Quelltext der Seite Moment (Integration)

'''Momente''' sind in Naturwissenschaften und Technik Kenngrößen einer Verteilung, welche die Lage und Form dieser Verteilung beschreiben. Sie werden durch [[Integralrechnung|Integration]] über die mit einem [[Potenz (Mathematik)|potenzierten]] Abstand gewichteten Verteilung berechnet. Die Aufgabe, aus vorgegebenen Momenten Lage und Form der Verteilung zu ermitteln, heißt [[Momentenproblem]].

Momente verschiedener Art spielen wichtige Rollen in der [[Moment (Stochastik)|Stochastik]], technischen Mechanik und [[Moment (Bildverarbeitung)|Bildverarbeitung]].

== Formen und Ausprägungen ==
=== Geschichte und Entwicklung ===
Das Konzept von Momenten hat seinen Ursprung in der Betrachtung von Kräftegleichgewichten bei Waagen. [[Franciscus Maurolicus]] (1494–1575) verwendete den Begriff „Momentum“ explizit, um die Stärke der drehenden Kraft zu beschreiben, mit der an einem Hebelarm befestigte Gewichte auf eine Waage wirken. [[Galileo Galilei]] zeigte dann 1638, dass die Stärke eines solchen „Moments des Gewichts“ dem Flächeninhalt des aus Abstand und [[Gewichtskraft]] gebildeten Rechtecks entspricht. Auf Grundlage von diesem Konzept entwickelte sich der heutige, abstraktere Begriff.<ref name="geschichte" />

=== Kontinuierliche und diskrete Verteilungen ===
Für die Definition eines Momentes bei diskreten Verteilungen lässt sich als Beispiel eine Verteilung von Massenpunkten auf einer Linie betrachten. Bezeichnet <math>x_i</math> den Abstand von einem Bezugspunkt und <math>\alpha_i</math> die Masse der ''i''-ten Punktmasse, so ist das ''n''-te Moment der ''i''-ten Punktmasse das Produkt aus Masse und der ''n''-ten Potenz des Abstandes: <math>x_i^n \cdot \alpha_i</math>. Der Exponent <math>n</math> ist dabei eine [[natürliche Zahl]] und wird Ordnung oder Grad des Momentes genannt. Um das Moment <math>m</math> der gesamten Massenverteilung zu erhalten, werden die Momente aller Punktmassen addiert:
:<math>m_n=\sum_i x_i^n \alpha_i .</math>

Das nullte Moment ist die Gesamtmasse. Das erste Moment beschreibt die Lage der Verteilung. Wenn das erste Moment durch die Gesamtmasse geteilt wird, was einer Normierung der Verteilung auf Eins entspricht, erhält man den Abstand des [[Massenmittelpunkt]]es vom Bezugspunkt. Das Moment zweiter Ordnung ist das [[Massenträgheitsmoment]] (siehe unten).<ref name="höhere Mathe" />

Auf gleiche Art und Weise lässt sich ein Moment für kontinuierlichen Verteilungen definieren. Hier besteht die Verteilung nicht aus einzelnen Massepunkten, sondern einem [[Starrer Körper|Körper]] mit kontinuierlicher Massenverteilung. Diese Verteilung wird durch ihre Dichtefunktion (Masse pro Längeneinheit) <math>\rho(x)</math> charakterisiert. Die Momente der Verteilung erhält man durch Integration:
:<math>m_n=\int_\mathbb R x^n \rho(x)\, \mathrm d x .</math>

Mithilfe des [[Lebesgue-Integral]]s lassen sich beide Definitionen zusammenfassen, um Momente für allgemeinere, durch ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] <math>\mu</math> gegebene Verteilungen zu definieren:
:<math>m_n=\int_\mathbb R x^n \mathrm d \mu(x) .</math>

Anstelle von Massenverteilungen lassen sich Verteilungen beliebiger anderer Größen, beispielsweise Wahrscheinlichkeiten betrachten. Ist <math>X</math> eine [[Zufallsvariable]] mit [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] <math>\mu</math>, so ist das <math>n</math>-te Moment der [[Erwartungswert]] von <math>X^n</math>. Das zentrierte zweite Moment (siehe unten) ist die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]. Die Variable <math>x</math>, die sich als Abweichung oder Abstand interpretieren lässt, kann statt aus <math> \mathbb R</math> auch aus <math>\mathbb R^d</math> oder <math>\mathbb C</math> gewählt werden.<ref name="memoirs" />

=== Momente in mehreren Dimensionen ===
Bei Momenten in mehreren Dimensionen müssen die Komponenten in Richtung der [[Basis (Vektorraum)|Basisvektoren]] einzeln potenziert werden. So ergibt sich in zwei Dimensionen für das Moment ''p+q''-ter Ordnung:
:<math>m_{p+q}=\int x^p y^q \mathrm d \mu(x,y)</math>
Ein solches Moment ist somit abhängig von der Wahl der Basis sowie den einzelnen Potenzen ''p'' und ''q''. Beispielsweise bei der Berechnung von [[Flächenmoment]]en (<math>\rho= 1</math>) werden in kartesischen Koordinaten ''axiale'' und ''gemischte'' Momente unterschieden. Bei axialen Momenten sind die Potenzen bis auf eine Richtung Null (z.&nbsp;B. ''p''&nbsp;=&nbsp;2, ''q''&nbsp;=&nbsp;0). Bei gemischten Momenten, auch Kreuz- oder Verbundmomente genannt, tragen Faktoren unterschiedlicher Richtungen bei (z.&nbsp;B. ''p''&nbsp;=&nbsp;1, ''q''&nbsp;=&nbsp;1).<ref name="Läpple" /><ref>[http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/OWENS/LECT2/node3.html Analysis of Binary Images], University of Edinburgh</ref> Gemischte Momente sind die [[Deviationsmoment]]e eines [[Trägheitstensor]]s oder die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] von Zufallsvariablen.

Bei den ''polaren'' Momenten werden nicht Achsabstände, sondern der Abstand <math>r</math> zum Ursprung, also die Radialkomponente in [[Polarkoordinaten]] potenziert.

=== Wechsel des Bezugspunktes und zentrierte Momente ===
Momente vom Grad größer als Null sind im Allgemeinen von der Lage des Bezugspunktes abhängig. Zwei Momente lassen sich nur sinnvoll addieren, wenn sie sich auf den gleichen Punkt beziehen.

Aus dem Moment <math>m_1</math> ersten Grades, das sich auf den Ursprung des Koordinatensystems bezieht, kann wie folgt ein Moment <math>m_1'</math>, bezogen auf <math>x'</math>, berechnet werden, wobei <math>m_0</math> das nullte Moment ist:
:<math>m_1'
  = \int_\mathbb R (x-x') \rho(x)\, \mathrm d x
  = \int_\mathbb R x \rho(x)\, \mathrm d x - x' \int_\mathbb R \rho(x)\, \mathrm d x
  = m_1 - x' m_0
</math>
Der zusätzliche Term <math>x' m_0</math> wird auch als [[Versatzmoment]] bezeichnet. Allgemein lässt sich mit dem [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]] für die Umrechnung von einem Moment <math>m_n</math> vom Grad ''n'' in ein Moment <math>m_n'</math> bezogen auf den um <math>x'</math> verschobenen Ursprung zeigen, dass
:<math>m_n'
  = m_n+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}(-x')^{n-k} m_{k}
</math>
Für ein Moment zweiten Grades ist diese Relation als [[Steinerscher Satz]] und in der Stochastik als [[Verschiebungssatz (Statistik)|Verschiebungssatz]] bekannt. Wenn alle Momente <math>m_m</math> vom Grad <math>m<n</math> Null sind, so ist das Moment <math>m_n</math> unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes. So ist beispielsweise ein [[Drehmoment]] von einem [[Kräftepaar]] unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes, da die Summe aller Kräfte Null ist.

Um Vergleichbarkeit herzustellen, wird der Bezugspunkt häufig so gewählt, dass das erste Moment Null ist. Ein solches Moment wird zentral oder zentriert genannt. Es bezieht sich dann auf den Mittelpunkt der Verteilung, beispielsweise den Erwartungswert oder Schwerpunkt. Das ''n''-te zentrierte Moment berechnet sich durch
:<math>\bar m_n=\int_\mathbb R \left(x-\frac{m_1}{m_0}\right)^n \rho(x) \,\mathrm d x ,</math>
wobei <math>m_0</math> das nullte Moment und <math>m_1</math> das erste (nicht zentrierte) Moment bedeutet.

=== Momente von Vektorfeldern ===
[[Datei:Torquemoment.svg|mini|Vektorielle Berechnung eines Moments. Die Richtung des Moments zeigt senkrecht aus der Papierebene heraus.]]
In der Physik gibt es häufig vektorwertige [[Physikalische Größe|Größen]]. Sie haben neben ihrem Betrag auch eine Richtung. Einer Verteilung einer vektorwertigen Größe im Raum, also einem [[Vektorfeld]] <math>\vec \rho (\vec r)</math>, lassen sich ebenfalls Momente zuordnen. Eine solche Größe ist beispielsweise das [[Drehmoment]] (<math>\vec\rho</math> ist hierbei die [[Kraft]]-Verteilung), das [[Magnetisches Moment|magnetische Moment]] (<math>\vec\rho</math> ist hierbei  die [[Elektrische Stromdichte|Stromdichte]]-Verteilung) oder der [[Drehimpuls]] (früher auch Impulsmoment genannt, <math>\vec \rho</math> ist hierbei  die [[Impuls]]-Verteilung).

Für ein Vektorfeld <math>\vec \rho (\vec r)</math> ist das Moment erster Ordnung ein Vektor, der durch das Integral über das [[Kreuzprodukt]] <math>\vec r \times \vec \rho(\vec r )</math> gegeben ist:
:<math>\vec m_1=\int \vec r \times \vec \rho(\vec r)  \,\mathrm d^3 r</math>

Wenn die Komponente eines Moments bezüglich einer bestimmten Richtung zu berechnen ist, sind immer nur die Anteile der Vektoren des Vektorfelds zu verwenden, die orthogonal zu dieser Richtung sind. Wählt man ein [[kartesisches Koordinatensystem]], so ist beispielsweise die ''z''-Komponente des Moments durch die „Dichten“ <math>\rho_x(\vec r)</math> und <math>\rho_y(\vec r)</math> zu berechnen.
<!--
, es ist also ein [[gebundener Vektor]].<ref>{{Literatur|Autor=Kurt Magnus, Hans H. Müller-Slany|Titel=Grundlagen der Technischen Mechanik|Verlag=Vieweg+Teubner|Jahr=2005|ISBN=3-8351-0007-6|Seiten=25|Online={{Google Buch|BuchID=_o2aRSpxEx8C|Seite=25}}}}</ref>
-->

=== Trigonometrische Momente ===
Hat <math>\mu</math> lediglich eine Winkelabhängigkeit, so lässt sich ein trigonometrisches Moment definieren.<ref name="fisher" /> Dazu wählt man <math>x=e^{\mathrm i\theta}</math> aus den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] und erhält
:<math>m_n=\int_0^{2\pi} e^{\mathrm i \theta n} \mathrm d \mu(\theta)</math>

== Momentenproblem ==
{{Hauptartikel| Momentenproblem}}
Das Momentenproblem ist ein klassisches Problem der Analysis. Statt aus einer Verteilung die Momente zu berechnen, sollen aus einer gegebenen [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Momenten <math>(m_n)</math> Rückschlüsse auf eine mögliche Verteilung <math>\mu</math> gezogen werden.

== Beispiele aus der Mechanik ==
=== Das Kraft- oder Drehmoment ===
Das Drehmoment ist das Produkt aus Kraft und Hebelarm. Es ist das in der Technik am häufigsten vorkommende Moment. Das Wort ''Moment'' wird daher vielfach als Abkürzung oder als Synonym für Drehmoment gebraucht.<ref name="Demtröder2008">{{cite book|author=[[Wolfgang Demtröder]]|title=Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme|url=http://books.google.com/books?id=wD453JJ6nusC&pg=PA67|accessdate=2013-07-20|date=2008-05-01|publisher=Springer DE|isbn=978-3-540-79295-6|pages=67–}}</ref><ref name="Landau1997">{{cite book|author=Lev D. Landau|title=Mechanik|url=http://books.google.com/books?id=EZfexmVHDHIC&pg=PA133|accessdate=2013-07-20|year=1997|publisher=Harri Deutsch Verlag|isbn=978-3-8171-1326-2|pages=133– |language=de}}</ref><ref>[[Taschenbuch für den Maschinenbau|Dubbel -- Taschenbuch für den Maschinenbau]], Kapitel B "Mechanik, Kinematik", Abschnitte 1.1 und 3.1</ref> Für spezielle Drehmomente werden zusammengesetzte Begriffe mit Namensteil ''-moment'', aber ohne ''Dreh-'' gebraucht. Beispiele sind:
* [[Antriebsmoment]],
* [[Lastmoment]],
* [[Biegemoment]] und
* [[Torsionsmoment]].

Wirken mehrere Kräfte, so lassen sich diese zu einem Drehmoment oder einer resultierenden Kraft mit resultierendem Hebelarm zusammenfassen.<ref name="papula" /> Auch linear (Linienkraft) oder flächig ([[Flächendruck]]) verteilte Kräfte lassen sich so zusammenfassen.

=== Flächenmoment ===
Ebenfalls häufig verwendete Momente sind die [[Flächenmoment]]e. Um ein Flächenmoment der Fläche <math>A\subset \mathbb R^2</math> zu bestimmen, wählt man für <math>\rho</math> die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] der Fläche
:<math>\rho\colon \mathbb R^2\to \{0,1\},\ r\mapsto
\begin{cases}
  1, & \text{falls } r \in A \\
  0, & \text{sonst}
\end{cases}
</math>
Das nullte Flächenmoment ist der [[Flächeninhalt]]. Teilt man die Momente durch den Flächeninhalt, erhält man als erstes Flächenmoment den [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] der Fläche. Das zentrierte Flächenmoment zweiten Grades ist das [[Flächenträgheitsmoment]], das als Kenngröße für Querschnitte von Balken bei deren [[Festigkeitsberechnung|Festigkeits-]] und [[Verformung]]sberechnung dient.<ref name="brauch" />

[[Datei:Beispieldreieck.svg|mini|Das Dreieck in der ''xy''-Ebene]]
Als Beispiel wird ein Dreieck in der ''xy''-Koordinatenebene betrachtet, das durch die Geraden ''x=4'',''y=0'' und ''y=x/2'' begrenzt ist. Der Flächeninhalt ist

:<math>m_{0,0}=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d x \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d y \; x^0 y^0 \rho(x,y)=\int_0^4 \mathrm d x \int_0^{x/2} \mathrm d y=4 </math>

Die ''x''-Koordinate des Schwerpunkts ist
:<math>S_x=\frac{m_{1,0}}{m_{0,0}}=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d x \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm d y \; x^1 y^0 \rho(x,y)=\frac{1}{4}\int_0^4 \mathrm d x \int_0^{x/2} \mathrm d y \; x=\frac{8}{3} </math>

Das axiale Flächenträgheitsmoment um die ''y''-Achse berechnet sich aus dem Quadrat des ''x''-Abstandes zum Schwerpunkt:
:<math>I_y=\bar m_{2,0}=\int_0^4 \mathrm d x \int_0^{x/2} \mathrm d y \; (x-S_x)^2=\frac{32}{9} </math>

=== Massenträgheitsmoment ===
[[Datei:Zylinderkoordinaten.PNG|mini|Zylinder]]
Das (Massen-)[[Trägheitsmoment]] <math>J</math> eines Körpers ist auf eine bestimmte Rotationsachse bezogen. Es gibt an, wie stark sich der Körper einer Drehbeschleunigung widersetzt. Das Trägheitsmoment ist ein Moment zweiten Gerades in [[Zylinderkoordinaten]], bei dem der Abstand zur Rotationsachse <math>r</math> quadriert wird. Es berechnet sich durch Integration über eine Massenverteilung <math>\mathrm d \mu=\rho \ \mathrm d V</math>, wobei <math>\rho</math> die [[Dichte (Physik)|Massendichte]] (Masse pro Volumen) des Volumenelementes <math>\mathrm d V</math> ist.

Als Beispiel wird ein [[Homogenität|homogener]] Zylinder mit konstanter Dichte <math>\rho_0</math>, Radius <math>R</math>, Höhe <math>h</math> und der Masse <math>m_Z=\rho_0 \pi R^2 h</math> betrachtet. Das Trägheitsmoment dieses Zylinders für eine Rotation um die ''z''-Achse ist dann gegeben durch das Integral:

:<math>J = \int_{\mathbb R^3} \mathrm d V \; r^2 \rho(r,\phi,z) =\rho_0 \int_0^{2\pi}\mathrm d \phi \int_0^h \mathrm d z \int_0^R \mathrm d r\; r^3= \frac{\rho_0 \pi h R^4}{2} = \frac{1}{2} m_Z R^2</math>

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="memoirs">
{{Literatur
 |Autor=Palle E. T. Jørgensen, Keri A. Kornelson, Karen L. Shuman
 |Titel=Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices Memoirs of the American Mathematical Society
 |Verlag=American Mathematical Society
 |Datum=2011
 |ISBN=0-8218-8248-1
 |Seiten=2
 |Online={{Google Buch|BuchID=AeIK6GRGo7UC|Seite=2|Hervorhebung=Moments}}}}
</ref>
<ref name="höhere Mathe">
{{Literatur
 |Autor=Vladimir I. Smirnov
 |Titel=Lehrgang der höheren Mathematik Teil 2
 |Verlag=Harri Deutsch Verlag
 |Datum=1990
 |ISBN=3-8171-1298-X
 |Seiten=198
 |Online={{Google Buch|BuchID=_QbJxJiDfkYC|Seite=198}}}}
</ref>
<ref name="Läpple">
{{Literatur
 |Autor=Volker Läpple
 |Titel=Einführung in die Festigkeitslehre
 |Verlag=Springer
 |Datum=2011
 |ISBN=3-8348-1605-1
 |Seiten=171
 |Online={{Google Buch|BuchID=K998s6aoY7wC|Seite=171}}}}
</ref>
<ref name="fisher">
{{Literatur
 |Autor=N. I. Fisher
 |Titel=Statistical Analysis of Circular Data
 |Verlag=Cambridge University Press
 |Datum=1995
 |ISBN=0-521-56890-0
 |Seiten=41
 |Online={{Google Buch|BuchID=wGPj3EoFdJwC|Seite=41}}}}
</ref>
<ref name="brauch">
{{Literatur
 |Autor=Wolfgang Brauch, Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haacke
 |Titel=Mathematik für Ingenieure
 |Auflage=11
 |Verlag=Teubner
 |Datum=2006
 |ISBN=3-8351-0073-4
 |Seiten=372
 |Online={{Google Buch | BuchID=3sgenItY_4gC | Seite=372 }}}}
</ref>
<ref name="papula">
{{Literatur
 |Autor=[[Lothar Papula]]
 |Titel=Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1
 |Datum=2007
 |ISBN=978-3-8348-0224-8
 |Seiten=536
 |Kommentar=Statisches Moment einer Kraft
<!-- Eigentlich ein korrekter Permalink, aber er funktioniert dennoch nicht mehr.
 | Online={{Google Buch |BuchID=a6yCfIcHA14C |Seite=536 }}
-->}}
</ref>
<ref name="geschichte">
{{Literatur
 |Autor=John J. Roche
 |Titel=The Mathematics of Measurement: A Critical History
 |Verlag=Springer
 |Datum=1998
 |ISBN=0-387-91581-8
 |Seiten=98ff
 |Online={{Google Buch |BuchID=eiQOqS-Q6EkC |Seite=98 }}}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Physikalische Größe]]