N x_k^2 &= \sum_{k=1}^{N-1} (2 z_N z_k )^2 + \left(z_N^2 - \sum_{k=1}^{N-1} z_k^2 \right)^2\\
 &= \sum_{k=1}^{N-1} (2 z_N z_k )^2 + \sum_{k=1}^N z_k^4+\sum_{k\neq j}^{N-1}\sum_{j=1}^{N-1} z_k^2 z_j^2-2 \sum_{j=1}^{N-1}z_N^2 z_j^2\\
 &= \sum_{k=1}^N z_k^4+\sum_{k\neq j}^{N-1}\sum_{j=1}^{N-1} z_k^2 z_j^2+2 \sum_{j=1}^{N-1}z_N^2 z_j^2\\
 &= \left(z_N^2+ \sum_{k=1}^{N-1} z_k^2 \right)^2\\
 &= \left(\sum_{k=1}^{N} z_k^2 \right)^2 \quad \square\\
\end{align}</math>

Dies stimmt offensichtlich mit der rechten Seite der Gleichung überein, womit die Gültigkeit der Identität für alle <math>(N+1)</math>-Tupel ganzer Zahlen gezeigt ist.

==== Alternativer Beweis ====
Eine bequemere Notation des Sachverhaltes und eine Formulierung als Satz ergibt sich durch Betrachtung der folgenden Abbildung:

Seien <math>z \in \mathbb{Z}^N</math> sowie <math>Q \in \mathbb{Z}^{N \times N}</math> mit <math>Q(z) := 2z_N I_N - e_N \cdot z^T</math>, wobei <math>z_N</math> die <math>N</math>-te Komponente von <math>z</math>, <math>I_N</math> die <math>N \times N</math>-Einheitsmatrix und <math>e_N \cdot z^T</math> das [[Tensorprodukt|dyadische Produkt]] des <math>N</math>-ten kanonischen Einheitsvektors mit dem Vektor <math>z</math> bezeichnen. Dann gilt:
: <math>\forall z \in \mathbb{Z}^N \colon Q(z) \cdot z \in \{q \in \mathbb{Z^N} \mid \| q \| \in \mathbb{N}\}</math>

Anschaulich handelt es sich hierbei um eine Abbildung, die jeden Gitterpunkt eines kartesischen [[Gitter (Mathematik)|Gitters]] auf einen weiteren solchen Gitterpunkt –&nbsp;mit der Eigenschaft, ganzzahligen euklidischen Abstand zum Ursprung zu haben&nbsp;– abbildet.

Der Beweis erfolgt auch hier durch einfaches Ausrechnen:

: <math>\begin{align}
 Q(z)\cdot z &= \left(2z_N I_N - e_N \cdot z^T\right) \cdot z\\
 &= \left(\left(\begin{smallmatrix} 2z_N & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 2z_N & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 2z_N \end{smallmatrix}\right) - \left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_1 & z_2 & z_3 & \ldots & z_N \end{smallmatrix}\right)\right)\cdot z\\
 &= \left(\begin{smallmatrix} 2z_N & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 2z_N & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -z_1 & -z_2 & -z_3 & \ldots & z_N \end{smallmatrix}\right)\cdot z\\
 &= \left(2z_N z_1, 2z_N z_2, \dotsc, 2z_Nz_{N-1}, z_N^2 - z_1^2 - z_2^2 - \dotsb -z_{N-1}^2\right) \quad \square
\end{align}</math>

Das entspricht gerade der zuvor bewiesenen Identität.

=== Anzahl der Lösungen ===
Die Anzahl der Lösungen der diophantischen Gleichung <math>\textstyle \sum_{k=1}^N x_k^2 = r^2</math> hängt sowohl von <math>N</math> als auch von <math>r</math> ab. Für <math>N=3</math> und <math>N=4</math> kann die Anzahl der Lösungen für <math>r \leq 10</math> der folgenden Tabelle entnommen werden. Dabei bezeichnet <math>R_N(r)</math> die Anzahl der Lösungen in <math>N</math> Dimensionen für den Abstand <math>r</math> und <math>Z_N(r)</math> die Gesamtanzahl aller Lösungen mit Abstand <math>\leq r</math>, es gilt also: <math>\textstyle Z_N (r)= \sum_{k=1}^r R_N (k)</math>
{| class="wikitable"
!<math>r</math>
!1
!{{0}}2
!{{0|00}}3
!{{0|00}}4
!{{0|00}}5
!{{0|00}}6
!{{0|000}}7
!{{0|000}}8
!{{0|000}}9
!{{0|00}}10
!Folge in der OEIS
|-
|<math>R_3(r)</math>
|6
|{{0}}6
|{{0}}30
|{{0|00}}6
|{{0}}30
|{{0}}30
|{{0|00}}54
|{{0|000}}6
|{{0|0}}102
|{{0|00}}30
|[[OEIS:A267651]]
|-
|<math>R_4(r)</math>
|8
|24
|104
|{{0}}24
|248
|312
|{{0}}456
|{{0|00}}24
|{{0|0}}968
|{{0}}744
|[[OEIS:A267326]]
|-
|<math>Z_3(r)</math>
|6
|12
|{{0}}42
|{{0}}48
|{{0}}78
|108
|{{0}}162
|{{0}}168
|{{0}}270
|{{0}}300
|[[OEIS:A267309]]
|-
|<math>Z_4(r)</math>
|8
|32
|136
|160
|408
|720
|1176
|1200
|2168
|2912
|[[OEIS:A264390]]
|}
Die Einträge in der Folge <math>R_N(r)</math> sind durch <math>2 N</math> teilbar. [[Danny Rorabaugh]] hat dies am Beispiel <math>R_3(r)</math> gezeigt.<ref>{{OEIS|A267651}}</ref> Der Beweis lässt sich problemlos auf alle <math>N</math> verallgemeinern.

Gilt <math>R_N(r)= 2 N</math>, so besitzt die diophantische Gleichung <math>\textstyle \sum_{k=1}^N x_k^2 = r^2</math> nur triviale Lösungen der Form <math>\textstyle \sum_{k=1}^{N-1} 0^2+r^2 = r^2</math>. Interessanterweise muss <math>N \geq 4</math> gelten, damit für alle <math>r>1</math> eine nichttriviale Lösung existiert. Dies folgt unmittelbar aus dem [[Vier-Quadrate-Satz]] von [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]], wonach jede natürliche Zahl (und damit auch jede [[Quadratzahl]]) als Summe von höchstens vier Quadratzahlen darstellbar ist, und der Tatsache, dass die einzige Darstellung <math>2^2</math> als Summe von Quadratzahlen durch <math>2^2 = 1^2+1^2+1^2+1^2</math> gegeben ist.

== Zwillingstripel ==
Ein Zwillingstripel ist ein spezielles Pythagoreisches Tripel <math>(x,x+1,z)</math>, bei dem sich die Katheten um 1 unterscheiden.
<math>(3,4,5)</math> ist das kleinste Zwillingstripel, weitere sind  <math>(20,21,29), (119,120,169)</math> und die mit 696, 4059, 23660, 137903 oder 803760 beginnenden Tripel. Schon [[Albert Girard]] waren im 17. Jahrhundert vierzehn solcher Tripel bekannt, das größte mit <math>x=31509019100</math>.

Es gibt unendlich viele solcher Tripel, wie [[Pierre de Fermat]] zeigte, denn mit <math>(x,x+1,z)</math> ist auch <math>(X,X+1,Z)\text{ mit }X=2z+3x+1</math> ein solches Tripel.<ref>[[Leonard E. Dickson]], History of the Theory of Numbers, Band 2, S. 181f</ref> Eine weitere Formel ergibt sich aus der Standardform <math>(m^2-n^2, 2mn, m^2 +n^2)</math> über <math>m^2-n^2=2mn \pm 1</math> und einsetzen von <math>m=x+y</math>, <math>n=y</math> als Lösung der [[Pellsche Gleichung|Pell-Gleichung]] <math>x^2-2y^2=1</math>.<ref>[https://mathworld.wolfram.com/TwinPythagoreanTriple.html Twin Pythagorean Triples, Wolfram]</ref><ref>Vergleiche die OEIS Sequenzen  [http://oeis.org/A001652 001652],[http://oeis.org/A046090 046090],[http://oeis.org/A001653 001653]</ref> Sind <math>(m, n)</math> die Generatoren eines solchen Tripels in der oben angegebenen Standardform, so sind <math>(2m+n, m)</math> Generatoren eines weiteren Tripels. Aufeinanderfolgende Werte <math>m_r, n_r</math> erhält man über <math>n_r=2n_{r-1} + n_{r-2}</math> und es gilt <math>m_r=n_{r+1}</math>.<ref>Albert Beiler, Recreations in the theory of numbers, Dover 1966, S. 123</ref> Werden die Kathetenlängen <math>x_r</math> der Lösungen nach Größe geordnet, so ist <math>x_r=6x_{r-1} - x_{r-2}+2</math> und <math>z_r=6z_{r-1}+z_{r-2}</math>. Es gibt auch explizite Formeln für <math>x_r, z_r</math>.<ref>Albert Beiler, S. 125</ref>

Außerdem gibt es unendlich viele Zwillingstripel, bei denen sich eine Seite und die Hypotenuse um 1 unterscheidet, wie z. B. (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61), (13,84,85) oder (15,112,113). Das Quadrat von ''a'' ist die Summe der Zwillinge des Tripels:<br />
<math>\begin{align}9 &= 4 + 5\\25 &= 12 + 13\\81 &= 40 + 41\\169 &= 84 + 85.\end{align}</math><br />Daher haben diese Zwillingstripel die Form <math>\left(2n+1,\frac{(2n+1)^2-1}{2},\frac{(2n+1)^2+1}{2}\right)</math>.

== Zusammenhang mit den heronischen Dreiecken ==
Jedes zu einem pythagoreischen Tripel gehörige Dreieck ist ein [[heronisches Dreieck]], das heißt, sowohl die Seitenlängen als auch der Flächeninhalt sind rationale Zahlen. Jedes heronische Dreieck lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, die durch pythagoreische Tripel aus rationalen Zahlen gegeben sind.

== Zusammenhang mit Faltungen eines Quadrates ==
[[Datei:Satz von Haga 1.svg|mini|hochkant|Satz von Haga (gefaltetes Quadrat)]]
Faltet man ein Quadrat gemäß der Abbildung, so entstehen drei paarweise zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke, für deren Seitenlängen jeweils gilt:
:kleinere Kathetenlänge : größere Kathetenlänge : Hypotenusenlänge = 3 : 4 : 5.
Durch diese Art des Faltens nach dem sogenannten [[Satz von Haga]] wird das kleinste pythagoreische Tripel geometrisch erzeugt.

== Die Fermatsche Gleichung ==
Eine Verallgemeinerung der pythagoreischen Tripel erhält man, wenn man den Exponenten 2 durch eine natürliche Zahl <math>n</math> ersetzt. Man untersucht also die [[diophantische Gleichung]]
: <math>a^n + b^n = c^n \qquad (2 < n \in \mathbb{N})</math>
und sucht nach Lösungen durch ganze Zahlen <math>a,\ b,\ c</math> unter Ausschluss der ''trivialen'' Lösungen, bei denen eine der drei Zahlen gleich Null ist, oder durch natürliche<ref name="Null" /> Zahlen.

[[Pierre de Fermat]] stellte um das Jahr 1637 die Behauptung auf, dass es keine derartigen Tripel gibt. Obwohl er keinen Beweis angab, wird diese Vermutung als [[großer Fermatscher Satz]] bezeichnet. Jahrhundertelang konnte kein Beweis gefunden werden. Die Suche danach führte aber zu vielen interessanten Erkenntnissen, insbesondere in der [[Zahlentheorie]]. Erst 1995 konnte der Mathematiker [[Andrew Wiles]] den Satz von Fermat schließlich beweisen.

Fermat besaß einen Beweis für den Fall <math>n = 4</math> und behandelte den eng verwandten Fall eines heronischen Dreiecks, dessen Flächeninhalt ein Quadrat ist (siehe [[Unendlicher Abstieg]]). Dieses Problem geht auch auf Diophant zurück.

== Algorithmus ==

Ein möglicher Algorithmus in der Programmiersprache [[Haskell (Programmiersprache)|Haskell]] könnte folgendermaßen aussehen. Er erstellt für eine natürliche Zahl <math>n</math> alle möglichen Tripel, deren Hypotenuse <math>n</math> nicht überschreitet:
<syntaxhighlight lang="haskell">
pythTripels n = [(k*x, k*y, k*z) | (x,y,z) <- primitives, k <- [1..n`div`z]] where
   primitives = [(p^2-q^2, 2*p*q, p^2+q^2) | p <- takeWhile (\p -> p^2+1 <= n) [1..], q <- takeWhile (\q -> p^2+q^2 <= n) [1..p], odd (p+q) && gcd p q == 1]
</syntaxhighlight>

In [[Python (Programmiersprache)|Python]] ist List Comprehension ein elegantes Mittel, um pythagoreische Tripel zu bestimmen (Beispiel für alle Tripel mit c<100):
<syntaxhighlight lang="python">
[(a, b, c) for a in range(1, 100) for b in range(a, 100) for c in range(b, 100) if a ** 2 + b ** 2 == c ** 2]
</syntaxhighlight>

== In der Literatur ==
In der [[Science-Fiction|Science-Fiction-Geschichte]] ''[[Ein Experiment]],'' 1913 anonym von [[Hans Dominik]] in ''[[Das Neue Universum]]'' erschienen, werden Folgen von Funkimpulsen, deren Anzahlen die pythagoreischen Tripel <math>(3, 4, 5)</math> und <math>(5, 12, 13)</math> bilden, zu einem Planeten gesendet in der Hoffnung, dort intelligente Außerirdische ansprechen zu können.

== Siehe auch ==
* [[Pythagoreisches Quadrupel]]

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Peter Bundschuh]]
   |Titel=Einführung in die Zahlentheorie
   |Auflage=6., überarbeitete und aktualisierte
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin u.&nbsp;a.
   |Datum=2008
   |ISBN=978-3-540-76490-8}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Helmuth Gericke]]
   |Titel=Mathematik in Antike, Orient und Abendland
   |Verlag=Matrix-Verlag
   |Ort=Wiesbaden
   |Datum=2005
   |ISBN=3-937715-71-1}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Georges Ifrah]]
   |Titel=The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer
   |TitelErg=Translated from the French by [[David Bellos]], E. F. Harding, Sophie Wood, and Ian Monk. First published in France with the title ''Histoire universelle des chiffres'' by Editions Robert Laffont, Paris, in 1994
   |Verlag=Harvill Press
   |Ort=London
   |Datum=1998
   |ISBN=1-86046-324-X}}
* Andreas Loos, Hans-Joachim Rein: ''Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und einem Innenwinkel von 60°, 90° oder 120°.'' In: ''Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (MNU).'' 37. Jahrg., 1984, Heft 5, S.&nbsp;275–279.
* {{Literatur
   |Autor=[[Harald Scheid]]
   |Titel=Zahlentheorie
   |Auflage=3.
   |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag
   |Ort=Heidelberg u.&nbsp;a.
   |Datum=2003
   |ISBN=3-8274-1365-6}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Noam David Elkies]]
   |Titel=Pythagorean triples and Hilbert’s Theorem 90
   |Datum=
   |Online=https://people.math.harvard.edu/~elkies/Misc/hilbert.pdf
   |Format=PDF
   |KBytes=
   |Abruf=2024-11-20
   |Umfang=1}} –
** Siehe die Anmerkung auf seiner [https://people.math.harvard.edu/~elkies/Misc/ Homepage unter “One-page Papers”] zur Beteiligung weitere Mathematiker ([[Franz Lemmermeyer]], [[Olga Taussky]] und [[Takashi Ono (Mathematiker)|Takashi Ono]]).<ref name="LemmermeyerTausskyOno" />
** Vergleiche auch [https://www.mathematik.de/dmv-blog/4055-120-jahre-zahlbericht DMV-Blog zu "120 Jahre Zahlbericht"]

== Weblinks ==
{{Wikiversity|Mathematik/Einführender Text/Pythagoreische Tripel und der Einheitskreis/Vortrag|Ein einführender Vortrag zu pythagoreischen Tripeln}}
* {{MathWorld |id=PythagoreanTriple |title=Pythagorean Triple}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[no:Pythagoras’ læresetning#Pytagoreiske tripler]]