Quelltext der Seite Orthonormalbasis

Eine '''Orthonormalbasis''' (ONB) oder ein '''vollständiges Orthonormalsystem''' (VONS) ist in den mathematischen Gebieten [[lineare Algebra]] und [[Funktionalanalysis]] eine Menge von Vektoren aus einem [[Vektorraum]] mit [[Skalarprodukt]] ([[Innenproduktraum]]), welche auf die Länge eins [[Norm (Mathematik)|normiert]] und zueinander [[orthogonal]] (daher ''[[Orthonormalität|Ortho-normal-]]''basis) sind und deren [[lineare Hülle]] [[Dichte Teilmenge|dicht]] im Vektorraum liegt. Im endlichdimensionalen Fall ist dies eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des Vektorraums. Im unendlichdimensionalen Fall handelt es sich nicht um eine Vektorraumbasis im Sinn der linearen Algebra.

Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Vektoren auf die Länge eins normiert sind, so spricht man von einer '''Orthogonalbasis'''. Jede Orthogonalbasis lässt sich durch [[Einheitsvektor|Normierung]] in eine Orthonormalbasis überführen.

Der Begriff der Orthonormalbasis ist sowohl im Fall endlicher [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] als auch für unendlichdimensionale Räume, insbesondere [[Hilbertraum|Hilberträume]], von großer Bedeutung.

== Endlichdimensionale Räume ==
Im Folgenden sei <math>V</math> ein endlichdimensionaler Innenproduktraum, das heißt, ein Vektorraum über [[reelle Zahl|<math>\R</math>]] oder [[komplexe Zahl|<math>\Complex</math>]] mit Skalarprodukt <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle</math>. Im komplexen Fall wird dabei vorausgesetzt, dass das Skalarprodukt linear im zweiten Argument und [[semilinear]] im ersten ist,
also
: <math>\lambda \langle v, w \rangle = \langle \bar \lambda v, w \rangle = \langle v, \lambda w \rangle</math>
für alle Vektoren <math>v,w  \in V</math> und alle <math>\lambda \in \Complex</math>.
Mit <math>\|{\cdot} \| = \sqrt{\langle{\cdot},{\cdot}\rangle}</math> wird die durch das Skalarprodukt [[Skalarproduktnorm|induzierte Norm]] bezeichnet.

=== Definition und Existenz ===
Unter einer ''Orthonormalbasis'' eines <math>n</math>-dimensionalen Innenproduktraums <math>V</math> versteht man eine Basis <math>B = \{b_1,\ldots,b_n\}</math> von <math> V </math>, die ein [[Orthonormalsystem]] ist, das heißt:
* Jeder Basisvektor hat die [[Norm (Mathematik)|Norm]] eins:
*: <math>\|b_i\| = \sqrt {\langle b_i, b_i \rangle} = 1</math> für alle <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math>.
* Die Basisvektoren sind paarweise orthogonal:
*:<math>\langle b_i, b_j \rangle = 0</math> für alle <math>i,j \in\{1,\ldots,n\}</math> mit <math>i \neq j</math>.

Mithilfe des [[Kronecker-Delta]]s lassen sich alle definierenden Gleichungen in einer einzigen Gleichung zusammenfassen:<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel, Klaus Lichtenegger |Titel=Grundwissen Mathematikstudium |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63312-0 |Seiten=235 |Abruf=}}</ref>

: <math>\langle b_i, b_j \rangle=\delta_{ij} = \begin{cases}
 1 & \text{falls} \quad i = j, \\
 0 & \text{falls} \quad i \neq j.
\end{cases}</math>

Jeder endlichdimensionale Vektorraum mit Skalarprodukt besitzt eine Orthonormalbasis. Mit Hilfe des [[Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens]] lässt sich aus jeder Basis eine Orthonormalbasis erzeugen.

Da Orthonormalsysteme stets [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind, bildet in einem <math>n</math>-dimensionalen Innenproduktraum ein Orthonormalsystem aus <math>n</math> Vektoren bereits eine Orthonormalbasis.

=== Händigkeit der Basis ===
Gegeben sei eine geordnete Orthonormalbasis <math>B=({b}_{1},\ldots,{b}_{n}) </math> von <math>V </math>. Dann ist die [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]

:<math>Q=\begin{pmatrix}{b}_1 & {b}_2& \ldots & {b}_{n}\end{pmatrix} </math>

gebildet aus den als Spaltenvektoren notierten Vektoren <math>{b}_i </math> [[Orthogonale Matrix|orthogonal]]. Im Fall reeller Vektorräume muss dann die [[Determinante]] +1 oder −1 sein. Falls <math>\operatorname{det}(Q)=+1 </math> bilden die Vektoren <math>{b}_1,\ldots,{b}_{n} </math> ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]].

=== Beispiele ===

[[Datei:Orthonormalbasis.PNG|mini|Die Orthonormalbasis <math> {\vec{i},\vec{j},\vec{k}} </math> im <math> \mathbb{R}^3 </math> und ein mit ihr dargestellter Vektor <math> \vec{r} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}</math> ]]

; Beispiel 1
: Die [[Standardbasis]] des <math>\R^3</math>, bestehend aus den Vektoren

::<math>\vec i = \vec e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec j = \vec e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec k =\vec e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},</math>

: ist eine Orthonormalbasis des dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Vektorraums]] <math>\mathbb{R}^3</math> (ausgestattet mit dem [[Standardskalarprodukt]]): Sie ist eine Basis des <math>\mathbb{R}^3</math>, jeder dieser Vektoren hat die Länge 1, und je zwei dieser Vektoren stehen senkrecht aufeinander, denn ihr [[Skalarprodukt]] ist 0.
: Allgemeiner ist im [[Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> bzw. <math>\Complex^n</math>, versehen mit dem Standardskalarprodukt, die Standardbasis <math>\{e_1, \dots, e_n\}</math> eine Orthonormalbasis.

; Beispiel 2
: Die zwei Vektoren
::<math>\vec b_1 = \begin{pmatrix} 3 /5 \\ 4 /5 \end{pmatrix}</math> &nbsp;&nbsp;und &nbsp;&nbsp;<math>\vec b_2 = \begin{pmatrix} -4/ 5 \\ 3/ 5 \end{pmatrix}</math>
: bilden in <math>\R^2</math> mit dem Standardskalarprodukt ein Orthonormalsystem und daher auch eine Orthonormalbasis von <math>\R^2</math>.

=== Koordinatendarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis ===
==== Vektoren ====
Ist <math>B = \{b_1, \dots, b_n\}</math> eine Orthonormalbasis von <math>V</math>,
so lassen sich die Koordinaten eines Vektors <math>v \in V</math> bezüglich dieser Basis besonders leicht als [[Orthogonalprojektion]]en berechnen. Hat <math>v</math> bezüglich der Basis <math>B</math> die Darstellung
: <math>v = v_1 b_1 + \dots + v_n b_n = \sum_{i=1}^n v_i b_i,</math>
so gilt
:<math>v_i =\langle b_i, v\rangle</math> für <math>i=1,\dots,n</math>
denn
: <math>\langle b_i, v \rangle=
   \left\langle b_i,\sum_{j=1}^n b_j v_j\right\rangle=
    \sum_{j=1}^n\left\langle b_i,b_j v_j\right\rangle =
    \sum_{j=1}^n\left\langle b_i,b_j\right\rangle v_j=
    \sum_{j=1 \atop j\neq i}^n \underbrace{\left\langle b_i,b_j\right\rangle}_{0} v_j + \left\langle b_i,b_i\right\rangle v_i=v_i </math>
und damit
: <math>v = \sum_{i=1}^n \left\langle b_i, v\right\rangle b_i.</math>

Im Beispiel 2 oben gilt für den Vektor <math>\vec v = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}</math>:
: <math>\left\langle \vec b_1, \vec v \right\rangle = \frac 35 \cdot 2 +  \frac 45 \cdot 7
= \frac {34}5</math> &nbsp;&nbsp;und
: <math>\left\langle \vec b_2, \vec v \right\rangle = -\frac 45 \cdot 2 +  \frac 35 \cdot 7
= \frac{13}5</math>
und damit
:<math> \vec v = \frac{34}5 \,\vec b_1 + \frac{13}5 \,\vec b_2 =
\frac{34}5 \,  \begin{pmatrix} \tfrac  3 5 \\[1ex] \tfrac 4 5 \end{pmatrix} +
\frac{13}5 \, \begin{pmatrix} -\tfrac {4} 5 \\[1ex] \tfrac 3 5 \end{pmatrix}.</math>

==== Das Skalarprodukt ====
In Koordinaten bezüglich einer Orthonormalbasis hat jedes Skalarprodukt die Form des Standardskalarprodukts. Genauer:

Ist <math>B = \{b_1, \dots, b_n\}</math> eine Orthonormalbasis von <math>V</math> und haben die Vektoren <math>v</math> und <math>w</math> bezüglich <math>B</math> die Koordinatendarstellung
<math>v = v_1 b_1 + \dots + v_n b_n</math> und <math>w = w_1 b_1 + \dots + w_n b_n</math>, so gilt
:<math>\langle v, w \rangle = v_1 w_1 + \dots + v_n w_n</math>
im reellen Fall, bzw.
:<math>\langle v, w \rangle = \bar v_1 w_1 + \dots + \bar v_n w_n</math>
im komplexen Fall.

==== Orthogonale Abbildungen ====
Ist <math>f \colon V \to V</math> eine [[Orthogonale Abbildung|orthogonale]] (im reellen Fall) bzw. eine [[unitäre Abbildung]] (im komplexen Fall) und ist <math>B</math> eine Orthonormalbasis von <math>V</math>, so ist die [[Darstellungsmatrix]] von <math>f</math> bezüglich der Basis <math>B</math> eine [[Orthogonale Matrix|orthogonale]] bzw. eine [[unitäre Matrix]].

Bezüglich beliebiger Basen ist diese Aussage falsch.

== Unendlichdimensionale Räume ==

=== Definition ===
Sei <math>(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)</math> ein [[Prähilbertraum]] und sei <math>\|\cdot \| = \sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}</math> die durch das Skalarprodukt induzierte Norm. Eine Teilmenge <math>S \subset V</math> heißt [[Orthonormalsystem]], falls <math>\|e\| = 1</math> und <math>\langle e , f \rangle = 0</math> für alle <math>e , f \in S</math> mit <math>e \neq f</math> gilt.

Ein Orthonormalsystem, dessen [[lineare Hülle]] [[Dichte Teilmenge|dicht]] im Raum liegt, heißt ''Orthonormalbasis'' oder ''Hilbertbasis'' des Raums.

Es ist zu beachten, dass im Sinne dieses Abschnitts, im Gegensatz zur endlichen Dimension, eine Orthonormalbasis ''keine'' [[Hamelbasis]], also keine Basis im Sinn der linearen Algebra ist. Das heißt, ein Element aus <math>V</math> lässt sich im Allgemeinen nicht als [[Linearkombination]] aus ''endlich'' vielen Elementen aus <math> S </math> darstellen, sondern nur mit [[Abzählbare Menge|abzählbar]] unendlich vielen, also als [[Unbedingte Konvergenz|unbedingt konvergente]] [[Reihe (Mathematik)|Reihe]].

Ein Orthonormalsystem <math>S=(e_n)_{n\in\N}</math> heißt ''vollständig'', wenn für alle <math>x\in V</math> gilt
:<math>\lim_{n\to\infty}\Vert x-\sum_{k=0}^n \langle x,e_k\rangle e_k\Vert=0</math>.

=== Charakterisierung ===
Für einen Prähilbertraum <math>H</math> sind folgende Aussagen äquivalent:
* <math>S\subset H</math> ist eine Orthonormalbasis.
* <math>S</math> ist ein Orthonormalsystem und es gilt die [[parsevalsche Gleichung]]:
: <math>\|x\|^2=\sum_{v\in S}|\langle x,v\rangle|^2</math> für alle <math>x \in H</math>.

Ist <math>H</math> sogar vollständig, also ein [[Hilbertraum]], ist dies zusätzlich äquivalent zu:
* Das [[Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]] <math>S^\perp</math> von <math>S</math> ist der Nullraum, denn allgemein gilt für eine Teilmenge <math>T</math>, dass <math>{T^\perp}^\perp=\overline{\operatorname{span}(T)}</math>.
* Konkreter: Es gilt genau dann <math>x=0</math>, wenn für alle <math>v\in S</math> das Skalarprodukt <math>\langle x,v\rangle=0</math> ist.
* <math>S</math> ist ein bezüglich der Inklusion maximales Orthonormalsystem, d.&nbsp;h. jedes Orthonormalsystem, das <math>S</math> enthält, ist gleich <math>S</math>. Wäre ein maximales <math>S</math> kein Orthonormalsystem, so existierte ein Vektor im orthogonalen Komplement, normierte man dieses und fügte es zu <math>S</math> hinzu, erhielte man wiederum ein Orthonormalsystem.

=== Existenz ===
Mit dem [[Lemma von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum <math>H</math> eine Orthonormalbasis besitzt: Man betrachte die Menge aller Orthonormalsysteme in <math>H</math> mit der Inklusion als partieller Ordnung. Diese ist nichtleer, da die [[leere Menge]] ein Orthonormalsystem ist. Jede aufsteigende Kette solcher Orthonormalsysteme bezüglich der Inklusion ist durch die Vereinigung nach oben beschränkt: Denn wäre die Vereinigung kein Orthonormalsystem, so enthielte sie einen nicht normierten oder zwei verschiedene nicht orthogonale Vektoren, die bereits in einem der vereinigten Orthonormalsysteme hätten vorkommen müssen. Nach dem Lemma von Zorn existiert somit ein maximales Orthonormalsystem – eine Orthonormalbasis. Statt aller Orthonormalsysteme kann man auch nur die Orthonormalsysteme, die ein gegebenes Orthonormalsystem enthalten, betrachten. Dann erhält man analog, dass jedes Orthonormalsystem zu einer Orthogonalbasis ergänzt werden kann.

Alternativ lässt sich das [[Gram-Schmidt-Verfahren#Orthonormalisierung unendlicher Systeme von Vektoren|Gram-Schmidt-Verfahren]] auf <math>H</math> oder eine beliebige dichte [[Teilmenge]] anwenden und man erhält eine Orthonormalbasis.

Jeder [[Separabler Raum|separable]] Prähilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis. Hierfür wähle man eine (höchstens) abzählbare dichte Teilmenge und wende auf diese das Gram-Schmidt-Verfahren an. Hierbei ist die Vollständigkeit nicht notwendig, da stets nur Projektionen auf endlichdimensionale Unterräume durchzuführen sind, welche stets vollständig sind. Hierdurch erhält man eine (höchstens) abzählbare Orthonormalbasis. Umgekehrt ist auch jeder Prähilbertraum mit einer (höchstens) abzählbaren Orthonormalbasis separabel.

=== Entwicklung nach einer Orthonormalbasis ===
{{Hauptartikel|Parsevalsche Gleichung}}

Ein Hilbertraum <math>(H, \langle\cdot, \cdot\rangle)</math> mit einer Orthonormalbasis <math>S</math> hat die Eigenschaft, dass für jedes <math>v \in H</math> die [[Reihe (Mathematik)|Reihendarstellung]]
:<math>v=\sum_{u \in S} \langle u, v \rangle u</math>
gilt. Diese Reihe [[Unbedingte Konvergenz|konvergiert unbedingt]]. Ist der Hilbertraum endlichdimensional, so fällt der Begriff der unbedingten Konvergenz mit dem der [[Absolute Konvergenz|absoluten Konvergenz]] zusammen. Diese Reihe nennt man auch ''verallgemeinerte Fourier-Reihe''. Wählt man nämlich den Hilbertraum <math>L^2([0,2\pi])</math> der reellwertigen [[Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] mit dem Skalarprodukt
:<math>\langle f, g\rangle = \int_0^{2 \pi} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x,</math>
dann ist
:<math>S = \{c_0\} \cup \{c_n, s_n \mid n \in \N\}</math>
mit
:<math>c_0(x) =  \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\ c_n(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(n x),\ s_n(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(n x)</math> für <math>x \in [0,2\pi]</math> und <math>n \in \N</math>
ein Orthonormalsystem und sogar eine Orthonormalbasis von <math>L^2([0,2\pi])</math>. Bezüglich dieser Basis sind
:<math>\left\langle f, c_0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{2 \pi} f(x) \, \mathrm{d} x, </math>
:<math>\left\langle f, c_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^{2 \pi} f(x) \cos(n x)\, \mathrm{d} x</math>
und
:<math>\left\langle f, s_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^{2 \pi} f(x) \sin(n x)\, \mathrm{d} x, \quad n \in \N</math>
gerade die [[Fourier-Koeffizient]]en der [[Fourier-Reihe]] von <math>f</math>. Daher ist die Fourier-Reihe gerade die Reihendarstellung eines Elements aus <math>L^2([0,2\pi])</math> bezüglich der gegebenen Orthonormalbasis.

=== Weitere Beispiele ===
Sei <math>\ell^2</math> der [[Folgenraum]] der quadratsummierbaren Folgen. Die Menge <math>S = \{e_n \colon n \in \N\}</math> ist eine Orthonormalbasis von <math>\ell^2</math>.

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra''. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. 6.,&nbsp;korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S.&nbsp;222–236.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]