Quelltext der Seite Primzahlsatz

Der '''Primzahlsatz''' ({{enS|Prime number theorem oder PNT}}) ist einer der grundlegenden [[Theorem|Lehrsätze]] des [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Gebiets]] der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]]. Er behandelt die Frage der Verteilung der [[Primzahl]]en innerhalb der natürlichen Zahlen  und gibt auf diesem Wege Aufschluss über das [[Asymptotische Analyse|asymptotische Verhalten]] der sogenannten ''Primzahlfunktion'', indem er deren Zusammenhang mit der [[Logarithmus#Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmusfunktion]] darstellt. Dieser Zusammenhang wurde bereits im Jahre 1793 von [[Carl Friedrich Gauß]]<ref group="A">Gauß war damals erst 15-jährig!</ref> und –&nbsp;unabhängig von Gauß&nbsp;– auch von [[Adrien-Marie Legendre]] im Jahre 1798 vermutet. [[Beweis (Mathematik)|Streng bewiesen]] wurde diese Vermutung indes erst im Jahre 1896, und zwar –&nbsp;unabhängig voneinander und nahezu zeitgleich&nbsp;– von [[Jacques Hadamard|Jacques Salomon Hadamard]] und [[Charles-Jean de La Vallée Poussin]].

== Die Primzahlfunktion ==
Im Folgenden sei <math>\pi(x)</math> die Primzahlfunktion, die für beliebige [[reelle Zahl]]en <math>x</math> definiert ist als die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als <math>x</math> sind:

: <math>\pi (x) := \left |\{p \in \mathbb{P} \mid p \le x\}\right |</math><ref group="A">Dabei bezeichnet das Symbol <math>\mathbb{P}</math> die Menge der Primzahlen, die Schreibweise <math>\left |M\right |</math> steht für die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Anzahl der Elemente]] der Menge <math>M</math>.</ref>

== Der Primzahlsatz ==
Der Primzahlsatz besagt:
: <math>\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} = 1</math><ref group="A"><math>\ln</math> ist der [[Logarithmus#Natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]].</ref>

=== Andere Formulierungen ===
Nennt man zwei [[reelle Funktion]]en <math>f</math> und <math>g</math> [[Asymptotische Analyse|asymptotisch äquivalent]], wenn der Quotient <math>\tfrac{f(x)}{g(x)}</math> für <math>x\to\infty</math> gegen 1 konvergiert, so kann man den Primzahlsatz auch so formulieren:
:''Die Funktionen <math>x \mapsto \pi(x)</math> und <math>x \mapsto \tfrac{x}{\ln(x)} \, (x>0)</math> sind asymptotisch äquivalent.''<ref group="A">In geschriebener Form: <math>\pi(x) \sim \tfrac{x}{\ln(x)} </math>.</ref>

Der Primzahlsatz ist (im Wesentlichen) damit gleichwertig, dass die [[Komplexe Funktion|komplexe]] [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannsche Zetafunktion]] keine Nullstellen <math>s</math> mit <math>\operatorname{Re}(s) \geq 1</math> hat.

Gleichwertig mit ihm ist auch die Aussage, dass für die [[Tschebyscheffsche Psi-Funktion]] <math>\psi</math> die Grenzwertbeziehung
: <math>\lim_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x}= 1</math>

gilt.

Darüber hinaus ist er, wie [[Edmund Landau]] in den Jahren 1899 und 1911 – und zwar ohne Verwendung funktionentheoretischer Hilfsmittel! – zeigte, auch gleichwertig mit einer [[Reihe (Mathematik)#Konvergenz und Divergenz|Reihenkonvergenzaussage]], welche die [[Möbiusfunktion]] <math>\mu</math> einbezieht:<ref>Karl Prachar: ''Primzahlverteilung.'' (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 91), 1978, S. 73, S. 410</ref>
:<math>\sum_{n=1}^\infty { \frac{\mu(n)}{n} } = 0</math>

Es gibt eine Anzahl unterschiedlicher Beweise. Ein ''[[Donald Newmans Beweis des Primzahlsatzes|„einfacher Beweis“]]'', der die Abschätzung der Zetafunktion im Unendlichen nach Hadamard und La Vallée Poussin vermeidet, wurde von [[Donald Newman]] gegeben.<ref>Donald J. Newman: ''Analytic Number Theory''. Springer, 1998. Newman: ''Simple Analytic Proof of the Prime Number Theorem''. In: ''American Mathematical Monthly'', Band 87, 1980, S. 693–696.</ref><ref group="A">Zu Newmans Beweis siehe auch: J. Korevaar: ''On Newman’s quick way to the prime number theorem''. In: ''Mathematical Intelligencer'', Band 4, 1982, Nr. 3. Don Zagier: ''Newman’s Short Proof of the Prime Number Theorem''. In: ''American Mathematical Monthly'', Band 104, 1997, S.&nbsp;705–708. Der Beweis ist auch dargestellt in Bundschuh: ''Einführung in die Zahlentheorie''. Springer, 2008. Newman: ''Analytic Number Theory''. Springer, 1998.</ref> Weiter gibt es Beweise, die ohne Verwendung komplexer Funktionentheorie auskommen, sogenannte „elementare“ Beweise, die zuerst 1948/49 von [[Paul Erdős]] und [[Atle Selberg]] erbracht wurden.<ref>G. J. O. Jameson: ''The Prime Number Theorem.'' 2004, S. 206–222</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Norman Levinson]] |Titel=A motivated account of an elementary proof of the prime number theorem |Sammelwerk=American Mathematical Monthly |Band=76 |Datum=1969 |Seiten=225–245 |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/2006/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=1969&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=pubyear&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Levinson&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=241372 MR0241372]}}</ref> Ein dritter Beweisansatz innerhalb der analytischen Zahlentheorie benutzt die [[Satz von Wiener-Ikehara|Taubersätze von Wiener-Ikehara]], vermeidet auch die Abschätzung im Unendlichen, benutzt aber tieferliegende Ergebnisse aus der Theorie der [[Fourier-Transformation]].

== Stärkere Formen des Primzahlsatzes ==
[[Datei:PrimeNumberTheorem.svg|mini|hochkant=1.5|Darstellung von <math>\pi(x)</math> (rot), x/ln(x) (grün) und Li(x) (blau)]]
Bessere [[Approximation]]en als <math>\tfrac{x}{\ln(x)}</math> liefert der [[Integrallogarithmus]]:

: <math>\mathrm{Li}(x) := \int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}</math>

Die Integraldarstellung für <math>\operatorname{Li}(x)</math> wird gewählt, weil die [[Stammfunktion]]en von <math>1/\ln(x)</math> nicht [[Elementare Funktion|elementar]] sind.

Der Integrallogarithmus ist asymptotisch äquivalent zu <math>x/{\ln(x)},</math> also auch zu <math>\pi(x).</math>

Man kann zeigen:<ref>[[Arnold Walfisz]]: ''Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie.'' VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1963, S. 187. Der Beweis bei Walfisz stammt von [[Hans-Egon Richert]]. Derbyshire, Prime Obsession, Joseph Henry Press 2003, S.&nbsp;244, bezeichnet das als die beste ihm bekannte Abschätzung des Fehlerterms.</ref>

: <math>\pi(x) = \mathrm{Li}(x) +  O\left(x \cdot \exp(-C(\ln(x))^{3/5}(\ln\ln(x))^{-1/5})\right)</math>

mit einer positiven Konstanten <math>C</math>. Dabei ist <math>O(\cdot)</math> ein [[Landau-Symbol]], d.&nbsp;h., es gibt eine Konstante <math>D</math>, sodass

: <math>\Big|\pi(x)-\mathrm{Li}(x) \Big| < D\cdot x \cdot \exp \left(-C(\ln(x))^{3/5}(\ln\ln(x))^{-1/5} \right)</math>

für alle <math>x</math> gilt. Die Verbesserung des Fehlerterms hängt davon ab zu zeigen, dass die Zetafunktion in immer größeren Bereichen im kritischen Streifen nullstellenfrei ist. Unter Annahme der [[Riemannsche Vermutung|riemannschen Vermutung]] (nach der alle nicht-trivialen Nullstellen auf der Geraden <math>s=\tfrac {1}{2}</math> liegen), und nur unter dieser, kann man die Fehlerabschätzung zu

: <math>\pi(x) = \mathrm{Li}(x) + O\left(\sqrt{x} \cdot \ln(x) \right)</math>

verbessern ([[Helge von Koch]] 1901). Unter Annahme der riemannschen Vermutung (!) gab im Jahre 1976 [[Lowell Schoenfeld]] eine nicht-asymptotische Schranke:<ref>L. Schoenfeld: ''Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x).'' II. ''Mathematics of Computation.'' Band 30, 1976, S.&nbsp;337–360.</ref>

: <math>\big|\pi(x) - \mathrm{Li}(x)\big| < \frac{\sqrt x \ln x}{8\pi}</math>

Zuvor schon hatten im Jahre 1962 [[John Barkley Rosser]] und Schoenfeld die für [[natürliche Zahl]]en <math>n \geq 67 </math>&nbsp; gültige [[Ungleichung]]
: <math>\frac{n}{ \ln(n) - { \tfrac{1}{2} } } < \pi (n) < \frac{n}{ \ln(n) - { \tfrac{3}{2} } } </math>

geliefert, aus der sich der Primzahlsatz unmittelbar ergibt.<ref>J. B. Rosser, L. Schoenfeld: ''Approximate formulas for some functions of prime numbers.'' In: ''Illinois J. Math.'' Band 6, 1962, S.&nbsp;64–94.</ref><ref>Wacław Sierpiński: ''Elementary Theory of Numbers.'' S.&nbsp;163.</ref>

== Geschichte ==
[[Adrien-Marie Legendre]] veröffentlichte 1798 als erster in seiner ''Théorie des nombres'' (''Abhandlung über Zahlentheorie'') unabhängig von Gauß<ref group="A">Dieser hatte sich 1792 oder 1793 mit dem Thema beschäftigt. Siehe dazu den Brief aus dem Jahr 1849 an [[Johann Franz Encke]] ({{archive.org |bub_gb_fDMAAAAAQAAJ |Blatt=n411}}). Dort diskutiert er auch die Konstante von Legendre und den Integrallogarithmus.</ref> den vermuteten Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen. In der zweiten Auflage dieses Werks 1808 verbesserte er die Abschätzung von <math>\pi(x)</math> zu ungefähr gleich<ref>Adrien-Marie Legendre: ''D’une loi très-remarquable observée dans l’énumération des nombres premiers''. In: ''Théorie des nombres.'' 3. Auflage. Didot, Paris 1830, Band&nbsp;2, S.&nbsp;65–70, {{archive.org |bub_gb_hzIVAAAAQAAJ |Blatt=n84}}.</ref>

: <math>\frac{x}{\ln(x) - 1{,}08366}</math>

(wo dieser Wert 1,08366 verantwortlich für das Problem der Existenz der [[Legendre-Konstante]]n ist). Ein erster Schritt hin zu einem Beweis gelang [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]], der 1851 die folgende schwächere Form des Primzahlsatzes zeigte:<ref>Pafnuti Lwowitsch Tschebyschew: ''Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée.'' In: ''Mémoires présentés à l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg par divers savants'', 6, 1851, S.&nbsp;141–157. Auch in: ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|Journal de mathématiques pures et appliquées]]'', 1.&nbsp;F., 17, 1852, S.&nbsp;341–365. Nachdruck in Andrej Andrejewitsch Markoff, Nikolai Jakowlewitsch Sonin (Hrsg.): ''Œuvres de P. L. Tchebychef''. Band&nbsp;1. Akademie, St.&nbsp;Petersburg 1898, S.&nbsp;27–48, {{archive.org |uvresdepltcheby00chebgoog |Blatt=n41}}.</ref><ref group="A">Einen deutlich vereinfachten Beweis für eine schwächere Abschätzung gibt [[Don Zagier]], ''Die ersten 50 Millionen Primzahlen'', Elemente der Mathematik (Beihefte zur Zeitschrift), Band 15 (1977), S. 15 f., [[doi:10.5169/seals-10209]] (frei zugänglich).</ref>

: <math>0{,}92929 \le \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} \le 1{,}1056</math>

für alle hinreichend großen <math>x</math>. Das heißt, dass die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe um nicht mehr als ungefähr 10 % nach oben oder unten von der logarithmischen Funktion <math>x/\ln(x)</math> abweicht.

Der englische Mathematiker [[James Joseph Sylvester]], damals Professor an der amerikanischen [[Johns Hopkins University]] in [[Baltimore]], verfeinerte 1892 Tschebyschows Methode und zeigte, dass für die Ungleichung bei hinreichend großem <math>x</math> die untere Grenze 0,95695 und die obere Grenze 1,04423 genügt,<ref>James Joseph Sylvester: ''On arithmetical series.'' In: ''Messenger of Mathematics.'' 21, 1892, S.&nbsp;1–19, 87–120. Nachdruck in Henry Frederick Baker (Hrsg.): ''The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester.'' 4&nbsp;Bände. University Press, Cambridge 1904–1912, Band&nbsp;4. 1912, S.&nbsp;687–731, {{archive.org |collectedmathem04sylvrich |Blatt=}}.</ref> die Abweichung also maximal nur mehr ungefähr 5 % beträgt.

In seiner berühmten Arbeit [[Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.|Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (1859)]] hat [[Bernhard Riemann]] den Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Eigenschaften der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zetafunktion]] gezeigt.<ref>Bernhard Riemann: [[s:Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe|''Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe.'']] In: ''Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin'', 1859, S.&nbsp;671–680. Vgl. auch Wilhelm Scheibner: [https://books.google.de/books?id=0sQKAAAAIAAJ&pg=PA233#v=onepage&q&f=false ''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer beliebigen Grenze.''] In: ''Archiv der Mathematik und Physik.'' 5, 1860, S.&nbsp;233–252.</ref> Der deutsche Mathematiker [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans von Mangoldt]] bewies 1895 das Hauptresultat der Riemannschen Arbeit, dass der Primzahlsatz dem Satz äquivalent ist, dass die Riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen mit Realteil&nbsp;1 hat.<ref>Hans von Mangoldt: [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0114&DMDID=dmdlog20 ''Zu Riemanns Abhandlung „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“''.] In: ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]].'' 114, 1895, S.&nbsp;255–305.</ref> Sowohl Hadamard als auch de la Vallée Poussin haben 1896 die Nichtexistenz solcher Nullstellen bewiesen.<ref>Jacques Hadamard: [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1896__24_/BSMF_1896__24__199_1/BSMF_1896__24__199_1.pdf ''Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques.''] (PDF; 1,3&nbsp;MB). In: ''Bulletin de la Société Mathématique de France.'' 24, 1896, S.&nbsp;199–220.</ref><ref>Charles de La Vallée Poussin: ''Recherches analytiques de la théorie des nombres premiers.'' In: Annales de la Société Scientifique de Bruxelles&nbsp;20&nbsp;B (1896), S.&nbsp;183–256, 281–352, 363–397; 21&nbsp;B (1897), S.&nbsp;351–368.</ref><ref>Kürzere Versionen der Beweise von Hadamard, De la Vallée-Poussin sind in E. C. Titchmarsh: ''The Theory of the Riemann Zeta-Function.'' Clarendon Press, 1951, 1986, Kapitel 3.</ref> Ihre Beweise des Primzahlsatzes sind also nicht „elementar“, sondern verwenden [[Funktionentheorie|funktionentheoretische]] Methoden und insbesondere die [[Komplexwertige Funktion|komplexe]] [[Riemannsche Zeta-Funktion|riemannsche Zetafunktion]].

Lange Jahre galt ein elementarer<ref group="A">Manche Autoren – etwa G. J. O. Jameson in seiner Monographie ''The Prime Number Theorem'' (Cambridge University Press, Cambridge 2004, S.&nbsp;206) – betonen an dieser Stelle, dass „elementar“ keinesfalls im Sinne von „einfach“ verstanden werden sollte.</ref> Beweis des Primzahlsatzes als sehr unwahrscheinlich. Diese Auffassung wurde insbesondere von [[Godfrey Harold Hardy]] vertreten.<ref group="A">Von Hardy gibt es eine entsprechende Bemerkung aus dem Jahre 1921: {{"|Sprache=en|Text=No elementary proof of the prime number theorem is known, and one may ask whether it is reasonable to expect one. Now we know that the theorem is roughly equivalent to a theorem about an analytic function, the theorem that Riemann’s zeta function has no roots on a certain line. A proof of such a theorem, not fundamentally dependent upon the ideas of the theory of functions, seems to me extraordinarily unlikely.}} ([[Melvyn Nathanson|Melvyn B. Nathanson]]: ''Elementary Methods in Number Theory.'' Springer-Verlag, New York / Berlin / Heidelberg 2000, S.&nbsp;320).</ref> Sie wurde indes im Jahre 1949 durch die von [[Atle Selberg]] und [[Paul Erdős]] vorgelegten Beweise widerlegt.<ref>Atle Selberg: [http://www.jstor.org/pss/1969455 ''An elementary proof of the prime-number theorem.''] In: ''[[Annals of Mathematics]].'' 50, 1949, Nr.&nbsp;2, S.&nbsp;305–313.</ref><ref>Paul Erdős: [http://www.pnas.org/content/35/7/374.full.pdf ''On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem.''] (PDF; 687&nbsp;kB). In: ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.'' 35, 1949, S.&nbsp;374–384.</ref><ref group="A">Der elementare Beweis nach Erdös und Selberg, der auf einer 1948 [[Selbergsche Formel|von Selberg gefundenen Formel]] beruht, wird in modifizierter Form auch in Hardy&Wright, ''Introduction to the Theory of Numbers'', Oxford 1975, und auch bei Jameson, ''The Prime Number Theorem'', Cambridge 2004, S.&nbsp;206&nbsp;ff., präsentiert.</ref> Später wurden noch zahlreiche Varianten und Vereinfachungen dieser Beweise gefunden.

== Zahlenbeispiele ==
Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte der Primzahlfunktion im Vergleich mit den Logarithmen, Legendres Formel und dem Integrallogarithmus.<ref>Die Werte für π(x) sind aus {{Internetquelle |autor=Chris K. Caldwell |url=https://primes.utm.edu/howmany.html |titel=How Many Primes Are There? |hrsg=Prime Pages |sprache=en |abruf=2015-12-12}}</ref><ref>Der Wert für π(10<sup>26</sup>) ist aus {{Internetquelle |autor=D. B. Staple |url=http://dalspace.library.dal.ca/handle/10222/60524 |titel=The combinatorial algorithm for computing pi(x) |hrsg=Dalhousie University |sprache=en |abruf=2015-12-12}}</ref><ref>Der Wert für π(10<sup>27</sup>) ist von {{Internetquelle |autor=Kim Walisch |url=http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=20473 |titel=New confirmed pi(10^27),… pi(10^29) prime counting function records |werk=mersenneforum.org |sprache=en |abruf=2016-12-01}}</ref>

<div style="overflow:auto;">
{| class="wikitable sticky-header" style="text-align:right; font-size:85%"
|- class="hintergrundfarbe6"
! <math>x</math>
! <math>\pi(x)</math>
! <math>\frac{\pi(x)}{x} \approx</math>
! <math>\frac{x}{\ln(x)} \approx</math>
! <math>\pi(x)-\frac{x}{\ln(x)} \approx</math>
! <math>\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} \approx</math>
! <math>\frac{x}{\ln(x) - 1{,}08366} \approx</math>
! <math>\mathrm{li}(x):=\int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t} \approx</math>
! <math>\mathrm{li}(x)-\pi(x) \approx</math>
|-
|style="text-align:left"| 10 || 4
| 0,400000
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| 8
| 6 || 2
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>2</sup> || 25
| 0,250000
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|-
|style="text-align:left"| 10<sup>3</sup> || 168
| 0,168000
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| 172
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|-
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| 0,122900
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|-
|style="text-align:left"| 10<sup>5</sup> || 9.592
| 0,095920
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|-
|style="text-align:left"| 10<sup>6</sup> || 78.498
| 0,078498
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| 78.543
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|-
|style="text-align:left"| 10<sup>7</sup> || 664.579
| 0,066458
| 620.421 || 44.158 || 1,071175
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|-
|style="text-align:left"| 10<sup>8</sup> || 5.761.455
| 0,057615
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| 5.768.004
| 5.762.209 || 754
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>9</sup> || 50.847.534
| 0,050848
| 48.254.942 || 2.592.592 || 1,053727
| 50.917.519
| 50.849.235 || 1.701
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>10</sup> || 455.052.511
| 0,045505
| 434.294.482 || 20.758.029 || 1,047797
| 455.743.004
| 455.055.615 || 3.104
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>11</sup> || 4.118.054.813
| 0,041181
| 3.948.131.654 || 169.923.159 || 1,043039
| 4.124.599.869
| 4.118.066.401 || 11.588
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>12</sup> || 37.607.912.018
| 0,037608
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|-
|style="text-align:left"| 10<sup>13</sup> || 346.065.536.839
| 0,034607
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|-
|style="text-align:left"| 10<sup>14</sup> || 3.204.941.750.802
| 0,032049
| 3.102.103.442.166 || 102.838.308.636 || 1,033151
| 3.210.012.022.164
| 3.204.942.065.692 || 314.890
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>15</sup> || 29.844.570.422.669
| 0,029845
| 28.952.965.460.217 || 891.604.962.452 || 1,030795
| 29.890.794.226.982
| 29.844.571.475.288 || 1.052.619
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>16</sup> || 279.238.341.033.925
| 0,027924
| 271.434.051.189.532 || 7.804.289.844.393 || 1,028752
| 279.660.033.612.131
| 279.238.344.248.557 || 3.214.632
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>17</sup> || 2.623.557.157.654.233
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| 2.623.557.165.610.822 || 7.956.589
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>18</sup> || 24.739.954.287.740.860
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| 24.775.244.142.175.635
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|-
|style="text-align:left"| 10<sup>19</sup> || 234.057.667.276.344.607
| 0,023406
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|-
|style="text-align:left"| 10<sup>20</sup> || 2.220.819.602.560.918.840
| 0,022208
| 2.171.472.409.516.259.138 || 49.347.193.044.659.701 || 1,022725
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| 2.220.819.602.783.663.484 || 222.744.644
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>21</sup> || 21.127.269.486.018.731.928
| 0,021127
| 20.680.689.614.440.563.221 || 446.579.871.578.168.707 || 1,021594
| 21.154.786.057.670.023.133
| 21.127.269.486.616.126.182 || 597.394.254
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>22</sup> || 201.467.286.689.315.906.290
| 0,020147
| 197.406.582.683.296.285.296 || 4.060.704.006.019.620.994 || 1,020570
| 201.721.849.105.666.574.218
| 201.467.286.691.248.261.498 || 1.932.355.208
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>23</sup> || 1.925.320.391.606.803.968.923
| 0,019253
| 1.888.236.877.840.225.337.614 || 37.083.513.766.578.631.309 || 1,019639
| 1.927.681.221.597.738.628.080
| 1.925.320.391.614.054.155.139 || 7.250.186.216
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>24</sup> || 18.435.599.767.349.200.867.866
| 0,018436
| 18.095.603.412.635.492.818.797 || 339.996.354.713.708.049.069 || 1,018789
| 18.457.546.327.619.878.007.916
| 18.435.599.767.366.347.775.144 || 17.146.907.278
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>25</sup> || 176.846.309.399.143.769.411.680
| 0,017685
| 173.717.792.761.300.731.060.452 || 3.128.516.637.843.038.351.228 || 1,018009
| 177.050.792.039.110.236.839.710
| 176.846.309.399.198.930.392.619 || 55.160.980.939
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>26</sup> || 1.699.246.750.872.437.141.327.603
| 0,016992
| 1.670.363.391.935.583.952.504.342 || 28.883.358.936.853.188.823.261 || 1,017292
| 1.701.156.120.834.278.630.173.694
| 1.699.246.750.872.593.033.005.724 || 155.891.678.121
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>27</sup> || 16.352.460.426.841.680.446.427.399
| 0,016352
| 16.084.980.811.231.549.172.264.034 || 267.479.615.610.131.274.163.365 || 1,016629
| 16.370.326.243.373.272.895.062.280
| 16.352.460.426.842.189.113.085.405 || 508.666.658.006
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>28</sup> || 157.589.269.275.973.410.412.739.598
| 0,015759
| 155.105.172.108.304.224.161.117.471 || 2.484.097.167.669.186.251.622.127 || 1,016016
| 157.756.767.911.194.258.241.759.313
| 157.589.269.275.974.838.158.399.972 || 1.427.745.660.374
|-
|style="text-align:left"| 10<sup>29</sup> || 1.520.698.109.714.272.166.094.258.063
| 0,015207
| 1.497.567.178.976.730.440.176.306.617 || 23.130.930.737.541.725.917.951.446 || 1,015446
| 1.522.271.416.204.882.045.821.506.579
| 1.520.698.109.714.276.717.287.880.527 || 4.551.193.622.464
|- style="font-size:85%; white-space:nowrap; text-align:center"
| OEIS || {{OEIS|A006880}}
|
| {{OEIS|A057834}} || {{OEIS|A057835}} ||
| {{OEIS|A058289}}
| {{OEIS|A057754}} || {{OEIS|A057752}}
|}
</div>
Die Größe <math>\pi(x)/x</math> heißt ''Primzahldichte.'' <math>\operatorname{li}(x) = \operatorname{Li}(x) + \operatorname{li}(2)</math> mit <math>\operatorname{li}(2) \approx 1{,}04516.</math>

Vergleicht man <math>\operatorname{li}(x)</math> mit den Werten von <math>\pi(x)</math> in der Tabelle, scheint es so, als ob stets <math>\operatorname{li}(x)>\pi(x)</math> gelten würde. Tatsächlich wechselt die Differenz <math>\mathrm{li}(x) - \pi(x)</math> bei größer werdendem <math>x</math> das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] unendlich oft, wie [[John Edensor Littlewood|J.&nbsp;E.&nbsp;Littlewood]] 1914 zeigen konnte.<ref>John E. Littlewood: ''Sur la distribution des nombres premiers.'' In: ''Comptes Rendus de l’Académie des Sciences.'' 158, 1914, S.&nbsp;1869–1872.</ref> Die gaußsche Formel unterschätzt also die Anzahl der Primzahlen in einem hinreichend großen Zahlenbereich, den [[Stanley Skewes]] 1933 mit der nach ihm benannten [[Skewes-Zahl]] nach oben abschätzen konnte.<ref>Stanley Skewes: ''On the difference <math>\pi(x) - \operatorname{li}(x)</math>.'' In: ''Journal of the London Mathematical Society.'' 8, 1933, S.&nbsp;277–283; ''On the difference <math>\pi(x) - \operatorname{li}(x)</math> (II).'' In: ''Proceedings of the London Mathematical Society&nbsp;5'' (1955), S.&nbsp;48–70.</ref> Russell Sherman Lehman stellte 1966 einen wichtigen Satz über die obere Grenze auf und konnte sie auf eine „handhabbare“ Größe von 1,165·10<sup>1165</sup> drücken.<ref>Russell Sherman Lehman: [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa11/aa11132.pdf ''On the difference π(x)&nbsp;−&nbsp;li(x).''] (PDF; 2,6&nbsp;MB). In: ''[[Acta Arithmetica]].'' 11, 1966, S.&nbsp;397–410.</ref> Unter Verwendung des Lehmanschen Satzes gelang es dem niederländischen Mathematiker Herman te Riele 1986 zu zeigen, dass es zwischen 6,627·10<sup>370</sup> und 6,687·10<sup>370</sup> mehr als 10<sup>180</sup> aufeinanderfolgende Zahlen <math>x</math> gibt, für die <math>\pi(x) > \mathrm{li}(x)</math> gilt.<ref>Herman J. J. te Riele: [http://www.ams.org/journals/mcom/1987-48-177/S0025-5718-1987-0866118-6/S0025-5718-1987-0866118-6.pdf ''On the Sign of the Difference π(x)&nbsp;−&nbsp;li(x).''] (PDF; 550&nbsp;kB). In: '' Mathematics of Computation.'' 48, 1987, S.&nbsp;323–328.<br />Vgl. Chris K.&nbsp;Caldwell: {{Webarchiv |url=http://primes.utm.edu/howmany.shtml |text=''How many primes are there?'' |wayback=20121015002415}}. Kap. 3: ''History of the Prime Number Theorem.''</ref> Den derzeit besten untersten Wert, ebenfalls ausgehend von den Ergebnissen Lehmans, ermittelten im Jahr 2000 die beiden Mathematiker Carter Bays und Richard Hudson, die zeigten, dass ein solcher von Littlewood bewiesener Wechsel vor 1,398244·10<sup>316</sup> auftritt.<ref>Carter Bays, Richard H. Hudson: [http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/S0025-5718-99-01104-7/S0025-5718-99-01104-7.pdf ''A new bound for the smallest x with π(x)&nbsp;>&nbsp;li(x).''] (PDF; 422&nbsp;kB). In: ''Mathematics of Computation'', 69, 2000, Nr.&nbsp;231, S.&nbsp;1285–1296.</ref> Obwohl sie nicht beweisen konnten, damit tatsächlich den ersten [[Vorzeichenwechsel]] gefunden zu haben, legen ihre Berechnungen dies nahe. Genauer vermuten sie, dass die Ungleichung <math>\pi(x) < \mathrm{li}(x)</math> für <math>x < 1{,}398 \cdot 10^{316}</math> immer gilt.

== Explizite Formeln zur Primzahlfunktion ==
Formeln für Primzahlfunktionen gibt es in zwei Arten: arithmetische Formeln und analytische Formeln. Analytische Formeln für die Primzahlenzählung waren die ersten, die verwendet wurden, um den Primzahlsatz zu beweisen. Sie stammen aus der Arbeit von [[Bernhard Riemann]] und [[Hans von Mangoldt (Mathematiker)|Hans von Mangoldt]] und sind allgemein als explizite Formeln bekannt.<ref>{{cite book |author=E. C. Titchmarsh |year=1960 |title=The Theory of Functions|edition=2nd ed. |publisher=Oxford University Press |language=en}}</ref>

Wir haben folgenden Ausdruck für <math>\psi</math>:

: <math>\psi_0(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \ln 2\pi - \frac12 \ln(1-x^{-2}),</math>

wobei

: <math>\psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{\psi(x-\varepsilon) + \psi(x+\varepsilon)}2</math>

und <math>\psi (x)</math> der zweiten [[Tschebyschow-Funktion]]. Hier sind <math>\rho</math> die Nullstellen der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zetafunktion]] im kritischen Streifen, bei dem der Realteil von <math>\rho</math> zwischen 0 und 1 liegt. Die Formel gilt für Werte von <math>x</math> größer als 1, d.&nbsp;h. die Region von Interesse. Die Summe über den Wurzeln ist [[Bedingt konvergente Reihe|bedingt konvergent]] und sollte in der Reihenfolge zunehmender Absolutwerte des Imaginärteils genommen werden. Zu beachten ist, dass die gleiche Summe über die trivialen Wurzeln den letzten Subtrahenden in der Formel ergibt.

Ähnlich wie für <math>\psi</math> kann auch für die von Riemann eingeführte Primzahlen abzählende Funktion <math>\Pi(x)</math><ref>Siehe [[Riemannsche Vermutung]] oder [https://mathworld.wolfram.com/RiemannPrimeCountingFunction.html Riemann Prime Counting Function], Mathworld.</ref> eine Mittelung an den Sprungstellen <math>\Pi_0 (x)</math> eingeführt werden. Für <math>\Pi_0(x)</math> haben wir die kompliziertere Formel

: <math>\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^\rho) - \ln 2 + \int_x^\infty \frac{\mathrm dt}{t(t^2-1) \ln t}.</math>

Auch hier gilt die Formel wieder für <math>x>1</math>, während <math>\rho</math> die nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion nach ihrem Absolutwert geordnet sind, und letzteres Integral wiederum mit Minuszeichen genommen ist genau die gleiche Summe, aber über den trivialen Nullstellen. Der erste Ausdruck <math>\operatorname{li}(x)</math> ist die übliche logarithmische Integralfunktion; der Ausdruck <math>\operatorname{li}(x^\rho)</math> im zweiten Term sollte als <math>\operatorname{Ei}(\rho\ln x)</math> betrachtet werden, wobei <math>\operatorname{Ei}</math> die [[analytische Fortsetzung]] der exponentiellen Integralfunktion von der positiven reellen Achse auf die komplexe Ebene mit entlang der negativen reellen Achse aufgeschnittenem Ast ist.

Somit ergibt sich, wenn man wie oben eine an den Sprungstellen mittelnde Funktion <math>\pi_0(x) = \frac{1}{2} \lim_{\varepsilon \to 0} (\pi(x+\varepsilon) + \pi(x-\varepsilon))</math> einführt, mit der [[Möbius-Inversion]]sformel<ref>{{Cite journal |authorlink=Hans Riesel |last1=Riesel |first1=Hans |last2=Göhl |first2=Gunnar |title=Some calculations related to Riemann’s prime number formula |doi=10.2307/2004630 |year=1970 |journal=[[Mathematics of Computation]] |issn=0025-5718|volume=24 |issue=112 |pages=969–983 |publisher=American Mathematical Society |language=en}}</ref>

: <math>\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac1{\ln x} + \frac1\pi \arctan \frac\pi{\ln x},</math>

gültig für <math>x>1</math>, wobei

: <math>\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\ln x)^k}{k! k \zeta(k+1)}</math>

die sogenannte Riemannsche R-Funktion ist.<ref>{{MathWorld |id=RiemannPrimeCountingFunction |title=Riemann Prime Counting Function}}</ref> Die letztgenannte Reihe dafür ist bekannt als ''Gram-Reihe''<ref>{{MathWorld |id=GramSeries |title=Gram Series}}</ref> und konvergiert für alle positiven <math>x</math>. <math>\mu</math> ist die [[Möbius-Funktion]] und <math>\zeta</math> die riemannsche Zetafunktion.

[[Datei:PlotDelta.gif|mini|upright=1.6|Δ-Funktion (rote Linie) auf Log-Skala]]

Die Summe über nichttriviale Nullstellen der Zetafunktion in der Formel für <math>\pi_0(x)</math> beschreibt die Schwankungen von <math>\pi_0(x)</math>, während die restlichen Terme den „glatten“ Teil der Primzahlfunktion ausmachen.<ref>{{cite web |title=The encoding of the prime distribution by the zeta zeros |url=http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm |publisher=Matthew Watkins |accessdate=2008-09-14 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130204213356/http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm |archivedate=2013-02-04 |offline=yes |language=en}}</ref>

Somit kann man

: <math>\operatorname{R}(x) - \frac1{\ln x} + \frac1\pi \arctan \frac\pi{\ln x}</math>

als den besten Fit der <math>\pi(x)</math> für <math>x>1</math> bezeichnen.

Die Amplitude des „verrauschten“ Teils liegt heuristisch bei ca. <math>\sqrt x/\ln x</math>, womit die Schwankungen der Primzahlenverteilung mit der <math>\Delta</math>-Funktion dargestellt werden können:

: <math>\Delta(x) = \left( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x) + \frac1{\ln x} - \frac 1 \pi \arctan\frac \pi {\ln x} \right) \frac{\ln x}{\sqrt x}</math>

Eine umfangreiche Tabelle mit den Werten von <math>\Delta(x)</math> steht zur Verfügung.<ref>{{cite web |title=Values of π(''x'') and Δ(''x'') for various values of&nbsp;''x'' |url=http://www.primefan.ru/stuff/primes/table.html |publisher=Andrey V. Kulsha |accessdate=2008-09-14 |language=en}}</ref>

== Aussage über die Folge der Primzahlen ==
Der Primzahlsatz gibt auch Auskunft über die aufsteigende Folge <math>(p_n) = 2, 3, 5, \dotsc</math> der Primzahlen. So ist er äquivalent zu der Aussage

: <math>p_n \sim n \ln(n)</math>

und es gilt sogar für alle <math>n \geq 6\colon</math><ref>{{cite journal |last=Dusart |first=Pierre |title=The <math>k^{\rm {th}}</math> prime is greater than <math>k(\ln k + \ln \ln k - 1)</math> for <math>k \ge 2</math> |journal=[[Mathematics of Computation]] |volume=68 |issue=225 |year=1999 |pages=411–415 |doi=10.1090/S0025-5718-99-01037-6 |language=en}}</ref>

: <math>\ln(n) + \ln \ln(n) - 1 < \frac{p_n}{n} < \ln(n) + \ln \ln(n)</math>

Aus dem Primzahlsatz folgt nicht zuletzt auch die Grenzwertbeziehung
: <math>\lim_{n \to \infty}  \frac{p_{n+1}}{p_n} = 1</math>&nbsp;.<ref>Wacław Sierpiński: ''Elementary Theory of Numbers.'', S.&nbsp;157–163.</ref>

== Primzahlsatz für arithmetische Progressionen, Satz von Siegel-Walfisz ==
Sei <math>\pi_{q,a} (x)</math> die Anzahl der Primzahlen kleiner gleich <math>x</math> in der [[Arithmetische Folge|arithmetischen Progression]] <math>a, a+q, a+2q, \cdots</math>, wobei <math>a, q</math> koprim sind (<math>(a,q)=1</math>). [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] (siehe [[Dirichletscher Primzahlsatz]]) und [[Adrien-Marie Legendre]] vermuteten, dass asymptotisch

: <math>\pi_{q,a}(x) \sim \frac{1}{\varphi(q)} \operatorname{Li}(x)</math>

gilt mit <math>\varphi(q)</math> der [[Eulersche Phi-Funktion|Eulerschen Phi-Funktion]] (der Anzahl zu <math>q</math> teilerfremden Zahlen, die nicht größer als <math>q</math> sind). Das wurde von [[Charles-Jean de La Vallée Poussin]] mit ähnlichen Methoden bewiesen wie beim Beweis des Primzahlsatzes.

Als Beispiel kann man das auf die Verteilung der Primzahlen auf ihre Endziffern im Dezimalsystem anwenden (analog gilt das für jede Basis). Es kommen nur die Ziffern 1, 3, 7, 9 in Betracht (außer für die Primzahlen 5 und 2 selbst) und aus dem Primzahlsatz für arithmetische Progressionen folgt, dass die Primzahlen unter ihren Endziffern gleich verteilt sind. Es gibt allerdings einige Ungleichgewichte, die Gegenstand der Forschung sind. So gibt es numerisch meist mehr Primzahlen der Form <math>p = 3 \mod 4</math> als <math>p = 1 \mod 4</math> unterhalb einer bestimmten Grenze, obwohl die Primzahlen asymptotisch auf beide Klassen gleich verteilt sind (''Chebyshev’s Bias'',<ref>[https://mathworld.wolfram.com/ChebyshevBias.html Chebyshev’s Bias, mathworld.]</ref> auch ''Primzahl-Rennen'', nach [[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow]]). Nach [[John Edensor Littlewood]] wechselt <math>\pi_{4,3}(x) - \pi_{4,1} (x)</math> auch unendlich oft das Vorzeichen. Ähnliche Phänomene gibt es bei Betrachtung anderer Kongruenzen als solchen mod <math>4</math>. Wie [[K.&nbsp;Soundararajan]] und Oliver 2016 fanden, gibt es auch Abweichungen von der Gleichverteilung, wenn man die Verteilung der Endziffern bei aufeinanderfolgenden Primzahlen betrachtet.

Genauer wurde die Verteilung in arithmetischen Progressionen durch [[Arnold Walfisz]]<ref>A. Walfisz: ''Zur additiven Zahlentheorie II.'' Mathematische Zeitschrift, Band 40, 1936, S. 592–607.</ref><ref>Zum Satz von Siegel-Walfisz siehe auch [[Harold Davenport]]: ''Multiplicative Number Theory''. 2. Auflage. Springer, 1980, S. 133, [https://terrytao.wordpress.com/2014/12/09/254a-notes-2-complex-analytic-multiplicative-number-theory/ Terry Tao, Notes Complex Analytic Multiplicative Number Theory] (exercise 64).</ref> untersucht im Satz von Siegel und Walfisz (er basiert auf einem Resultat von [[Carl Ludwig Siegel]]<ref>Siegel: ''Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper''. In: ''Acta Arithmetica'', Band 1, 1935, S. 83–86.</ref>). Der Satz liefert einen asymptotischen Fehlerterm <math>O\left(x\exp\left(-\frac{C_N}{2}(\ln x)^\frac{1}{2}\right)\right)</math> für die obige Formel. Dabei ist <math>C_N</math> eine Konstante und <math>N</math> eine beliebige Zahl mit <math>q \leq {( \ln x )}^N</math>.

Ursprünglich ist der Satz von Siegel und Walfisz für die Funktion

: <math>\psi(x;q,a) = \sum_{n\leq x\atop n\equiv a\pmod q}\Lambda(n)</math>

formuliert mit der [[Mangoldt-Funktion]] <math>\Lambda (n)</math>. Mit den bereits eingeführten Bezeichnungen (sowie wie oben <math>(a,q)=1</math>, <math>q\le(\ln x)^N</math>) besagt der Satz dann, dass es für jedes <math>N</math> eine Konstante <math>C_N</math> gibt, sodass:

: <math>\psi(x;q,a) = \frac{x}{\varphi(q)}+O\left(x\exp\left(-C_N(\ln x)^\frac{1}{2}\right)\right)</math>

Der Satz ist nicht effektiv, da nichts über die Größe der Konstante <math>C_N</math> ausgesagt wird. Schärfere Aussagen zum Fehlerterm im Dirichletschen Primzahlsatz für arithmetische Progressionen geben der [[Satz von Bombieri und Winogradow]] und die [[Vermutung von Elliott und Halberstam]].

== Siehe auch ==
* [[Gleichung von Tatuzawa-Iseki]]
* [[Donald Newmans Beweis des Primzahlsatzes]]

== Literatur ==
* [[Peter Bundschuh]]: ''Einführung in die Zahlentheorie.'' Springer 2008 (mit Beweis von Newman).
* [[Eberhard Freitag|E. Freitag]], R. Busam: ''Funktionentheorie.'' 3.&nbsp;Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-67641-4.
* [[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]], [[E. M. Wright]]: ''An Introduction to the Theory of Numbers.'' 5.&nbsp;Auflage, Oxford University Press, Oxford 1979, ISBN 0-19-853171-0.
* {{Literatur
   |Autor=Gilbert Helmberg
   |Titel=Analytische Zahlentheorie
   |TitelErg=Rund um den Primzahlsatz
   |Reihe=De Gruyter Studium
   |Verlag=Walter de Gruyter
   |Ort=Berlin / Boston
   |Datum=2018
   |ISBN=978-3-11-049513-3}}
* {{Literatur
   |Autor=G. J. O. Jameson
   |Titel=The Prime Number Theorem
   |Reihe=London Mathematical Society Student Texts
   |BandReihe=53
   |Verlag=Cambridge University Press
   |Ort=Cambridge
   |Datum=2003
   |ISBN=0-521-81411-1
   |Kommentar=Reprinted 2004}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Melvyn Nathanson|Melvyn B. Nathanson]]
   |Titel=Elementary Methods in Number Theory
   |Reihe=Graduate Texts in Mathematics
   |BandReihe=195
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=New York / Berlin / Heidelberg
   |Datum=2000
   |ISBN=0-387-98912-9}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Karl Prachar]]
   |Titel=Primzahlverteilung
   |Kommentar=Nachdruck des Originals von 1957
   |Reihe=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
   |BandReihe=91
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin / Heidelberg / New York
   |Datum=1978
   |ISBN=3-540-08558-0}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Wolfgang Schwarz (Mathematiker)|Wolfgang Schwarz]]
   |Titel=Einführung in die Zahlentheorie
   |Reihe=Die Mathematik: Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften
   |Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
   |Ort=Darmstadt
   |Datum=1975
   |ISBN=3-534-06356-2}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Wacław Sierpiński]]
   |Titel=Elementary Theory of Numbers
   |Reihe=North-Holland Mathematical Library
   |BandReihe=31
   |Auflage=2. überarbeitete und erweiterte
   |Verlag=North-Holland (u.&nbsp;a.)
   |Ort=Amsterdam (u.&nbsp;a.)
   |Datum=1988
   |ISBN=0-444-86662-0}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Analytische Zahlentheorie: Primzahlsatz|Beweis des Primzahlsatzes nach Newman}}
* PrimePages: [https://t5k.org/howmany.html ''How many primes are there?''] (englisch)
* {{MathWorld |id=PrimeNumberTheorem |title=Prime Number Theorem}}
* {{PlanetMath |id=primenumbertheorem |title=prime number theorem}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

[[Kategorie:Analytische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Primzahl]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]