Quelltext der Seite Pyramide (Geometrie)

[[Datei:Pyram-quadr-gerade.svg|mini|Gerade [[Quadratisch|quadratische]] Pyramide]]
[[Datei:Pyram-quadr-schief.svg|mini|Schiefe quadratische Pyramide]]
[[Datei:Pyram-schief-unreg-kv-kk.svg|mini|hochkant=1.6|Unregelmäßige schiefe Pyramiden mit konvexem bzw. nichtkonvexen [[Polygon]] als [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]]]]

In der [[Geometrie]] ist eine '''Pyramide''' ein [[Polyeder]], also ein [[Körper (Geometrie)|geometrischer Körper]], dessen Kanten die Kanten eines [[Polygon]]s und außerdem die Verbindungsstrecken der Ecken des Polygons mit der Spitze sind. Das Polygon ist die [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] der Pyramide. Die Spitze der Pyramide liegt nicht in der Ebene der Grundfläche.

Im bekanntesten Fall ist das Polygon ein [[Quadrat]] und die Spitze ist ein Punkt senkrecht über dem [[Mittelpunkt]] des Quadrats. In diesem Fall entsteht eine ''gerade'' quadratische Pyramide. Liegt die Spitze nicht über dem Mittelpunkt des Quadrats, entsteht eine ''schiefe'' quadratische Pyramide.

Die [[Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] der Pyramide, also die Gesamtheit der Seitenflächen einer Pyramide, besteht aus der Grundfläche und aus [[Dreieck|Dreiecken]] mit dem gemeinsamen Punkt <math>S</math>. Die Dreiecke bilden zusammen die ''[[Mantelfläche]]'' der Pyramide. Die Kanten des Polygons heißen ''Grundkanten'' und die Kanten durch <math>S</math> ''Seitenkanten''.

{{Anker|regelmässig}}Ist das Polygon [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßig]], d. h. sind die Kanten gleich lang und liegen die Ecken auf einem Kreis mit Mittelpunkt <math>C</math>, so heißt die Pyramide ''regelmäßig''. Ist zusätzlich <math>C</math> der Lotfußpunkt von <math>S</math> auf die Kreisebene, so heißt die Pyramide ''gerade''. Die Dreiecke sind dann alle [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]] und [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig]]. Alle anderen Pyramiden heißen ''schief''.<ref>''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' 2. völlig überarbeitete Auflage, Harri Deutsch, Thun (CH) / Frankfurt 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 208.</ref>

== Eigenschaften ==
=== Allgemeine Pyramide ===
Hat das Polygon <math>n</math> Ecken und den [[Flächeninhalt]] <math>G</math> und ist die Höhe der Pyramide <math>h</math>, so gilt:<ref>Hans-Joachim Bartsch: ''Mathematische Formeln.'' 5., unveränderter Nachdruck der 11. Auflage, Buch- und Zeit-Verlagsgesellschaft, Köln 1977, S. 152.</ref>
{| class="wikitable left"
|'''Anzahl der Ecken'''
|<math>n+1</math>
|-
|'''Anzahl der Kanten'''
|<math>2 \cdot n</math>
|-
|'''Anzahl der Flächen'''
|<math>n+1</math>
|-
|'''[[Volumen]]'''
|<math>V = \tfrac{1}{3} \cdot G \cdot h</math>
|-
|'''Höhe des Schwerpunkts'''
|<math>s = \frac h4</math>
|-
|'''Abbildung für <math>n = 5</math>'''
|[[Datei:Pentagonal pyramid.png|rahmenlos|150x150px]]
|}

Der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] <math>C'</math> der Pyramide teilt die Strecke zwischen dem [[Mittelpunkt]] <math>C</math> der [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]]  und der Spitze <math> S</math> im Verhältnis <math>1:3</math>.

Im Fall <math>n = 3</math> nennt man die Pyramide [[Tetraeder]].

Jede Pyramide ist [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|selbstdual]] bezüglich der Anordnung der [[Ecke (Graphentheorie)|Ecken]], [[Kante (Graphentheorie)|Kanten]] und [[Fläche (Graphentheorie)|Flächen]].

=== Gerade quadratische Pyramide ===
[[Datei:Pyram-quadr-gerade-ls.svg|mini|Gerade [[Quadratisch|quadratische]] Pyramide: Bezeichnungen]]

Es sei <math>a</math> die Seitenlänge der [[Quadrat|quadratischen]] Grundfläche und <math>h</math> die Höhe der Pyramide. Dann hat die gerade quadratische Pyramide folgende geometrische Eigenschaften:
{| class="wikitable left"
|'''Anzahl der Ecken'''
|5
|-
|'''Anzahl der Kanten'''
|8
|-
|'''Anzahl der Flächen'''
|5
|-
|'''Steilkantenlänge'''
|<math>l = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}</math>
|-
|'''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]] der [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecke]]'''
|<math>h' = \sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}</math>
|-
|'''[[Flächeninhalt]] des gleichschenkligen Dreiecks''' 
|<math>\frac{a}{2} \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}</math>
|-
|'''[[Volumen]]'''
|<math>V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h</math>
|-
|'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>O = a^2 + a \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + a^2}</math>
|}

Weitere Eigenschaften enthält der Abschnitt ''[[Pyramide (Geometrie)#Formeln für gerade regelmäßige Pyramiden|Formeln für gerade regelmäßige Pyramiden]]''.

==== Definition als Johnson-Körper ====
[[Datei:Pyram-r3e-vext.svg|mini|hochkant=1.5|Links: [[Johnson-Körper]] <math>J_1</math><br />Rechts: Gerade [[Quadratisch|quadratische]] Pyramide mit maximalem [[Volumen]] bei gegebenem [[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]]]

Eine quadratische Pyramide, deren vier dreieckige Seitenflächen [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitig]] sind, ist der einfachste [[Johnson-Körper]], abgekürzt mit <math>J_1</math>. In diesem Fall gilt <math>h = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2}</math> und die Pyramide ist ein halbes reguläres [[Oktaeder]].

==== Maximales Volumen ====
Sind für alle geraden [[Quadratisch|quadratischen]] Pyramiden mit gegebenem [[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]] <math>A</math> diejenigen mit dem größten [[Volumen]] <math>V</math> gesucht, dann kann die Seitenlänge <math>a</math> und die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h</math> in Abhängigkeit von <math>A</math> bestimmt werden.

Eine Herleitung für diese Größen geht so:

Man löst die Gleichung <math>A = a^2 + a \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + a^2}</math> nach <math>h^2</math> auf, setzt die einzige Lösung für <math>h^2</math> in die [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>U(a) = 9 \cdot V^2 = a^4 \cdot h^2</math> ein und bestimmt das [[Lokales Maximum|lokale Maximum]] von <math>U</math>. Dabei ist der Oberflächeninhalt <math>A</math> eine gegebene Konstante und die Seitenlänge <math>a</math> ist die Variable der Funktion <math>U</math>. Beachte, dass <math>A</math>, <math>V</math>, <math>a</math>, <math>h</math> positive [[Reelle Zahl|reelle]] Zahlen sind.

Wendet man die [[Kettenregel]] der [[Differentialrechnung]] auf die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>U(a) = 9 \cdot (V(a))^2</math> an, dann gilt:

:<math>U'(a) = 18 \cdot V(a) \cdot V'(a)</math>

Wegen <math>V(a) > 0</math> hat die Volumenfunktion <math>V</math> genau an den [[Stelle (Funktion)|Stellen]] <math>a</math> ein lokales [[Extremum]], wo die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>U</math> ein lokales Extremum hat. Daraus ergibt sich schließlich folgende einzige Lösung:

:<math>a = \frac{\sqrt{A}}{2}</math>
:<math>h = \sqrt{\frac{A}{2}}</math>

Daraus folgt

:<math>h = \sqrt{2} \cdot a</math>

Bei gegebenem [[Oberflächeninhalt]] sind alle Größen der [[Quadratisch|quadratischen]] Pyramide mit maximalem [[Volumen]] eindeutig bestimmt. Für dieses Volumen gilt

:<math>V = \frac 13 \cdot a^3 \cdot \sqrt{2} = \frac{A \cdot \sqrt{A}}{12 \cdot \sqrt 2} = \frac{\sqrt{2}}{24} \cdot A^\frac{3}{2}</math>

== Formeln für gerade regelmäßige Pyramiden ==
=== Tabelle ===
Die folgende Tabelle enthält Formeln für geometrische Eigenschaften (Größen) einer allgemeinen geraden [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] Pyramide, einer geraden [[Quadratisch|quadratischen]] Pyramide und einer geraden regelmäßigen [[Dreieckpyramide|Dreieckspyramide]].

[[Datei:Pyram-reg-ger-bez.svg|mini|hochkant=2.5|center|Gerade regelmäßige Pyramiden: Bezeichnungen für die Formeltabelle]]

{| class="wikitable"
! colspan="4" style="background:#C0C0FF"| Größen einer geraden regelmäßigen Pyramide (regelmäßiges ''n''-Eck mit Seitenlänge ''a'' als Grundfläche und Höhe ''h'')
|-
| class="hintergrundfarbe5" |
| class="hintergrundfarbe5" |'''Allgemeiner Fall'''
| class="hintergrundfarbe5" |'''Gerade quadratische Pyramide'''
'''(Spezialfall ''n'' = 4)'''
| class="hintergrundfarbe5" |'''Gerade regelmäßige Dreieckspyramide'''
'''(Spezialfall ''n'' = 3)'''
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V = \frac{n \cdot a^2 \cdot h}{12} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)</math>
|<math>V = \frac{a^2 \cdot h}{3}</math>
|<math>V = \frac{a^2 \cdot h}{12} \cdot \sqrt{3}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>A = \frac{n \cdot a}{4} \cdot \left(a \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) + \sqrt{4 \cdot h^2 + a^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)</math>
|<math>A = a^2 + a \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + a^2}</math>
|<math>A = \frac{3 \cdot a}{4} \cdot \left(\frac{a}{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{4 \cdot h^2 + \frac{a^2}{3}}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Steilkantenlänge'''
|<math>l = \left(h^2 + \frac{a^2}{4 \cdot \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}</math>
|<math>l = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}</math>
|<math>l = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{3}}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Umkugel|Umkugelradius]]'''
|<math>r_u = \frac{h}{2} + \frac{a^2}{8 \cdot h \cdot \sin^2 \left(\frac{\pi}{n} \right)} </math>
|<math>r_u = \frac{h}{2} + \frac{a^2}{4 \cdot h} </math>
|<math>r_u = \frac{h}{2} + \frac{a^2}{6 \cdot h} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Inkugel|Inkugelradius]]'''
|<math>r_i = \frac{a \cdot h}{a + \sqrt{4 \cdot h^2 \cdot \tan^2 \left(\frac{\pi}{n} \right) + a^2}} </math>
|<math>r_i = \frac{a \cdot h}{a + \sqrt{4 \cdot h^2 + a^2}} </math>
|<math>r_i = \frac{a \cdot h}{a + \sqrt{12 \cdot h^2 + a^2}} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Innenwinkel]] der [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] Grundfläche'''
|<math>\alpha = \frac{n - 2}{n} \cdot 180^\circ</math>
|<math>\alpha = 90^\circ</math>
|<math>\alpha = 60^\circ</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Basiswinkel der [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecke]]'''
|<math> \alpha_1 = \alpha_2 = \arctan \left(\frac{1}{a} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + a^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)</math>
|<math> \alpha_1 = \alpha_2 = \arctan \left(\frac{1}{a} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + a^2}\right)</math>
|<math> \alpha_1 = \alpha_2 = \arctan \left(\frac{1}{a} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + \frac{a^2}{3}}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Innenwinkel]]''' '''an der Spitze der [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecke]]'''
|<math>\alpha_3 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{a}{\sqrt{4 \cdot h^2 + a^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}}\right)</math>
|<math> \alpha_3 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{a}{\sqrt{4 \cdot h^2 + a^2}}\right)</math>
|<math> \alpha_3 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{a}{\sqrt{4 \cdot h^2 + \frac{a^2}{3}}}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Diederwinkel]]<nowiki/>zwischen Grundfläche und [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecken]]'''
|<math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2 \cdot h \cdot \tan \left(\frac{\pi}{n}\right)}{a} \right)</math>
|<math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2 \cdot h}{a} \right)</math>
|<math> \beta_1 = \arctan \left(\frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot h}{a} \right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Diederwinkel]] zwischen den [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecken]]'''
|<math> \beta_2 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \left(\frac{4 \cdot h^2 \cdot \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) + a^2}{\tan^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) - \sin^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)^\frac{1}{2}\right)</math>
|<math> \beta_2 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{2 \cdot h} \cdot \sqrt{4 \cdot h^2 + 2 \cdot a^2}\right)</math>
|<math> \beta_2 = 2 \cdot \arctan \left(\frac{1}{3 \cdot h} \cdot \sqrt{3 \cdot h^2 + a^2}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Winkel]] zwischen Seitenkante und der [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] Grundfläche'''
|<math> \gamma_1 = \arctan \left(\frac{2 \cdot h \cdot \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)}{a} \right)</math>
|<math> \gamma_1 = \arctan \left(\frac{\sqrt{2} \cdot h}{a}\right)</math>
|<math> \gamma_1 = \arctan \left(\frac{\sqrt{3} \cdot h}{a}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Winkel]] zwischen Höhe und Seitenkante'''
|<math>\gamma_2 = \arctan \left(\frac{a}{2 \cdot h \cdot \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)} \right)</math>
|<math> \gamma_2 = \arctan \left(\frac{a}{\sqrt{2} \cdot h}\right)</math>
|<math> \gamma_2 = \arctan \left(\frac{a}{\sqrt{3} \cdot h}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Raumwinkel]] in den Ecken der Grundfläche'''
| colspan="3" |<math>\Omega_1 = 4 \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{2 \cdot \alpha_1 + \alpha}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{2 \cdot \alpha_1 - \alpha}{4}\right) \cdot \tan^2\left( \frac{\alpha}{4}\right)}\right)</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Raumwinkel]] in der Spitze'''
| colspan="3" |<math>\begin{align}
\Omega_2 &= 4 \cdot n \cdot \arctan\left(\sqrt{\tan\left(\frac{2 \cdot \gamma_2 + \alpha_3}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{2 \cdot \gamma_2 - \alpha_3}{4}\right) \cdot \tan^2\left( \frac{\alpha_3}{4}\right)}\right) \\
&= 2 \cdot \pi - 2 \cdot n \cdot \arcsin\left(\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot \sqrt{\tan^2 \left(\frac{\pi}{n} \right) - \tan^2\left(\frac{\alpha_3}{2}\right)}\right) \\
\end{align}</math>
|}
'''Bemerkungen:''' Für die Herleitung der meisten Formeln werden der [[Satz des Pythagoras]], Sätze für [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und Sätze für den [[Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens]] verwendet.

Der [[Raumwinkel]] in den Ecken der Grundfläche, wo drei Seitenflächen (ein [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßiges]] <math>n</math>-Eck und zwei [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]]) mit den [[Innenwinkel|Innenwinkeln]] <math>\alpha</math>, <math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_1</math> zusammentreffen, wird mit dem Satz von L’Huilier berechnet (siehe [[Raumwinkel#Kanten-Formel|''Raumwinkel - Kanten-Formel'']]).<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/SphericalExcess.html Spherical Excess]</ref>

Der Raumwinkel in der Spitze, wo <math>n</math> Seitenflächen zusammentreffen, kann auch mit dem Satz von L’Huilier berechnet werden, indem die regelmäßige Pyramide in <math>n</math> nicht regelmäßige [[Tetraeder#Allgemeines Tetraeder|Tetraeder]] mit den Kantenlängen <math>a</math>, <math>l</math>, <math>l</math>, <math>h</math>, <math>R_u</math>, <math>R_u</math> zerlegt wird, wobei <math>R_u = \tfrac{a}{2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}</math> der [[Umkreisradius]] der [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] Grundfläche ist. Dabei wird der Raumwinkel in der Spitze wegen [[Rotationssymmetrie]] in <math>n</math> gleich große und [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] Teilwinkel zerlegt. Also haben diese <math>n</math> nicht regelmäßige Tetraeder dort eine gemeinsame Ecke. In dieser Ecke treffen jeweils drei Seitenflächen mit den [[Innenwinkel|Innenwinkeln]] <math>\alpha_3</math>, <math>\gamma_2</math>, <math>\gamma_2</math> zusammen.

Eine andere Möglichkeit, den Raumwinkel in der Spitze zu berechnen, ist, die Formel von H. C. Rajpoot für den [[Rotationssymmetrisch|rotationssymmetrischen]] Ecken-Raumwinkel anzuwenden.<ref>{{Internetquelle |autor=Harish Chandra Rajpoot |url=https://de.slideshare.net/hcr1991/solid-angles-subtended-by-the-platonic-solids-regular-polyhedrons-at-their-vertices-by-hcr |titel=Solid angles subtended by the platonic solids (regular polyhedra) at their vertices |werk=SlideShare |datum=2015-03 |abruf=2025-09-21}}</ref> Dabei müssen die [[Innenwinkel]] aller <math>n</math> Seitenflächen, die in einer Ecke zusammentreffen, gleich groß sein, was für alle regelmäßigen Pyramiden der Fall ist.

=== Spezialfälle ===
[[Datei:Pyram-ikosaeder.svg|mini|hochkant|Pyramide als Teil eines [[Ikosaeder|Ikosaeders]]]]

Für bestimmte Werte von <math>n</math> und <math>h</math> ergeben sich Zusammenhänge mit [[Platonischer Körper|platonischen Körpern]]:

* Für <math>n = 3</math> und <math>h = \frac{a}{3} \cdot \sqrt{6}</math> ergibt sich das [[Regelmäßiges Tetraeder|regelmäßige Tetraeder]].
* Für <math>n = 4</math> und <math>h = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2}</math> ergibt sich eine quadratische Pyramide, die ein halbes reguläres [[Oktaeder]] ist.
* Für <math>n = 5</math> und <math>h = \frac{a}{10} \cdot \sqrt{50 - 10 \cdot \sqrt{5}}</math> ergibt sich eine regelmäßige [[Fünfeck|fünfseitige]] Pyramide, die ein Teil des [[Ikosaeder]]s ist.

=== Maximales Volumen im allgemeinen Fall ===
[[Datei:Pyram-reg-n-max-keg.svg|mini|hochkant=1.2|Pyramiden mit maximalem [[Volumen]] bei vorgegebener gegebenem [[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]] für <math>n = 3</math>, <math>n = 4</math>, <math>n = 6</math>, <math>n = 10</math>.<br>Der [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] mit derselben Eigenschaft und demselben Oberflächeninhalt ist jeweils rot dargestellt.]]

Mit einer analogen Herleitung wie für eine gerade quadratische Pyramide (siehe oben) kann man [[Beweis (Mathematik)|beweisen]]:

Unter allen geraden regelmäßigen Pyramiden mit einem [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] <math>n</math>-Eck als [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] mit gegebenem [[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]] <math>A</math> hat diejenige das größte [[Volumen]], für die gilt:

:<math>a = \left(\frac{A \cdot \tan \left(\frac{\pi}{n}\right)}{n}\right)^\frac{1}{2}</math>
:<math>h = \left(\frac{2 \cdot A \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)}{n}\right)^\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{2 \cdot A}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{n} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)}</math>

Daraus folgt

:<math>h = \sqrt{2} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot a </math>

Für den [[Beweis (Mathematik)|Beweis]] kann man die Gleichung <math>A = \frac{n \cdot a}{4} \cdot \left(a \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right) + \sqrt{4 \cdot h^2 + a^2 \cdot \cot^2 \left(\frac{\pi}{n}\right)}\right)</math> nach <math>h^2</math> auflösen, die einzige Lösung für <math>h^2</math> in die [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>U(a) = 144 \cdot n^2 \cdot \tan^2 \left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot V^2 = a^4 \cdot h^2</math> einsetzen und bestimmt das [[Lokales Maximum|lokale Maximum]] von <math>U</math>.

'''Bemerkungen''': Ist stattdessen unter allen geraden regelmäßigen Pyramiden mit gegebenem [[Volumen]] <math>V</math> diejenige mit dem kleinsten [[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]] gesucht, dann ergibt sich als Lösung im Wesentlichen dieselbe Pyramide. Von allen geraden regelmäßigen Pyramiden hat diese die größte [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]].

Der [[Regelmäßiges Polygon|Umkreisradius]] der [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] ist
:<math>r_u = \frac{a}{2 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)} = \sqrt{\frac{A}{4 \cdot \pi}} \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 \cdot \pi}{n}}{\sin \left(\frac{2 \cdot \pi}{n}\right)}}</math>
Das maximale Volumen ist <math>V = \left(\frac{A^3 \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)}{72 \cdot n}\right)^\frac{1}{2} = \frac{A \cdot \sqrt{A}}{6 \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{n} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)}</math>.

Für <math>n</math> gegen unendlich konvergiert <math>a</math> [[monoton fallend]] gegen <math>0</math> und <math>h</math> konvergiert [[monoton steigend]] gegen <math>h_\text{Kegel} = \sqrt{\tfrac{2 \dot A}{\pi}}</math>.

Dies ist die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] eines [[Kegel (Geometrie)|Kege]]ls mit maximalem [[Volumen]] bei gegebener [[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]] <math>A</math>. Bei der Herleitung wird der [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] <math>\lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)}{x}=1</math> verwendet.<br>Der [[Radius]] des Basiskreises des Kegels ist <math>r_\text{Kegel} = \sqrt{\frac{A}{4 \cdot \pi}}</math>, seine [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h_\text{Kegel} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot r_\text{Kegel} = \sqrt{\frac{2 \cdot A}{\pi}}</math> und sein Volumen <math>V_\text{Kegel} = \frac{A \cdot \sqrt{A}}{6 \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}} </math>.

Für den [[Quotient|Quotienten]] der [[Volumen]] gilt
:<math>\frac{V}{V_\text{Kegel}} = \sqrt{\frac{\pi}{n} \cdot \cot \left(\frac{\pi}{n}\right)}</math>
Dieser Quotient konvergiert gegen 1.

=== Zusammenhang mit dem Kreiskegel ===
[[Datei:Pyram-6-keg-appr.svg|mini|Pyramide zur [[Approximation]] eines [[Kegel (Geometrie)|Kegels]]]]

Regelmäßige Pyramiden, die ein [[regelmäßiges Vieleck]] als [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] haben, können verwendet werden, um einen [[Kreiskegel]] zu [[approximieren]], der nach Definition einen [[Kreis]] als Grundfläche hat.

Wenn die [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] ein [[regelmäßiges Vieleck|regelmäßiges]] <math>n</math>-Eck ist, kann formal der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] für [[Unendlichkeit|unendlich]] großes <math>n</math> gebildet werden. Der [[Kreiskegel]] kann sozusagen als regelmäßige Pyramide aufgefasst werden, wobei die Grundfläche unendlich viele Ecken und die Seitenlänge des <math>n</math>-Ecks den Grenzwert 0 hat.

Im Folgenden soll auf diese Weise das [[Volumen]] des [[Kreiskegel]]s hergeleitet werden.

Mithilfe der Formel für den [[Flächeninhalt]] eines regelmäßigen <math>n</math>-Ecks (siehe [[Regelmäßiges Polygon#Umfang und Flächeninhalt|Regelmäßiges Polygon – Umfang und Flächeninhalt]]) ergibt sich für das Volumen <math>V</math> der regelmäßigen Pyramide, wenn der [[Umkreisradius]] <math>r_u</math> des <math>n</math>-Ecks bekannt ist:

:<math>V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{n \cdot r_u^2}{2} \cdot \sin \left(\frac{2 \cdot \pi}{n}\right) \cdot h = \frac{n \cdot r_u^2 \cdot h}{6} \cdot \sin \left(\frac{2 \cdot \pi}{n}\right)</math>

Um das Volumen des [[Kreiskegel]]s zu bestimmen, kann der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] für <math>n</math> gegen [[Unendlichkeit|unendlich]] gebildet werden. Dieser Grenzwert ergibt sich mit Hilfe der Formel <math>\lim_{x \to 0} \frac {\sin(x)}{x}=1</math>:

:<math>V_{\text{Kreiskegel}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot r_u^2 \cdot h}{6} \cdot \sin \left(\frac{2 \cdot \pi}{n}\right) = \frac{n \cdot r_u^2 \cdot h}{6} \cdot \frac{2 \cdot \pi}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{\sin \left(\frac{2 \cdot \pi}{n}\right)}{\frac{2 \cdot \pi}{n}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot n \cdot r_u^2 \cdot h}{6 \cdot n} \cdot 1 = \frac{\pi \cdot r_u^2 \cdot h}{3}</math>

== Formeln für das Volumen ==
Für die Berechnung des [[Volumen|Volumens]] einer allgemeinen Pyramide gibt es mehrere Möglichkeiten.

=== Berechnung mit Hilfe des Spatprodukts ===
Für eine von den [[Vektor|Vektoren]] <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math> aufgespannte dreiseitige Pyramide ([[Tetraeder#Allgemeines Tetraeder|allgemeines Tetraeder]]) kann das [[Volumen]] mit Hilfe des [[Spatprodukt|Spatprodukts]] berechnet werden:

:<math>V = \frac{1}{6} \cdot \left|\left(\vec{a} \times \vec{b}\right) \cdot \vec{c}\right|</math>
Jedes beliebige [[Vieleck]] kann in [[Dreieck|Dreiecke]] zerlegt werden, deren Ecken mit den Ecken des Vielecks übereinstimmen. Daher kann jede allgemeine Pyramide in [[Tetraeder#Allgemeines Tetraeder|allgemeine Tetraeder]] zerlegt werden. Wenn die Koordinaten aller Ecken bekannt sind, sind auch alle entsprechenden [[Vektor|Vektoren]] bekannt und das [[Volumen]] der allgemeinen Pyramide kann als Summe der Volumen dieser allgemeinen Tetraeder berechnet werden.

=== Elementargeometrischer Beweis ===
Die Volumenformel

:<math>V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h</math>

lässt sich elementargeometrisch in zwei Schritten [[Beweis (Mathematik)|beweisen]]:

* Ein [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] kann in drei [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] Pyramiden mit [[Quadratisch|quadratischer]] [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] zerlegt werden, deren Spitzen mit derselben Ecke des Würfels übereinstimmen. Die Grundfläche dieser drei gleichen Pyramiden sind die drei Seitenflächen des Würfels, die diese Ecke nicht enthalten.
* Zwei Pyramiden mit gleicher [[Höhe (Geometrie)|Höhe]], deren Grundflächen denselben [[Flächeninhalt]] haben, haben dasselbe [[Volumen]]. Zum [[Beweis (Mathematik)|Beweis]] dieser Aussage kann man das [[Prinzip von Cavalieri]] und die Gesetze der [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]] heranziehen.

=== Beweis mit Hilfe der Integralrechnung ===
Das Volumen einer allgemeinen Pyramide mit der [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] <math>G</math> und der [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h</math> kann berechnet werden, wenn man sich vorstellt, dass die Pyramide aus beliebig dünnen Schichten besteht, die [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zur Grundfläche sind.

Die <math>y</math>-Achse sei so definiert, dass sie durch die Spitze der Pyramide verläuft und [[Orthogonalität|orthogonal]] zur Grundfläche ist. Dann ist die Höhe der Pyramide Teil der <math>y</math>-Achse. Bezeichnet man den [[Flächeninhalt]] der Schicht im [[Abstand]] <math>y</math> von der Spitze mit <math>A(y)</math>, dann ist <math>A</math> eine [[Reellwertige Funktion#Reelle Funktion|reelle Funktion]] mit der Variablen <math>y</math>. Aus den Eigenschaften der [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]] kann man eine Formel für <math>A(y)</math> herleiten:

:<math>\frac{A(y)}{G} = \frac{y^2}{h^2}</math>
:<math>A(y) = \frac{G}{h^2} \cdot y^2</math>

Daraus ergibt sich das [[Volumen]] der Pyramide als [[Integralrechnung|Integral]] der [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>A(y)</math> auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[0,h]</math> nach dem [[Prinzip von Cavalieri]]:

:<math>V = \int_{0}^{h} A(y) \ \mathrm{d}y = \int_{0}^{h} \frac{G}{h^2} \cdot y^2 \ \mathrm{d}y = \frac{G}{h^2} \cdot \int_{0}^{h} y^2 \ \mathrm{d}y = \frac{G}{h^2} \cdot \left[\frac{1}{3} \cdot y^3\right]^h_0 = \frac{G}{h^2} \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot h^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3\right) = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h</math>

== Vermessung eines Pyramidenbauwerks ==
[[Datei:pyramid-bild1.2 hc.png|mini|Betrachtung aus der Entfernung und Sehwinkelbestimmung in vereinfachter Form]]

Bei einer großen Pyramide lassen sich die Kantenlängen der Basis direkt gut vermessen, jedoch nicht die Höhe, die nicht direkt zugänglich ist. Im Folgenden sollen die grundsätzlichen Schwierigkeiten dargelegt werden, die nicht so sehr mit der [[Methodik]] des Messverfahrens selbst zusammenhängen. Ein einfaches geometrisches Verfahren zur Höhenbestimmung größerer Objekte ist die Betrachtung aus der Entfernung und die Bestimmung des Sehwinkels (in vereinfachter Form durch die nebenstehende Grafik aufgezeigt).

Im Abstand <math>s</math> von der unteren Pyramidenkante wird die Spitze der Pyramide unter dem gemessenen Winkel <math>\alpha</math> angepeilt. Der Abstand des Beobachtungspunktes von der Pyramidenspitze in horizontaler Linie ist somit der um die halbe Grundseite vermehrte Abstand von der Pyramidenkante <math>a/2 + s.</math> Die Höhe <math>h</math> ergibt sich aus der Formel in der Grafik. Damit wäre die Bestimmung der Höhe kein großes Problem. Es gibt jedoch folgende Schwierigkeiten:
* Die Spitze der Pyramide liegt nicht unbedingt exakt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
* Die Länge der Basiskante der Pyramide ist nicht sauber bestimmbar (abgebrochene Steine, Erosion).
* Die Spitze ist nicht mehr vorhanden (abgetragen).
* Der Neigungswinkel der Pyramide ist schwer bestimmbar (Abtragung, Erosion).
Das entspricht bei den bekannten großen Pyramiden weitgehend der Realität. Es muss definiert werden, von welchem Bodenniveau aus die Höhe der Pyramide gelten soll, also wo ihre Basis angenommen wird; von dieser aus muss die Höhenabweichung des Beobachtungspunktes, an dem <math>\alpha</math> gemessen wird, genau berücksichtigt werden. Die Winkelmessung selbst kann in der Regel sehr präzise ausgeführt werden. Angenommen, die Basislänge <math>a</math> der Pyramide ließe sich nicht genauer als auf 30&nbsp;cm und damit die Entfernung <math>a/2 + s</math> zum Messpunkt nicht genauer als auf 15&nbsp;cm bestimmen. Dadurch würde bei einem Sehwinkel <math>\alpha</math> von angenommenen 35° die Höhe um den Betrag von etwa 10&nbsp;cm ungenau sein. Außerdem soll noch der Neigungswinkel <math>\beta</math> der Seitenfläche bestimmt werden. Eine [[Hypothese|hypothetische]] große Pyramide der Basislänge von 200&nbsp;m und einer Höhe von 140&nbsp;m hätte bei einer Ungenauigkeit der Höhenangabe von 10&nbsp;cm eine Ungenauigkeit der Neigungswinkelangabe von etwa einer [[Bogenminute]] (54°27′44″ bei <math>h = 140{,}0\, \mathrm m</math> gegenüber 54°26′34″ mit <math>h = 139{,}9\, \mathrm m</math>). Das gilt nun für Pyramiden, deren Spitze noch vorhanden ist. Die Realität sieht aber anders aus. Die Höhenbestimmung gibt also nicht die ursprüngliche Höhe wieder, sondern die Höhe der abgetragenen Pyramide.

[[Datei:pyramid-bild2.2 hc.png|mini|Problem bei Extrapolation]]

Die Spitze muss also [[Extrapolation|extrapoliert]] werden. Das nebenstehende Bild zeigt schematisch das Problem. Sowohl die Seitenflächen als auch die Spitze sind durch Abriss und Verwitterung deutlich abgetragen:

Die Höhe <math>h</math> wäre daher gemäß der Formel aus der direkten Bestimmung des Neigungswinkels <math>\beta</math> zugänglich. Wie ersichtlich, ist die Bestimmung mit großen Fehlern behaftet. Eine Ausnahme bildet die [[Chephren-Pyramide]], weil diese im oberen Teil noch die originalen Decksteine hat. Der Winkel <math>\beta</math> ist dadurch genauer bestimmbar als bei den anderen Pyramiden. Das erklärt die gute Übereinstimmung verschiedener Autoren hinsichtlich des Neigungswinkels.

Damit wird klar, dass bei realen Pyramiden weder die Höhe auf den Zentimeter noch der Neigungswinkel auf die [[Bogensekunde]] exakt angegeben werden kann.

== Verwandte Begriffe ==
Verwandte Formen in der Geometrie sind der [[Pyramidenstumpf]] (eine parallel zur Grundfläche „abgeschnittene“ Pyramide) und die [[Doppelpyramide]] (ein Polyeder aus zwei spiegelsymmetrischen Pyramiden mit derselben Grundfläche).

Eine [[Hyperpyramide]] ist eine Verallgemeinerung auf <math>n</math> Dimensionen. Die in diesem Artikel beschriebene Pyramide ist eine dreidimensionale Hyperpyramide. Eine zweidimensionale Hyperpyramide wäre ein Dreieck, eine vierdimensionale ein [[5-Zell]].

Mit der Pyramide in der [[Architektur]] befasst sich der Artikel [[Pyramide (Bauwerk)]].

== Siehe auch ==
* [[Tetraeder]]
* [[Pyramidenstumpf]]
* [[Doppelpyramide]]
* [[Hyperpyramide]]
* [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]

== Weblinks ==
{{commonscat|Pyramids (geometry)}}
* {{MathWorld|Pyramid|Pyramid}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Polyeder]]