Quelltext der Seite Orthogonale Polynome

Unter '''orthogonalen Polynomen''' versteht man in der Mathematik eine unendliche Folge von [[Polynom]]en

:<math>P_0(x), P_1(x), P_2(x), \dotsc</math>,

die [[orthogonal]] bezüglich eines [[Lp-Raum|<math>L^2</math>]]-[[Skalarprodukt]]es sind.

== Definition ==

Sei <math>\mu</math> ein [[Borel-Maß]] auf <math>\R</math> und betrachte man den [[Hilbertraum]] <math>L^2(\R, d\mu)</math> der bezüglich <math>\mu</math> quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt

:<math>\langle f, g\rangle = \int_{\R} \overline{f(x)} g(x) d\mu(x)</math>.

Weiter sei <math>\textstyle \int_{\R} |x|^n d\mu(x) < \infty</math> für alle <math>n\in\N</math>. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß einen [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Träger (Mathematik)|Träger]] besitzt. Insbesondere ist das Maß endlich und man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit <math>\mu(\R) =1</math> fordern.
Im einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative Gewichtsfunktion <math>w(x)</math> gegeben: <math>d\mu(x) = w(x) dx</math>.

Eine Folge von Polynomen <math>P_n</math>, <math>n\in\N_0</math>, heißt Folge orthogonaler Polynome, falls <math>P_n(x)</math> Grad <math>n</math> hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:

:<math>\langle P_m, P_n\rangle = 0, \qquad m \neq n.</math>

== Konstruktion ==

Ist das Maß gegeben, so können die zugehörigen Polynome eindeutig mit Hilfe des [[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren|Gram-Schmidt’schen Orthogonalisierungsverfahrens]] aus den [[Monom]]en <math>x^n</math>, <math>n\in\N_0</math>, konstruiert werden. Dafür genügt es offensichtlich, die Momente

:<math>m_n = \int_{\R} x^n d\mu(x)</math>

zu kennen. Die Umkehrung ist als [[Momentenproblem|Stieltjes’sches Momentenproblem]] bekannt.

== Normierung ==

Es sind verschiedene Möglichkeiten der Normierung in Verwendung. Um diese zu beschreiben, führen wir folgende Konstanten ein:

:<math>h_n = \langle P_n, P_n\rangle = \int_{\R} P_n(x)^2 d\mu(x), \qquad
\tilde{h}_n = \langle P_n(x), x\, P_n(x)\rangle = \int_{\R} x\, P_n(x)^2 d\mu(x) </math>

und

:<math>P_n(x)=k_n x^n+\tilde{k}_n x^{n-1}+\tilde{\tilde{k}}_n x^{n-2}+\dotsb</math>.

Dann bezeichnet man die Polynome als ''orthonormal'', falls <math>h_n=1</math>, und als ''monisch'', falls <math>k_n=1</math>.

== Rekursionsrelation ==

Orthogonale Polynome erfüllen eine dreistufige Rekursionsrelation

:<math>P_{n+1}(x) = (A_n x +B_n) P_n(x) - C_n P_{n-1}(x)</math>

(wobei <math>P_{-1}(x)=0</math> im Fall <math>n=0</math> zu setzen ist) mit

:<math>
A_n=\frac{k_{n+1}}{k_{n}}, \quad
B_n=\left(\frac{\tilde{k}_{n+1}}{k_{n+1}}-\frac{\tilde{k}_n}{k_n}\right)A_n=-\frac{\tilde{h}_n}{h_n}A_n, \quad
C_n=\frac{A_n\tilde{\tilde{k}}_n+B_n\tilde{k}_n-\tilde{\tilde{k}}_{n+1}}{k_{n-1}}=\frac{A_n}{A_{n-1}}\frac{h_n}{h_{n-1}},
</math>
und den Konstanten <math>h_n,k_n,\tilde{k}_n,\tilde{\tilde{k}}_n</math> aus dem vorherigen Abschnitt.

Die Rekursionsrelation kann auch äquivalent in der Form

:<math>a_n P_{n+1}(x) + b_n P_n(x) + c_n P_{n-1}(x) =  x\, P_n(x) </math>

mit

:<math>
a_n=\frac{k_n}{k_{n+1}}, \quad
b_n=\frac{\tilde{k}_n}{k_n}-\frac{\tilde{k}_{n+1}}{k_{n+1}}=\frac{\tilde{h}_n}{h_n}, \quad
c_n=\frac{\tilde{\tilde{k}}_n-a_n\tilde{\tilde{k}}_{n+1}-b_n\tilde{k}_n}{k_{n-1}}=a_{n-1}\frac{h_n}{h_{n-1}},
</math>

geschrieben werden.

Speziell im Fall von orthonormalen Polynomen, <math>h_n=1</math>, erhält man eine symmetrische Rekursionsrelation <math>c_n=a_{n-1}</math> und die orthonormalen Polynome erfüllen genau die verallgemeinerte Eigenvektorgleichung des zugehörigen [[Jacobi-Operator]]s. Das Maß <math>d\mu</math> ist das [[Spektralmaß]] des Jacobi-Operators zum ersten Basisvektor <math>\delta_{1,n}</math>.

== Christoffel–Darboux-Formel ==

Es gilt

:<math>\sum _{m=0}^n\frac{P_m(x)P_m(y)}{h_m}=\frac{k_n}{h_n k_{n+1}}\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-P_n(x)P_{n+1}(y)}{x-y}</math>

und im Fall <math>x=y</math> erhält man durch Grenzwertbildung

:<math>\sum _{m=0}^n\frac{P_m(x)^2}{h_m}=\frac{k_n}{h_nk_{n+1}}{\left(P_{n+1}'(x)P_n(x)-P_n'(x)P_{n+1}(x)\right)}.</math>

== Nullstellen ==

Das Polynom <math>P_n</math> hat genau <math>n</math> [[Nullstelle]]n, die alle einfach sind und im [[Träger (Mathematik)|Träger]] des Maßes liegen. Die Nullstellen von <math>P_n</math> liegen strikt zwischen den Nullstellen von <math>P_{n+1}</math>.

Normierte orthogonale Polynome lassen sich wie bereits dargestellt mit der dreistufigen Rekursionsformel
:<math>P_{n+1}(x) = (x - \alpha_n) P_n(x) - \beta_n P_{n-1}(x)</math>
beschreiben. Daraus lässt sich die symmetrische [[Tridiagonalmatrix]]

:<math>
\begin{pmatrix}
\alpha_0 & \sqrt{\beta_1} & 0 & \dots & 0 \\
\sqrt{\beta_1} & \alpha_1 & \sqrt{\beta_2} & \ddots  & \vdots \\
0 & \sqrt{\beta_2} & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \sqrt{\beta_{n-1}}\\
0 & \dots & 0 &  \sqrt{\beta_{n-1}} & \alpha_{n-1}
\end{pmatrix}
</math>

herleiten, dessen Eigenwerte mit den Nullstellen von <math>P_n</math> übereinstimmen.<ref>{{Literatur|Titel=EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome|Autor=Peter Junghanns|Herausgeber=Edition am Gutenbergplatz Leipzig|Jahr=2009|ISBN=3937219285|Kommentar=Kapitel 2.2}}</ref> Somit bietet der [[QR-Algorithmus]] die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen.

== Liste von Folgen orthogonaler Polynome ==

* [[Gegenbauer-Polynom]]
* [[Hahn-Polynom]]
* [[Hermitesches Polynom]]
* [[Jacobi-Polynom]]
* [[Legendre-Polynom]]
* [[Laguerre-Polynome]]
* [[Macdonald-Polynome]]
* [[Tschebyschow-Polynom]]
* [[Zernike-Polynom]]

== Weiterführende Polynom-Begriffe ==

=== Orthogonale Polynome auf dem Einheitskreis ===
Eine Verallgemeinerung der reellen orthogonalen Polynome sind die orthogonalen Polynome auf Kurven in der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]]. In der Regel betrachtet man orthogonale Polynome auf dem [[Einheitskreis]] und ein Maß auf einer [[Teilmenge]] von <math>[-\pi,\pi]</math>.

=== Diskrete orthogonale Polynome ===
{{Hauptartikel|Diskrete orthogonale Polynome}}

=== Multivariable orthogonale Polynome ===
''Multivariable'' oder ''multivariate orthogonale Polynome'' sind orthogonale Polynome in mehreren Variablen <math>P(x_1,\dots,x_n)</math>. Ein Beispiel hierfür sind die [[Macdonald-Polynome]].

=== Mehrfach orthogonale Polynome === 
{{Hauptartikel|Mehrfach orthogonale Polynome}}

=== Quantenpolynome ===
Die ''<math>q</math>-orthogonalen Polynome'' oder ''Quantenpolynome'' sind [[q-Analogon|<math>q</math>-Analoga]] der orthogonalen Polynome.

=== Orthogonale Polynome mit Matrizen ===
Dies sind orthogonale Polynome, die [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] beinhalten. Die Matrizen können entweder die Koeffizienten <math>\{a_i\}</math> oder die Unbestimmte <math>x</math> sein:
* Variante 1: <math>P(x)=A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots + A_1x +A_0</math>, wobei die <math>\{A_{i}\}</math> <math>p\times p</math>-Matrizen sind.
* Variante 2: <math>P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots + a_1X +a_0I_p</math>, wobei <math>X</math> eine <math>p\times p</math>-Matrix und <math>I_p</math> die [[Einheitsmatrix]] ist.

=== Sobolevsche orthogonale Polynome ===
{{Hauptartikel|Sobolevsche orthogonale Polynome}}

Dies sind orthogonale Polynome bezüglich einem [[Sobolev-Raum|sobolevschen]] inneren Produktes, das heißt ein inneres Produkt mit Ableitungen. Die Polynome verlieren dadurch im Allgemeinen einige attraktive Eigenschaften der klassischen orthogonalen Polynome.

== Literatur ==
* Milton Abramowitz und Irene A. Stegun (Hrsg.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover (1965), ISBN 978-0486612720 (Kapitel 22)
* [[Gábor Szegő]], Orthogonal Polynomials, Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. ISBN 0-8218-1023-5.
* Theodore S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, 1978. ISBN 978-0677041506.

== Weblinks ==

* [https://dlmf.nist.gov/18 Orthogonale Polynome] in der [https://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Polynom]]
[[Kategorie:Theorie der Polynome]]