Quelltext der Seite Oktalsystem

{{Belege|2=Dieser Artikel}}
Das '''Oktalsystem''' (von {{laS|''octo''}} ‚[[acht]]‘) ist ein [[Stellenwertsystem]] mit der Basis 8 (daher auch '''Achtersystem''' genannt). Es kennt acht Ziffern zur Darstellung einer Zahl: '''0''', '''1''', '''2''', '''3''', '''4''', '''5''', '''6''' und '''7'''.

Seine Ursprünge finden sich im [[17. Jahrhundert]] in [[Schweden]]; als Urheber kommen König [[Karl XII. (Schweden)|Karl&nbsp;XII.]], der Wissenschaftler [[Emanuel Swedenborg]] oder der Erfinder [[Christopher Polhem]] in Frage.

{| class="wikitable"
|+ '''Die ersten Zahlen im Oktalsystem'''
|- align="center"
! Oktal
! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15 !! 16 !! 17 !! 20
|- align="center"
! Binär
| 0 || 1 || 10 || 11 || 100 || 101 || 110 || 111 || 1000 || 1001 || 1010 || 1011 || 1100 || 1101 || 1110 || 1111 || 10000
|- align="center"
! Dezimal
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16
|}

== Zählen im Oktalsystem ==
Beim Zählen im Oktalsystem ist zu beachten, dass der [[Übertrag]] schon nach der 7 erfolgt (es folgt die oktale 10) und nicht nach der 9 (es folgt die dezimale 10). Im Oktalsystem gilt: <span style="white-space:nowrap">'''7 + 1 = 10'''.</span> Die Anwendung dieser Regel wird im Folgenden verdeutlicht:

{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="2" style="margin-left:2em; border-style:solid; border-width:10px; border-color:#EFEFEF; background:#EFEFEF; text-align:right;"
|-
|style="width:12.5%;"|0
|style="width:12.5%;"|1
|style="width:12.5%;"|2
|style="width:12.5%;"|3
|style="width:12.5%;"|4
|style="width:12.5%;"|5
|style="width:12.5%;"|6
|style="width:12.5%;"|7
|-
| 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17
|-
| 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 || 26 || 27
|-
| ...||...||...||...||...||...||...||...
|-
| 70 || 71 || 72 || 73 || 74 || 75 || 76 || 77
|-
| 100 ||...||...||...||...||...||...||107
|-
| 110 ||...||...||...||...||...||...||117
|-
| ...||...||...||...||...||...||...||...
|-
| 770 ||...||...||...||...||...||...||777
|}

Mündliche Zahlwortsysteme mit der Basiszahl 8 sind äußerst selten. Bekannt sind die Sprachen [[Bodo (Sprache)|Mech]] und [[Yuki (Sprache)|Yuki]].<ref>Gisa Eysen: „Untersuchungen zu Strukturen von Zahlwortsystemen.“ Verlag Dr. Kovač, Hamburg 2008, ISBN 978-3-8300-4062-0, S. 174.</ref>

== Anwendungen ==
=== Computertechnik ===
Jede Ziffer einer Oktalzahl kann durch drei [[Bit]] dargestellt werden. Umgekehrt kann aus einer Binärzahl durch Gruppierung von jeweils drei Bit leicht eine Oktalzahl erzeugt werden. Um beispielsweise die Oktalzahl 16 im Binärsystem darzustellen, müssen lediglich die einzelnen Oktalziffern 1 und 6 in Binärzahlen überführt werden:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!oktal
| colspan="3" |1
| colspan="3" |6
|-
!binär
|0
|0
|1
|1
|1
|0
|}
Oktalzahlen werden heute noch bei der Darstellung von [[Zugriffsrecht|Dateizugriffsrechten]] unter [[Unix]] verwendet, wo je drei Bit die Rechte einer Benutzerklasse darstellen (siehe [[chmod]]). Als noch [[Datenwort|Datenwörter]] von 24 Bit Länge gebräuchlich waren, deren Wertebereich genau dem einer achtstelligen Oktalzahl entsprach, wurden Oktalzahlen zur [[Eingabe und Ausgabe]] von Bitmustern verwendet, da sie für den Menschen übersichtlicher sind als Dualzahlen und weil die Umwandlung vom und ins Binärsystem einfach ist. Für die jetzt üblichen Datenwortlängen 16, 32 und 64 ist das [[Hexadezimalsystem]] für Eingabe und Ausgabe das geeignetere.

Ein historischer Anwendungsfall findet sich beim [[Apollo Guidance Computer]]. Hier werden für Daten und Adressen ebenfalls Oktalzahlen verwendet, vermutlich aufgrund der Wortbreite von 15 Bit. Somit kann ein Wort durch eine 5-stellige Oktalzahl dargestellt werden.

=== Luftfahrt ===
Der [[Transpondercode]] (Squawk) in jedem Flugzeug ist eine vierstellige Oktalzahl (0000 bis 7777).

== Kennzeichnung ==
Oktalzahlen werden häufig durch einen nachgestellten Buchstaben <code>o</code> gekennzeichnet (auch bekannt als [[Intel]]-Konvention).
In den Programmiersprachen [[C (Programmiersprache)|C]], [[Java (Programmiersprache)|Java]] und [[Python (Programmiersprache)|Python]] (Versionen bis 2.x) wird eine <code>0</code> vorangestellt, um eine Oktalzahl von einer [[Dezimalsystem|Dezimalzahl]] zu unterscheiden (was zu schwer entdeckbaren Flüchtigkeitsfehlern führt: <code>0715</code> ist was anderes als <code>715</code>). Python 3 verwendet zur besseren Unterscheidung die Ziffer <code>0</code> gefolgt vom Kleinbuchstabe <code>o</code> (z.&nbsp;B. <code>0o715</code>). In [[TeX]] wird eine Oktalzahl durch ein vorangestelltes Hochkomma gekennzeichnet. Nach [[Motorola]]-Konvention werden Oktalzahlen hingegen mit einem vorangestellten <code>@</code>-Zeichen gekennzeichnet (z.&nbsp;B. <code>@715</code>). Unter [[DR-DOS]] unterstützt [[DEBUG]] Oktalzahlen in Verbindung mit dem Präfix <code>\</code> (z.&nbsp;B. <code>\715</code>). Diese Darstellung kommt aus der Unix-Welt, wo sie von den gängigen Shells unterstützt wird.

In der [[Mathematik]] wird oft auch die Basis des Zahlensystems an die Zahl angefügt, z.&nbsp;B. <code>172<sub>(8)</sub></code> = <code>122<sub>(10)</sub></code>.

;Weitere Beispiele: 
* <code>172o</code> oder <code>172<sub>(8)</sub></code> (Mathematik),
* <code>8#172#</code> (Ada)
* <code>0172</code> (C, C++, Java und viele von C abgeleitete Sprachen), 
* <code>'\172'</code> bzw. <code>"\172"</code> (Zeichen- bzw. Zeichenkettenliteral in C/C++), 
* <code>'172</code> (TeX).

== Konvertierung von Zahlen in Oktalzahlen ==
Eine ganzzahlige positive Zahl kann in eine Oktalzahl umgewandelt werden, indem sie wiederholt durch die Basis 8 geteilt wird und die dabei entstehenden [[Divisionsrest]]e notiert werden. Zum Beispiel werden für die 122<sub>(10)</sub> drei Rechenschritte benötigt:

:<code>122 : 8 = 15 Rest '''2'''</code>
:<code>&nbsp;15 : 8 = &nbsp;1 Rest '''7'''</code>
:<code>&nbsp;&nbsp;1 : 8 = &nbsp;0 Rest '''1'''</code>

Die Divisionsreste von unten nach oben gelesen ergeben diese Zahl in Oktaldarstellung '''172<sub>(8)</sub>'''.

== Umwandlung von Oktalzahlen in Dezimalzahlen ==
Um eine (natürliche) Oktalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der am weitesten rechts stehenden Stelle die Null zugeordnet wird. Beispiel für 172<sub>(8)</sub> (wobei die Notation der Berechnung im Dezimalsystem erfolgt):
:<math>[172]_{8}=1 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^0 = 122_{10}</math>
Die Anzahl der Multiplikationen kann durch die Verwendung des [[Horner-Schema]]s verringert werden:
:<math>[172]_{8}=(1 \cdot 8 + 7) \cdot 8 + 2 = 122_{10}</math>

Das gleiche wie die obigen Terme stellt diese Tabelle dar; man nimmt den Spaltennamen (z.&nbsp;B.) „8<sup>1</sup>=8“ mit dem in der Zelle angegebenen Wert mal; wenn also in Zeile 1, Spalte „8<sup>1</sup>=8“ eine 3 steht, so rechnet man „8<sup>1</sup>×3“

{| class="wikitable"
|+
! Dezimalzahl !! 8<sup>4</sup>=4096 !! 8<sup>3</sup>=512 !! 8<sup>2</sup>=64 !! 8<sup>1</sup>=8 !! 8<sup>0</sup>=1 !! Endgültige Oktalzahl
|-
| 5 || 0 || 0 || 0 || 0 || 5 || align="center" | 5
|-
| 16 || 0 || 0 || 0 || 2 || 0 || align="center" | 20
|-
| 86 || 0 || 0 || 1 || 2 || 6 || align="center" | 126
|-
| 123 || 0 || 0 || 1 || 7 || 3 || align="center" | 173
|}

== Darstellung rationaler und reeller Zahlen ==
Wie bei allen Stellenwertsystemen lassen sich beliebige [[Rationale Zahl|rationale]] oder [[Reelle Zahl|reelle]] Zahlen im Oktalsystem darstellen. Als Trennzeichen zwischen dem ganzzahligen und dem gebrochenen Anteil der Zahl dient im deutschsprachigen Raum üblicherweise das Komma. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit <math>8^{-i}</math> multipliziert, wobei <math>i</math> die Position hinter dem Komma angibt.

Beispiel für die Umwandlung von 34,56<sub>(8)</sub> ins Dezimalsystem (wobei die Notation der Berechnung im Dezimalsystem erfolgt):
:<math>3 \cdot 8^1 + 4 \cdot 8^0 + 5 \cdot 8^{-1} + 6 \cdot 8^{-2} = 28{,}71875_{(10)}</math>

In der umgekehrten Richtung erfolgt die Umwandlung des gebrochenen Anteils einer Dezimalzahl in die Oktaldarstellung durch fortwährende Multiplikation mit 8, wobei jeweils der ganzzahlige Anteil des Ergebnisses eine Oktalziffer liefert. Zum Beispiel werden für die Dezimalzahl 0,3984375<sub>(10)</sub> drei Rechenschritte benötigt:

:<code>8 · 0,3984375 = '''3''',1875</code>
:<code>8 · 0,1875&nbsp;&nbsp;&nbsp; = '''1''',5</code>
:<code>8 · 0,5&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = '''4''',0</code>

Die gesuchte Oktalzahl ist daher '''0,314<sub>(8)</sub>'''.

Natürlich kann es vorkommen, dass dieser Prozess nicht abbricht und sich daher eine unendliche Oktalbruchdarstellung ergibt. Auch eine periodische Darstellung ist möglich, wie das folgende Beispiel der Umwandlung von 0,2<sub>(10)</sub> zeigt:

:<code>8 · 0,2 = '''1''',6</code>
:<code>8 · 0,6 = '''4''',8</code>
:<code>8 · 0,8 = '''6''',4</code>
:<code>8 · 0,4 = '''3''',2</code>
:<code>8 · 0,2 = ...</code>

Nun wiederholen sich die Zeilen, und die gesuchte Oktalzahl ist daher <math>0{,}14631463\ldots_{(8)} = 0{,}\overline{1463}_{(8)}</math>.

Jede rationale Zahl <math>r</math> hat eine endliche oder unendliche periodische Oktalbruchentwicklung. Ist <math>r = \frac{p}{q}</math>, wobei <math>p</math> eine ganze und <math>q</math> eine natürliche Zahl ist, und ist dieser Bruch gekürzt (also <math>p</math> und <math>q</math> [[teilerfremd]]), dann hat <math>r</math> genau dann eine endliche Oktalbruchentwicklung, wenn <math>q</math> eine [[Zweierpotenz]] ist.

Wie bei Stellenwertsystemen üblich ist die Darstellung rationaler Zahlen nicht immer eindeutig; z.&nbsp;B. hat die [[Eins]] neben der Darstellung 1 auch die folgende als periodischer Oktalbruch:

:<math>1 = 0{,}777\ldots_{(8)} = 0{,}\overline{7}_{(8)}</math>.

== Trivia ==
* Die außerirdischen Na’vi aus dem Film ''[[Avatar – Aufbruch nach Pandora]]'' verwenden das Oktalsystem, da sie über vier Finger an jeder Hand verfügen.
* In der TV-Serie ''[[Stargate – Kommando SG-1|Stargate]]'' verwendeten die Antiker ebenfalls das Oktalsystem.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [https://www.octomatics.org/ Octomatics] – ein oktalbasiertes Zahlensystem, welches einfaches, visuelles Rechnen ermöglicht
* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm Umrechnung von Zahlensystemen] – ein weiterer Umrechner, der den Rechenweg mit anzeigt

{{Navigationsleiste Stellenwertsysteme}}

[[Kategorie:Zahlensystem]]