Quelltext der Seite Parkettierung

{{Begriffsklärungshinweis|Eine Beschreibung der Konservierungstechnik für Tafelbilder befindet sich unter [[Parkettierung (Konservierungstechnik)]]. Die Tessellation in der Computergrafik siehe [[Tessellation-Shader]]. Für Fußböden, siehe [[Parkett #Verlegung]].}}

In der [[Mathematik]] bezeichnet '''Parkettierung''' (auch '''Kachelung''', '''Pflasterung''' oder '''Flächenschluss'''<ref name="HeeKie">Heinrich Heesch, Otto Kienzle: ''Flächenschluß.'' Springer, 1963.</ref>) die lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der [[Euklidische Ebene|(euklidischen) Ebene]] durch gleichförmige Teilflächen. Das Konzept kann auch auf höhere Dimensionen erweitert werden.

Bei praktischen Anwendungen und in der Theorie wird die Überdeckung mit Hilfe von einem oder mehreren möglichst einfachen [[Polygon]]en (Vielecken) bevorzugt, im Englischen wird dieses Vorgehen auch '''Tiling''' oder '''Tessellation''' (englisch für „[[Mosaik]]“) genannt. Wenn z.&nbsp;B. in einer technischen Anwendung ein großes Blech in Teilflächen (Werkstücke) aufzuteilen ist, wird versucht, diese so zu gestalten, dass eine Parkettierung durch verschiedene ungleiche Teilflächen vorliegt und kein Abfall entsteht.<ref name="HeeKie" />

Die „zyklische Aufteilung von Flächen“ mit ungleichförmigen Teilflächen (keine Polygone) kommt in der Kunst sehr ausgeprägt z.&nbsp;B. bei [[M. C. Escher]] vor.<ref>Bruno Ernst: ''Der Zauberspiegel des M. C. Escher, 7. Die Kunst der Alhambra.'' Taschen 1978/1992, ISBN 3-8228-0442-8.</ref>

Analog zur Parkettierung der Ebene (2D) kann auch der drei- oder höherdimensionale Raum unterteilt werden, siehe [[Raumfüllung]].

== Definitionen ==
Eine ''Kachel'' (Parkettstein, Pflasterstein) ist eine abgeschlossene [[Topologie (Mathematik)|topologische]] Scheibe in der Ebene<!-- (i.e. im <math> \mathbb R^2 </math>) -->. Dadurch werden u.&nbsp;a. Steine mit Löchern und nicht-zusammenhängenden Teilen ausgeschlossen, gelegentlich werden aber auch solche und allgemeinere Steine zugelassen.

Eine Parkettierung (Pflasterung, Kachelung, manchmal auch Mosaik) ist eine ([[Abzählbare Menge|abzählbare]]) Menge von Kacheln, die sowohl eine Packung (d.&nbsp;h., „kein Punkt der Ebene liegt im Inneren von zwei oder mehr Kacheln“, oder –&nbsp;anders ausgedrückt&nbsp;– „verschiedene Kacheln haben höchstens Randpunkte gemeinsam“)<ref>Eine Protokachel ist also nicht unbedingt ein [[Fundamentalbereich]], bei dem es keine gemeinsamen Punkte (auch nicht Randpunkte) geben dürfte.</ref> als auch eine [[Überdeckung (Mathematik)|Überdeckung]] (d.&nbsp;h., „jeder Punkt der Ebene gehört zu mindestens einer Kachel“) ist.

Häufig schränkt man den Begriff noch weiter ein, indem man z.&nbsp;B. fordert, dass alle Kacheln [[homöomorph]] zur abgeschlossenen Kreisscheibe sind (damit insbesondere [[Kompakter Raum|kompakt]] und [[einfach zusammenhängend]]), oder aber, dass jede Kachel [[Kongruenzabbildung|kongruent]] zu einem Element einer endlichen Auswahl von Kacheln (den sogenannten „Proto-Kacheln“) ist, dass also nur endlich viele ''verschiedene'' Kacheln auftreten.

== Monohedrale Parkettierung ==
Falls in einer Parkettierung alle Kacheln untereinander kongruent sind, nennt man die Zerlegung ''monohedral''.<ref>O. Aichholzer et al.: ''A Note on Planar Monohedral Tilings.'' 34th European Workshop on Computational Geometry, Berlin, Germany, March 21–23, 2018.</ref> In einem solchen Fall kann man eine beliebige der Kacheln herausgreifen und als Protokachel bezeichnen. Gibt es zu einer Form (Protokachel) eine monohedrale Parkettierung der Ebene, sagt man auch kurz „die Protokachel parkettiert“.

== Periodische Parkettierungen ==
[[Datei:Buckfast bee.jpg|mini|Abb. 1: Bienenwaben bilden ein Sechseckgitter]]

Eine [[Kongruenzabbildung]] (euklidische Bewegung) der Ebene, die jede Kachel einer Parkettierung wieder auf eine Kachel abbildet, heißt „Symmetrie“ der Parkettierung. Die Menge aller Symmetrien heißt [[Symmetriegruppe]] (der Parkettierung). Sie ist eine [[Untergruppe]] der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>\rm E(2)</math> der [[Bewegung (Mathematik)#Bewegungen in der euklidischen Ebene|euklidischen Bewegungen der Ebene.]] Enthält die Symmetriegruppe einer Parkettierung zwei [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Verschiebungen, so heißt die Parkettierung „periodisch“ und die entstehende Symmetriegruppe ''[[ebene kristallographische Gruppe]],'' von denen es genau 17, die sogenannten Tapetenmustergruppen, gibt.

Wenn man gewisse Anforderungen an die in einer Parkettierung verwendeten Grundformen und ihre Anordnung stellt, ergeben sich Spezialfälle, für die man dann alle möglichen Parkettierungen angeben kann.

Die insgesamt 17 Möglichkeiten, dass regelmäßige Vielecke an einer Ecke, einem sogenannten ''Knotenpunkt'' zusammenstoßen und dabei zusammen einen Winkel von 360° bilden, ergeben sich aus folgender Überlegung:

Die Summe der Innenwinkel von <math>k</math> an einer Ecke zusammenstoßenden Vielecken mit den Eckenanzahlen <math>n_1</math> bis <math>n_k</math> beträgt 360°, also:
:<math>180^\circ \left(1-\frac{2}{n_1}\right)+180^\circ \left(1-\frac{2}{n_2}\right)+...+180^\circ \left(1-\frac{2}{n_k}\right)=360^\circ</math>
Hieraus erhält man nach elementaren algebraischen Umformungen:
:<math>\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+ \dotsb +\frac{1}{n_k} = \frac{k}{2}-1</math>
Man unterscheidet nun für verschiedene Fälle für <math>k</math> die Lösungs-''k''-Tupel dieser Gleichung.

''Fall 1:'' <math>k=3</math>
:Drei Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
:<math>\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\frac{1}{n_3}=\frac{1}{2}</math> hat die zehn Lösungen
:(3, 7, 42), (3, 8, 24), (3, 9, 18), (3, 10, 15), (3, 12, 12), (4, 5, 20), (4, 6, 12), (4, 8, 8), (5, 5, 10), (6, 6, 6).

''Fall 2:'' <math>k=4</math>
:Vier Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
:<math>\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\frac{1}{n_3}+\frac{1}{n_4}=1</math> hat die vier Lösungen
:(3, 3, 4, 12), (3, 3, 6, 6), (3, 4, 4, 6), (4, 4, 4, 4).

''Fall 3:'' <math>k=5</math>
:Fünf Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
:<math>\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\frac{1}{n_3}+\frac{1}{n_4}+\frac{1}{n_5}=\frac{3}{2}</math> hat die beiden Lösungen
:(3, 3, 3, 3, 6), (3, 3, 3, 4, 4).

''Fall 4:'' <math>k=6</math>
:Sechs Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
:<math>\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+\frac{1}{n_3}+\frac{1}{n_4}+\frac{1}{n_5}+\frac{1}{n_6}=2</math> hat die Lösung
:(3, 3, 3, 3, 3, 3).<ref>Reimund Albers: [http://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/MaDenken1314/Material/2_1_SkriptParkett.pdf ''Materialien zu regelmäßigen Vielecken und Parkettierungen.''] Fachbereich 3, Mathematik und Informatik, der Universität Bremen, abgerufen am 22. April 2023.</ref><ref>B. Willimann: [https://www.willimann.org/A07020-Parkettierungen-Theorie.pdf ''Willimann’s Portal - Skript über Parkettierungen''], abgerufen am 22. April 2023.</ref>

=== Platonische Parkettierungen ===
Ist nur ein [[regelmäßiges Polygon]] als Kachel zugelassen und wird weiter eingeschränkt, dass die Kacheln '''Kante an Kante''' angeordnet werden müssen, ergeben sich genau drei mögliche Parkettierungen der Ebene, die '''platonische''' oder '''reguläre Parkettierungen''' genannt werden:

<gallery widths="200px" heights="200px">
  Tile_3,6.svg | [[Dreiecksgitter]]
  Tiling Regular 4-4 Square.svg | [[Quadratgitter]]
  Tiling Regular 6-3 Hexagonal.svg | [[Sechseckgitter]] – wird auch Bienenwabenmuster genannt
</gallery>

[[Johannes Kepler]] war der erste, der diese Parkettierungen untersuchte und erkannte, dass sie ein Analogon zu den regulären Polyedern darstellen.<ref>David Wells: ''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry.'' Penguin Books, London 1991, ISBN 0-14-011813-6, S.&nbsp;213.</ref>

=== Archimedische Parkettierungen ===
Dürfen als Grundform beliebige regelmäßige ''n''-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden, so ergeben sich bei Beibehaltung der Kante-an-Kante-Regel und der Einschränkung, dass an jedem Punkt, an dem die Ecken zusammenstoßen, immer die gleiche Kombination von Vielecken (Anzahl und Reihenfolge) zusammenstoßen muss, genau acht weitere mögliche Parkettierungen&nbsp;– die '''archimedischen''', '''semiregulären''' oder '''1-uniformen Parkettierungen''' der Ebene:

* 2 Parkettierungen aus [[Dreieck]]en und [[Quadrat]]en
* 2 Parkettierungen aus Dreiecken und [[Sechseck]]en
* 1 Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken
* 1 Parkettierung aus Dreiecken und [[Zwölfeck]]en
* 1 Parkettierung aus [[Achteck]]en und Quadraten
* 1 Parkettierung aus Quadraten, Sechsecken und Zwölfecken

<gallery widths="200px" heights="200px" perrow="4">
Tiling Semiregular 3-3-3-4-4 Elongated Triangular.svg | 3-3-3-4-4
Tiling Semiregular 3-3-4-3-4 Snub Square.svg | 3-3-4-3-4
Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg | 3-6-3-6
Tiling Semiregular 3-3-3-3-6 Snub Hexagonal.svg | 3-3-3-3-6 (zwei gespiegelte Varianten)
Tiling Semiregular 3-4-6-4 Small Rhombitrihexagonal.svg | 3-4-6-4
Tiling Semiregular 3-12-12 Truncated Hexagonal.svg | 3-12-12
Tiling Semiregular 4-8-8 Truncated Square.svg | 4-8-8
Tiling Semiregular 4-6-12 Great Rhombitrihexagonal.svg | 4-6-12
</gallery>

=== Semireguläre Parkettierungen ===
Parkettierungen, für die zwar als Grundform beliebige regelmäßige ''n''-Ecke mit gleicher Kantenlänge verwendet werden und die die Kante-an-Kante-Regel einhalten, bei denen aber an den Punkten, an denen die Ecken zusammenstoßen, eine von zwei möglichen Kombinationen von Vielecken (Anzahl und Reihenfolge) auftritt, nennt man '''semireguläre''' oder '''2-uniforme Parkettierungen''', zum Beispiel:

* Parkettierung aus [[Dreieck]]en und [[Quadrat]]en (anderes ''Muster'' als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)
* Parkettierung aus Dreiecken und [[Sechseck]]en (anderes ''Muster'' als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)
* Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken (anderes ''Muster'' als bei den entsprechenden archimedischen Parketten)
* Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten und [[Zwölfeck]]en
* Parkettierung aus Dreiecken, Quadraten, Sechsecken und Zwölfecken

Es gibt insgesamt 20 semireguläre Parkettierungen.
<gallery widths="200px" heights="200px" perrow="4">
Diosfera-Parkettierung.png|3-3-4-3-4 und 3-3-3-3-3-3 (Typ 1)
Diosfera-Parkettierung 3-3-4-3-4+3-3-3-3-3-3 2.png|3-3-4-3-4 und 3-3-3-3-3-3 (Typ 2)
Dem3366bc.gif|3-3-6-6 und 3-3-3-3-3-3
Dem3366rbc.gif|3-3-6-6 und 3-6-3-6
Academ Periodic tiling by hexagons and other regular polygons.svg|3-4-4-6 und 3-6-3-6
Academ Periodic tiling by dodecagons and other convex regular polygons.svg|3-3-4-12 und 3-3-3-3-3-3
</gallery>

=== Duale Parkettierungen ===
Jede platonische Parkettierung ist dual zu einer anderen platonischen Parkettierung. Jede archimedische Parkettierung ist dual zu einer dual-archimedischen Parkettierung, die aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Polygon]]en besteht. Die Seitenlängen dieser Polygone sind die Summe der Inkreisradien der ursprünglichen benachbarten [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen Polygone]]. Die [[Ecke]]n dieser Polygone sind die [[Mittelpunkt]]e der ursprünglichen Polygone. Die Kanten verbinden benachbarte Mittelpunkte und halbieren daher die ursprünglichen Kanten und schneiden sie [[Orthogonalität|orthogonal]]. Die ursprünglichen Ecken sind die Mittelpunkte der [[Inkreis]]e der Polygone. Der Inkreisradius ist die halbe Länge der ursprünglichen Kanten. Die [[Innenwinkel]] sind gleich 360°/''n'', wobei ''n'' die Anzahl der Ecken des ursprünglichen Polygons ist. In den hier aufgeführten Darstellungen bezieht sich die Farbe der Teilfläche auf die Eckenzahl ({{Bahnlinie|U||3: gelb|yellow|#ffffff|#ffffff}}, {{Bahnlinie|U||4: rot|red|#ffffff|#ffffff}}, {{Bahnlinie|U||5: türkis|cyan|#ffffff|#ffffff}}, {{Bahnlinie|U||6: grün|green|#ffffff|#ffffff}}, {{Bahnlinie|U||8: orange|orange|#ffffff|#ffffff}} und {{Bahnlinie|U||12: blau|blue|#ffffff|#ffffff}}).
{| class="wikitable"
!Platonische oder
archimedische Parkettierung
!Duale Parkettierung
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|[[Datei:1-uniform n5.svg|rahmenlos]]
|[[Datei:1-uniform 5 dual.svg|rahmenlos]]
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|[[Datei:1-uniform n1.svg|rahmenlos]]
|[[Datei:1-uniform 1 dual.svg|rahmenlos]]
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|[[Datei:1-uniform 11 dual.svg|rahmenlos]]
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|[[Datei:1-uniform 10 dual.svg|rahmenlos]]
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|[[Datei:1-uniform n8.svg|rahmenlos]]
|[[Datei:1-uniform 8 dual.svg|rahmenlos]]
|}

=== Homogene Parkettierungen ===
==== Definition ====
Eine Parkettierung heißt ''homogen'', wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:
* Die Figuren sind regelmäßige Vielecke.
* Die Vielecke berühren sich an den Seiten.
* Die Vielecke haben gemeinsame Knotenpunkte.
* An jedem Knotenpunkt stößt dieselbe Anordnung von Vielecken zusammen. Man bezeichnet solche Knotenpunkte als ''kongruent''.
Damit sind sowohl die platonischen als auch die archimedischen Parkettierungen homogen.

==== Gegenbeispiele ====
<div style="float:right;">[[Datei:Parkettierung 3 3 4 12.svg|mini|219px|Nicht-homogene Parkettierung: keine kongruenten Knotenpunkte]]</div><div style="float:right;">[[Datei:Parkettierung Ziegelsteinmauer.svg|mini|360px|Nicht-homogene Parkettierung: keine gemeinsamen Knotenpunkte]]</div>
* Die abgebildete einer [[Ziegelstein]]mauer ähnelnde Parkettierung ist nicht homogen, da es keine gemeinsamen Knotenpunkte gibt.
* Die abgebildete aus gleichseitigen Dreiecken, Quadraten und regelmäßigen Zwölfecken bestehende Parkettierung ist ebenfalls nicht homogen, da man um den Knoten&nbsp;A die Anordnung ''Dreieck-Dreieck-Quadrat-Zwölfeck'' findet, jedoch um den Knoten&nbsp;B sechs Dreiecke, also sind die Knotenpunkte A und B nicht kongruent.<ref>Jürgen Köller: [http://www.mathematische-basteleien.de/parkett.htm ''Homogene Parkettierungen.''] In: ''Mathematische.Basteleien.de.'' 2004, abgerufen am 22. April 2023.</ref>
{{Absatz}}

=== Parkettierungen mit Quadraten und Parallelogrammen ===
Die Mittelpunkte der auf den Seiten eines Parallelogramms errichteten Quadrate sind Eckpunkte eines neuen Quadrats ''(Figur 1).''<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte.'' Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S.&nbsp;58.</ref><ref>Stephen D. Abbott, Matt Richey: [https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/07468342.1997.11973857 ''Take a Walk on the Boardwalk.''] In: ''The College Mathematics Journal.'' Band 28, Nr. 3, Mai 1997, S.&nbsp;171.</ref>

Somit kann die Parkettierung der Ebene mit Quadraten und Parallelogrammen überdeckt werden mit einer Parkettierung aus diesen neuen Quadraten.

[[Datei:Parkettierung Quadrate Parallelogramme.svg|mini|200px|zentriert|''Figur 1:'' Parkettierung mit Quadraten und Parallelogrammen mit überlagerter Quadrat-Parkettierung]]

=== Parkettierungen mit Rechtecken und Sehnenvierecken ===
Errichtet man über jeder Seite eines [[Sehnenviereck]]s ein Rechteck so, dass die andere Rechtecksseite jeweils so lang ist wie die gegenüberliegende Seite des Sehnenvierecks, so sind die Diagonalenschnittpunkte dieser vier Rechtecke die Eckpunkte eines weiteren Rechtecks ''(Figur 2).''<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S.&nbsp;127–128.</ref>

Somit kann die Parkettierung der Ebene mit Rechtecken und Sehnenvierecken überdeckt werden mit einer Parkettierung aus diesen neuen Rechtecken.

[[Datei:Parkettierung Rechtecke Sehnenvierecke.svg|mini|200px|zentriert|''Figur 2:'' Parkettierung mit Rechtecken und Sehnenvierecken mit überlagerter Rechtecksparkettierung]]

=== Parkettierungen mit unregelmäßigen Vierecken ===
[[Datei:Vierecksparkettierung konvex.svg|mini|links|''Figur 3:'' Parkettierung mit konvexen Vierecken]]
[[Datei:Vierecksparkettierung konkav.svg|mini|''Figur 4:'' Parkettierung mit konkaven Vierecken]]
Die Ebene kann mit kongruenten Vierecken jeder Form parkettiert werden. Überdeckt man eine solche Parkettierung mit einer Parkettierung aus geeigneten kongruenten [[Parallelogramm]]en, so lässt sich hieraus eine Beziehung zwischen den Flächenmaßzahlen eines einzelnen Vierecks und eines einzelnen Parallelogramms herleiten.

''Figur 3'' stellt eine Parkettierung mit [[Konvexe Menge|konvexen]] und ''Figur 4'' eine Parkettierung mit [[Konvexe Menge|konkaven]] unregelmäßigen Vierecken dar, die jeweils mit einer Parkettierung aus kongruenten Parallelogrammen überdeckt sind.

Jedes Parallelogramm in ''Figur 3'' oder ''Figur 4'' setzt sich aus je zwei Flächenstücken eines blauen und eines roten Vierecks zusammen. Da die Vierecke kongruent zueinander sind, hat jedes Parallelogramm die doppelte Flächenmaßzahl eines der Vierecke.

Als Fazit gilt unter Berücksichtigung der Vierecksdiagonalen folgende Aussage:

''Sind die Seiten eines Parallelogramms parallel und gleich lang zu den [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]] eines Vierecks, so ist die Flächenmaßzahl des Parallelogramms doppelt so groß wie die des Vierecks.''<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte.'' Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S.&nbsp;59.</ref>
{{Absatz}}

=== Parkettierungen mit sonstigen unregelmäßigen Polygonen ===
Parkettierungen sind auch mit anderen unregelmäßigen Polygonen möglich. Beispiele sind:
* [[Parkettierung mit Fünfecken]], wie das ''Cairo tiling''
* Parkettierung mit [[Sechseck]]en und [[Fünfeck]]en, wie die [[Grazebrook-Parkettierung]]<ref>Ian Stewart: ''Fünfeckige Kacheln.'' In: ''Spektrum der Wissenschaft.'' Januar 2000, S.&nbsp;106–108.</ref>
Der niederländische Künstler [[M. C. Escher]] ist bekannt für seine Parkettierungen mit exotischen Figuren.

<gallery widths="200px" heights="200px" perrow="3">
  Tiling Dual Semiregular V3-6-3-6 Quasiregular Rhombic.svg|Rauten mit je zwei 60°-Winkeln und je zwei 120°-Winkeln
  Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg|Deltoide mit je zwei rechten Winkeln und je einem von der Symmetrieachse geschnittenen 60°-Winkel
  PentagonTilings15.svg|Bisher bekannte 15 Arten der periodischen [[Parkettierung mit Fünfecken|Parkettierung mit konvexen Fünfecken]]<ref>Alex Bellos: [https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/aug/10/attack-on-the-pentagon-results-in-discovery-of-new-mathematical-tile ''Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile.''] In: ''TheGuardian.com.'' 11.&nbsp;August 2015, abgerufen am 17.&nbsp;Februar 2023.</ref>
</gallery>

=== Parkettierungen mit Kreisteilen ===
Drei [[Eckpunkt]]e eines Quadrats seien Mittelpunkte dreier Kreise, die durch den Diagonalenschnittpunkt des Quadrates verlaufen. Dann ist das Quadrat flächengleich zu dem von den drei Kreisen begrenzten gelben Bereich.<ref>Wolfgang Zeuge: ''Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie.'' Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S.&nbsp;33/167.</ref>

Die Ebene lässt sich parkettieren mit den gelben Kreisteilen, überdeckt mit einer Parkettierung aus den flächengleichen Quadraten.
[[Datei:Kreisteilquadratur Parkettierung.svg|mini|300px|zentriert|Parkettierung mit Kreisteilen, überlagert mit einer Quadratparkettierung]]

=== {{Anker|isohedral}}Isohedrale Parkettierungen und anisohedrale Kacheln ===
[[Datei:1-isohedral tiling.svg|225px|mini|links|Abb. 2: 1-isohedrale Parkettierung]]

Eine monohedrale Parkettierung heißt ''isohedral,'' wenn es zu je zwei Kacheln der Parkettierung eine Kongruenzabbildung gibt, die die eine Kachel auf die andere abbildet und dabei die Gestalt der gesamten Zerlegung nicht verändert&nbsp;– dieser Begriff wird ganz analog auch in höherdimensionalen Räumen verwendet. Beispiel: In Abbildung&nbsp;2 kann das grüne in das blaue Rechteck durch eine Punktspiegelung am Mittelpunkt der gemeinsamen Seite, das grüne in das gelbe Rechteck durch eine Drehung um den gemeinsamen Eckpunkt und das grüne in das rote Rechteck durch eine Kombination von beidem überführt werden. In die Nähe der bunten Rechtecke kommt man durch Parallelverschiebung, wie durch die grauen Pfeile angedeutet.

In diesem Fall, wenn also die Gruppe der Kongruenzabbildungen [[Gruppenoperation#Transitive und scharf transitive Operationen|transitiv]] auf der Parkettierung operiert, besteht die Parkettierung auch aus einer einzigen [[Gruppenoperation#Bahn|Bahn]]. Ist <math>k</math> die Anzahl der Bahnen, wird die Parkettierung {{nowrap|<math>k</math>-''isohedral''}} genannt.<ref name="Myers">Joseph Myers: [https://www.polyomino.org.uk/mathematics/polyform-tiling/ ''Polyomino, polyhex and polyiamond tiling.''] In: ''Polyomino.org.uk.'' 10.&nbsp;Februar 2019, abgerufen am 17.&nbsp;Februar 2023.</ref>

[[Datei:2-isohedral tiling.svg|225px|mini|links|Abb. 3: 2-isohedrale Parkettierung]]
[[Datei:Heesch anisohedral tiling.svg|225px|mini|Abb. 4: Eine Parkettierung mit dem Pflasterstein von Heesch. Sie ist nicht isohedral, und es gibt mit ihm keine isohedrale.]]

In der Parkettierung der Abbildung&nbsp;3 gibt es keine Kongruenzabbildung, die das dunkelgrüne Rechteck in das dunkelrote überführt. Die Parkettierung besteht aus zwei Bahnen, den grünlichen und den rötlichen Rechtecken, und ist damit {{nowrap|2-isohedral.}} Ist <math>k>1</math>, wird die Parkettierung gelegentlich auch ''anisohedral'' genannt. Bei einer Kachel sagt man, sie ist {{nowrap|<math>k</math>-anisohedral}}, oder, sie hat die ''isohedrale Zahl'' <math>k</math> (engl. ''isohedral number''), wenn sie parkettiert und {{nowrap|<math>k</math>-isohedral}} ist, aber nicht {{nowrap|<math>m</math>-isohedral}} für {{nowrap|<math>m<k</math>.<ref name="Myers" />}} So gesehen hat das {{nowrap|(3:1)-Rechteck}} der Abbildung&nbsp;3 die isohedrale Zahl&nbsp;1, da es mit ihm natürlich auch isohedrale Parkettierungen gibt.

Es gibt aber auch Kacheln, die zwar parkettieren, zu denen es aber überhaupt keine transitive Parkettierung geben kann. Ein Beispiel ist der Pflasterstein von [[Heinrich Heesch]] (siehe Abbildung&nbsp;4), bei dem nach der Gegebenheit der grünen und blauen Kacheln die (gespiegelten) gelben und roten zwar für die Parkettierung erforderlich sind, es aber keine Kongruenzabbildung gibt, die grüne oder blaue Kacheln in gelbe bzw. rote überführen würde. Bspw. können durch eine Achsenspiegelung grüne oder blaue Kacheln in gelbe bzw. rote überführt werden, die Bilder der gelben und/oder roten erfahren dabei aber einen Versatz um 2&nbsp;Raster, sodass sie nicht mit grünen oder blauen Kacheln zur Deckung zu bringen sind.

== Parkettierungen mit aperiodischen Protokacheln ==
{{Siehe auch|Einstein-Problem (Geometrie)}}

Sätze von Proto-Kacheln (s.&nbsp;o.), die ausschließlich nichtperiodische Überdeckungen der Ebene zulassen, heißen '''aperiodisch.''' Nach neuester Definition wird der Begriff nur auf die Kachelsätze angewandt. Die daraus entstehenden Parkettierungen sind dann jeweils nichtperiodisch. Wenn sich in einem Parkett beliebig große Ausschnitte wiederholen, ohne dass es insgesamt periodisch ist, spricht man von einer quasiperiodischen Parkettierung. Interessante und schöne Beispiele für quasiperiodische Parkettierungen sind die [[Penrose-Parkettierung]]en, benannt nach ihrem Entdecker [[Roger Penrose]].

2023 wurde eine [[Einstein-Problem (Geometrie)|aperiodische einzelne Protokachel]] entdeckt –&nbsp;auch ''aperiodische Monokachel'' (=&nbsp;engl.: ''aperiodic monotile'') genannt&nbsp;– deren Existenz seit den Veröffentlichungen von Penrose in den 1970er-Jahren als offenes Problem galt.

<gallery widths="200px" heights="200px" perrow="4">
  Penrose Tiling (P1).svg|Penrose-P1-Parkettierung
  Penrose sun 3.svg|Penrose-P2-Parkettierung
  PenroseTilingFilled3.svg|Penrose-P3-Parkettierung
</gallery>

== Raumfüllung ==
{{Hauptartikel|Raumfüllung}}
[[Datei:Cubes-R1 ani.gif|mini|Animation der [[Raumfüllung]] aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Rhombendodekaeder]]n]]
[[Datei:Cubes-A4 HC-ani.gif|mini|Animation der [[Raumfüllung]] aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] [[Oktaederstumpf|Oktaederstümpfen]]]]
Eine lückenlose Parkettierung des [[dreidimensional]]en [[Raum (Mathematik)|Raumes]] mit [[Polyeder]]n wird auch als ''[[Raumfüllung]]'' bezeichnet. Es gibt genau fünf [[Konvexe Menge|konvexe]] Polyeder, die nur durch [[Regelmäßiges Vieleck|regelmäßige Vielecke]] begrenzt sind, mit denen sich der Raum aus [[Kongruenz (Geometrie)|kongruenten]] Polyedern einer Art ausfüllen lässt:

* [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
* [[Dreieck]]iges [[Prisma (Geometrie)#Reguläres Prisma|reguläres Prisma]]
* [[Sechseck]]iges reguläres Prisma
* Verdrehter Doppelkeil ([[Johnson-Körper#Modifizierte Kuppeln und Rotunden|Johnson-Körper J<sub>26</sub>]])
* [[Oktaederstumpf]]

Unter den sogenannten [[Catalanische Körper|catalanischen Körpern]] ist lediglich das [[Rhombendodekaeder]] raumfüllend.
<gallery perrow="4">
  Hexahedron.svg|[[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
  Parallelepiped 2013-11-29.svg|[[Parallelepiped]]
  Triangular prism.svg|[[Dreieck]]iges [[Prisma (Geometrie)#Reguläres Prisma|reguläres Prisma]]
  Hexagonal Prism.svg|[[Sechseck]]iges [[Prisma (Geometrie)#Reguläres Prisma|reguläres Prisma]]
  Gyrobifastigium.png|Verdrehter Doppelkeil ([[Johnson-Körper#Modifizierte Kuppeln und Rotunden|Johnson-Körper J<sub>26</sub>]])
  Rhombo-hexagonal dodecahedron.png|[[Verlängertes Rhombendodekaeder]]
  Rhombicdodecahedron.jpg|[[Rhombendodekaeder]]
  Truncatedoctahedron.svg|[[Oktaederstumpf]]
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[[Jewgraf Stepanowitsch Fjodorow]] klassifizierte 1885 die raumfüllenden Paralleloeder, das heißt [[Polyeder]], die sich durch Translation ineinander überführen lassen ''(affine Typen konvexer Paralleloeder)'', und fand im [[dreidimensional]]en [[Raum (Mathematik)|Raum]] fünf:<ref>{{MathWorld|Space-FillingPolyhedron|Space-Filling Polyhedron}}</ref>
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  Rhombohedral prism honeycomb.png|[[Parallelepiped]]
  Skew hexagonal prism honeycomb.png|Hexagonales [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]
  Rhombic dodecahedra.png|[[Rhombendodekaeder]]
  Elongated rhombic dodecahedron honeycomb.png|[[Verlängertes Rhombendodekaeder]]
  Truncated octahedra.png|[[Oktaederstumpf]]
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== Siehe auch ==
* [[Raumfüllung]]
* [[Voronoi-Diagramm]]

== Literatur ==
* Werner van Hoeydonck, Christian Kern, Eva Sommeregger (Hrsg.): ''Space Tessellations: Experimenting with Parquet Deformations.'' Birkhäuser Verlag, Basel/Berlin/Boston, 2022, ISBN 978-3-0356-2517-2.
* Hans-Günther Bigalke, Heinrich Wippermann: ''Reguläre Parkettierungen.'' BI-Wissenschafts-Verlag, 1994, ISBN 3-411-16711-4.
* Bruno Ernst: ''Der Zauberspiegel des M. C. Escher.'' Taschen, 1992, ISBN 3-8228-0442-8.
* Heinrich Heesch, [[Otto Kienzle (Ingenieur)|Otto Kienzle]]: ''Flächenschluß.'' Springer, 1963.
* Branko Grünbaum, G. C. Shephard: ''Tilings and Patterns.'' WH Freeman & Co., 1986, ISBN 0-7167-1193-1.

== Weblinks ==
{{Commons|Tiling|Parkettierung}}
* Jürgen Köller: [http://www.mathematische-basteleien.de/parkett.htm ''Homogene Parkettierungen.''] In: ''Mathematische.Basteleien.de.'' 2004.
* Robert Gast: [http://www.spektrum.de/news/beweis-beendet-suche-nach-fuenfecken/1481717 ''100 Jahre altes Matherätsel. Das Ende der Fünfeck-Saga.''] In: ''Spektrum.de.'' 13.&nbsp;Juli 2017. Über einen möglichen Beweis durch Michaël Rao [https://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/ (Homepage)].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Ornamentik]]
[[Kategorie:Buntpapier]]