Quelltext der Seite Ortskurve (Kurvendiskussion)

Als '''Ortskurve''' bezeichnet man eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], auf der alle Punkte einer gegebenen [[Funktionenschar]] liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. In einer [[Kurvendiskussion]] werden häufig die Ortskurven von [[Extrempunkt]]en oder [[Wendepunkt]]en der [[Funktionsgraph|Graphen]] einer Funktionenschar gesucht.

== Berechnung ==

Zur Berechnung der Ortskurve werden zunächst die <math>x</math>-Koordinaten der betreffenden Punkte (z.&nbsp;B. aller Tiefpunkte einer Funktionenschar) in Abhängigkeit vom jeweiligen Parameter (z.&nbsp;B. <math>a</math>) bestimmt.

Anschließend wird die Gleichung für die <math>x</math>-Koordinate nach dem Parameter aufgelöst und in die Funktionsgleichung eingesetzt, wodurch der Parameter eliminiert wird: Übrig bleibt die Gleichung der Ortskurve.

Alternativ kann auch zunächst die Gleichung für die <math>y</math>-Koordinate bestimmt werden und die nach dem Parameter umgestellte Gleichung in diese eingesetzt werden.

== Beispiele ==

=== Extrempunkte einer Kurvenschar ===
[[Datei:Ortskurve extrema.svg|mini|hochkant=1.0|Ortskurve (rot) der Extrema einer Funktion (schwarz)]]
Die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) der durch <math>f_a(x) = x^3-3a^2x</math> gegebenen Funktionenschar haben die <math>x</math>-Koordinaten <math>x = \pm a</math> (mit <math>a \ne 0</math>). Die Kurve mit der Gleichung <math>y = -2x^3</math> ist die Ortskurve aller Extrempunkte, da alle Extrempunkte der einzelnen Funktionsgraphen auf dieser Kurve liegen.

=== Wendepunkte einer Kurvenschar ===
[[Datei:Ortskurve wendepunkte.svg|mini|hochkant=1.0|Ortskurve (rot) der Wendepunkte einer Funktion (schwarz)]]
Wenn man z.&nbsp;B. die Ortskurve für alle [[Wendepunkt]]e der Funktionenschar

: <math>f_t(x)=tx^4-4t^2x^2</math> mit <math>t>0</math>

bestimmen möchte, geht man folgendermaßen vor:

# Wendestellen bestimmen:
#:<math>w_1 = +{\sqrt{\tfrac{2t}{3}}} </math> und <math>w_2 = -{\sqrt{\tfrac{2t}{3}}} </math>
# Da der Funktionsgraph [[Achsensymmetrische Funktion|achsensymmetrisch]] zur <math>y</math>-Achse ist, kann man mit einer einzigen Wendestelle weiterarbeiten.
# <math>x</math>-Koordinate in Gleichung schreiben:
#:<math>x=\sqrt{\tfrac{2t}{3}}</math>
# <math>x</math>-Gleichung nach Parameter <math>t</math> auflösen:
#:<math>t=\tfrac{3x^2}{2}</math>
# Gleichung von <math>t</math> in die Funktionsgleichung einsetzen:
#:<math>y={-7{,}5x^6}</math>

Die Ortskurve für alle Wendepunkte der Funktionen <math>f_t</math> hat also die Gleichung
<math>o_\text{w}(x)={-7{,}5x^6}\,\,;x\neq0</math>.

== Siehe auch ==

* [[Geometrischer Ort]]
* [[Hodograph]]

== Weblinks ==

* [https://www.matheraum.de/wissen/Ortskurve Erklärung der Ortskurve zur schulischen Anwendung]
* {{YouTube|id=2tbf0-buUnE|titel=Ortskurve (Mathe-Song)|uploader=[[DorFuchs]]}}

[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Analysis]]