Quelltext der Seite Potenzreihe

{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit Potenzreihen, die der Beschreibung von reellen oder komplexen Funktionen dienen. Für [[formale Potenzreihe]]n siehe dort.}}

Unter einer '''Potenzreihe''' <math>P(x)</math> versteht man in der [[Analysis]] eine [[Reihe (Mathematik)|unendliche Reihe]] der Form
:<math>P(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n</math>
mit
* einer beliebigen [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(a_n)_{n \in \mathbb N_0}</math> [[Reelle Zahl|reeller]] oder [[Komplexe Zahl|komplexer]] Zahlen
* dem ''Entwicklungspunkt'' <math>x_0</math> der Potenzreihe.

Potenzreihen spielen eine wichtige Rolle in der [[Funktionentheorie]] und erlauben oft eine sinnvolle Fortsetzung [[Reelle Funktion|reeller Funktionen]] in die komplexe Zahlenebene. Insbesondere stellt sich die Frage, für welche reellen oder komplexen Zahlen eine Potenzreihe konvergiert. Diese Frage führt zum Begriff des [[Konvergenzradius]].

== Konvergenzradius ==

{{Hauptartikel|Konvergenzradius}}
Als Konvergenzradius einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt <math>x_0</math> ist die größte Zahl <math>r</math> definiert, für welche die Potenzreihe für alle <math>x</math> mit <math>|x-x_0|<r</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Die [[Offene Menge#Metrischer Raum|offene Kugel]] <math>U_r(x_0)</math> mit Radius <math>r</math> um <math>x_0</math> nennt man ''Konvergenzkreis.'' Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle <math>x</math> konvergiert, so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich. Konvergiert sie nur für <math>x_0</math>, so ist der Konvergenzradius 0, die Reihe wird dann manchmal auch ''nirgends konvergent'' genannt.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius <math>r</math> mit der ''Formel von Cauchy-Hadamard'' berechnen. Es gilt:
:<math>r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\ \sqrt[n]{|a_n|}}</math>

In diesem Zusammenhang definiert man <math>\tfrac{1}{0} := +\infty</math> und <math>\tfrac{1}{\infty} := 0</math>.

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nichtverschwindenden Koeffizienten auch einfacher berechnet werden. Es gilt nämlich
:<math>r = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,</math>
sofern dieser Grenzwert existiert.

== Beispiele ==

Jede [[Polynom]]funktion lässt sich als Potenzreihe auffassen, bei der [[fast alle]] Koeffizienten <math>a_n</math> gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind [[Taylorreihe]] und [[Maclaurinsche Reihe]]. Funktionen, die sich durch eine Potenzreihe darstellen lassen, werden auch [[analytische Funktion]]en genannt. Hier noch beispielhaft die Potenzreihendarstellung einiger bekannter Funktionen:

* [[Exponentialfunktion]]: <math>e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dotsb</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h., der Konvergenzradius ist unendlich.

* [[Sinus]]: <math>\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\mp\dotsb</math>

* [[Kosinus]]: <math>\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\mp\dotsb</math>
:Der [[Konvergenzradius]] ist sowohl für den Sinus als auch für den Kosinus unendlich. Die Potenzreihendarstellung ergibt sich direkt mit der [[Eulersche Formel|eulerschen Formel]] aus der Exponentialfunktion.

* [[Geometrische Reihe]]: <math>\frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + \dotsb</math>
:für <math>|x| < 1</math>, und die Reihe divergiert für <math>|x| \geq 1</math>; der Konvergenzradius ist also <math>1</math>.

* [[Logarithmus]]funktion: <math>\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}= x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+ \dotsb</math>
:für <math>-1 < x \leq 1</math>, d.&nbsp;h.: Der Konvergenzradius ist 1, für <math>x=1</math> ist die Reihe konvergent, für <math>x=-1</math> divergent.

* [[Wurzel (Mathematik)|Wurzelfunktion]]: <math>\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 \mp \dotsb</math> für <math>-1 \leq x \leq 1</math>, d.&nbsp;h., der Konvergenzradius ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für <math>x=1</math> als auch für <math>x=-1</math>.

== Eigenschaften ==

Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzkreises [[Normale Konvergenz|normal konvergent]]. Daraus folgt direkt, dass jede durch eine Potenzreihe definierte Funktion stetig ist. Des Weiteren folgt daraus, dass auf kompakten Teilmengen des Konvergenzkreises [[gleichmäßige Konvergenz]] vorliegt. Dies rechtfertigt das gliedweise Differenzieren und Integrieren einer Potenzreihe und zeigt, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind.

Innerhalb des Konvergenzkreises liegt [[absolute Konvergenz]] vor. Über das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Rand des Konvergenzkreises kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Fällen erlaubt aber der [[Abelscher Grenzwertsatz|abelsche Grenzwertsatz]], eine Aussage zu treffen.

Die Potenzreihendarstellung einer Funktion um einen Entwicklungspunkt ist eindeutig bestimmt ([[Identitätssatz für Potenzreihen]]). Insbesondere ist für einen gegebenen Entwicklungspunkt die Taylorentwicklung die einzig mögliche Potenzreihenentwicklung.

== Operationen mit Potenzreihen ==

=== Addition und skalare Multiplikation ===

Sind <math>f</math> und <math>g</math> durch zwei Potenzreihen
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n</math>
:<math>g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n</math>
mit dem Konvergenzradius <math>r</math> dargestellt und ist <math>c</math> eine feste komplexe Zahl, dann sind <math>f+g</math> und <math>cf</math> in Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens <math>r</math> entwickelbar und es gilt:
:<math>f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n</math>
:<math>cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n</math>

=== Multiplikation ===

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius <math>r</math> ist eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens <math>r</math> ist. Da im Inneren des Konvergenzkreises absolute Konvergenz vorliegt, gilt nach der [[Cauchy-Produktformel]]:

:<math>\begin{align}
f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\textstyle \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n.
\end{align}</math>

Dabei wird die durch <math>\textstyle c_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> definierte Folge <math>(c_n)</math> als [[Faltung (Mathematik)#Diskrete Faltung|''Faltung'']] oder ''Konvolution'' der beiden Folgen <math>(a_n)</math> und <math>(b_n)</math> bezeichnet.

=== Verkettung ===

Es gebe zu <math>f</math> und <math>g</math> zwei Potenzreihen
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_1)^n</math>
:<math>g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n</math>
mit positiven Konvergenzradien und der Eigenschaft
:<math>b_0 = g(x_0) = x_1</math>.
Dann ist die Verkettung <math>f\circ g</math> beider Funktionen lokal wieder eine [[analytische Funktion]] und somit um <math>x_0</math> in eine Potenzreihe entwickelbar:
:<math>(f\circ g)(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n</math>

Nach dem [[Satz von Taylor]] gilt:
:<math>c_n = \frac{(f\circ g)^{(n)}(x_0)}{n!}</math>
Mit der [[Formel von Faà di Bruno]] kann man diesen Ausdruck nun in einer geschlossenen Formel in Abhängigkeit von den gegebenen Reihenkoeffizienten angeben, da:
:<math>
\begin{align}
f^{(n)}(g(x_0))
&= f^{(n)}(x_1) \\
&= n!\cdot a_n \\
g^{(m)}(x_0)
&= m!\cdot b_m
\end{align}
</math>

Man erhält mit [[Multiindex]]-Schreibweise:
:<math>
\begin{align}
c_n
&=\frac{(f\circ g)^{(n)}(x_0)}{n!} \\
&=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{f^{(|\boldsymbol{k}|)}(g(x_0))}{\boldsymbol{k}!}
 \prod_{m=1\atop k_m\ge1}^n \left(\frac{g^{(m)}(x_0)}{m!}\right)^{k_m} \\
&=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} \frac{|\boldsymbol{k}|! \cdot a_{|\boldsymbol{k}|}}{\boldsymbol{k}!}
 \prod_{ m=1\atop k_m\ge1}^n b_m^{k_m} \\
&=\sum_{\boldsymbol{k}\in T_n} {{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}} \, a_{|\boldsymbol{k}|}
 \prod_{ m=1\atop k_m\ge1}^n b_m^{k_m}
\end{align}
</math>
Dabei ist <math>{{|\boldsymbol{k}|} \choose \boldsymbol{k}}</math> der [[Multinomialkoeffizient]] zu <math>\boldsymbol{k}</math> und <math>T_{n}=\left\{ \boldsymbol{k}\in\mathbb{N}_{0}^{n} \, \Big | \, \sum_{j=1}^{n}j\cdot k_{j}=n\right\}</math> ist die Menge aller Partitionen von <math>n</math> (siehe [[Partitionsfunktion]]).

=== Differentiation und Integration ===

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die [[Differentialrechnung|Ableitung]] ergibt sich durch gliedweise Differentiation:
:<math>
f^\prime(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n}
</math>
Hierbei ist <math>f</math> beliebig oft differenzierbar und es gilt:
:<math>
f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n (x-x_0)^{n-k}
           = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+k)!}{n!} a_{n+k} (x-x_0)^n
</math>

Analog erhält man eine [[Stammfunktion]] durch gliedweise Integration einer Potenzreihe:
:<math>
\int f(x)\,\text{d}x = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C
</math>

In beiden Fällen ist der Konvergenzradius gleich dem der ursprünglichen Reihe.

== Darstellung von Funktionen als Potenzreihen ==

Oft ist man zu einer gegebenen Funktion an einer Potenzreihendarstellung interessiert&nbsp;– insbesondere, um die Frage zu beantworten, ob die Funktion [[Analytische Funktion|analytisch]] ist. Es gibt einige Strategien, um eine Potenzreihendarstellung zu bestimmen, die allgemeinste mittels der [[Taylorreihe]]. Hier tritt aber oft das Problem auf, dass man eine geschlossene Darstellung für die Ableitungen benötigt, die oft schwer zu bestimmen ist. Für [[gebrochen rationale Funktion]]en gibt es jedoch einige leichtere Strategien. Als Beispiel soll die Funktion
:<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}</math>
betrachtet werden.

;Mittels der geometrischen Reihe
Durch Faktorisieren des Nenners und anschließender Anwendung der Formel für Summe einer [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] erhält man eine Darstellung der Funktion als Produkt von unendlichen Reihen:
:<math>{f(z)=\frac{z^2}{(1-z)(3-z)}=\frac{z^2}{3}\cdot \frac{1}{1-z} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}=\frac{z^2}{3}\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty z^n \right) \cdot \left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right)= \frac{1}{3}\left(\sum_{n=2}^\infty z^n \right)\left( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{3}\right)^n\right)}</math>

Beide Reihen sind Potenzreihen um den Entwicklungspunkt <math>z_0=0</math> und können daher in der oben genannten Weise multipliziert werden. Dasselbe Ergebnis liefert auch die [[Cauchy-Produktformel]]
:<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n \textstyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}</math>
mit
:<math>a_k=
\begin{cases}
0 & \text{ für } k\in\{0,1\} \\
1 & \text{ sonst}
\end{cases}</math>
und
:<math>b_k=\frac{1}{3^k}.</math>

Daraus folgt durch Anwendung der Formel für die Partialsumme einer [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]]
:<math>\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}= \sum_{k=2}^n \left( \frac{1}{3}\right)^{n-k}=\frac{1}{3^{n-2}}\sum_{k=0}^{n-2} 3^k= -\frac{1-3^{n-1}}{2 \cdot 3^{n-2}}</math>
als geschlossene Darstellung für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe. Damit ist die Potenzreihendarstellung der Funktion um den Entwicklungspunkt 0 gegeben durch
:<math>f(z)= \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2} \cdot \left(1-\frac{1}{3^{n-1}} \right) \cdot z^n</math>.

;Durch [[Koeffizientenvergleich]]
Oft ist der Weg über die geometrische Reihe umständlich und fehleranfällig. Deshalb bietet sich folgender Ansatz an: Man nimmt an, dass eine Potenzreihendarstellung
:<math>f(z)= \frac{z^2}{z^2-4z+3}= \sum_{n=0}^\infty b_n z^n</math>
der Funktion mit unbekannter Koeffizientenfolge <math>(b_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> existiert. Nach dem Durchmultiplizieren des Nenners und einer [[Indexverschiebung]] ergibt sich die Identität:
:<math>\begin{align} z^2 & = (z^2-4z+3)\sum_{n=0}^\infty b_n z^n \\& = \sum_{n=2}^\infty b_{n-2} z^n - \sum_{n=1}^\infty 4b_{n-1} z^n + \sum_{n=0}^\infty 3b_n z^n \\& = 3b_0+z(3b_1-4b_0) + \sum_{n=2}^\infty (b_{n-2} -4 b_{n-1} +3 b_n)z^n \end{align}</math>

Da aber zwei Potenzreihen genau dann gleich sind, wenn ihre Koeffizientenfolgen übereinstimmen, ergibt sich durch Koeffizientenvergleich
:<math>b_0=0,\ b_1=0,\ b_2=\frac{1}{3}</math>
und die Rekursionsgleichung
:<math>b_n=\frac{4b_{n-1} - b_{n-2}}{3}</math>,
aus der mittels [[Vollständige Induktion|vollständiger Induktion]] die obige geschlossene Darstellung folgt.

Das Vorgehen mittels Koeffizientenvergleiches hat auch den Vorteil, dass andere Entwicklungspunkte als <math>z_0=0</math> möglich sind. Betrachte als Beispiel den Entwicklungspunkt <math>z_1=-1 </math>. Zuerst muss die gebrochen rationale Funktion als Polynom in <math>(z-z_1)=(z+1)</math> dargestellt werden:
:<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=\frac{(z+1)^2-2(z+1)+1}{(z+1)^2-6(z+1)+8}</math>

Analog zu oben nimmt man nun an, dass eine formale Potenzreihe um den Entwicklungspunkt existiert mit unbekannter Koeffizientenfolge und multipliziert mit dem Nenner durch:
:<math>\begin{align} (z+1)^2-2(z+1)+1 & = ((z+1)^2 - 6(z+1)+8)\sum_{n=0}^\infty b_n (z+1)^n \\ & = 8b_0+(z+1)(8b_1-6b_0) + \sum_{n=2}^\infty (b_{n-2}-6b_{n-1}+8b_n)(z+1)^n \end{align}</math>

Wieder ergibt sich mittels Koeffizientenvergleiches
:<math>b_0=\frac{1}{8},\ b_1=-\frac{5}{32},\ b_2=-\frac{1}{128}</math>
und als Rekursionsgleichung für die Koeffizienten:
:<math>b_n=\frac{-b_{n-2}+6b_{n-1}}{8}</math>

;Durch Partialbruchzerlegung
Wendet man auf die gegebene Funktion zuerst [[Polynomdivision]] und dann die [[Partialbruchzerlegung]] an, so erhält man die Darstellung
:<math>f(z)=\frac{z^2}{z^2-4z+3}=1+\frac{4z-3}{(z-1)(z-3)}= 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-z} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{3}}</math>.

Durch Einsetzen der geometrischen Reihe ergibt sich:
:<math>{f(z)=1+\frac{1}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty z^n - \frac{3}{2} \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}z^n = 1+\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2} \cdot\left( 1- \frac{1}{3^{n-1}} \right) z^n}</math>

Wegen <math>\textstyle 1 + \sum_{n=0}^{1} \frac{1}{2} \cdot\left(1 - \frac{1}{3^{n-1}}\right) z^n = 1 + (-1) + 0 = 0</math> ergibt sich wie oben <math>\textstyle f(z) = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2} \cdot\left(1 - \frac{1}{3^{n-1}}\right) z^n</math>.

== Verallgemeinerungen ==

Potenzreihen lassen sich nicht nur für <math>x \in \mathbb{C}</math> definieren, sondern sind auch verallgemeinerbar. So sind z.&nbsp;B. das [[Matrixexponential]] und der [[Matrixlogarithmus]] Verallgemeinerungen von Potenzreihen auf dem Raum der [[Matrix (Mathematik)|quadratischen Matrizen]].

Kommen in einer Reihe auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten vor, so spricht man von einer [[Laurent-Reihe]]. Erlaubt man den Exponenten, auch gebrochene Werte anzunehmen, handelt es sich um eine [[Puiseux-Reihe]].

[[Formale Potenzreihe]]n werden beispielsweise als [[erzeugende Funktion]]en in der [[Kombinatorik]] und der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] (etwa als [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]]en) verwendet. In der [[Algebra]] werden formale Potenzreihen über allgemeinen [[Kommutativer Ring|kommutativen Ringen]] untersucht.

== Literatur ==

* Kurt Endl, Wolfgang Luh: ''Analysis II.'' Aula-Verlag 1973, 7. Auflage 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 85–89, 99.
* E. D. Solomentsev: [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Power_series ''Power series.''] In: ''[[Encyclopaedia of Mathematics]].''

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]