Quelltext der Seite Orientierte Fläche

[[Datei:Normal vectors2.svg|mini|Zwei [[Normaleneinheitsvektor]]en einer ebenen Fläche.]]
Eine '''orientierte Fläche''' ist im [[Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[Elementare Differentialgeometrie|elementaren Differentialgeometrie]] eine '''orientierbare Fläche''', für die festgelegt wurde, welche ihrer zwei Seiten die Außen- bzw. Innenseite ist.<ref name="BronsteinSemendjajew2008">{{Literatur |Autor=Ilja N. Bronstein, K. A. Semendjajew |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Online=[http://books.google.com/books?id=VnsL9p8hXfQC&pg=PA538 online] |Abruf=2012-08-24 |Datum=2008-07 |Verlag=Harri Deutsch Verlag |ISBN=978-3-8171-2007-9 |Seiten=538}}</ref> Die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] einer [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] wird mit der Wahl eines der zwei möglichen [[Flächennormalenvektor]]en festgelegt.<ref name="Schloms2008">{{Literatur |Autor=Rolf Schloms |Titel=Physik verstehen: Eine Einführung in die Denkweise der Physik. Homogene Systeme |Online=[http://books.google.com/books?id=t7kyG--j0NMC&pg=PA107 online] |Abruf=2012-08-24 |Datum=2008-04 |Verlag=Oldenbourg Verlag |ISBN=978-3-486-58582-7 |Seiten=107}}</ref> Die Außenseite der Fläche ist diejenige, von der der gewählte Normalenvektor wegführt.<ref name="Räsch2011">{{Literatur |Autor=Thoralf Räsch |Titel=Mathematik der Physik für Dummies |Online=[http://books.google.com/books?id=9KMOZbOwbtEC&pg=PA398 online] |Abruf=2012-08-24 |Datum=2011-04-13 |Verlag=John Wiley & Sons |ISBN=978-3-527-70576-4 |Seiten=398}}</ref> Es gibt Flächen, die nicht orientierbar sind, wie zum Beispiel das [[Möbiusband]].

== Definition ==
[[Datei:Surface normal.png|mini|Eine reguläre Fläche mit einem stetigen Einheitsnormalenfeld]]
Eine [[reguläre Fläche]] (oder eine reguläre Fläche mit Rand) <math>S\subset \R^3</math> heißt orientierbar, falls es ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld auf <math>S</math> gibt.<ref>[[Christian Bär (Mathematiker)|Christian Bär]]: ''Elementare Differentialgeometrie.'' de Gruyter, Berlin u.&nbsp;a. 2001, ISBN 3-11-015519-2, S. 117–118.</ref>

Ein solches stetiges Einheitsnormalenvektorfeld <math>\vec n</math> auf <math>S</math> legt eine Orientierung von <math>S</math> fest. Eine orientierte Fläche ist somit eine orientierbare Fläche, auf der ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld <math>\vec n</math> ausgewählt wurde. Formal ist eine orientierte Fläche ein Paar <math>(S,\vec n)</math> aus einer orientierbaren Fläche <math>S</math> und einem stetigen Einheitsnormalenvektorfeld <math>\vec n</math> auf <math>S</math>.

Ist durch das stetige Einheitsnormalenvektorfeld <math>\vec n_1</math> eine Orientierung auf der Fläche <math>S</math> gegeben, so ist auch <math>\vec n_2 = - \vec n_1</math> ein stetiges Einheitsnormalenvektorfeld, das eine weitere Orientierung von <math>S</math> definiert. Ist die orientierbare Fläche <math>S</math> [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]], so gibt es genau diese zwei Orientierungen. Besteht die Fläche aus mehreren [[Zusammenhängender Raum|Zusammenhangskomponenten]], so kann auf jeder Zusammenhangskomponente eine Orientierung unabhängig von den andern gewählt werden.

Ist auf einer Fläche eine Orientierung ausgewählt, so wird diese als ''positiv'' bezeichnet, die entgegengesetzte Orientierung als ''negativ''.

== Anschauung ==
=== Geschlossene Flächen ===
Eine zusammenhängende [[geschlossene Fläche]], wie zum Beispiel eine Sphäre ([[Kugeloberfläche]]) oder ein [[Torus]], zerlegt den Raum in zwei zusammenhängende Teile, das Innere und das Äußere. Entsprechend spricht man von der Innen- und der Außenseite der Fläche. Einer Auswahl der Außenseite entspricht ein nach außen weisendes, einer Auswahl der Innenseite ein nach innen weisendes Einheitsnormalenvektorfeld. Wenn nichts anderes gesagt wird, dann wählt man die Orientierung durch ein nach außen weisendes Einheitsnormalenvektorfeld.<ref name="Stewart2011">{{Literatur |Autor=James Stewart |Titel=Multivariable Calculus |Online=[http://books.google.com/books?id=K1LyXtlFDbkC&pg=PA1140 online] |Abruf=2012-08-24 |Datum=2011-01-01 |Verlag=Cengage Learning |ISBN=978-0-538-49787-9 |Seiten=1140}}</ref> Für die Anwendung des [[Gaußscher Integralsatz|Gaußschen Integralsatzes]] wird dies vorausgesetzt.

=== Flächen mit Rand ===
[[Datei:Stokes' Theorem.svg|mini|Eine orientierte Fläche mit Rand und der zugehörige Durchlaufsinn ihrer Randkurve.]]

Bei Flächen mit Rand wird durch eine Orientierung der Fläche eine Orientierung ([[Durchlaufsinn]]) der Randkurve(n) festgelegt.

Anschaulich: Betrachtet man die ausgewählte Seite der Fläche als „oben“ und stellt man sich einen Beobachter vor, der auf der Oberseite der Fläche längs des Randes so geht, dass die Fläche links von ihm liegt, so durchläuft der Beobachter die Kurve in positiver Richtung.
Man sagt, dass der Umlaufsinn der Randkurve mit der Flächennormale eine ''Rechtsschraube'' oder ''Rechtsschraubung''<ref>{{Literatur |Autor=Kurt Meyberg, Peter Vachenauer |Titel=Höhere Mathematik 1: Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2001 |ISBN=978-3-642-56654-7 |Seiten=482 |Online=[http://books.google.de/books?id=J31iW72k2O4C&pg=PA482 books.google.de] |Abruf=2014-01-04}}</ref> bildet, da eine zur Flächennormale parallele Rechtsschraube bei Drehung im Rand-Umlaufsinn in Richtung der Flächennormale vorrücken würde.
Wird die Fläche durch eine einzige Randkurve begrenzt, so bestimmt umgekehrt ein Durchlaufsinn der Randkurve eine Orientierung der Fläche.<ref name="Fichtenholz1992">{{Literatur |Autor=Gregor M. Fichtenholz |Titel=Differential- und Integralrechnung |Online=[http://books.google.com/books?id=VmUYeSUgHhsC&pg=PA219 online] |Abruf=2012-08-24 |Datum=1992 |Verlag=Harri Deutsch Verlag |ISBN=978-3-8171-1280-7 |Seiten=219}}</ref>

Beim klassischen [[Satz von Stokes#Klassischer Integralsatz von Stokes|Integralsatz von Stokes]] wird vorausgesetzt, dass die Orientierung der Fläche und der Durchlaufsinn der Randkurve(n) auf die genannte Art zusammenhängen.

=== Orientierte Ebenen ===

Eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] im dreidimensionalen Raum <math>\mathbb{R}^3</math> zerlegt diesen in einen positiven und negativen [[Halbraum]], wobei als Orientierung der Ebene (bis auf den undefinierten Sonderfall der [[Ursprungsebene]]) diejenige gewählt wird, bei der der Koordinatenursprung im negativen Halbraum liegt, der Normalenvektor der Ebene also in Richtung des positiven Halbraums zeigt.

''Orientierte Ebenen'' spielen z.&nbsp;B. bei Abstandsberechnungen mit Hilfe der [[Hessesche Normalform|Hesseschen Normalform]] der vektoriellen [[Ebenengleichung]] eine Rolle.

Verallgemeinert man die Vorstellung der Ebene im dreidimensionalen Raum <math>\mathbb{R}^3</math> zu der der [[Hyperebene]] im n-dimensionalen Raum <math>\mathbb{R}^n</math>, lässt sich analog auch mit orientierten Hyperebenen höherer oder niederer Dimension rechnen. Im zweidimensionalen Raum <math>\mathbb{R}^2</math> etwa ist dies eine ''orientierte Gerade'', die den Raum <math>\mathbb{R}^2</math> in zwei [[Halbebene]]n teilt, wobei der Normalenvektor der Gerade auch in diesem Fall per Definition in den positiven Halbraum (hier die positive Halb''ebene'') zeigt, also (vom undefinierten Sonderfall der [[Ursprungsgerade]] abgesehen) auch hier vom Koordinatenursprung weg. Hyperebenen höherer Dimension dagegen finden z.&nbsp;B. bei der Lösung bestimmter wirtschaftsmathematischer Fragen Anwendung.

== Relevanz in der Physik und Mathematik ==
Die Vereinbarung der Orientierung einer Fläche ist insbesondere bei der Berechnung von vektoriellen [[Oberflächenintegral]]en von großer Bedeutung, z.&nbsp;B. in der [[Elektrostatik]] bei der Verwendung des [[Gaußscher Integralsatz|Gaußschen Integralsatzes]]. Die Orientierung bestimmt das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] des Ergebnisses.
Möchte man z.&nbsp;B. die [[Elektrische Ladung|Ladung]] ''Q'' innerhalb eines vorgegebenen Volumens berechnen und es ist nur das [[Elektrisches Feld|elektrische Feld]] <math>\vec E(\vec x)</math> auf der Oberfläche des Volumens bekannt, so kann man mit Hilfe dieses Satzes auf die eingeschlossene Ladung schließen.
: <math>Q=\int_V\mathrm{d}V\varrho(\vec x) =\varepsilon_0\int_V \mathrm{d}V\mathrm{div}\vec{E}(\vec x)</math>.
Hier ist ''V'' das Volumen, in dem die unbekannte Ladung enthalten ist, und <math>\varrho</math> die unbekannte [[Ladungsdichte]]. Mit Hilfe der ersten [[Maxwell-Gleichungen|Maxwellgleichung]] kommt man auf den Ausdruck auf der rechten Seite, mit <math>\varepsilon_0</math> der [[Dielektrizitätskonstante]]n und ''div'' der [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]]. Mithilfe des Gaußschen Integralsatzes kann nun das [[Volumenintegral]] in ein Oberflächenintegral umformuliert werden:
: <math>Q=\varepsilon_0\int_{\partial V} \mathrm{d}\vec A\cdot\vec{E}(\vec x)</math>.
<math> \mathrm{d}\vec A</math> ist ein infinitesimales orientiertes Flächenelement der Oberfläche <math>\partial V</math> des Volumens. Das Vorzeichen des [[Skalarprodukt]]es <math>\mathrm{d}\vec A\cdot\vec{E}</math> hängt von der Richtung von <math>\mathrm{d}\vec A</math> ab. Ist <math>\mathrm{d}\vec A</math> [[Parallelität (Vektorrechnung)|parallel]] zu <math>\vec E</math>, so ist das Skalarprodukt <math>\mathrm{d}A\,E</math>, sind dagegen beide Vektoren [[Antiparallelität (Vektorrechnung)|antiparallel]] so ist das Skalarprodukt <math>-\mathrm{d}A\,E</math>. Somit hängt das Vorzeichen des Oberflächenintegrals von der gewählten Orientierung der Oberfläche ab. Als Konvention wurde die Wahl einer ''positiven Orientierung'' vereinbart, das heißt man wählt das nach außen weisende Einheitsnormalenvektorfeld (siehe oben) als Orientierung einer Fläche.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]