Quelltext der Seite Poissonsche Summenformel

Die '''poissonsche Summenformel''' ist ein Hilfsmittel der [[Fourier-Analysis]] und [[Signalverarbeitung]]. Sie dient unter anderem zur Analyse der Eigenschaften von [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtastmethoden]].

== Aussage ==
Sei <math>f \in \mathcal{S}(\R)</math> eine [[Schwartz-Raum|Schwartz-Funktion]] und sei
: <math>
  \hat f(\omega) = \mathcal{F}(f)(\omega)
  =\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-2\pi i\omega\cdot t}\,dt
</math>
die [[kontinuierliche Fourier-Transformation]] von <math>f</math> in <math>\mathcal{S}</math>.
Dann besagt die poissonsche Summenformel
:<math>\sum_{n\in\Z}f(n) = \sum_{k\in\Z}\hat f(k).</math>

Diese Identität gilt auch für bestimmte allgemeinere Klassen von Funktionen. Geeignete Voraussetzungen sind beispielsweise, dass die Funktion <math>f</math> zweifach stetig differenzierbar und der Ausdruck <math>(1+t^2)\,(|f(t)|+|f''(t)|)</math> beschränkt ist. 

Unter Ausnutzung der elementaren Eigenschaften der Fourier-Transformation ergibt sich daraus die allgemeinere Formel mit zusätzlichen Parametern <math>t,\nu\in\R</math>
:<math>\begin{align}
\sum_{n\in\Z}f(t+nT)e^{-2\pi i\nu nT}
&=\sum_{k\in\Z} \mathcal{F}(f(t+ k T)e^{-2\pi i\nu k T})(k)\\
&=\frac{1}{T} \sum_{k\in\Z} \mathcal{F}(f(t+k)e^{-2\pi i\nu k}) \left(\frac{k}{T}\right)\\
&=\frac{1}{T} \sum_{k\in\Z} \mathcal{F}(f(t+k))\left(\frac{k}{T}+\nu\right)\\
&=\frac{1}{T} \sum_{k\in\Z} e^{2\pi i (k/T+\nu)t} \mathcal{F}(f)\left(\frac{k}{T}+\nu\right).
\end{align}
</math>

Setzt man in der allgemeineren Form <math>t=0</math>,
:<math>
 \sum_{n\in\Z}f(nT)e^{-2\pi i\nu nT}
 =\frac{1}{T} \sum_{k\in\Z} \mathcal{F}(f)\left(\frac{k}{T}+\nu\right),
</math>
so kann die poissonsche Summenformel auch als Identität einer [[Fourier-Reihe]] mit Funktionswerten von <math>f</math> als Koeffizienten auf der linken Seite und einer Periodisierung der Fourier-Transformierten von <math>f</math> auf der rechten Seite gelesen werden. Diese Identität gilt mit Ausnahme einer Menge vom Maß Null, wenn <math>f</math> eine bandbeschränkte Funktion ist, das heißt die Fourier-Transformierte eine messbare Funktion in <math>L^2(\R)</math> mit kompaktem Träger ist.

== Formulierung mittels Dirac-Kamm ==

Der [[Dirac-Kamm]] zur Intervalllänge <math>T \in \R</math> ist die [[Distribution (Mathematik)|Distribution]]
:<math>
  \text{Ш}_T=\sum_{n\in\mathbb Z}\delta_{nT}.
</math>
Die Fourier-Transformierte <math>\mathcal{F} A\in\mathcal S'(\mathbb R)</math> einer [[Temperierte Distribution|temperierten Distribution]] <math>A\in\mathcal S'(\mathbb R)</math> ist definiert durch
:<math>\langle \mathcal{F} A,\, \phi\rangle=\langle A,\,\mathcal{F}\phi\rangle \quad (\phi\in\mathcal S(\mathbb R)),</math>
in Analogie zur [[Parsevalsche Gleichung|Plancherel-Identität]].
Da die Fouriertransformation ein stetiger Operator auf dem Schwartzraum ist, definiert dieser Ausdruck tatsächlich eine temperierte Distribution.

Der Dirac-Kamm ist eine temperierte Distribution, und die poissonsche Summenformel besagt nun, dass
:<math>
 \mathcal{F} \text{Ш}_T = \frac{1}{T} \text{Ш}_{1/T}
</math>
ist. Dies lässt sich auch in der Form
:<math>\text{Ш}_T=\frac1T\sum_{k\in\Z}e^{i(2\pi k/T)t}</math>
schreiben. Dabei sind die Exponentialfunktionen als temperierte Distributionen aufzufassen, und die Reihe konvergiert im Sinne von Distributionen, also im [[Schwach-*-Topologie|Schwach-*-Sinne]], gegen den Dirac-Kamm. Man beachte aber, dass sie im gewöhnlichen Sinne nirgendwo konvergiert.

== Zum Beweis ==
Sei ''f'' [[Differentiationsklasse#Genügend glatt|genügend glatt]] und im Unendlichen genügend schnell fallend, sodass die [[Periodische Fortsetzung|Periodisierung]]

: <math>g(t):=\sum_{n\in\mathbb Z}f(t+n)</math>
stetig, beschränkt, differenzierbar und periodisch mit Periode 1 ist. Diese kann also in eine punktweise konvergente [[Fourier-Reihe]] entwickelt werden,
: <math>g(t)=\sum_{k\in\mathbb Z} c_k\cdot e^{2\pi i kt}.</math>
Deren Fourier-Koeffizienten bestimmen sich nach der Formel
: <math>c_k=\int_{0}^{1} g(t)\cdot e^{-2\pi i kt}\,dt
=\int_{0}^{1} \sum_{n\in\mathbb Z} f(t+n)\cdot e^{-2\pi i k(t+n)}\,dt.</math>
Ebenfalls aus dem schnellen Abfall im Unendlichen folgt, dass die Summe mit dem Integral
vertauscht werden kann. Daher gilt mit ''s=t+n'' weiter
:<math>c_k=\sum_{n\in\mathbb Z}\int_{n}^{n+1} f(s)\cdot e^{-2\pi i ks}\,ds
=\int_{-\infty}^\infty f(s)\cdot e^{-2\pi i k s}\,ds=\mathcal{F} f(k).</math>

Zusammenfassend gilt
:<math>
 \sum_{n\in\mathbb Z}f(t+n)
 =\sum_{k\in\mathbb Z}\mathcal{F}f(k) e^{2\pi i kt},
</math>
woraus sich bei <math>t=0</math> die Behauptung ergibt.

== Anwendung auf bandbeschränkte Funktionen ==

Sei ''x'' bandbeschränkt mit höchster Frequenz&nbsp;''W'', das heißt <math>\operatorname{supp} \hat x\subset [-W,W]</math>. Ist dann <math>|WT|\le \pi,</math> so tritt in der rechten Seite der Summenformel nur ein Summand auf, mit den Ersetzungen <math>\omega:=-2\pi\nu\in[-W,W]</math>, ''t=0'' und Multiplikation eines Faktors erhält man
: <math>\sqrt{2\pi}\hat x(\omega)e^{i\omega t}=T\sum_{n\in\mathbb Z} x(nT)e^{i\omega(t-nT)}.</math>
Nach Multiplikation mit der [[Indikatorfunktion]] des Intervalls ''[-W,W]'' und nachfolgend der inversen Fourier-Transformation ergibt sich
: <math>
x(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-W}^W\hat x(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega
=T\sum_{n\in\mathbb Z}x(nT)\frac{\sin(W(t-nT))}{\pi(t-nT)}.
</math>
Im Grenzfall <math>WT=\pi</math> ist dies die Rekonstruktionsformel des [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]]s
:<math>
   x(t)=\sum_{n\in\mathbb Z}x(nT)\operatorname{sinc}(t/T-n),
</math>
wobei <math>\operatorname{sinc}</math> die [[Sinc-Funktion]] mit
<math>
   \operatorname{sinc}(t):=\tfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}
</math>
ist.

== Anwendungen in der Zahlentheorie ==

Mit Hilfe der Poissonschen Summenformel kann man zeigen, dass die [[Theta-Funktion]]
:<math>\theta(t)=\sum_{n\in\Z}e^{-n^2 \pi t}</math>
der Transformationsformel
:<math>\theta(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\theta\left(\frac{1}{t}\right)</math> 
genügt. Diese Transformationsformel wurde von [[Bernhard Riemann]] beim [[Thetafunktion#Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion|Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion]] verwendet.

== Literatur ==

* {{Literatur
 | Autor=Elias M. Stein, Guido Weiss
 | Titel=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces
 | Auflage=1.
 | Verlag=Princeton University Press
 | Ort=Princeton, N.J.
 | Jahr=1971
 | ISBN=978-0-691-08078-9
}}
* J. R. Higgins: ''Five short stories about the cardinal series.'' In: ''Bulletin of the American Mathematical Society.'' 12, 1, 1985, {{ISSN|0002-9904}}, S. 45–89, [https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-12/issue-1/Five-short-stories-about-the-cardinal-series/bams/1183552334.full (PDF; 4,42 MB)].
* John J. Benedetto, Georg Zimmermann: ''Sampling multipliers and the Poisson summation formula.'' In: ''The journal of Fourier analysis and applications.'' 3, 5, 1997, {{ISSN|0002-9904}}, S. 505–523, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN375375147_0003 Göttinger Digitalisierungszentrum].

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Distributionentheorie]]
[[Kategorie:Siméon Denis Poisson als Namensgeber]]