Quelltext der Seite Polynomring

Wenn <math>R</math> ein [[kommutativer Ring]] mit einer <math>1</math> ist, dann ist der '''Polynomring''' <math> R[X] </math> die Menge aller [[Polynom]]e mit Koeffizienten aus dem Ring <math>R</math> und der Variablen <math>X</math> zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation von  Polynomen. Davon zu unterscheiden sind in der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] die [[Polynomfunktion]]en, nicht zuletzt, weil unterschiedliche Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können.

== Definitionen ==
=== Der Polynomring ''R''[''X''] ===
Sei R ein Ring mit 1. Dann ist <math>R[X]</math> die Menge
:<math> R^{(\N_0)} := \left\{ (a_i)_{i \in \N_0} \mid a_i \in R, a_i = 0 \ \mathrm{f\ddot ur} \text{ fast alle } i \right\}</math>
der Folgen in <math>R</math>, bei denen [[fast alle]], also alle bis auf endlich viele, Folgenglieder gleich <math>0</math> sind.

Die Addition wird komponentenweise durchgeführt:

:<math> (a_i)_{i\in\N_0}+(b_i)_{i\in\N_0}:=(a_i+b_i)_{i\in\N_0}</math>
und die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] der Folgen definiert die Multiplikation
:<math>
(a_i)_{i\in\N_0}\cdot(b_i)_{i\in\N_0}
  :=\left(\sum_{i=0}^{k} a_ib_{k-i}\right)_{k\in \N_0}
   =\left(\sum_{i+j=k} a_ib_j\right)_{k\in \N_0}
</math>.
Durch diese Verknüpfungen wird auf dem Raum der endlichen Folgen eine Ringstruktur definiert, dieser Ring wird als <math>R[X]</math> bezeichnet.

In diesem Ring wird <math>X \in R^{(\N_0)}</math> definiert als
:<math> X = X^1 := (0,1,0,0,\dotsc)</math>
und die <math>1 \in R^{(\N_0)}</math> ist
:<math> 1 := X^0 = (1,0,0,0,\dotsc)</math> .
Aus der Definition der Multiplikation durch Faltung folgt dann, dass
:<math> X^k := \underbrace{X\cdot X \dotsm X}_{k\text{-mal das }X} = (\underbrace{0,0, \dotsc, 0}_{k\text{ Nullen}}, 1,0,0,\dotsc)</math>
ist und in der Klammer rechts genau an der <math>(k+1)</math>-ten Stelle eine Eins steht, ansonsten besteht die Folge ausschließlich aus Nullen.

Mit dem [[Erzeuger (Algebra)|Erzeuger]] <math>X</math> kann nun jedes Element <math>f</math> aus <math>R^{(\N_0)}</math> eindeutig in der geläufigen Polynomschreibweise
:<math>f = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dotsb + a_n X^n = \sum_{i=0}^n a_i X^i</math>
dargestellt werden. Die einzelnen Folgenglieder <math>a_i</math> nennt man die ''Koeffizienten'' des Polynoms.

Damit erhält man den ''Polynomring <math>R[X]</math> über <math>R</math> in der Unbestimmten <math>X</math>''.

=== Der Polynomring in mehreren Veränderlichen ===
Der Polynomring in mehreren Veränderlichen wird rekursiv definiert durch:
:<math> R[X_1,\dotsc,X_n]:=R[X_1,\dotsc,X_{n-1}][X_n]</math>

Man betrachtet hier also Polynome in der Variablen <math>X_n</math> mit Koeffizienten aus dem Polynomring <math> R[X_1,\dotsc, X_{n-1}] </math>, wobei dieser wieder genauso definiert ist. Dies kann man solange fortsetzen, bis man bei der Definition des Polynomrings in einer Veränderlichen angekommen ist. In <math>R[X_1,\dotsc, X_n]</math> kann man jedes Element eindeutig als

:<math> \sum_{k=(k_1,\dotsc,k_n)\in\N_0^n} {a_k\, X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n}} </math>
schreiben.

Der Polynomring in beliebig vielen Unbestimmten (mit einer Indexmenge <math>J</math>) kann entweder als der [[Monoidring]] über dem freien kommutativen [[Monoid]] über <math>J</math> oder als der [[Kolimes]] der Polynomringe über endliche Teilmengen von <math>J</math> definiert werden.

=== Der Quotientenkörper ===
Ist <math>K</math> ein Körper, so ist <math>K(X)</math> die Bezeichnung für den [[Quotientenkörper]] von <math>K[X]</math>, den [[Rationaler Funktionenkörper|rationalen Funktionenkörper]]. Analog wird der Quotientenkörper eines Polynomrings <math>K[X_1, \dotsc, X_n]</math> über mehreren Unbestimmten mit <math>K(X_1, \dotsc, X_n)</math> bezeichnet.

== Eigenschaften ==
=== Gradsatz ===
Die Funktion
:<math>\begin{array}{rccl}
\deg\colon & R[X] & \to & \quad \N_0 \cup \{-\infty\} \\
  & f & \mapsto & \begin{cases}
  \max\left\{k\in\N_0\mid a_k\ne 0\right\}, & \text{wenn } f \neq 0\\
  -\infty, & \text{wenn } f = 0
\end{cases}
\end{array}
</math>
definiert den '''[[Grad (Polynom)|Grad]] des Polynoms''' <math>f</math> in der Unbestimmten <math>X</math>. Hierbei gelten für <math> -\infty </math> die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition: Für alle <math> k \in \N_0 </math> gilt <math> -\infty < k </math> und <math> -\infty + k = -\infty </math>.

Der Koeffizient <math> a_{\deg(f)} </math> wird der [[Leitkoeffizient]] von <math> f \neq 0 </math> genannt.

Es gilt für alle <math>f, g \in R[X]</math>
*<math>\deg(f\cdot g)\leq\deg(f)+\deg(g)</math>.
:(Enthält <math>R</math> keine [[Nullteiler]]&nbsp;– präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler&nbsp;–, gilt die Gleichheit.)
*<math>\deg(f+g)\leq\max\{\deg(f),\deg(g)\}</math>.

Aus diesem Gradsatz folgt insbesondere, dass wenn <math>R</math> ein Körper ist, die [[Einheit (Mathematik)|Einheiten]] genau den Polynomen mit Grad null entsprechen, und das sind die Konstanten ungleich null.

Bei einem Körper <math>R</math> wird <math>R[X]</math> durch die Gradfunktion zu einem [[Euklidischer Ring|euklidischen Ring]]: Es gibt eine [[Division mit Rest#Polynome|Division mit Rest]], bei der der Rest einen kleineren Grad als der Divisor hat.

; Beispiele:
# Sei <math>R := \Z</math> der Ring der ganzen Zahlen. Dann sind <math>f := 1+2X \ne 0</math> und <math>g := 1+3X \ne 0</math> beide vom Grad 1. Das Produkt <math>f\cdot g = 1+5X+6X^2</math> hat den Grad 2, wie sich auch aus <math>\deg(f\cdot g) = \deg(f)+\deg(g)</math> ausrechnet. 
# Sei <math>R := \Z/6\Z</math> der [[Restklassenring]] modulo 6 (ein Ring mit den nicht-trivialen [[Nullteiler]]n 2 und 3) und wie oben <math>f := 1+2X</math> und <math>g := 1+3X</math>. Beide sind <math>\not\equiv 0 \mod 6</math> und auch hier vom Grad 1. Aber <math>f\cdot g = 1+5X+6X^2 \equiv 1+5X \mod 6</math> hat den Grad 1 und <math>1 = \deg(f\cdot g) < \deg(f)+\deg(g) = 2</math>.

=== Gradsatz für Polynome in mehreren Veränderlichen ===
Bei einem Monom
:<math> a_{k_1,\dotsc,k_n}\, X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n} </math>
definiert man die Summe der Exponenten
:<math> k_1+\dotsb+k_n </math>
als den [[Polynom#Verallgemeinerungen|'''Totalgrad''']] des Monoms, falls <math> a_{k_1,\dotsc,k_n}\,\neq 0 </math>.
Der Grad <math>d</math> des nichtverschwindenden Polynoms
:<math> \sum_{k=(k_1,\dotsc,k_n)\in\N_0^n} {a_k\, X_1^{k_1}\dotsm X_n^{k_n}} </math>
in mehreren Veränderlichen wird definiert als der maximale Totalgrad der (nichtverschwindenden) Monome. Eine Summe von Monomen von gleichem Totalgrad ist ein [[homogenes Polynom]]. Die Summe aller Monome vom Grad <math>d</math>, d.&nbsp;i. das maximale homogene Unterpolynom von maximalem Grad, spielt (bezogen auf alle Veränderliche zusammen) die Rolle des Leitkoeffizienten. (Der Leitkoeffizient einer einzelnen Unbestimmten ist ein Polynom in den anderen Unbestimmten.)

Der Gradsatz gilt auch für Polynome in mehreren Veränderlichen.

=== Elementare Operationen, Polynomalgebra ===
In der Polynomschreibweise sehen Addition und Multiplikation für Elemente <math>\textstyle f=\sum_{i=0}^m f_i X^i</math> und <math>\textstyle g=\sum_{i=0}^n g_i X^i</math> des Polynomrings <math>R[X]</math> wie folgt aus:
:<math>f+g = \sum_{k=0}^{\max(m,n)}(f_k+g_k)X^k</math>,
:<math>f\cdot g = \sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{i+j=k} f_i\cdot g_j\right)X^k</math>

Der Polynomring <math>R[X]</math> ist nicht nur ein kommutativer Ring, sondern auch ein [[Modul (Mathematik)|Modul]] über <math>R</math>, wobei die [[Skalarmultiplikation]] gliedweise definiert ist. Damit ist <math>R[X]</math> sogar eine kommutative assoziative [[Algebra über einem kommutativen Ring|Algebra]] über <math>R</math>.

=== Homomorphismen ===
Falls <math>A</math> und <math>B</math> kommutative Ringe mit <math>1</math> sind und <math>\varphi\colon A\to B</math> ein [[Homomorphismus]] ist, dann ist auch
:<math>\tilde\varphi \colon A[X]\to B[X],\quad \sum_{i=1}^{n} {a_iX^i}\,\mapsto\,\sum_{i=1}^{n} \varphi (a_i)X^i</math> ein Homomorphismus.

Falls <math>A</math> und <math>B</math> kommutative Ringe mit <math>1</math> sind und <math> \varphi\colon A\to B </math> ein Homomorphismus ist, dann gibt es für jedes <math>b\in B</math> einen eindeutigen Homomorphismus <math>\phi_b\colon A[X]\to B</math>, der eingeschränkt auf <math>A</math> gleich <math>\varphi</math> ist und für den <math> \phi_b(X)=b</math> gilt, nämlich <math> \phi_b \left(\sum {a_iX^i}\right)=\sum {\varphi(a_i)b^i} </math>.

=== Algebraische Eigenschaften ===
Ist <math>R</math> ein [[kommutativer Ring]] mit <math>1</math>, so gilt:
* Ist <math>R</math> [[nullteiler]]frei, so auch <math>R[X]</math>.
* Ist <math>R</math> [[Faktorieller Ring|faktoriell]], so auch <math>R[X]</math> ([[Lemma von Gauß (Polynome)|Lemma von Gauß]]).
* Genau dann ist <math>R</math> ein Körper, wenn <math>R[X]</math> [[Euklidischer Ring|euklidisch]] (und damit ein [[Hauptidealring]]) ist.<ref>{{Literatur |Autor=Kurt Meyberg |Titel=Algebra. Teil 1  |Verlag=Carl Hanser Verlag |Ort=München, Wien |Datum=1975 |Seiten=151}}</ref>
* Ist <math>R</math> [[Noetherscher Ring|noethersch]], so gilt für die [[Krulldimension|Dimension]] des Polynomrings in einer Variablen über <math>R</math>: <math>\dim(R[X])=\dim(R)+1</math>
* Ist <math>R</math> [[Noetherscher Ring|noethersch]], so ist der Polynomring <math>R[X_1,\dotsc,X_n]</math> mit Koeffizienten in <math>R</math> noethersch ([[Hilbertscher Basissatz]]).
* Ist <math>R</math> ein [[Integritätsring]] und <math>0\neq f\in R[X]</math>, so hat <math> f </math> maximal <math>\deg(f)</math> Nullstellen. Dies ist über Nicht-Integritätsringen im Allgemeinen falsch.
* Ein Polynom <math>f=a_nX^n+\dotsb+a_0\in R[X]</math> ist genau dann in <math>R[X]</math> invertierbar, wenn <math>a_0</math> invertierbar ist und alle weiteren Koeffizienten [[Nilpotentes Element|nilpotent]] in <math>R</math> sind. Insbesondere ist ein Polynom <math>f\in R[X]</math> über einem Integritätsring <math>R</math> genau dann invertierbar, wenn es ein konstantes Polynom <math>a_0</math> ist, wobei <math>a_0</math> eine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] in <math>R</math> ist.

== Polynomfunktion und Einsetzungshomomorphismus ==
{{Hauptartikel|Satz über den Einsetzungshomomorphismus}}

Ist
:<math>f=a_0+a_1X+\dotsb+a_nX^n</math>
ein Polynom aus <math>R[X]</math>, so nennt man
:<math> f_R\colon R\to R,\quad x\mapsto f_R(x)=a_0+a_1x+\dotsb+a_nx^n</math>
die zu <math>f</math> gehörende ''Polynomfunktion''. Allgemeiner definiert <math>f</math> auch für jeden [[Ringhomomorphismus]] <math>\phi\colon R\to S</math> (in einen kommutativen Ring <math>S</math> mit 1) eine Polynomfunktion <math>f_S\colon S\to S,\ x\mapsto f_S(x).</math> Der Index wird oft weggelassen.

Umgekehrt haben Polynomringe <math>R[X]</math> über einem kommutativen Ring <math>R</math> mit 1 die folgende ''universelle Eigenschaft'':

::''Gegeben ein Ring <math>S</math> (kommutativ mit 1), ein Ringhomomorphismus <math>\phi\colon R\to S</math> und ein <math>s\in S</math>, so gibt es genau einen Homomorphismus <math>
\Phi\colon R\left[X\right]\to S</math> mit <math>\Phi(X)=s</math>, so dass <math>\Phi</math> eine Fortsetzung von <math>\phi</math> ist, also <math>\Phi\mid_R=\phi</math> gilt.''

Diese Eigenschaft wird „universell“ genannt, weil sie den Polynomring <math>R[X]</math> bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]] eindeutig bestimmt.

Der Homomorphismus
:<math>\Phi\colon a_0 + a_1X + a_2X^2 + \dotsb + a_nX^n \longmapsto a_0 + a_1 s + \dotsb + a_n s^n,</math>
wird der ''Auswertung(-shomomorphismus)'' für <math>s</math> oder ''Einsetzung(-shomomorphismus)'' von <math>s</math> genannt.

=== Beispiele ===
* Setzen wir <math>S = R[X]</math> und <math>s = X</math>, so ist <math>\Phi_X\colon R[X] \to R[X],\ f\mapsto f_{R[X]}(X)=f</math> die identische Abbildung; <math>\Phi_X = \operatorname{Id}_{R[X]}</math>.
* Betrachten wir einen Polynomring <math>R[X, X_1, X_2, \dotsc, X_n]</math> mit zusätzlichen Unbestimmten <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> (s.&nbsp;[[#Polynome mit zwei Veränderlichen|Polynome mit mehreren Veränderlichen]]) als Erweiterung von <math>R[X]</math>, ergibt sich analog zur Konstruktion aus vorigem Beispiel der Einsetzungshomomorphismus <math>\Phi_X\colon R[X] \to R[X,Y],\ f\mapsto f_{R[X,Y]}(X)=f</math> als Monomorphismus von <math>R[X]</math> in <math>R[X, X_1, X_2, \dotsc, X_n].</math>,

=== Polynomfunktionen ===
Ist <math>R</math> ein Ring (kommutativ mit 1), dann ist auch die Menge <math>\operatorname{Abb}(R,R)</math> der Abbildungen von <math>R</math> in sich ein Ring und nach der universellen Eigenschaft gibt es einen Homomorphismus 
:<math>\Phi\colon R\left[X\right]\to \operatorname{Abb}(R,R)</math>
mit <math>\Phi(a)=c_a</math> (die [[konstante Abbildung]]) für alle <math>a\in R</math> und <math>\Phi(X)= \operatorname{id}_R</math> (die [[Identitätsabbildung]]).
:<math>\overline{f}:=\Phi(f)</math>
ist die dem Polynom <math>f</math> zugeordnete Polynomfunktion. Der Homomorphismus 
:<math>f\to\overline{f}</math>
ist nicht notwendig injektiv, zum Beispiel ist für <math>R=\Z/2\Z</math> und <math>f=X^2+X\in R\left[X\right] \setminus \{0\}</math> die zugehörige Polynomfunktion <math>\overline{f}=0</math>.

== Beispiele ==
=== Ein Polynom über einem endlichen Körper ===
Da in dem [[Endlicher_Körper|endlichen Körper]] <math>\mathbb F_q</math> die [[Einheit (Mathematik)|Einheitengruppe]] zyklisch mit der Ordnung <math>q-1</math> ist, gilt für <math>x \in \mathbb F_q</math> die Gleichung <math>x^q=x</math>. Deswegen ist die Polynomfunktion <math>f_{\mathbb F_q}\colon \mathbb F_q \to \mathbb F_q</math> des Polynoms
:<math>f=X^q-X=\prod_{a \in \mathbb F_q}(X-a) \in \mathbb F_q[X]</math>
die [[Nullfunktion]], obwohl <math>f</math> nicht das Nullpolynom ist.

Ist <math>q</math> eine Primzahl, dann entspricht dies genau dem [[Kleiner_fermatscher_Satz|kleinen fermatschen Satz]].

=== Polynome mit zwei Veränderlichen ===
Ist <math>f \in \Z[X]</math> oder <math>f \in \R[X] </math> ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom, so ist die Anzahl der Nullstellen von <math>f</math> endlich. Bei Polynomen mit mehreren Unbestimmten kann die [[Nullstellenmenge]] ebenfalls endlich sein: 
:Das Polynom  <math>f=((X-2)(X-3))^2+Y^2 \in \R[X,Y] </math> hat die Nullstellen  <math>(2,0)</math> und <math>(3,0) </math> in <math> \R^2</math>.

Es kann aber ebenso unendliche Nullstellenmengen geben: 
:Das Polynom <math>f=X^2+Y^2-1 \in \R[X,Y] </math> besitzt als Nullstellenmenge die Einheitskreislinie <math>\{(x,y)\in\R^2 :x^2+y^2=1\}</math>, welche eine kompakte Teilmenge von <math>\R^2 </math> ist. Das Polynom <math>g=Y-X^2 \in \R[X,Y] </math> besitzt ebenfalls eine unendliche Nullstellenmenge, nämlich den Funktionsgraphen der Normalparabel, welcher nicht kompakt ist. 
Das Studium von Nullstellenmengen polynomialer Gleichungen mit mehreren Unbestimmten führte zur Entwicklung des mathematischen Teilgebiets der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]].

=== Polynome im Komplexen ===
Jedes komplexe Polynom <math>f\in \Complex[X]</math> vom Grad <math>n</math> hat genau <math>n</math> Nullstellen in <math>\Complex</math>, wenn man jede Nullstelle gemäß ihrer Vielfachheit zählt. Dabei heißt eine Nullstelle <math>z</math> <math>k</math>-fach, falls <math>(X-z)^k</math> ein Teiler von <math>f</math> ist, <math>(X-z)^{k+1}</math> dagegen nicht mehr.

Insbesondere gilt dieser ''Fundamentalsatz der Algebra'' auch für reelle Polynome <math>f\in\R[X]</math>, wenn man diese als Polynome in <math>\Complex[X]</math> auffasst. Zum Beispiel hat das Polynom <math> X^2+1 </math> die Nullstellen <math>\mathrm{i}</math> und <math>-\mathrm{i}</math>, da <math> \mathrm{i}^2=-1 </math> und ebenso <math> (-\mathrm{i})^2=-1</math>, also gilt
<math> X^{2}+1=(X+\mathrm{i})(X-\mathrm{i})</math>.

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra.'' 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, [[doi:10.1007/978-3-540-92812-6]]
* {{Literatur
   |Autor=[[Kurt Meyberg]]
   |Titel=Algebra. Teil 1
   |Reihe=Mathematische Grundlagen für Mathematiker, Physiker und Ingenieure
   |Verlag=[[Carl Hanser Verlag]]
   |Ort=München, Wien
   |Datum=1975
   |ISBN=3-446-11965-5
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0460010 MR0460010]}}
* [[Serge Lang]]: ''Algebra.'' 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2005, ISBN 978-0387953854.

== Einzelnachweise ==
<references />


[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Theorie der Polynome]]