Quelltext der Seite Nash-Lösung

Die kooperative '''Nash-Lösung''' ist der entscheidende Beitrag [[John Forbes Nash, Jr.|John Nashs]] für die Lösung von Problemen der [[Verhandlungstheorie]] (''Bargaining Problems''). In seinem im Jahr 1950 erschienenen Aufsatz ''The bargaining problem''<ref>{{Internetquelle |url=https://wayback.archive-it.org/5456/20240920164512/http://www.eecs.harvard.edu/cs286r/courses/spring02/papers/nash50a.pdf |titel=Rate limit reached |abruf=2026-02-20}}</ref> gelang es ihm, erstmals eine eindeutige Lösung für diese Art von Verhandlungssituationen mathematisch abzuleiten. 

== Problem und Lösung ==
Nash modellierte ein Bargaining Problem in Form eines Nutzenraumes U und eines Ergebnisvektors k, der jedem Akteur seine Konfliktauszahlung zuweist, also den Nutzen, den der jeweilige Akteur im Falle des Verhandlungsabbruchs erhält. 

Sein Ziel war es diese Lösung auf möglichst wenige allgemein akzeptierte Axiome zu gründen (vgl. [[Verhandlungslösung#Eigenschaften_von_Verhandlungsl.C3.B6sungen|Eigenschaften von Verhandlungslösungen]]).<ref>Berninghaus, S. K., K. M. Erhart, and W. Güth. "Strategische Spiele: Eine Einführung in die Spieltheorie, 2., überarb. und erw." Aufl., Berlin ua O (2010). S. </ref> Diese sollten sicherstellen, dass rationale Akteure zustimmen mussten. Diese Axiome im Einzelnen sind:

* schwache [[Paretooptimalität]], 
* [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]], 
* Unabhängigkeit von linear [[Affinität (Mathematik)|affinen]] Transformationen und 
* Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen.

Ausgehend von diesen Bedingungen konnte Nash zeigen, dass ein eindeutiges Ergebnis (in Form eines Ergebnisvektors, der jedem einzelnen Akteur einen bestimmten Nutzen zuweist) berechenbar ist.

== Beispiel ==

Durch die Nash-Lösung soll das sog. ''Nash-Produkt'', das Produkt der Nutzenzuwächse der Verhandlungsparteien bzw. Spieler maximiert werden. In einer Verhandlungssituation <math>(B,d)</math> für zwei Spieler nimmt die Funktion die Form  <math>f\colon\, B\rightarrow {\mathbb R},\, (x_1,x_2) \mapsto (x_1-d_1)\cdot (x_2-d_2)</math> an. Dabei könnte es um einen Betrag von 100&nbsp;€ gehen, den die Spieler untereinander aufteilen sollen (der Drohpunkt sei zur Vereinfachung (0,0)). Die Spieler haben unterschiedliche Nutzenfunktionen, etwa <math>U_1(x_1) = 20 \cdot x_1</math> und <math>U_2(x_2) = 5 \cdot x_2</math>. Das sich daraus ergebende [[Optimierungsproblem]] sieht wie folgt aus: 

:<math>\operatorname{max} \;(U_1(x_1) - U_1(0))(U_2(x_2) - U_2(0))</math> unter der Bedingung <math> x_1 + x_2 = 100  </math>

und kann mit Hilfe von [[Lagrange-Multiplikator]]en gelöst werden.

:<math>\begin{align}
\mathcal{L}  &= (20 x_1) (5 x_2) + \lambda (x_1 + x_2 - 100) \\
\mathcal{L} _{\lambda} &= (x_1 + x_2 - 100) = 0 \\
\mathcal{L} _{x_1} &= 100 x_2 + \lambda = 0 \\
\mathcal{L} _{x_2} &= 100 x_1 + \lambda = 0 \\
\end{align}</math>

Was zu einem gleich aufgeteilten Betrag von <math>x_1 = x_2 = 50</math> führt, wobei die sich daraus ergebenden Nutzenwerte der Spieler sich unterscheiden: <math>U_1(50) = 1000 </math> und <math>U_2(50) = 250 </math>.

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Literatur ==
* John Forbes Nash Jr.: [http://www.math.mcgill.ca/vetta/CS764.dir/nashbarg.pdf ''The bargaining problem''] (PDF; 248&nbsp;kB), Econometrica 18, 1950, S. 155–162.

[[Kategorie:Wirtschaftsmathematik]]
[[Kategorie:Kooperatives Spiel| Kooperative Spieltheorie]]
[[Kategorie:Spieltheorie]]