Quelltext der Seite Normalschwereformel

'''Normalschwereformeln''' sind mathematische Ausdrücke, mit denen die [[Schwerebeschleunigung]] an einem Punkt in der Nähe der [[Erdoberfläche]] abgeschätzt werden kann. Bei bekannter oder vorgegebener Masse eines Körpers kann damit auch die [[Gewichtskraft]] auf ihn abgeschätzt werden.

== Normalschwere ==
Die Erdbeschleunigung hängt ab von der [[Gravitation]] der Masse, die sich unterhalb des Gegenstandes befindet; mit dem Abstand vom Massenzentrum nimmt die Gravitation ab. Außerdem wird die Erdbeschleunigung durch die [[Erdrotation]] beeinflusst: die [[Zentrifugalkraft]] nimmt mit dem Abstand von der [[Erdachse]] zu, sie ist daher am [[Äquator]] am größten und an den [[Pol (Geographie)|Polen]] am geringsten.

Die Formeln zur Berechnung der '''Normalschwere''' basieren auf der Annahme eines rotationssymmetrisch aufgebauten [[Referenzellipsoid|Erdellipsoiden]], dessen Oberfläche gleichzeitig eine [[Äquipotentialfläche]] ist ('''Normalellipsoid'''). Daher hängen sie nur von der [[geographische Breite|geographischen Breite]] und von der [[Höhe (Geodäsie)|Höhe]] ab.

== Formel von Somigliana ==
Für die Normalschwere <math>\gamma_0</math> auf dem Niveauellipsoid, d.&nbsp;h. in der Höhe <math>h = 0</math>, gilt die Formel von Somigliana (1929) (nach [[Carlo Somigliana]] (1860–1955):<ref>{{Webarchiv|url=http://www.torinoscienza.it/accademia/personaggi/carlo_somigliana_20033 |wayback=20101207145309 |text=Biografie Somiglianas |archiv-bot=2019-05-04 09:38:26 InternetArchiveBot }} (ital.)</ref>)

:<math>\gamma_0(\varphi) = \frac{a \cdot \gamma_a \cdot \cos^2 \varphi + b \cdot \gamma_b \cdot \sin^2 \varphi}{\sqrt{a^2 \cdot \cos^2 \varphi + b^2 \cdot \sin^2 \varphi}}</math>

mit
* <math>\gamma_a</math> = Normalschwere am Äquator
* <math>\gamma_b</math> = Normalschwere am Pol
* <math>a</math> = große [[Halbachsen der Ellipse|Halbachse]] (Äquatorradius)
* <math>b</math> = kleine Halbachse (Polradius)
* <math>\varphi</math> = [[geographische Breite]]

Für [[Numerische Mathematik|numerische]] Zwecke lässt sich diese Formel umformen zu:

:<math>\gamma_0 (\varphi) = \gamma_a \cdot \frac{1 + p\cdot \sin^2\varphi}{\sqrt{1 - e^2 \cdot \sin^2 \varphi}}</math>

mit
* <math>p = \frac{b \cdot \gamma_b}{a \cdot \gamma_a} - 1</math>
* <math>e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}; \quad e</math> ist die [[Exzentrizität (Mathematik)|Exzentrizität]]

Für das [[Geodätisches Referenzsystem 1980|Geodätische Referenzsystem 1980]] (GRS&nbsp;80) lauten die Parameter:
:<math>a = 6\,378\,137 \, \mathrm{m} \quad \quad \quad            \quad b = 6\,356\,752{,}314\,1 \, \mathrm{m}</math>
:<math> \gamma_a = 9{,}780\,326\,771\,5 \, \mathrm{\frac{m}{s^2}} \quad \gamma_b = 9{,}832\,186\,368\,5 \, \mathrm{\frac{m}{s^2}}</math>
<math>\Rightarrow p = 1{,}931\,851\,353 \cdot 10^{-3}             \quad e^2 = 6{,}694\,380\,022\,90 \cdot 10^{-3}</math>

== Näherungsformeln aus Reihenentwicklungen ==
Die Formel von Somigliana wurde durch verschiedene [[Reihenentwicklung]]en angenähert. Diese folgen dem Schema:

:<math>\gamma_0(\varphi) = \gamma_a \cdot (1 + \beta \cdot \sin^2 \varphi + \beta_1 \cdot \sin^2 2\varphi + \dots)</math>

=== Internationale Schwereformel 1930 ===
Die Normalschwereformel von [[Gino Cassinis]] wurde 1930 von der [[Internationale Union für Geodäsie und Geophysik|Internationalen Union für Geodäsie und Geophysik]] als Internationale Schwereformel zum [[Hayford-Ellipsoid|Ellipsoid von Hayford]] bestimmt. Als Parameter galten:

:<math>\gamma_a = 9{,}78049\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \quad \beta = 5{,}2884 \cdot 10^{-3} \quad \beta_1 = -5{,}9 \cdot 10^{-6}</math>

Im Laufe der Zeit wurden die Werte durch neuere Erkenntnisse und genauere Messmethoden immer weiter verbessert.

[[Harold Jeffreys|Jeffreys]] verbesserte die Werte 1948 auf:

:<math>\gamma_a = 9{,}780373\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \quad \beta = 5{,}2891 \cdot 10^{-3} \quad \beta_1 = -5{,}9 \cdot 10^{-6}</math>

=== Internationale Schwereformel 1967 ===
Das Normalschwerefeld des Geodätischen Referenzsystem von 1967 ist definiert durch die Werte:

:<math>\gamma_a = 9{,}780318\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \quad \beta = 5{,}3024 \cdot 10^{-3} \quad \beta_1 = -5{,}9 \cdot 10^{-6}</math>

=== Internationale Schwereformel 1980 ===
Aus den Parametern des GRS 80 ergeben sich für die klassische Reihenentwicklung:

:<math>\gamma_a = 9{,}780327\, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \quad \beta = 5{,}3024 \cdot 10^{-3} \quad \beta_1 = -5{,}8 \cdot 10^{-6}</math>

Die Genauigkeit beträgt etwa ±10<sup>−6</sup> m/s<sup>2</sup>.

Mit dem GRS 80 wurde auch folgende Reihenentwicklung eingeführt:

:<math>\gamma_0(\varphi) = \gamma_a \cdot (1 + c_1 \cdot \sin^2 \varphi + c_2 \cdot \sin^4 \varphi + c_3 \cdot \sin^6 \varphi + c_4 \cdot \sin^8\varphi + \dots)</math>

Die Parameter hierfür lauten:
* ''c''<sub>1</sub>&nbsp;= 5,279&nbsp;0414·10<sup>−3</sup>
* ''c''<sub>2</sub>&nbsp;= 2,327&nbsp;18·10<sup>−5</sup>
* ''c''<sub>3</sub>&nbsp;= 1,262·10<sup>−7</sup>
* ''c''<sub>4</sub>&nbsp;= 7·10<sup>−10</sup>

Diese Näherung ist auf etwa ±10<sup>−9</sup> m/s<sup>2</sup> genau. Wenn diese Genauigkeit nicht benötigt wird, können die hinteren Terme weggelassen werden. Es ist jedoch zu empfehlen, die geschlossene Formel nach Somigliana zu verwenden.

== Höhenabhängigkeit ==
Cassinis bestimmte die Höhenabhängigkeit zu:

: <math>g(\varphi, h) = g_0(\varphi) - \left( 3{,}08 \cdot 10^{-6} \, \frac{1}{\mathrm{s}^2} - 4{,}19 \cdot 10^{-7} \, \frac{\mathrm{cm}^3}{\mathrm{g}\cdot \mathrm{s}^2} \cdot \rho \right) \cdot h</math>

Die mittlere Gesteins[[dichte]]&nbsp;ρ wird heute nicht mehr berücksichtigt.

Seit dem GRS 1967 gilt für die Abhängigkeit von der [[Höhe (Geodäsie) #Ellipsoidische Höhen|ellipsoidischen Höhe]]&nbsp;''h'':

:<math>\begin{align}
g(\varphi, h) & = g_0(\varphi) - \left( 1 - 1{,}39 \cdot 10^{-3} \cdot \sin^2(\varphi) \right) \cdot 3{,}0877 \cdot 10^{-6} \, \frac{1}{\mathrm{s}^2} \cdot h + 7{,}2 \cdot 10^{-13} \, \frac{1}{\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^2} \cdot h^2\\
              & = g_0(\varphi) - \left( 3{,}0877 \cdot 10^{-6} - 4{,}3 \cdot 10^{-9} \cdot \sin^2(\varphi) \right) \, \frac{1}{\mathrm{s}^2} \cdot h + 7{,}2 \cdot 10^{-13} \, \frac{1}{\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^2} \cdot h^2
\end{align}</math>

Eine andere Darstellung lautet:

:<math>g(\varphi,h) = g_0(\varphi) \cdot (1 - (k_1 - k_2 \cdot \sin^2 \varphi) \cdot h + k_3 \cdot h^2)</math>

mit den Parametern aus GSR80 abgeleitet:
* <math>k_1 = 2 \cdot (1 + f + m) /  a    = 3{,}157\,04\cdot10^{-7}  \, \mathrm{m^{-1}}</math>
* <math>k_2 = 4 \cdot      f      /  a    = 2{,}102\,69\cdot10^{-9}  \, \mathrm{m^{-1}}</math>
* <math>k_3 = 3                   / (a^2) = 7{,}374\,52\cdot10^{-14} \, \mathrm{m^{-2}}</math>

Diese Korrektur ist für in der [[Luftfahrt]] gängige Höhen recht genau; für den [[Weltraum]] (über ca. 100&nbsp;Kilometer) [[Grenzwert (Funktion)|divergiert]] sie jedoch.

== WELMEC-Formel ==
In allen deutschen [[Eichamt|Eichämtern]] wird heute der [[Bezugswert]] für die Fallbeschleunigung&nbsp;''g'' in Bezug auf die mittlere geographische Breite&nbsp;φ und die mittlere [[Höhe über dem Meeresspiegel]]&nbsp;''h'' berechnet nach der [[WELMEC]]-Formel:

:<math>g(\varphi, h) = \left( 1 + 0{,}0053024 \cdot \sin^2(\varphi) - 0{,}0000058 \cdot \sin^2(2 \varphi) \right) \cdot 9{,}780318 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} - 0{,}000003085 \, \frac{1}{\mathrm{s}^2} \cdot h</math>

Die Formel basiert auf der Internationalen Schwereformel von&nbsp;1967.

Die Kenntnis der am Messort vorliegenden Fallbeschleunigung ist bei Präzisionsmessungen vieler mechanischer Größen wesentlich. [[Waage]]n, welche Massen üblicherweise über die Gewichtskraft messen, beruhen auf der Fallbeschleunigung, sie müssen somit auf die Verwendung an ihrem Gebrauchsort vorbereitet werden. Durch das Konzept sogenannter [[Gravitationszone]]n, die mit Hilfe der Normalschwere eingeteilt werden, kann eine Waage bereits beim Hersteller endgültig für den Gebrauch [[Justierung|justiert]] werden.<ref>{{Internetquelle | url=http://www.ptb.de/de/org/1/11/115/doc/gravzonen.pdf | titel=Das europäische Gravitationszonenkonzept nach WELMEC | titelerg= | autor=Roman Schwartz, Andreas Lindau | hrsg= | werk= | seiten= | datum= | zugriff=26. Februar 2011 | sprache= | format= PDF | kommentar=700&nbsp;kB | zitat= | offline= }}</ref>

== Beispiel ==
''Fallbeschleunigung in [[Schweinfurt]]:''

''Daten:''
* Geographische Breite: 50°&nbsp;3′&nbsp;24″&nbsp;= 50,0567°
* Höhe über Normalnull: 229,7&nbsp;m
* Dichte der Gesteinsplatte: ca. 2,6&nbsp;g/cm³
* Gemessene Fallbeschleunigung: g&nbsp;=&nbsp;(9,8100 ±&nbsp;0,0001)&nbsp;m/s²

''Errechnete Fallbeschleunigungen durch Normalschwereformeln:''
* Cassinis: ''g''&nbsp;=&nbsp;9,81038&nbsp;m/s²
* Jeffreys: ''g''&nbsp;=&nbsp;9,81027&nbsp;m/s²
* WELMEC: ''g''&nbsp;=&nbsp;9,81004&nbsp;m/s²

== Literatur ==
* [[Wolfgang Torge]]: ''Geodäsie''. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin u.&nbsp;a. 2003. ISBN 3-11-017545-2
* [[Wolfgang Torge]]: ''Geodäsie''. Walter de Gruyter, Berlin u.&nbsp;a. 1975 ISBN 3-11-004394-7

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Weblinks ==
* ''[https://evrs.bkg.bund.de/Subsites/EVRS/EN/References/Definitions/definitions_cont.html Definition des Geodetic Reference System 1980 (GRS80)]'' (pdf, engl.; 70&nbsp;kB)
* [https://www.ptb.de/cartoweb3/SISproject.php Gravity Information System] der [[Physikalisch-Technische Bundesanstalt|Physikalisch-Technischen Bundesanstalt]], engl.
* [http://www.in-dubio-pro-geo.de/index.php?file=ellip/ngrav0 Online-Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln]

[[Kategorie:Geodäsie]]
[[Kategorie:Geophysik]]