Quelltext der Seite Multilineare Abbildung

Im [[Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und verwandter Gebiete wird durch die '''multilineare Abbildung''' der Begriff der [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] verallgemeinert. Ein wichtiges Beispiel einer multilinearen Abbildung ist die [[Determinante]].

== Definition ==
Ist <math>R</math> ein kommutativer [[Ringtheorie|Ring]] mit Eins und sind <math>F</math> und <math>E_i</math> für <math>i\in \{1,...,p\}</math> [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über dem Ring <math>R</math>, 
dann ist eine multilineare Abbildung eine auf dem [[Direktes Produkt|Produktraum]] definierte Abbildung <math>f \colon E_1\times\cdots\times E_p\to F</math>, welche bezüglich jedes ihrer Argumente eine [[lineare Abbildung]] ist. Genauer: Ist <math>p>0</math> eine ganze Zahl, so hat eine <math>p</math>-(multi)lineare Abbildung die Eigenschaft
:<math>\forall a\in E_1\times\cdots\times E_p,\forall i\in\{1,...,p\}: f_i(a)\in L(E_i;F)</math>,
wobei <math>f_i(a)</math> die partielle Abbildung
:<math>f_i(a) \colon E_i\to F ~;~~ x\mapsto f(a_1,...,a_{i-1},x,a_{i+1},...,a_p)~</math>
ist und <math>L(E;F)</math> die Menge der [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] von <math>E</math> nach <math>F</math> bezeichnet.

Falls <math>F=R</math>, spricht man von einer {{nowrap|<math>R</math>-[[Multilinearform]].}}

Die Menge aller <math>p</math>-linearen Abbildungen von <math>E_1\times\cdots\times E_p</math> nach <math>F</math> wird mit
:<math>L_p(E_1,...,E_p; F)</math>
bezeichnet; falls alle <math>E_i =E</math> dieselben sind, notiert man auch
:<math>L_p(E,...,E; F)=:L_p(E;F)</math> und schließlich <math>L_p(E,...,E; R)=:L_p(E)</math>.

== Beispiele ==
* Jede [[lineare Abbildung]] ist eine 1-lineare Abbildung.
* Für <math>p > 1</math> ist die [[Nullabbildung]] die einzige lineare Abbildung, welche auch <math>p</math>-linear ist. (Zum Beweis schreibe man <math>(x,y,...)=(0,y,...)+(x,0,...)</math>, woraus <math>f(x,y,...) =f(0,y,...)+f(x,0,...)</math> und benutze, dass wegen der Linearität <math>f(...)=0</math> ist, sobald eines der Argumente <math>0</math> ist.)
* Jede [[bilineare Abbildung]] ist eine 2-lineare Abbildung.
* Das [[Spatprodukt]] <math>[x,y,z]= x \cdot (y \times z) </math> im <math> \mathbb R^3</math> ist eine 3-lineare Abbildung, d.&nbsp;h. <math>[\cdot,\cdot,\cdot]\in L_3(\mathbb R^3)= L_3(\mathbb R^3;\mathbb R)= L_3(\mathbb R^3,\mathbb R^3,\mathbb R^3;\R)</math>.
* Sämtliche gemeinhin üblichen Produkte sind 2-lineare Abbildungen: die [[Multiplikation]] in einem Körper (reelle, [[Komplexe Zahl|komplexe]], [[Rationale Zahl|rationale Zahlen]]) oder einem [[Ring (Algebra)|Ring]] ([[ganze Zahl]]en, Matrizen), aber auch das Vektor- oder [[Kreuzprodukt]], [[Skalarprodukt]].
* Die Determinante in einem ''n''-dimensionalen Vektorraum ist eine ''n''-lineare Multilinearform.

== Weitere Eigenschaften ==

Die [[symmetrische Gruppe]] der [[Permutation]]en von <math>\{1,\ldots,p\}</math> definiert eine [[Verknüpfung (Mathematik)|Operation]] auf
<math>L_p(E;F)</math>,
:<math>S_p\times L_p(E;F)\to L_p(E;F) ~;~~ (\sigma,f)\mapsto \sigma f:(x_1,...,x_p)\mapsto(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})</math>
das heißt durch Permutation der Argumente der <math>p</math>-linearen Abbildung. (Man zeigt, dass <math>\sigma(\tau f)=(\sigma \circ \tau)f ,</math> indem man dies zunächst für zwei [[Vertauschung|Transpositionen]] <math>(i j),(i k)</math> zeigt.)

Eine Abbildung <math>f\in L_p(E;F)</math> heißt dann
* [[Symmetrische Funktion|symmetrisch]], wenn <math>\sigma f = f</math> für alle <math>\sigma</math> gilt.
* [[Antisymmetrische Funktion|antisymmetrisch]], wenn <math>\sigma f=\epsilon(\sigma)f</math> für alle <math>\sigma</math> gilt, wobei <math>\epsilon(\sigma)</math> das [[Vorzeichen (Permutation)|Vorzeichen]] der Permutation ist.
* alternierend, wenn <math>f(x_1,\ldots,x_p) = 0</math>, sobald zwei der Argumente gleich sind.
Umgekehrt definiert man den Symmetrisierer

:<math>S \colon f\mapsto S f=\sum_{\sigma\in S_p}\sigma f</math>

und den Antisymmetrisierer

:<math>\varLambda\colon f\mapsto\varLambda f=\sum_{\sigma\in S_p}\varepsilon(\sigma)\,\sigma f</math>,

welche eine beliebige multilineare Abbildung <math>f</math> symmetrisch resp. antisymmetrisch "machen".
(Manche Autoren dividieren durch einen Faktor <math>p!</math>, um diese Operatoren [[idempotent]] (das heißt zu Projektoren auf die entsprechenden Unterräume) zu machen, was jedoch in Körpern mit endlicher [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] nicht immer möglich ist.)

Man zeigt einfach, dass eine alternierende Abbildung antisymmetrisch ist, während eine antisymmetrische Abbildung alternierend ist wenn <math>1+1 \neq 0</math>, und ansonsten symmetrisch ist.

Zum Beispiel sind das [[Kreuzprodukt]] und das [[Spatprodukt]] antisymmetrische Abbildungen.

Determinantenformen sind Beispiele für alternierende Multilinearformen (per Definition).

== Tensoren ==
Multilineare Abbildungen werden benötigt, um das [[Tensorprodukt]] mittels der folgenden [[Universelle Eigenschaft|universellen Eigenschaft]] zu definieren, und sie werden damit zugleich klassifiziert: Für jede multilineare Abbildung <math>A_1 \times \cdots \times A_n \to B</math> gibt es genau einen Homomorphismus <math>A_1 \otimes_R \cdots \otimes_R A_n \to B</math>, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

[[Datei:tensor uni.gif|zentriert|Universelle Eigenschaft des Tensorproduktes]]

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Multilinear mapping
| Autor = A. L. Onishchik
| Url = http://eom.springer.de/M/m065300.htm
}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]