Quelltext der Seite Polynominterpolation

[[Datei:Polynomial-interpolation.svg|mini|Interpolationspolynom 7.&nbsp;Grades]]
In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] versteht man unter '''Polynominterpolation''' die Suche nach einem [[Polynom]], welches exakt durch vorgegebene Punkte (z.&nbsp;B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses Polynom wird '''Interpolationspolynom''' genannt und man sagt, es [[Interpolation (Mathematik)|interpoliere]] die gegebenen Punkte.

== Anwendungen ==
Polynome lassen sich sehr leicht integrieren und ableiten. Deswegen tauchen interpolierende Polynome an vielen Stellen in der numerischen Mathematik auf, beispielsweise bei der [[Numerische Integration|numerischen Integration]] und entsprechend bei Verfahren zur numerischen Lösung [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]].

== Problemstellung ==
Für <math>n+1</math> gegebene Wertepaare <math>(x_i,\,f_i)</math> mit [[paarweise verschieden]]en [[Stützstelle]]n <math>x_i</math> wird ein Polynom <math>P</math> maximal <math>n</math>-ten Grades gesucht, das alle Gleichungen
: <math>P(x_i) = f_i, \quad i=0,\dotsc,n</math>
erfüllt. Ein solches Polynom existiert stets und ist eindeutig bestimmt, wie im Folgenden gezeigt wird.

Beim Interpolationsproblem ist also <math>P</math> im [[Vektorraum]] <math>\Pi_n</math> der Polynome mit Grad <math>n</math> oder kleiner zu suchen, kurz <math>P \in \Pi_n</math>. Ist <math>\phi_0,\dotsc,\phi_n</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>\Pi_n</math>, so ergeben die Gleichungen <math>P(x_i) = f_i</math> ein [[lineares Gleichungssystem]] für die Koeffizienten der Basisdarstellung <math>P = \sum_{k=0}^n a_k \phi_k</math>. Da sich ein und dasselbe Polynom aber unterschiedlich darstellen lässt, je nachdem welche Basis für den Vektorraum <math>\Pi_n</math> gewählt wird, kann man ganz verschiedene Gleichungssysteme erhalten. Wählt man für <math>\Pi_n</math> die Standardbasis <math>\left\{x^k\mid 0\le k\le n\right\}</math>, also für <math>P</math> die Darstellung <math>P(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k</math>, so erhält man ein Gleichungssystem mit der [[Vandermonde-Matrix]]:

: <math>
\begin{pmatrix}
1 & x_0 & \cdots & x_0^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & \cdots & x_n^n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0 \\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
f_0 \\
\vdots \\
f_n
\end{pmatrix}
</math>.

Diese ist [[Reguläre Matrix|regulär]], wenn die Stützstellen <math>x_i</math> paarweise verschieden sind, das Gleichungssystem lässt sich dann eindeutig lösen. Somit ist die Existenz und Eindeutigkeit des gesuchten Polynoms <math>P \in \Pi_n</math> immer sichergestellt. Trotz der theoretischen einfachen Darstellung wird dieses Gleichungssystem in der Praxis nicht zur Berechnung des Interpolationspolynoms verwendet, da seine Lösung aufwendig ist und es zudem im Allgemeinen schlecht [[Kondition (Mathematik)|konditioniert]] ist.

== Lösungsverfahren ==
Obiges Gleichungssystem ließe sich beispielsweise mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahren]] lösen. Der Aufwand dafür wäre mit <math>\mathcal O\left(n^3\right)</math> (siehe [[Landau-Symbole]]) allerdings vergleichsweise groß. Bei Wahl einer anderen Basis als der [[Standardbasis]] zur Beschreibung des Polynoms <math>P</math> kann der Aufwand verringert werden.

=== Lagrangesche Interpolationsformel ===
[[Datei:Lagrangesche Basisfunktionen.svg|mini|Beispielhafte lagrangesche Basisfunktionen für x<sub>0</sub> = 0, x<sub>1</sub> = 1, x<sub>2</sub> = 2, x<sub>3</sub> = 3 (n = 3)]]
Eher für theoretische Betrachtungen günstig ist eine Darstellung in der [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]-Basis. Die Basisfunktionen sind die ''Lagrange-Polynome''

: <math>\ell_i(x) = \prod_{\begin{smallmatrix}j=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}=\frac{x-x_0}{x_i-x_0}\cdots\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\cdot\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\cdots\frac{x-x_n}{x_i-x_n} \, ,</math>

die so definiert sind, dass

: <math>\ell_i(x_k) =  \prod_{\begin{smallmatrix}j=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^n \frac{x_k-x_j}{x_i-x_j} = \delta_{ik} = \left\{\begin{matrix}
 1 & \text{falls } i=k \\
 0 & \text{falls } i \neq k
\end{matrix}\right.</math>
gilt, wobei <math>\delta_{ik}</math> das [[Kronecker-Delta]] darstellt. Damit entspricht die Matrix <math>\left(\ell_i\left(x_j\right)\right)_{i,j=0,1,\dotsc,n}</math> genau der [[Einheitsmatrix]].
Die Lösung des Interpolationsproblems lässt sich dann einfach angeben als

: <math>P(x) = \sum_{i=0}^n f_i\ell_i\left(x\right)</math>

mit den [[Stützwert]]en <math>f_i</math>. Dies wird häufig benutzt, um die Existenz der Lösung des Interpolationsproblems zu beweisen. Ein Vorteil der Lagrange-Basis ist somit, dass die Basisfunktionen <math>\ell_i</math> von den Stützwerten <math>f_i</math> unabhängig sind. Dadurch lassen sich verschiedene Sätze von Stützwerten <math>f_i</math> mit gleichen Stützstellen <math>x_i</math> schnell interpolieren, wenn die Basisfunktionen <math>\ell_i</math> einmal bestimmt worden sind. Ein Nachteil dieser Darstellung ist jedoch, dass alle Basisvektoren bei Hinzunahme einer einzelnen Stützstelle komplett neu berechnet werden müssen, weshalb dieses Verfahren für die meisten praktischen Zwecke zu aufwendig ist. In der digitalen Signalverarbeitung wird die Lagrange-Interpolation unter dem Namen „Farrow Filter“ für adaptives Resampling eingesetzt.

=== Baryzentrische Interpolationsformel ===
Die Lagrangesche Interpolationsformel kann umgeformt werden in die praktisch relevantere ''Baryzentrische Interpolationsformel''
: <math>
P(x) = \frac{\sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j f_j}{x-x_j} }
            {\sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j}{x-x_j} } \, 
</math>
für <math>x\neq x_1,\ldots,x_n</math>, wobei die ''Baryzentrischen Gewichte'' wie folgt definiert sind
: <math>
\lambda_j := \prod_{\begin{smallmatrix}i=1\\i\neq j\end{smallmatrix}}^n  \frac{1}{x_j - x_i} \, .
</math>

Für vorgegebene Stützstellen <math>\left(x_i\right)_i</math> können die Gewichte <math>\left(\lambda_i\right)_i</math> vorberechnet werden, sodass der Aufwand für die Auswertung von <math>P(x)</math> nur noch bei <math>\mathcal{O}(n)</math> liegt.
Beim Hinzufügen einer neuen Stützstelle müssen die Gewichte neu bestimmt werden.
Dies hat einen Aufwand von <math>\mathcal{O}(n)</math> im Vergleich zum Neubestimmen der Lagrangepolynome von <math>\mathcal{O}\left(n^2\right)</math>.

=== Newtonscher Algorithmus ===
In diesem Verfahren wird das Polynom <math>P</math> in Newton-Basis dargestellt, so dass die Koeffizienten [[Effizienz (Informatik)|effizient]] mit dem [[#Bestimmung der Koeffizienten: Schema der dividierten Differenzen|Schema der dividierten Differenzen]] bestimmt werden können. Eine effiziente Auswertung des Polynoms kann dann mithilfe des [[#Auswertung des Polynoms: Horner-Schema|Horner-Schemas]] erfolgen.

==== Ansatz: Newton-Basis ====
Als Ansatz für das gesuchte Interpolationspolynom <math>P</math> wählt man die Newton-Basisfunktionen <math>N_0(x)=1</math> und <math>\textstyle N_i(x) = \prod_{j=0}^{i-1}\left(x-x_j\right)=\left(x-x_0\right)\dotsm\left(x-x_{i-1}\right)</math> mit <math>i=1,\dotsc,n</math>, so dass <math>P</math> dargestellt wird mit der Newtonschen Interpolationsformel

: <math>P(x)=\sum_{i=0}^n c_i\cdot N_i(x)=c_0+c_1 \left(x-x_0\right)+c_2 \left(x-x_0\right) \left(x-x_1\right)+\dotsb+c_n\left(x-x_0\right)\dotsm \left(x-x_{n-1}\right)</math>

Das Gleichungssystem der Gleichungen <math>P(x_i) = f_i</math> hat dann die Form

: <math>
\begin{pmatrix}
1 & & & & 0 \\
1 & (x_1 - x_0) & & & \\
1 & (x_2 - x_0) & (x_2 - x_0)(x_2 - x_1) & & \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \\
1 & (x_n - x_0) & \cdots & & \prod_{i=0}^{n-1}(x_n - x_i) \\
\end{pmatrix}
\cdot
  \begin{pmatrix} c_0 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} f_0 \\ \vdots \\ f_n \end{pmatrix}
</math>

Im Gegensatz zur [[Vandermonde-Matrix]] bei Wahl der Standardbasis <math>\left\{x^k \mid 0 \le k \le n\right\}</math> erhält man bei Wahl der Newton-Basis also eine einfach strukturierte [[untere Dreiecksmatrix]], und das Gleichungssystem lässt sich einfach lösen.

==== Bestimmung der Koeffizienten: Schema der dividierten Differenzen ====
Die Koeffizienten <math>c_i</math> werden aber nicht direkt aus dem obigen Gleichungssystem bestimmt, sondern effizienter mithilfe der dividierten Differenzen. Durch Induktion beweist man mit der [[#Algorithmus von Neville-Aitken|Rekursionsformel von Aitken]], dass für die Koeffizienten <math>c_i</math> gilt

: <math>c_i = \left[x_0, \dotsc, x_i\right]f</math>.

Dabei sind für <math>i<j</math> die dividierten Differenzen <math>\left[x_i, \dotsc, x_j\right]f</math> rekursiv definiert durch

: <math>\left[x_i\right]f = f_i \qquad</math>
: <math>\left[x_i,\dotsc,x_j\right]f = \frac{\left[x_{i+1},\dotsc,x_j\right]f-\left[x_i,\dotsc,x_{j-1}\right]f}{x_j - x_i}</math>.

Die Notation mit angehängtem <math>f</math> erklärt sich dadurch, dass oft eine unbekannte Funktion <math>f</math> angenommen wird, die bei bekannten Funktionswerten <math>f_i = f\left(x_i\right)</math> interpoliert werden soll.

Die rekursive Berechnung der dividierten Differenzen lässt sich wie folgt veranschaulichen. Dabei sind die gesuchten Koeffizienten <math>c_i</math> genau die oberste Schrägzeile:

<!-- [[Datei:Polynominterpolation Schema dividierte Differenzen.jpg]] -->
: <math>\begin{array}{crcrccrcrc}
[x_0]f \\
       & \searrow \\{}
[x_1]f & \rightarrow  & [x_0,x_1]f  \\
       & \searrow     &                & \searrow     \\{}
[x_2]f & \rightarrow  & [x_1,x_2]f     & \rightarrow & [x_0,x_1,x_2]f \\{}
 \vdots & \vdots      & \vdots         & \vdots    & \vdots  &\ddots \\{}
  & \searrow     &                & \searrow    & &              & \searrow \\{}
[x_{n-1}]f & \rightarrow  & [x_{n-2},x_{n-1}]f & \rightarrow & [x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1}]f
  & \cdots & \rightarrow & [x_0,\ldots, x_{n-1}]f  \\
  & \searrow     &                & \searrow    & &              & \searrow && \searrow\\{}
[x_n]f & \rightarrow  & [x_{n-1},x_n]f & \rightarrow & [x_{n-2},x_{n-1},x_n]f
  & \cdots & \rightarrow & [x_1,\ldots, x_n]f & \rightarrow & [x_0,\ldots, x_n]f
\end{array}</math>

Offensichtlich ist bei Ergänzung der <math>n+1</math> Wertepaare <math>\left(x_i, f_i\right)</math> um einen weiteren Punkt <math>\left(x_{n+1}, f_{n+1}\right)</math> in obigem Schema nur eine weitere Zeile hinzuzufügen, um den zusätzlichen Koeffizienten <math>c_{n+1} = \left[x_0, \dotsc, x_{n+1}\right]f</math> zu berechnen. Die zuvor bestimmten Koeffizienten <math>c_0, \dotsc, c_n</math> müssen nicht neu berechnet werden.

Alternativ zur obigen rekursiven Definition wird zum Beispiel in einem der Artikel von Marsden<ref>Martin J. Marsden: ''An Identity for Spline Functions with Applications to Variation-Diminishing Spline Approximation''. In: ''Journal of Approximation Theory'', 3, 1970, S. 7–49.</ref> die ''dividierte Differenz'' <math>\left[x_0,\dotsc,x_n\right]f</math> einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion <math>f</math> als der eindeutige Koeffizient zur höchsten Potenz von <math>x</math> eines Polynoms <math>n</math>-ten Grads <math>p(x)</math> definiert, das <math>f</math> an den Stellen <math>x_0,\dotsc,x_n</math> interpoliert. Tritt dabei ein Wert in der Sequenz <math>x_0,\dotsc,x_n</math> mit der Vielfachheit <math>\nu\geq 1</math> auf, so sollen die Ableitungen des Polynoms die Ableitungen der Funktion <math>f</math> an dieser Stelle bis zur Ordnung <math>\nu-1</math> interpolieren.
Es gilt somit
: <math>
\left[x_0,\dotsc,x_k\right]f = \frac{ f^{(k)}(x^*) }{k!}
    \qquad \text{falls} \quad
    x^* := x_0 = \dotsb = x_k \, .
</math>
Eine weitere Möglichkeit, um die dividierten Differenzen unabhängig von der Vielfachheit der Stützstellen auszudrücken, ist die [[Hermite-Genocchi-Formel]], welche auf einer Integraldarstellung basiert.

==== Auswertung des Polynoms: Horner-Schema ====
Wenn die Koeffizienten <math>c_i</math> des Interpolationspolynoms <math>P</math> einmal bekannt sind, kann man es effizient mithilfe des [[Horner-Schema]]s auswerten. Dazu schreibt man <math>P</math> in der Form (einfache Umformung der Newtonschen Interpolationsformel)

: <math>P(x) = \left(\dotso\left(c_n\left(x - x_{n-1}\right) + c_{n-1}\right)\left(x - x_{n-2}\right) + \dotsb + c_1\right)\left(x - x_0\right) + c_0</math>,

so dass <math>P(x)</math> rekursiv berechnet werden kann durch

: <math>\begin{align}
b_n & = c_n \\
b_i & = b_{i+1}\left(x - x_i\right) + c_i, \qquad i = n - 1, \dotsc, 0 \\
P(x) & = b_0
\end{align}</math>

Dies erfordert einen Aufwand von <math>\mathcal{O}(n)</math>.

=== Algorithmus von Neville-Aitken ===
Ähnlich wie im [[#Newtonscher Algorithmus|Newtonschen Algorithmus]] wird beim Algorithmus von Neville-Aitken die Lösung rekursiv berechnet. Dazu bezeichne <math>p\left(f|x_i,\dotsc,x_j\right)</math> das eindeutig bestimmte Interpolationspolynom <math>k</math>-ten Grades zu den <math>k+1</math> [[Stützstelle|Stützpunkten]] <math>\left(x_i, f_i\right), \dotsc, \left(x_j, f_j\right)</math>, wobei <math>k=j-i</math> ist. Es gilt dann die Rekursionsformel von Aitken:

: <math>\begin{align}p(f|x_i)(x) & = f_i, \\
p\left(f|x_i, \dotsc, x_j\right)(x) & = \frac{\left(x - x_i\right)p\left(f|x_{i+1}, \dotsc, x_j\right)(x) - \left(x - x_j\right)p\left(f|x_i, \dotsc, x_{j-1}\right)(x)}{x_j-x_i}.\end{align}</math>

Beweisen lässt sie sich durch Einsetzen von <math>x_i,\ldots,x_j</math>, wodurch man verifiziert, dass die rechte Seite der Gleichung die Interpolationsbedingung erfüllt. Die Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms liefert dann die Behauptung.

Nach der Rekursionsformel von Aitken ergibt sich der eindeutige Koeffizient von <math>p\left(f|x_i,\dotsc,x_j\right)</math> zur Potenz <math>x^{j-i}</math> als Differenz der Koeffizienten von <math>p\left(f|x_{i+1},\dotsc,x_j\right)</math> und <math>p\left(f|x_i,\dotsc,x_{j-1}\right)</math> zu <math>x^{j-i-1}</math> dividiert durch <math>x_j-x_i</math>. Dies zeigt, dass die Diagonalelemente <math>[x_0,\ldots,x_j]f</math> im Schema der dividierten Differenzen genau die Koeffizienten <math>c_j</math> des Interpolationspolynoms <math>P</math> nach dem Ansatz von Newton liefern.

Mit dem Schema von Neville kann außerdem die Auswertung von <math>p\left(f|x_0, \dotsc, x_n\right)(x) = P(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> rekursiv erfolgen:

<!-- [[Datei:Polynominterpolation Schema von Neville.jpg]] -->
<math>\begin{array}{crcrccrcrc}
p(f|x_{0})\\
 & \searrow\\
p(f|x_{1}) & \rightarrow & p(f|x_{0},x_{1})\\
 & \searrow &  & \searrow\\
p(f|x_{2}) & \rightarrow & p(f|x_{1},x_{2}) & \rightarrow & p(f|x_{0},x_{1},x_{2})\\
\vdots &  & \vdots &  & \vdots & \ddots\\
 & \searrow &  & \searrow &  &  & \searrow\\
p(f|x_{n-1}) & \rightarrow & p(f|x_{n-2},x_{n-1}) & \rightarrow & p(f|x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1}) & \cdots & \rightarrow & p(f|x_{0},\dotsc,x_{n-1})\\
 & \searrow &  & \searrow &  &  & \searrow &  & \searrow\\
p(f|x_{n}) & \rightarrow & p(f|x_{n-1},x_{n}) & \rightarrow & p(f|x_{n-2},x_{n-1},x_{n}) & \cdots & \rightarrow & p(f|x_{1},\dotsc,x_{n}) & \rightarrow & p(f|x_{0},\dotsc,x_{n})
\end{array}</math>

=== Vergleich der Lösungsverfahren ===
Möchte man alle Koeffizienten des Interpolationspolynoms <math>P</math> bestimmen, so bietet der Newtonsche Algorithmus hierfür den geringsten notwendigen Aufwand von <math>\mathcal O\left(n^2\right)</math>. Das so bestimmte Polynom lässt sich dann mit <math>\mathcal O(n)</math> Operationen an einer Stelle auswerten. Darum ist der Newtonsche Algorithmus gut geeignet, wenn das Interpolationspolynom an vielen Stellen ausgewertet werden soll. Auch lassen sich effizient weitere Stützpunkte hinzufügen. Liegen die Stützstellen oder die Stützwerte allerdings zu nahe beieinander, so besteht die Gefahr der [[Auslöschung (numerische Mathematik)|Auslöschung]] bei der Bestimmung der dividierten Differenzen.

Der Neville-Aitken-Algorithmus ist dagegen gut geeignet, wenn ein Interpolationspolynom nur an ganz wenigen Stellen ausgewertet werden soll, dabei ist er weniger anfällig gegen Auslöschung. Auch im Neville-Aitken-Algorithmus lassen sich effizient neue Stützpunkte hinzufügen. So kann z.&nbsp;B. eine gewünschte Genauigkeit der Interpolation an einer Stelle durch Hinzufügen immer weiterer Stützstellen erreicht werden.

=== Beispiel: Interpolation der Tangensfunktion ===
[[Datei:Interpolation der Tangensfunktion.svg|mini|300x300px|Tangensfunktion (blau) und ihre Polynominterpolante dritten Grades (rot)]]
Interpoliere die Funktion <math>f(x) = \tan(x)</math> bei gegebenen Punkten
{| class="wikitable"
|<math>x_0 = -1{,}5</math>
|<math>f(x_0) = -14{,}101420</math>
|-
|<math>x_1 = -0{,}75</math>
|<math>f(x_1) =  -0{,}931596</math>
|-
|<math>x_2 = 0</math>
|<math>f(x_2) = 0</math>
|-
|<math>x_3 = 0{,}75</math>
|<math>f(x_3) = 0{,}931596</math>
|-
|<math>x_4 = 1{,}5</math>
|<math>f(x_4) = 14{,}101420</math>
|}

==== Lösung mit Lagrange ====
Die Lagrange-Basisfunktionen sind
: <math>\begin{align}
\ell_0(x)&={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}
             ={1\over 243} x (2x-3)(4x-3)(4x+3)\\
\ell_1(x)&= {x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}
             =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x-3)\\
\ell_2(x)&={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}
             ={3\over 243} (2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\\
\ell_3(x)&={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}
             =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x+3)\\
\ell_4(x)&={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}
             ={1\over 243} x (2x+3)(4x-3)(4x+3)
\end{align}</math>

also ist das Interpolationspolynom

: <math> \begin{align}P_\text{Lagrange}(x) =& \tfrac1{243}\big(f(x_0)x (2x-3)(4x-3)(4x+3) \\
& \qquad{} - 8f(x_1)x (2x-3)(2x+3)(4x-3) \\
& \qquad{} + 3f(x_2)(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3) \\
& \qquad{} - 8f(x_3)x (2x-3)(2x+3)(4x+3) \\
& \qquad{} + f(x_4)x (2x+3)(4x-3)(4x+3)\big)\\
=&  - 1{,}477474x + 4{,}834848x^3
\end{align} </math>

==== Lösung mit Newton ====
Die dividierten Differenzen sind hier

: <math>\begin{array}{rrrrrr}
x_i    & f\left(x_i\right) &                                                           &                                                  &                                               &\\
-1{,}50& -14{,}10140&                                                           &                                                  &                                               &\\
       &            &                                                           &                                                  &                                               &\\
-0{,}75& -0{,}931596&{-0{,}931596-(-14{,}1014) \over -0{,}75-(-1{,}5)}=17{,}5597&                                                  &                                               &\\
       &            &                                                           &                                                  &                                               &\\
0{,}00 & 0{,}00000  &{0-(-0{,}931596) \over 0 - (-0{,}75)}=1{,}24213            &{1{,}24213-17{,}5597 \over 0-(-1{,}5) }=-10{,}8784&                                               &\\
       &            &                                                           &                                                  &                                               &\\
0{,}75 & 0{,}931596 &{0{,}931596 - 0 \over 0{,}75-0}=1{,}24213                  &{1{,}24213-1{,}24213 \over 0{,}75-(-0{,}75)}=0{,}00000    &{0 - (-10{,}8784) \over 0{,}75-(-1{,}5)}=4{,}83484&\\
       &            &                                                           &                                                  &                                               &\\
1{,}50 & 14{,}10140 &{14{,}10140-0{,}931596 \over 1{,}5 - 0{,}75}=17{,}5597     &{17{,}5597-1{,}24213 \over 1{,}5-0}=10{,}8784     &{10{,}8784-0 \over 1{,}5-(-0{,}75)}=4{,}83484  &{4{,}83484-4{,}83484 \over 1{,}5-(-1{,}5)}=0\\
\end{array}</math>

und das Interpolationspolynom ist

: <math>\begin{align}P_\text{Newton}(x)  =& -14{,}1014+17{,}5597(x+1{,}5)-10{,}8784(x+1{,}5)(x+0{,}75) \\
 & {} +4{,}83484(x+1{,}5)(x+0{,}75)x+0(x+1{,}5)(x+0{,}75)x(x-0{,}75)\\
 =&  -0{,}00005-1{,}4775x-0{,}00001x^2+4{,}83484x^3\end{align}</math>

Verwendet man genauere Startwerte <math>f\left(x_i\right)</math>, verschwinden der erste und der dritte Koeffizient.

== Interpolationsgüte ==
=== Fehlerabschätzung ===
Gegeben sei eine Funktion <math>f</math>, deren <math>n+1</math> Funktionswerte <math>f_i</math> an den Stellen <math>x_i</math> durch das Polynom <math>P</math> interpoliert werden. Mit <math>I</math> sei das kleinste Intervall bezeichnet, das die Stützstellen <math>x_i</math> und eine Stelle <math>x</math> enthält. Ferner sei <math>f</math> (<math>n+1</math>)-mal stetig differenzierbar auf <math>I</math>. Dann existiert ein <math>\xi \in I</math>, für das gilt<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Rolf Rannacher |Titel=Numerik 0: Einführung in die Numerische Mathematik. Heidelberg University Publishing |Verlag=Heidelberg University Publishing |Ort=Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=978-3-946054-27-6 |DOI=10.17885/heiup.206.281 |Kapitel=2.1 Polynominterpolation |Seiten=24-34}}</ref>:

: <math>f(x) - P(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i)</math>
Insbesondere ist also bezüglich der [[Maximumsnorm]] auf <math>[a,b]</math> und mit <math>w_n(x) = \prod_{i=0}^n (x-x_i)</math>:

:<math>|f(x)-P(x)| \leq\frac{\|f^{(n+1)}\|_\infty}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n |x-x_i| \leq \frac{\|f^{(n+1)}\|_\infty}{(n+1)!} \|w_n\|_\infty</math>

Es gibt auch noch eine andere Fehlerformel, welche auf den oben eingeführten dividierten Differenzen beruht<ref name=":0" />:
:<math>f(x) - P(x) = f[x_0, \dots, x_n, x] \prod_{i=0}^n (x-x_i)</math>

=== {{Anker|Fehleroptimierung nach Tschebyschow}}Fehleroptimierung nach Tschebyschow ===
[[Datei:T30.svg|mini|Für größere ''n'' clustern die Tschebyschow-Punkte an den Intervallrändern.]]
Der Fehler hängt also von einer Ableitung von <math>f</math> ab und von dem Produkt <math>w_n(x):=\prod_{i=0}^n (x-x_i)</math>, also den Stützstellen <math>x_i</math>. Manchmal ist man in der Position, dass man sich Stützstellen selbst wählen kann; etwa, wenn man ein physikalisches Experiment durchführt, oder aber auch bei einigen Verfahren zur numerischen Lösung von [[Differentialgleichung]]en. In diesem Fall ist die Frage interessant, für welche Stützstellen die Maximumsnorm <math>\|w_n\|_{\infty}</math> minimal wird.<ref>{{Cite book
| edition = 1
| publisher = Vieweg Studium, Nr.32, Vieweg Verlagsgesellschaft
| isbn = 3-528-07232-6
| last = Werner
| first = Jochen
| title = Numerische Mathematik
| date = 1992
| chapter  = 10.4 |language=de
}} – [https://people.math.ethz.ch/~hiptmair/tmp/NCSE_full.pdf 4.1.3.] (PDF; 11,7&nbsp;MB) sam.math.ethz.ch</ref>

Für einen Beweis betrachtet man normalerweise normierte Stützstellen
: <math>
  \begin{align}
    w_n: [-1,1] \rightarrow \R, \ w_n(x)=\prod_{i=0}^n (x-x_i) \\
    \text{mit} \qquad \forall \, i=0,\ldots,n : \quad x_i \in [-1,1] \, .
  \end{align}
</math>
Nun kann man die Maximumsnorm der Funktion <math>w_n</math> wie folgt abschätzen
: <math>
  \|w_n\|_{[-1,1],\infty}
    =\max_{x\in[-1,1]} |w_n(x)|
    \geq 2^{-n} \, .
</math>

[[Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow|Tschebyschow]] hat gezeigt, dass die Nullstellen der [[Tschebyschow-Polynom]]e („Tschebyschow-Punkte“) optimale Stützstellen sind.
Die Polynome <math>T_{n+1}(x)=\cos((n+1) \arccos(x) )</math> haben die Nullstellen <math>t_k=\cos\left(\frac{2k+1}{2n+2} \pi\right)</math> für <math>k\in\{0,1,\ldots,n\}</math>.
So gewählte Stützstellen liefern eine scharfe Grenze der oberen Abschätzung
: <math>
  \|w_n\|_{[-1,1],\infty}
    = 2^{-n} \, .
</math>

Diese Aussage kann dann mit der Transformation
: <math>\begin{align}
\xi\in[-1,1] &\rightsquigarrow x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\xi &\in [a,b] \\
x\in[a,b] &\rightsquigarrow \xi = \frac{2x-a-b}{b-a} &\in [-1,1]
\end{align}</math>
auf den Fall eines allgemeinen Intervalls <math>[a,b]\subset\mathbb{R}</math> übertragen werden. Der Beweis liefert auch die Abschätzung
: <math>\begin{align}
\|w_n\|_{[a,b],\infty} =\max_{x\in[a,b]} |w_n(x)| =2\left(\frac{b-a}{4}\right)^{n+1}.
\end{align}</math>

[[Datei:Interpolation der Runge-Funktion (n=5).svg|mini|hochkant=1.4|Polynom-Interpolation 6 äquidistanter Stützstellen (rote Punkte), die auf der Rungefunktion liegen (blau)]]
[[Datei:Myplot p2.svg|mini|hochkant=1.4|Das gleiche mit 11 Stützstellen]]
=== Runges Phänomen ===

Verbessert sich die Interpolationsgüte, wenn mehr Stützpunkte hinzugefügt werden? Im Allgemeinen gilt dies nicht: Bei äquidistanten Stützstellen und hohem Grad des Polynoms kann es vorkommen, dass die Polynomfunktion kaum noch der zu interpolierenden Funktion ähnelt, was auch als ''[[Carl Runge|Runges]] Phänomen'' bekannt ist. Polynome streben im Grenzfall <math>x\to \pm \infty</math> gegen <math>\pm\infty</math>. Verhält sich die zu interpolierende Funktion anders, etwa periodisch oder asymptotisch konstant, treten starke Oszillationen in der Nähe der Intervallgrenzen auf. Für solche Funktionen sind Polynominterpolationen über das gesamte Intervall relativ ungeeignet.

Tschebyschow-Stützstellen, die an den Intervallgrenzen dichter liegen, können zwar den Gesamtfehler der Interpolation verkleinern, dennoch empfiehlt sich ein Wechsel des Interpolationsverfahrens, etwa zur [[Spline-Interpolation]]. Runge gab für dieses Phänomen ein Beispiel an, die nach ihm benannte Runge-Funktion:

: <math>f(x)=\frac{1}{1+x^2}\,,\quad x\in[-5;5]</math>

=== Konvergenzverhalten ===
Es gibt aber Bedingungen, unter denen sich die Interpolationsgüte mit steigender Anzahl von Stützpunkten verbessert: Wenn das Stützstellengitter immer „feiner“ wird und eine [[analytische Funktion]] interpoliert wird. Genauer: Sei <math>f</math> eine analytische Funktion auf dem Intervall <math>I=[a,b] \subset \R</math>. Für eine Intervallteilung

: <math>\Delta_m = \{a=x_0^{(m)} < x_1^{(m)} < \dotsb < x_{n_m}^{(m)}=b\}, \qquad m\in \N</math>

sei ihre [[Norm (Mathematik)|Norm]] definiert durch

: <math>\|\Delta_m\| = \max_i|x_{i+1}^{(m)} - x_i^{(m)}|.</math>

Zu jeder Intervallteilung <math>\Delta_m</math> gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom <math>P_{\Delta_m}</math>, das <math>f</math> an den Stützstellen <math>\Delta_m</math> interpoliert. Gilt für eine Folge von Intervallteilungen <math>\|\Delta_m\| \rightarrow 0</math>, so folgt <math>P_{\Delta_m} \rightarrow f</math> [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]].

Allerdings lässt sich zu ''jeder'' Folge <math>\{\Delta_m\}_{m \in \N}</math> auch eine auf <math>I</math> stetige Funktion <math>f</math> finden, so dass <math>\{P_{\Delta_m}\}_{m \in \N}</math> ''nicht'' gleichmäßig gegen <math>f</math> konvergiert (Satz von [[Georg Faber (Mathematiker)|Faber]]<ref>{{Cite book
| edition   = 1
| publisher = Birkhäuser
| isbn      = 3-7643-5845-9
| last      = [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|Kolmogorow]] et al.
| first     = Andrei Nikolajewitsch
| title     = Mathematics of the 19th Century
| date      = 1998
| chapter   = 4 |language=en |url=https://books.google.de/books?id=Mw6JMdZQO-wC&pg=PA277&lpg=PA277&dq=satz+faber+1914+(1877-1966)&source=bl&ots=N-yWl0pxi2&sig=lBBUKHD9uQdvmUR_oJ9FicSKNAg&hl=de&ei=pu90TrzLJNHAtAbr3-mSCw&sa=X&oi=book_result&ct=result#v=onepage&q&f=false}}</ref>).

=== Bestapproximation ===
Der Zusammenhang zwischen dem Interpolationpolynom und dem Polynom, welches die Funktion am besten bezüglich der [[Maximumsnorm]] <math>\| \cdot \|_\max</math> annähert, ist wie folgt gegeben:

Seien dazu folgende Objekte gegeben
* eine stetige, zu nähernde Funktion: <math>f \in C([a,b])</math>
* Stützstellen: <math>x_0,\ldots,x_n \in [a,b]</math>
* [[#Lebesgue-Konstante|Lebesgue-Konstante]]: <math>\Lambda_n</math>
* Interpolationspolynom: <math>P \in P_n</math> mit <math>P(x_i) = f(x_i)</math>
* Bestapproximation: <math>Q \in P_n</math> mit <math>\| f-Q \|_\max = \min_{R \in P_n} \| f-R \|_\max </math>.
Dann gilt die Abschätzung
: <math>
\| f-P \|_\max \leq (1+\Lambda_n) \| f-Q \|_\max \, .
</math>

== Verallgemeinerung ==
Bisher wurden die Stützstellen <math>x_i</math> des Interpolationspolynoms <math>P</math> als paarweise verschieden angenommen. Bei der [[Hermiteinterpolation]] ist das nicht der Fall. An mehrfach vorkommenden Stützstellen werden dabei nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die Werte der Ableitungen des Interpolationspolynoms vorgegeben.

=== Lebesgue-Konstante ===
{{Hauptartikel|Lebesgue-Konstante}}
Sei der [[Linearer Operator|Operator]], der einer Funktion <math>f</math> sein Interpolationspolynom <math>P(f)</math> zuordnet, definiert durch
: <math>
\phi_n \colon C([a,b]) \rightarrow P_n \, , \,
f \mapsto P(f) = \sum_{i=0}^n f(x_i) l_i \, ,
</math>
wobei <math>l_i</math> das <math>i</math>-te [[#Lagrangesche Interpolationsformel|Lagrange-Polynom]] ist.

Als ''Lebesgue-Konstante'' <math>\Lambda_n</math> wird die [[Operatornorm]] von <math>\phi_n</math> bezeichnet. Dafür wird eine Norm benötigt, und oft wird hier auf die [[Maximumsnorm]] <math>\| \cdot \|_\max</math> zugegriffen:
: <math>
\Lambda_n := \| \phi_n \|_\max \, .
</math>
Die Norm kann explizit berechnet werden:
: <math>
\Lambda_n = \max_{x\in[a,b]} \sum_{i=0}^n |l_i(x)| \, .
</math>

== Literatur ==
* Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: ''Numerische Mathematik''. 5. Aufl. Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8

* {{Literatur
   |Autor=Stoer, Bulirsch
   |Titel=Numerische Mathematik 1
   |Auflage=10.
   |Verlag=Springer Verlag
   |Ort=Berlin, Heidelberg, New York
   |Datum=2007
   |ISBN=978-3-540-45389-5
   |Kapitel=2.1 Interpolation durch Polynome
   |Seiten=39-57
   |Kommentar=Behandelt die Verfahren nach Lagrange, Neville-Aitken und Newton, Hermite-Interpolation und Fehlerabschätzung jeweils mit Beispielen und Beweisen.}}
* {{Literatur
   |Autor=Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery
   |Titel=Numerical Recipes
   |TitelErg=The Art of Scientific Computing
   |Auflage=3.
   |Verlag=Cambridge University Press
   |Ort=Cambridge
   |Datum=2007
   |ISBN=978-0-521-88407-5
   |Kapitel=3.2 Polynomial Interpolation and Extrapolation
   |Seiten=118-120
   |Kommentar=Neville-Aitken-Algorithmus mit C++-Implementation}}
* {{Literatur
   |Autor=Carl Runge
   |Hrsg=
   |Titel=Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten
   |Sammelwerk=Zeitschrift für Mathematik und Physik
   |Band=46
   |Verlag=B. G. Teubner
   |Ort=Leipzig
   |Datum=1901
   |Seiten=224–243
   |Kommentar=Runge-Phänomen
   |Online=[[hdl:1908/2014]]}}
* [[Martin Hermann (Mathematiker)|Martin Hermann]]: ''Numerische Mathematik, Band 2: Analytische Probleme''. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020. ISBN 978-3-11-065765-4.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Algorithmensammlung: Numerik|Dividierte Differenzen & Horner-Schema|suffix=Implementierungen in der Algorithmensammlung}}
* [https://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/applets/Interpolation/ Seite zu Newton, Lagrange und Cubic Spline] mit Java-Applet
* [https://matheplanet.com/default3.html?call=article.php%3fsid=977 Erläuterungen und Beispiel zur Lagrange-Interpolation]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4175264-8}}

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Theorie der Polynome]]