Quelltext der Seite Operatortopologie

'''Operatortopologien''' werden im mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] untersucht. Es handelt sich um verschiedene [[Topologischer Raum|Topologien]] auf dem Raum der stetigen, [[Linearer Operator|linearen Operatoren]] auf einem [[Hilbertraum]]. 

Diese Topologien sind besonders für unendlichdimensionale Hilberträume von großem Interesse, da sie für endlichdimensionale Hilberträume mit der [[Normtopologie]] zusammenfallen und dort somit entbehrlich sind. Daher sei im Folgenden <math>H</math> stets ein unendlichdimensionaler Hilbertraum und <math>L(H)</math> bezeichne die Algebra der [[Linearer Operator|stetigen linearen Operatoren]] auf <math>H</math>.

[[Datei:Operatortopologien.png|thumb|300px|right|Die Operatortopologien im Überblick, Pfeile zeigen von [[Gröbere und feinere Topologien|feineren auf gröbere]] Topologien]]

== Normtopologie ==
Die [[Operatornorm]], die jedem Operator <math>A\in L(H)</math> den Wert
:<math> \|A\| := \sup_{x\in H,\, \|x\|\le 1}\|Ax\|</math>
zuordnet, definiert eine Normtopologie auf <math>L(H)</math>. 
Sie macht <math>L(H)</math> zu einer [[Banachalgebra]], mit der [[Adjungierter Operator|Adjunktion]] als Involution zu einer [[C*-Algebra]], sogar [[Von-Neumann-Algebra]].

Neben dieser Normtopologie wird zur Untersuchung von <math>L(H)</math> bzw. darin enthaltenen [[Operatoralgebra|Operatoralgebren]] eine Reihe weiterer sogenannter Operatortopologien herangezogen. Es handelt sich dabei jeweils um [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Topologien]], die im Folgenden durch eine definierende Familie <math>\mathcal{P}</math> von [[Halbnorm]]en beschrieben werden. Ein  [[Netz (Topologie)|Netz]] <math>(A_i)_{i\in I}</math> von Operatoren konvergiert in dieser Topologie genau dann gegen ein <math>A\in L(H)</math>, wenn <math>p(A-A_i)\xrightarrow[i\in I]{} 0</math> für alle <math>p\in \mathcal{P}</math>.

== Schwache Topologie ==
=== Halbnormen ===
Wie jeder [[Banachraum]] trägt auch <math>L(H)</math> eine [[schwache Topologie]]. Diese ist durch das System der Halbnormen
:<math>p_f(A) := |f(A)|,\quad f\in L(H)'</math>
gegeben. Dabei ist <math>L(H)'</math> der [[Dualraum]] von <math>L(H)</math>.

=== Anmerkung ===
Da man die stetigen, linearen Funktionale auf <math>L(H)</math> (im Allgemeinen) nicht gut beschreiben kann und da die [[Einheitskugel]] in <math>L(H)</math> bzgl. der schwachen Topologie wegen fehlender [[Reflexiver Raum|Reflexivität]] nicht [[Kompakter Raum|kompakt]] ist, spielt diese Topologie nur eine untergeordnete Rolle. Viele Autoren meinen mit schwacher Topologie daher auch die unten vorgestellte ''schwache Operatortopologie''.

== Starke Operatortopologie ==
=== Halbnormen ===
Die starke Operatortopologie (engl. SOT = {{lang|en|strong operator topology}}) ist die Topologie der punktweisen Normkonvergenz, sie wird durch die Halbnormen
:<math>p_x(A) := \|Ax\|, \quad x\in H</math> 
erzeugt.

=== Eigenschaften ===
Die Multiplikation <math>L(H)\times L(H)\rightarrow L(H),\, (A,B)\mapsto AB</math> ist nicht SOT-stetig. Die Multiplikation wird SOT-stetig, wenn der linke Faktor beschränkt bleibt. Insbesondere ist die Multiplikation SOT-[[Folgenstetigkeit|folgenstetig]], denn jede SOT-konvergente Folge ist nach dem [[Satz von Banach-Steinhaus]] beschränkt.

Die [[Adjungierter Operator|Involution]] <math>L(H)\rightarrow L(H),\, A\mapsto A^*</math> ist nicht SOT-stetig. Ist zum Beispiel <math>S</math> der [[Shiftoperator|unilaterale Shiftoperator]], so ist <math>(S^n)^*\xrightarrow[n\to \infty]{} 0</math> bzgl. SOT, aber die Folge <math>(S^n)_{n\in \N}</math> konvergiert nicht in SOT gegen 0. Aber die Einschränkung der Involution auf die Menge aller [[Normaler Operator|normalen Operatoren]] ist SOT-stetig. 

Die abgeschlossenen Normkugeln sind SOT-[[Vollständiger Raum|vollständig]], <math>L(H)</math> ist SOT-[[Quasivollständigkeit|quasivollständig]] und SOT-[[Vollständiger Raum|folgenvollständig]]. Die Einheitskugel ist nicht SOT-kompakt (<math>H</math> unendlichdimensional, wie in diesem Artikel angenommen).<ref>[[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras'', Band I, 1983, ISBN 0-1239-3301-3, Satz 2.5.11</ref>

== Schwache Operatortopologie ==
=== Halbnormen ===
Die schwache Operatortopologie (engl. WOT = {{lang|en|weak operator topology}}) ist die Topologie der punktweisen schwachen Konvergenz, das heißt, sie ist durch die Halbnormen
:<math>p_{x,y}(A) := |\langle Ax,y\rangle |,\quad x,y\in H</math> 
definiert.

=== Eigenschaften ===
Die Multiplikation <math>L(H)\times L(H)\rightarrow L(H),\, (A,B)\mapsto AB</math> ist nicht WOT-stetig, hingegen sind die einseitigen Multiplikationen, das heißt die Abbildungen <math>A\mapsto AB</math> und <math>A\mapsto BA</math> für festes <math>B\in L(H)</math>, WOT-stetig.

Die Involution <math>L(H)\rightarrow L(H),\, A\mapsto A^*</math> ist  WOT-stetig.

Die wohl wichtigste Eigenschaft ist die WOT-Kompaktheit der Einheitskugel und damit jeder Kugel mit endlichem Radius. Ist <math>H</math> [[Separabler Raum|separabel]], so sind die Kugeln zusätzlich [[Metrisierbarkeit|metrisierbar]].

Die WOT-stetigen linearen Funktionale auf <math>L(H)</math> sind genau die Funktionale der Form <math>\textstyle L(H)\rightarrow \Complex,\, A \mapsto \sum_{i=1}^n\langle Ax_i,y_i\rangle</math> für endliches <math>n</math> und <math>x_1,\ldots, x_n,y_1,\ldots, y_n \in H</math>. Das sind auch genau die SOT-stetigen Funktionale, weshalb sich aus dem Trennungssatz ergibt, dass die WOT-Abschlüsse und SOT-Abschlüsse [[Konvexe Menge|konvexer Mengen]] übereinstimmen.<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras'', Band I, 1983, ISBN 0-1239-3301-3, Abschnitt 5.1</ref>

== Starke*-Operatortopologie ==
=== Halbnormen ===
Nach Obigem ist die Involution stetig bzgl. WOT und bzgl. der Normtopologie, nicht aber für die dazwischen liegende SOT. Diesem Mangel kann durch Übergang zur starken*-Operatortopologie SOT* begegnet werden. Dazu betrachtet man die Topologie, die durch die Halbnormen 
:<math>p_x(A) := \|Ax\|+\|A^*x\|,\quad x\in H</math> 
erzeugt wird.

=== Eigenschaften ===
Ist <math>0<r<\infty</math> und bezeichnet <math>L(H)_r</math> die Kugel um 0 mit Radius <math>r</math> in <math>L(H)</math>, so ist die eingeschränkte Multiplikation
:<math>L(H)_r\times L(H)_r \rightarrow L(H),\quad (A,B)\mapsto AB</math>
SOT*-stetig. Nach Konstruktion ist auch die Involution SOT*-stetig.

Ferner ist ein lineares Funktional auf <math>L(H)</math> genau dann SOT*-stetig, wenn es WOT-stetig ist.<ref>[[Ola Bratteli]], [[Derek W. Robinson]]: ''Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1'', Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Satz 2.4.5</ref>

== Ultraschwache Topologie ==
=== Halbnormen ===
Die ultraschwache Topologie, von manchen Autoren auch <math>\sigma</math>-schwache Topologie genannt, ist die [[schwach-*-Topologie]] der [[Dualraum|Dualität]] <math>N(H)'\cong L(H)</math>, wobei <math>N(H)</math> der Raum der [[Spurklasseoperator]]en sei und die Dualität bekanntlich durch <math>\varphi_T(A):=\mathrm{Spur}(TA),\, T\in N(H), A\in L(H)</math> gegeben ist. Die Topologie wird durch die Halbnormen
:<math>p_{(x_n)_n, (y_n)_n}(A) := |\sum_{n=1}^\infty\langle Ax_n,y_n\rangle|,\quad (x_n)_n, (y_n)_n</math> Folgen in <math>H</math> mit  <math>\sum_{n=1}^\infty\|x_n\|^2<\infty</math>, <math>\sum_{n=1}^\infty\|y_n\|^2<\infty</math>
erzeugt.

=== Eigenschaften ===
Da es sich um eine schwach-*-Topologie handelt, ist die Einheitskugel nach dem [[Satz von Banach-Alaoglu]] ultraschwach kompakt. Sie stimmt auf jeder beschränkten Menge mit der WOT überein, ist aber auf <math>L(H)</math> echt feiner als WOT.

Wie bei der WOT sind die Involution und die einseitigen Multiplikationen ultraschwach stetig.

Für beschränkte Funktionale <math>f</math> auf <math>L(H)</math> sind folgende Aussagen äquivalent:<ref>Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups'', Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 3.6.4</ref>
*  <math>f</math> ist ultraschwach stetig
* Die Einschränkung von <math>f</math> auf die Einheitskugel ist WOT-stetig
* Es gibt einen Spurklasseoperator <math>T\in N(H)</math> mit <math>f(A) = \mathrm{Spur}(TA)</math> für alle <math>A\in L(H)</math>
* Ist <math>(A_i)_i</math> ein beschränktes und monoton wachsendes Netz [[selbstadjungierter Operator]]en mit Supremum <math>A\in L(H)</math>, so ist <math>\textstyle \lim_{i\in I}f(A_i)=f(A)</math>.

== Ultrastarke Topologie ==
=== Halbnormen ===
Die hier zu definierende ultrastarke Topologie, die auch unter dem Namen <math>\sigma</math>-starke Topologie bekannt ist, steht zur ultraschwachen Topologie in einem analogen Verhältnis wie die SOT zur WOT. Die definierenden Halbnormen sind
:<math> p_{(x_n)_n}(A) := \left( \sum_{n\in \N}\|Ax_n\|^2 \right)^{1/2},\quad (x_n)_n</math> Folge in <math>H</math> mit  <math>\sum_{n=1}^\infty\|x_n\|^2<\infty</math>.

=== Eigenschaften ===
Wie bei der SOT ist die Multiplikation nicht ultrastark stetig, sie wird aber ultrastark-stetig, wenn der linke Faktor beschränkt bleibt. Die Involution ist nicht ultrastark-stetig.

Die ultrastarke Topologie stimmt auf jeder beschränkten Menge mit der SOT überein, ist aber auf <math>L(H)</math> echt feiner als SOT.

Die ultrastark-stetigen linearen Funktionale auf <math>L(H)</math> stimmen mit den ultraschwach-stetigen linearen Funktionalen überein, insbesondere haben konvexe Mengen übereinstimmende ultrastarke und ultraschwache Abschlüsse.<ref>[[Jacques Dixmier]]: ''Von Neumann algebras.'' North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel 3, Abschnitte 1 bis 3</ref>

== Ultrastarke*-Topologie ==
=== Halbnormen ===
In Analogie zur SOT* wird die ultrastarke*-Topologie durch folgendes System von Halbnormen definiert:
:<math> p_{(x_n)_n}(A) := \left(\sum_{n=1}^\infty\|Ax_n\|^2+ \sum_{n=1}^\infty\|A^*x_n\|^2 \right)^{1/2}\,\quad (x_n)_n</math> Folge in <math>H</math> mit  <math>\sum_{n=1}^\infty\|x_n\|^2<\infty</math>.

=== Eigenschaften ===
Die ultrastarke*-Topologie stimmt auf beschränkten Mengen mit der SOT*-Topologie überein, die eingeschränkte Multiplikation <math>L(H)_r\times L(H)_r \rightarrow L(H),\quad (A,B)\mapsto AB</math> ist ultrastark*-stetig, ebenso ist definitionsgemäß die Involution ultrastark*-stetig.<ref>Ola Bratteli, Derek W. Robinson: ''Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1'', Springer-Verlag (1979), ISBN 0-387-09187-4, Satz 2.4.5</ref> Ferner ist ein lineares Funktional auf <math>L(H)</math> genau dann ultrastark*-stetig, wenn es ultraschwach stetig ist.

Auf beschränkten Mengen stimmen die SOT* und die ultrastarke* Topologie mit der [[Mackey-Topologie]] überein, letztere ist die feinste lokalkonvexe Topologie, die dieselben stetigen linearen Funktionale hat wie die ultraschwache Topologie.<ref>Bing-Ren Li: ''Introduction to Operator Algebras'', World Scientific Pub Co (1992), ISBN 9-8102-0941-X, Kapitel 1.11</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]