Quelltext der Seite Poisson-Gleichung

{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit den Poisson-Gleichungen aus der Elektrostatik und der klassischen Gravitationstheorie. In der [[Thermodynamik]] bezieht sich die Poisson-Gleichung auf eine [[Adiabatische Zustandsänderung]].}}

Die '''Poisson-Gleichung''', benannt nach dem französischen [[Mathematiker]] und [[Physiker]] [[Siméon Denis Poisson]], ist eine [[elliptische partielle Differentialgleichung]] zweiter Ordnung, die als Teil von [[Randwertproblem]]en in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.

== Mathematische Formulierung ==
Die Poisson-Gleichung lautet allgemein

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">-\Delta u = f</math>

Dabei bezeichnet
* <math>\Delta</math> den [[Laplace-Operator]]
* <math>u</math> die gesuchte Lösung
* <math>f</math> eine Funktion. Ist <math>f \equiv 0</math>, so wird die Gleichung zur [[Laplace-Gleichung]].

Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, z.&nbsp;B. in Form einer [[Dirichlet-Randbedingung]]:

: <math> \begin{cases} -\Delta u & = f & \text{in}  &\Omega \\ \quad u & = g & \text{auf} & \partial\Omega \end{cases} </math>

mit <math>\Omega \subset \R^n</math> offen und beschränkt.

In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der [[Fundamentallösung]] <math>\Phi</math> der Laplace-Gleichung:

: <math>\Phi(x) := \begin{cases}
-\dfrac{1}{2\pi}\ln |x|                        & n =   2 \\
\dfrac{1}{(n-2)\omega_n} \cdot \dfrac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3
\end{cases}</math>

Dabei bezeichnet <math>\omega_n = \tfrac{2\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math> den Flächeninhalt der [[Sphäre (Mathematik)|Einheitssphäre]] im <math>n</math>-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]].

Durch die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] <math>(\Phi * f)</math> erhält man eine Lösung der Poisson-Gleichung.

Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die [[Greensche Funktion#Partielle Differentialgleichungen|greensche Funktion]] verwenden

: <math>G(x,y) := \Phi(y-x) - \phi^x(y)</math>

<math>\phi^x</math> ist dabei eine Korrekturfunktion, die

:: <math> \begin{cases} \Delta \phi^x = 0 &\text{in} \ \Omega \\ \phi^x = \Phi(y-x) &\text{auf} \ \partial\Omega \end{cases} </math>

erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von <math>\Omega</math> abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.

Kennt man <math>G(x,y)</math>, so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben gegeben durch

: <math>u(x) = -\int_{\partial\Omega}g(y)\frac{\partial G(x,y)}{\partial n}\mathrm{d}\sigma(y) + \int_\Omega f(y) G(x,y) \mathrm{d}y</math>

wobei <math>\sigma</math> das [[Oberflächenmaß]] auf <math>\partial\Omega</math> bezeichne.

Die Lösung kann man auch mithilfe des [[Perron-Verfahren]]s oder mittels [[Variationsrechnung]] finden.

== Anwendungen in der Physik ==
Der Poisson-Gleichung <math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">\Delta \Phi(\mathbf r) = f(\mathbf r)</math> genügen beispielsweise das [[Coulombpotential|elektrostatische Potential]] und das [[Gravitationspotential]], jeweils mit Formelzeichen <math>\Phi</math>. Dabei ist die Funktion <math>f</math> proportional zur elektrischen [[Ladungsdichte]] bzw. zur [[Massendichte]] <math>\rho(\mathbf r).</math>

Ist <math>f(\mathbf r)</math> überall bekannt, so ist die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Nolting |Titel=Grundkurs theoretische Physik |Band=3. Elektrodynamik. |Auflage=[Online-ausg. der] 8. [gedr.] |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum= |ISBN=978-3-540-71252-7}}</ref>

: <math>\Phi(\mathbf r)=-\frac 1 {4\,\pi} \int \mathrm d^3 r' \, \frac{f(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}</math>.

In Worten: jede [[Ladung (Physik)|Ladung]] <math>\mathrm d^3 r' \, f(\mathbf r')</math> am Ort <math>\mathbf r'</math> im
kleinen Gebiet der Größe <math>\mathrm d^3 r'</math> trägt additiv bei zum Potential <math>\Phi</math> am Ort <math>\mathbf r</math> mit ihrem elektrostatischen oder Gravitationspotential:

:: <math>-\frac{\mathrm d^3 r' \,f(\mathbf r')}{4\,\pi\,|\mathbf r - \mathbf r' |}</math>

=== Elektrostatik ===
Da das [[Elektrostatisches Feld|elektrostatische Feld]] ein [[Konservative Kraft|konservatives Feld]] ist, kann es über den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\vec \nabla \Phi</math> eines [[Potential (Physik)|Potentials]] <math>\Phi(\mathbf r)</math> ausgedrückt werden:

: <math>\mathbf E(\mathbf r) = -\vec \nabla \Phi(\mathbf r).</math>

Mit Anwendung der [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] ergibt sich

: <math>\vec \nabla \cdot \mathbf E(\mathbf r)= -\Delta \Phi(\mathbf r)</math>

mit dem [[Laplace-Operator]] <math>\Delta</math>.

Gemäß der ersten [[Maxwell-Gleichungen|Maxwellgleichung]] gilt jedoch auch

: <math>\vec \nabla \cdot \mathbf E(\mathbf r) = \frac{\rho(\mathbf r)}{\varepsilon}</math>

mit
* der [[Ladungsdichte]] <math>\rho(\mathbf r)</math>
* der [[Permittivität]] <math>\varepsilon = \varepsilon_\mathrm{r} \cdot \varepsilon_0</math>.

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

: <math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">\Delta \Phi(\mathbf r) = -\frac{\rho(\mathbf r)}{\varepsilon}</math>

Der Spezialfall <math>\rho(\mathbf r)=0</math> für jeden Ort im betrachteten Gebiet wird als [[Laplace-Gleichung#Bedeutung_in_der_Physik|Laplace-Gleichung der Elektrostatik]] bezeichnet.

=== Elektrodynamik stationärer Ströme ===
Als Beispiel wird hier der Emitter einer Silizium-[[Solarzelle]] betrachtet, der in guter Näherung als rein zweidimensional beschrieben werden kann. Der Emitter befinde sich in der x-y-Ebene, die z-Achse zeige in die Basis hinein. Die laterale Flächenstromdichte <math>\mathbf j(x,y)</math> im Emitter hängt von der am Emitter auftretenden z-Komponente der (Volumen-)Stromdichte <math>J_z(x,y,z=0)</math> der Basis ab, was durch die Kontinuitätsgleichung in der Form

: <math>\vec \nabla_2 \cdot \mathbf j(x,y) = -J_z(x,y,z=0)</math>

beschrieben werden kann (mit dem zweidimensionalen [[Nabla-Operator]] <math>\vec \nabla_2</math>). Die Flächenstromdichte hängt über das [[Ohmsches Gesetz#Lokale Betrachtungsweise|lokale ohmsche Gesetz]] mit dem lateralen elektrischen Feld im Emitter zusammen: <math>\mathbf j(x,y) = R_{\Box}^{-1} \mathbf E(x,y)</math>; hier ist <math>R_{\Box}</math> der als homogen angenommene spezifische [[Flächenwiderstand]] des Emitters. Schreibt man (wie im Abschnitt zur Elektrostatik diskutiert) das elektrische Feld als Gradient des elektrischen Potentials, <math>\mathbf E(x,y) = -\vec \nabla_2 \Phi(x,y)</math>, so erhält man für die Potentialverteilung im Emitter eine Poisson-Gleichung in der Form

: <math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">\Delta_2 \Phi(x,y) = R_{\Box} J_z(x,y,z=0).</math>

=== Gravitation ===
Ebenso wie das elektrostatische Feld

<math>\mathbf E(\mathbf r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \int \rho_\mathrm{el}\left(\mathbf r'\right) \frac{\mathbf r - \mathbf r'}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3} \; dx'\,dy'\,dz'=-\vec \nabla \Phi_\mathrm{el}(\mathbf r)</math>,

ist auch das [[Gravitationsbeschleunigung|Gravitationsfeld]]&nbsp;'''g''' ein konservatives Feld:

: <math>\mathbf g (\mathbf r) = -G \int \rho_\mathrm{m}\left(\mathbf r'\right) \frac{\mathbf r - \mathbf r'}{\left|\mathbf r - \mathbf r'\right|^3} \; dx'\,dy'\,dz'=-\vec \nabla \Phi_\mathrm{m}(\mathbf r)</math>.

Dabei ist
* ''G'' die [[Gravitationskonstante]]
*<math>\rho_\mathrm{m}(\mathbf r')</math> die Massendichte.


Da nur die Ladungen durch Massen und <math>\tfrac{1}{4 \pi \varepsilon}</math> durch <math>-G</math> ersetzt werden, gilt analog zur ersten Maxwellgleichung

: <math>\vec \nabla \cdot \mathbf g = -4 \pi G \rho_\mathrm m(\mathbf r)</math>.

Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

: <math>\vec \nabla \cdot \mathbf g=-\vec \nabla \cdot (\vec \nabla \Phi_\mathrm m(\mathbf r)) = -4 \pi G \rho_\mathrm m(\mathbf r) \Leftrightarrow</math>
: <math>\Delta \Phi_{\mathrm m}(\mathbf r) = 4 \pi G \rho_\mathrm m(\mathbf r)</math>.

== Literatur ==
* [[Richard Courant]], [[David Hilbert]]: ''Methoden der mathematischen Physik.'' Band 1. Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1924 (= ''Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'', 12). 4. Auflage, ebenda 1993, ISBN 3-540-56796-8.
* [[Lawrence C. Evans]]: ''Partial Differential Equations.'' American Mathematical Society, Providence RI 1998, ISBN 0-8218-0772-2 (= ''Graduate studies in mathematics'' 19).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Elektrostatik]]
[[Kategorie:Siméon Denis Poisson als Namensgeber]]