Quelltext der Seite Prädikatabbildung

Eine '''Prädikatabbildung''' ist eine mathematische Funktion, die einen logischen Wahrheitswert (''wahr'' oder ''falsch'') auf die Zahlen 0 oder 1 abbildet. Dadurch können störende Fallunterscheidungen so umgeformt werden, dass die resultierende Funktion in mathematischen Schlussfolgerungen einfacher verwendbar ist.

== Definition ==

Die folgende Definition stammt von [[Kenneth E. Iverson]], 1962:

Wenn <math>P(n)</math> ein [[Prädikat (Logik)|Prädikat]] ist, dann ist <math>[P(n)]</math> folgendermaßen definiert:

<math>[P(n)]=\begin{cases} 1, & \text{wenn }P(n)\text{ wahr ist} \\ 0, & \text{wenn }P(n)\text{ nicht wahr ist} \end{cases}</math>

D.&nbsp;h., dass diese Abbildung einen [[Logik|logischen]] [[Wahrheitswert]] auf einen in mathematischen Formeln weiterverwendbaren Ganzzahlenwert abbildet, und zwar wird eine wahre [[Aussagenlogik|Aussage]] auf eine 1, und eine falsche Aussage auf eine 0 abgebildet (siehe Beispiel). Mit dieser Abbildung kann man nun aus komplexen Formeln mit Fallunterscheidungen eine einzige Formel machen.

== Beispiel == 
Die [[Fibonaccizahlen]] sind durch folgende Rekurrenzgleichung definiert:

<math>f_n=\begin{cases} 0, & \text{wenn }n \le 0 \\ 1, & \text{wenn }n = 1 \\ f_{n-1} + f_{n-2}, & \text{wenn }n > 1 \end{cases}</math>

Mit der Abbildung von Iverson kann man diese Rekurrenzgleichung in eine einfache Form überführen:

<math>f_n=(f_{n-1} + f_{n-2}) \cdot [n > 1] + [n = 1]</math>

Der Teil <math>(f_{n-1} + f_{n-2})</math> entspricht der rekursiven Definition der Fibonaccizahlen.
Der Faktor <math>[n > 1]</math> entfernt für alle Fibonaccizahlen mit einem Index kleiner oder gleich 1 diesen rekursiven Teil. Und <math>[n = 1]</math> ist genau dann gleich 1, wenn der Index <math>n</math> gleich 1 ist. Dadurch wird die Fibonaccizahl mit dem Index 1 gleich 1, und dadurch ist gewährleistet, dass die Fibonaccizahlen mit einem Index größer als 1 auch einen Wert größer als 0 haben.

Mit dieser Formel kann man nun einfacher die geschlossene Formel bestimmen.

== Siehe auch ==
* [[Indikatorfunktion]]


[[Kategorie:Mathematische Logik|Pradikatabbildung]]