Quelltext der Seite Null hoch null

'''Null hoch null (0<sup>0</sup>)''' wird in der Mathematik je nach Anwendungsfall entweder als 1 definiert oder als [[Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)|unbestimmter Ausdruck]] betrachtet. Die Frage, ob und auf welche Weise dem Ausdruck ein eindeutiger Wert zugeordnet werden kann, hat die [[Mathematiker]] spätestens seit der ersten Hälfte des 19.&nbsp;Jahrhunderts beschäftigt.

== Mögliche Definitionen ==
Es gibt zwei naheliegende Werte, die man <math>0^0</math> zuweisen könnte:
* <math>1</math>, weil <math>x^0=1</math> für beliebige <math>x\in \R \setminus \{0\}</math>,
* <math>0</math>, weil <math>0^y=0</math> für beliebige <math>y\in \R^+</math>.
In weiten Teilen der Mathematik setzt man <math>0^0=1</math>, denn dann funktionieren viele Formeln auch für die Grenzfälle 0, die man sonst ausschließen oder speziell behandeln müsste, siehe zum Beispiel unten die Ausführungen zur binomischen Formel. Es gibt aber auch moderne Analysislehrbücher,<ref>{{Literatur |Autor=erarb. von Günther Reinelt. Unter Mitw. von Carsten Kreutz |Titel=Lambacher Schweizer – Mathematik für die Fachhochschulreife / [Hauptbd.]. Gesamtband. |Auflage=1. |Verlag=Klett-Schulbuchverl |Ort=Stuttgart |Datum=2008 |ISBN=978-3-12-732691-8}}</ref> die die Potenz <math>0^0</math> (in dieser Form) ausdrücklich undefiniert lassen. Die Frage nach einem Beweis für <math>0^0=1</math> stellt sich nicht, denn die üblichen Definitionen für <math>x^y</math> versagen für <math>x=y=0</math>. Es sind praktische Erwägungen, die eine Definition <math>0^0=1</math> nahelegen.

== Null hoch null als Grenzwert ==
[[Datei:X^y.png|hochkant=1.4|mini|Der Graph der Funktion <math>z = x^y</math> für <math>x \in [0,1] </math> und <math>y \in [-\tfrac 1 2,+\tfrac 1 2] </math>. Die <math>x</math>-Achse verläuft leicht schräg aufwärts von rechts nach links, die <math>y</math>-Achse schräg abwärts von rechts nach links. Rote Linien: <math>z =0, \tfrac 1 2, 1, \tfrac 3 2, 2</math>. Grüne Linien: <math>y=ax</math> mit <math>a=2, 1, \tfrac 1 2, -\tfrac 1 2, -1</math>.]]
Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht in ihrer 3D-Darstellung des [[Funktionsgraph|Graphen]] die Funktion <math>z = x^y</math>. Für <math>x = 0</math>, <math>y = 0</math> konvergiert die Fläche auf eine senkrechte Halbgerade. Dies bedeutet, dass beliebige Werte <math>z\in \R_{\ge 0}</math> durch geeignete Wahl von Näherungspunkten <math>(x;y)</math> an den Ursprung <math>(0;0)</math> (rote Linien) erreicht werden können. So ist z.&nbsp;B.
# <math>\lim_{y\to 0+} 0^y = 0</math>,
# <math>\lim_{y\to 0+} \Bigl(\mathrm e^{-y^{-2}}\Bigr)^y = 0</math>,
# <math>\lim_{t\to +\infty}x^y = c</math><br /> &nbsp; mit <math>0 < c < 1</math>, <math>x = c^t</math> und <math>y=\tfrac 1 t</math>,
# <math>\lim_{x\to 0+} x^0 = 1</math> und
# <math>\lim_{y\to 0-} \Bigl(\mathrm e^{-y^{-2}}\Bigr)^y = +\infty</math>.
Die Beispiele zeigen, dass die Funktion <math>z = x^y</math> an der Stelle <math>(0;0)</math> divergiert, denn ein [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] von der Art&nbsp; <math>\textstyle \lim_{(x;y)\to (0;0)} x^y </math> existiert offensichtlich nicht.

Ein Ausdruck, der unter dem Zeichen des Grenzwertes steht und der sich nicht auf Grund von Grenzwertsätzen und Stetigkeitseigenschaften berechnen lässt, heißt [[Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)|unbestimmter Ausdruck]]. Beispiele sind <math>\tfrac{0}{0}</math>, <math>\tfrac{\infty}{\infty}</math> sowie <math>0^0</math>. Letzterer Ausdruck entsteht bei Berechnungen von Potenzen, deren Basis und Exponent gleichzeitig gegen <math>0</math> geht, und kann nicht bestimmt werden, wenn es keine Beziehung zwischen den beiden gibt.

== Geschichte ==
Bis Anfang des 19.&nbsp;Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend <math>0^0=1</math> gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. [[Augustin-Louis Cauchy]] listete allerdings <math>0^0</math> gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie <math>0/0</math> in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken.<ref>Augustin-Louis Cauchy: [http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-29058 ''Analyse algébrique.''] Die Tabelle mit den unbestimmten Ausdrücken ist auf Seite 69.</ref> 1833 veröffentlichte [[Guglielmo Libri|Guillaume Libri]] eine Arbeit,<ref>Guillaume Libri: ''Mémoire sur les fonctions discontinues''. In: ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', 10, 1833, S.&nbsp;303–316.</ref> in der er wenig überzeugende Argumente für <math>0^0=1</math> präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte [[August Ferdinand Möbius]] einen Beweis seines Lehrers [[Johann Friedrich Pfaff]], der im Wesentlichen zeigte, dass&nbsp; <math>\textstyle \lim_{x\to 0+} x^x = 1</math> gilt, und einen angeblichen Beweis für&nbsp; <math>\textstyle \lim_{t\to 0+} x(t)^{y(t)} = 1</math>, falls&nbsp; <math>\textstyle \lim_{t\to 0+} x(t)=\lim_{t\to 0+} y(t)=0</math> gelten, lieferte.<ref>August Ferdinand Möbius: ''Beweis der Gleichung <math>0^0=1</math>, nach J. F. Pfaff''. In: ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', 12, 1834, S.&nbsp;134–136.</ref> Die Korrektheit dieses Beweises wurde durch das Gegenbeispiel <math>x(t)=e^{-1/t}</math> und <math>y(t)=t</math> rasch widerlegt.

[[Donald E. Knuth]] erwähnte 1992 im ''American Mathematical Monthly'' die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass <math>0^0</math> undefiniert gelassen wird.<ref>[[Donald E. Knuth]]: ''Two notes on notation.'' In: ''American Mathematical Monthly.'' Vol.&nbsp;99, No.&nbsp;5, Mai 1992, S.&nbsp;403–422; [https://maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/knuth403-422.pdf Preprint] (PDF; 1,9&nbsp;MB) auf der Website der [[Mathematical Association of America]]; {{arXiv|math/9205211}}. Die Geschichte der Kontroverse ist auf Seite&nbsp;6 des Preprints zu finden.</ref> Wenn man den Wert&nbsp;1 für die Potenz <math>0^0</math> nicht voraussetzt, verlangen viele mathematische Aussagen wie der [[Binomischer Satz|binomische Satz]]
: <math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^k b^{n-k}</math>
eine Sonderbehandlung<ref>Man kann es –&nbsp;mit letztlich demselben Ergebnis&nbsp;– auch andersherum sehen: Die Schreibweise <math>\textstyle \sum_{k=0}^n{n\choose k}a^k b^{n-k}</math> ist eine „Kurzform“ von <math>\textstyle a^n+\sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}a^k b^{n-k}+b^n</math>, die keinen Exponenten 0 enthält. Dabei ist vereinbart, dass der Wert einer Potenz als 1 zu nehmen ist, wenn ihr Exponent durch eine Konstellation der [[Summe#Notation mit dem Summenzeichen|Laufvariablen]] 0 wird.<br />Und man kommt mit der Grenzwertbetrachtung <math>\textstyle\lim_{a\downarrow\uparrow0} \, a^0</math> für festes <math>k=0</math> und variables <math>a\ne0</math> zum selben Ergebnis.</ref> für die Fälle <math>a=0</math> (am Index <math>k=0</math>) oder <math>b=0</math> (am Index <math>k=n</math>) oder <math>a + b = 0</math> (bei {{nowrap|<math>n=0</math>).}}

Ebenso kommt die Potenz <math>0^0</math> in [[Potenzreihe]]n wie für die [[Exponentialfunktion]]
: <math>\mathrm e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}</math>
für <math>t=0</math> am Index <math>n=0</math> oder in der Summenformel für die [[geometrische Reihe]]
: <math>\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>
für <math>q=0</math> am Index <math>k=0</math> vor. Auch hier hilft die Konvention <math>0^0=1</math>.

Die angeführten Anwendungsfälle der Potenz <math>0^0</math> sind (wie außerordentlich viele ähnliche andere) Aussagen über Polynome, Multinome oder Potenzreihen, bei denen der Exponent <math>y</math> des Terms <math>x^y</math> konstant 0 ist und die Basis <math>x</math> – eher ausnahmsweise – den Wert 0 annehmen kann. In allen diesen Fällen sind die vorkommenden Terme stetige Summanden oder Faktoren, die für invertierbares <math>x </math> den Wert 1 haben, deren Wert dann auch für die Lücke <math>x \to 0</math> mühelos (und ganz im Sinn von <math>0^0 = 1</math>) als 1 [[Definitionslücke#Stetig hebbare Definitionslücke|stetig ergänzt]] werden kann.

[[Donald E. Knuth|Donald Knuth]] differenziert jedoch und schreibt: “Cauchy had good reason to consider <math>0^0</math> as an undefined ''limiting form''” (deutsch etwa: Cauchy hatte guten Grund, <math>0^0</math> als unbestimmten Limes-Ausdruck zu betrachten), wobei er unter der ''limiting form'' <math>0^0</math> Grenzprozesse der Form <math>\lim x(t)^{y(t)}</math> versteht, bei denen sich sowohl die Basis <math>x(t)</math> wie der Exponent <math>y(t)</math> für ein gewisses <math>t</math> der 0 beliebig nähern.

Mit dieser Maßgabe von Knuth sind die einfachen Fälle der [[Absolutglied]]er in Polynomen und Potenzreihen unmittelbar und pauschal gelöst, ohne dass es zu einem Konflikt mit einer detaillierten Betrachtung komplizierterer Grenzprozesse käme.

== Mengenlehre ==
In der Mengenlehre wird eine Potenz <math>B^A</math> zweier Mengen als Menge aller Funktionen von <math>A</math> nach <math>B</math> definiert, das heißt als Menge von Mengen <math>f</math> geordneter Paare <math>(a,b)</math>, sodass es zu jedem <math>a\in A</math> genau ein <math>b\in B</math> gibt mit <math>(a,b)\in f</math>. Bezeichnet man mit <math>|A|</math> die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] von <math>A</math>, so gilt <math>|B^A|=|B|^{|A|}</math> (für endliche Mengen, aber auch darüber hinaus), was die Potenzschreibweise für Mengen rechtfertigt.<ref>[[Thomas Jech]]: ''Set Theory''. Springer-Verlag, 2003, ISBN 3-540-44085-2, S. 28, Gleichungen (3.3)</ref> Nun gibt es genau eine auf der leeren Menge <math>\emptyset</math> definierte Funktion, das heißt Menge von Paaren mit obiger Eigenschaft, nämlich <math>\emptyset</math>. Daher gilt <math>B^\emptyset = \{\emptyset\}</math>, was auch für <math>B=\emptyset</math> richtig bleibt.

Die natürlichen Zahlen werden in der Mengenlehre rekursiv wie folgt definiert (siehe [[Natürliche Zahl#Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen|von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen]]):
: <math>0:=\emptyset, \, 1:=\{0\} = \{\emptyset\}, \, 2:= \{0,1\} = \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \}, \, 3 := \{0,1,2\} = \dotsb</math>
Demnach gilt in der Mengenlehre:
: <math>0^0 = \emptyset^\emptyset = \{\emptyset\} = 1</math>.
Das ist ein Beweis für <math>0^0=1</math> in der [[Kardinalzahlarithmetik]]. Das hilft in der obigen Diskussion nicht weiter, denn dort haben wir es mit [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] zu tun.

== Datenverarbeitung ==
In der [[C (Programmiersprache)|Programmiersprache C]] liefert die Potenzfunktion <code>pow()</code> aus der Funktionsblibliothek [[math.h]] für <code>pow(0,0)</code> den Wert&nbsp;1.

In [[JavaScript]] gilt das gleiche für <code>Math.pow(0, 0)</code>.

[[Wolfram Alpha]] liefert für <code>0^0</code> das Ergebnis ''undefined.''

== Weblinks ==
* [https://rosettacode.org/wiki/Zero_to_the_zero_power Null hoch Null in verschiedenen Programmiersprachen]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Potenz (Mathematik)]]