Quelltext der Seite Modul (Mathematik)

Ein '''Modul''' [{{IPA|ˈmoːdʊl}}] (Maskulinum, Plural: ''Moduln'' [{{IPA|ˈmoːdʊln}}], die Deklination ist ähnlich wie die von ''Konsul''; von [[lateinisch]] ''modulus'', Verkleinerungsform von ''modus'', „Maß“, „Einheit“) ist eine [[algebraische Struktur]], die eine Verallgemeinerung eines [[Vektorraum]]s darstellt.

Ähnlich wie bei [[Ring (Algebra)|Ringen]] wird je nach Teilgebiet und Lehrbuch unter einem Modul etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Modulbegriffen um unterschiedliche [[Kategorientheorie|Kategorien]].

== Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement ==

Ein ''Modul über einem kommutativen Ring'' <math>(R, +, \cdot)</math> oder kurz ''<math>R</math>-Modul'' ist eine additive [[abelsche Gruppe]] <math>(M, +)</math> zusammen mit einer Abbildung
:<math>R\times M\to M,\quad(r,m)\mapsto r\cdot m</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; (genannt Multiplikation mit Skalaren, Skalarmultiplikation<ref>nicht zu verwechseln mit [[Skalarprodukt]]</ref>),
so dass gilt:
:<math>r_1\cdot(r_2\cdot m) = (r_1\cdot r_2)\cdot m</math>
:<math>(r_1+r_2)\cdot m=r_1\cdot m+r_2\cdot m</math>
:<math>r\cdot (m_1+m_2)=r\cdot m_1+r\cdot m_2</math>
Fordert man zusätzlich noch für <math>(R, +, \cdot)</math> ein Einselement <math>1</math> mit
:<math>1\cdot m = m</math>,
so nennt man den <math>R</math>-Modul ''unitär'' (englisch: ''unital''). Manche Autoren verlangen für Ringe grundsätzlich die Existenz eines Einselements, und dann ebenfalls für Moduln über Ringen.<ref name="DummitFoote">{{Literatur |Autor=David S. Dummit, Richard M. Foote |Titel=Abstract Algebra |Verlag=John Wiley & Sons, Inc. |Ort=Hoboken, NJ |Datum=2004 |ISBN=978-0-471-43334-7}}</ref> Ist <math>R</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], bildet also zusätzlich <math>(R\backslash\{0_R\},\,\cdot)</math> eine abelsche Gruppe, so sind die unitären Moduln über <math>R</math> gerade die [[Vektorraum|Vektorräume]] über <math>R</math>.

Das Studium von Moduln über kommutativen Ringen ist Gegenstand der [[Kommutative Algebra|kommutativen Algebra]].

=== Abelsche Gruppen ===

Jede additive abelsche Gruppe <math>G</math> ist auf eindeutige Weise ein unitärer <math>\mathbb{Z}</math>-Modul, d.&nbsp;h. ein unitärer Modul über dem kommutativen Ring der ganzen Zahlen. Sei <math>m \in G</math>. Wegen
:<math>1\cdot m = m,\, 0\cdot m = \mathfrak 0</math>
muss für <math>k \in \Z</math> mit <math>k\geq 0</math> gelten:
:<math>k\cdot m = \underbrace{(1+\dotsb+1)}_{k\text{-mal}} \cdot m = \underbrace{m+\dotsb+m}_{k\text{-mal}}</math>
und analog:
:<math>(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\dotsb+m)}_{k\text{-mal}}</math>&nbsp;<ref>Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben.</ref>
Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung.<ref>Ein solcher <math>\Z</math>-Modul muss keine [[Basis (Modul)|Basis]] haben, nämlich bei Moduln mit [[Torsion (Algebra)#Definitionen|Torsionselementen]].</ref> Folgende Zahlenbereiche sind additive Gruppen und damit <math>\Z</math>-Moduln:
* die [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\Z</math> selbst
* die [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q</math>
* die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math>
* die [[Algebraische Zahl|algebraischen Zahlen]] <math>\mathbb A</math> bzw. <math>\mathbb A \cap \R</math>
* die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math>

=== Oberringe als Moduln ===
Ist <math>(S, +, \cdot)</math> ein [[Ring (Algebra)#Unter- und Oberring|Oberring]] von <math>(R, +, \cdot)</math>, so ist <math>(S, +)</math> definitionsgemäß eine abelsche Gruppe.

Schränkt man die Ringmultiplikation von <math>S</math> auf die Menge <math>R\times S</math> ein, so definiert dies die nötige Skalarmultiplikation, um <math>S</math> in natürlicher Weise als Modul über <math>R</math> zu betrachten. Besitzen <math>R</math> und <math>S</math> dasselbe Einselement, so ist der Modul unitär.

Sind <math>R</math> und <math>S</math> sogar Körper, so spricht man in dieser Situation von einer [[Körpererweiterung]]. Die Modulstruktur wird dann, wie oben beschrieben, zu einer Vektorraumstruktur. Die Betrachtung dieser Vektorraumstruktur ist ein unverzichtbares Hilfsmittel bei der Untersuchung von Körpererweiterungen.

Bemerkung: Die im vorherigen Kapitel genannten Zahlbereiche sind alle Oberringe von <math>\Z</math>, was ebenfalls zeigt, dass sie in natürlicher Weise <math>\Z</math>-Moduln sind.

=== Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst ===

<!-- Ich möchte ja wirklich keine Notationsstreits anfangen, aber ich denke k[X] ist didaktisch günstiger als k[T]? -->
Sei <math>K[X]</math> der [[Polynomring]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>. Dann entsprechen die <math>K[X]</math>-Moduln eins-zu-eins den Paaren <math>(V, A)</math> bestehend aus einem <math>K</math>-Vektorraum <math>V</math> und einem [[Endomorphismus]] <math>A</math> auf <math>V</math>:
* Sei <math>M</math> ein <math>K[X]</math>-Modul. Wir stellen fest, dass <math>M</math> auch ein <math>K</math>-Vektorraum ist, da <math>K</math> in <math>K[X]</math> eingebettet ist. Sei <math>V</math> dieser Vektorraum. Das zu <math>M</math> gehörige Paar ist nun <math>(V, A)</math>, wobei <math>A</math> durch
::<math>V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v.</math>
:gegeben ist.
* Zu einem Paar <math>(V, A)</math> definieren wir eine <math>K[X]</math>-Modulstruktur durch
::<math>X \cdot v := A(v)</math>
: und setzen das <math>K</math>-linear auf <math>K[X]</math> fort, d.&nbsp;h., für alle
::<math>p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsb+a_nX^n\in K[X]</math>
: setzen wir
::<math>p(X)\cdot v:=(p(A))(v):=a_0\cdot v + a_1\cdot A(v) + a_2\cdot A^2(v) + \dotsb + a_n\cdot A^n(v)</math>.

=== Ringideale ===

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den [[Ideal (Ringtheorie)|Idealen]] von <math>R</math> (da <math>R</math> in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

== Moduln über einem beliebigen Ring ==

Es sei <math>(R, +, \cdot)</math> ein [[Ring (Algebra)|Ring]]. Ist dieser Ring nicht (unbedingt) kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein <math>R</math>-''Linksmodul'' ist eine [[abelsche Gruppe]] <math>(M, +)</math> zusammen mit einem Ring <math>(R, +, \cdot)</math> und einer Abbildung
:<math>R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm,</math>
die in beiden Argumenten additiv ist, d.&nbsp;h. für alle <math>r,r_1,r_2 \in R,\,  m,m_1,m_2 \in M</math> gilt
* <math>(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m </math> und
* <math>r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2,</math>
und für die
* <math>r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m</math> für alle <math>r_1,r_2\in R,\ m\in M</math>
gilt.

Wird vorausgesetzt, dass <math>(R, +, \cdot)</math> ein unitärer Ring mit einem Einselement <math>1</math> ist, so fordert man meist auch, dass der <math>R</math>-Linksmodul ''unitär'' (englisch: ''unital'') ist, d.&nbsp;h.
* <math>1 \cdot m = m</math> für alle <math>m \in M</math>.
Manche Autoren verlangen für Ringe und Moduln grundsätzlich die Existenz eines Einselements.<ref name="DummitFoote" />

Ein ''Rechtsmodul'' wird ähnlich definiert, außer dass die Skalare des Rings von rechts auf die Elemente von <math>M</math> wirken:<br />
Ein <math>R</math>-''Rechtsmodul'' ist eine abelsche Gruppe <math>M</math> zusammen mit einer
in beiden Argumenten additiven Abbildung
:<math>M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,</math>
so dass
:<math>(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2)</math> für alle <math>r_1,r_2\in R,\ m\in M.</math>
Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring mit Einselement <math>1</math> ist ''unitär'', wenn
:<math>m \cdot 1 = m</math> für alle <math>m \in M</math> gilt.

Ist <math>R</math> [[kommutativ]], so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von <math>R</math>-''Moduln''. Üblicherweise wird die obige Notation für Linksmoduln verwendet.

=== Alternative Definitionen ===

* Ein <math>R</math>-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe <math>M</math> zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
::<math>R \to \operatorname{End}_\Z(M).</math>
:Dabei ist <math>\operatorname{End}_\Z(M)</math> der Ring der [[Endomorphismus|Endomorphismen]] von <math>M</math> mit der [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] als Produkt:
::<math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_1(f_2(m))</math> für <math>f_1, f_2 \in \operatorname{End}_\Z(M), m \in M.</math>
* Ein <math>R</math>-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe <math>M</math> zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
::<math>R \to (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}.</math>
:Dabei sei <math>(\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> der [[Gegenring]] des Endomorphismenrings, das heißt der Ring der Endomorphismen von <math>M</math> mit der Rechtsverkettung als Produkt:
::<math>(f_1 \cdot f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> für <math>f_1, f_2 \in (\operatorname{End}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M.</math>

=== Bimoduln ===

Es seien <math>R</math> und <math>S</math> Ringe. Dann ist ein <math>R</math>-<math>S</math>-Bimodul eine abelsche Gruppe <math>M</math> zusammen mit einer <math>R</math>-Linksmodul- und einer <math>S</math>-Rechtsmodulstruktur, so dass
:<math>(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s)</math> für <math>r\in R,m\in M,s\in S</math>
gilt.

Für unitäre Ringe <math>R</math> und <math>S</math> lässt sich ein unitärer <math>R</math>-<math>S</math>-Bimodul (d.&nbsp;h. mit <math>1_R \cdot m = m \cdot 1_S = m</math> für alle <math>m\in M</math>) alternativ beschreiben als eine abelsche Gruppe <math>M</math> zusammen mit einem unitären Ringhomomorphismus
:<math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_\Z M.</math>
Das heißt: Ein unitärer <math>R</math>-<math>S</math>-Bimodul ist nichts anderes als ein unitärer <math>R\otimes_{\mathbb Z}S^{\mathrm{op}}</math>-Linksmodul.

== Wechsel des Rings ==

<math>R</math> und <math>S</math> seien Ringe und <math>\rho \colon S \to R</math> sei ein Ringhomomorphismus. Für jeden <math>R</math>-Modul <math>M</math> definiert die Vorschrift
: <math>(s,m) \mapsto \rho(s) m</math>
eine <math>S</math>-Modulstruktur auf <math>M</math>, die die mit <math>\rho</math> und der <math>R</math>-Modulstruktur ''assoziierte'' genannt wird. Dieser <math>S</math>-Modul wird mit <math>\rho_*(M)</math> oder mit <math>M_{[S]}</math> bezeichnet. Ist insbesondere <math>S</math> ein [[Unterring]] von <math>R</math> und <math>\rho</math> die kanonische Einbettung, dann wird <math>\rho_*(M)</math> der durch Einschränkung der Skalare von <math>R</math> auf <math>S</math> erhaltene <math>S</math>-Modul genannt.

Ist <math>N</math> ein Untermodul von <math>M</math>, dann ist <math>\rho_*(N)</math> ein Untermodul von <math>\rho_*(M)</math> und <math>\rho_*(M/N) = \rho_*(M)/\rho_*(N).</math>
<ref>{{Literatur |Autor=Nicolas Bourbaki |Titel=Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3 |Auflage=2. |Verlag=Springer |Datum=1998 |ISBN=3-540-64243-9 |Kapitel=§ 3. ''Tensor products'', 2. |Seiten=221 |Online=[http://archive.org/stream/ElementsOfMathematics-AlgebraPart1/Bourbaki-ElementsOfMathematicsAlgebraPart1#page/n244/mode/1up Internet Archive]}}</ref>

== Moduln über einer assoziativen Algebra ==

Ist <math>R</math> ein kommutativer Ring und <math>A</math> eine [[Assoziative Algebra|assoziative ''R''-Algebra]], so ist ein <math>A</math>-''Linksmodul'' ein <math>R</math>-Modul <math>M</math> zusammen mit einem <math>R</math>-Modulhomomorphismus
:<math>A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,</math>
so dass
:<math>a_1(a_2m)=(a_1a_2)m</math> für <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math>
gilt.

Ein <math>A</math>-''Rechtsmodul'' ist ein <math>R</math>-Modul <math>M</math> zusammen mit einem <math>R</math>-Modulhomomorphismus
:<math>M\otimes_RA\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,</math>
so dass
:<math>(ma_1)a_2=m(a_1a_2)</math> für <math>a_1,a_2\in A,m\in M</math>
gilt.

''Unitäre'' Moduln und ''Bimoduln'' sind analog zum Fall der Ringe definiert.

== Moduln über einer Lie-Algebra ==

Es sei <math>\mathfrak g</math> eine [[Lie-Algebra]] über einem [[Körpertheorie|Körper]] <math>K</math>. Ein <math>\mathfrak g</math>-''Modul'' oder eine ''Darstellung'' von <math>\mathfrak g</math> ist ein <math>K</math>-Vektorraum <math>M</math> zusammen mit einer <math>K</math>-bilinearen Abbildung
:<math>\mathfrak g\times M\to M,\; (X,m)\mapsto X \cdot m,</math>
so dass
:<math>[X,Y]\cdot m=X\cdot (Y\cdot m)-Y\cdot (X\cdot m)</math> für <math>X,Y\in\mathfrak g,m\in M</math>
gilt.

Alternativ ist ein <math>\mathfrak g</math>-Modul ein <math>K</math>-Vektorraum <math>M</math> zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über <math>K</math>
:<math>\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);</math>
dabei ist <math>\mathfrak{gl}(M)</math> die <math>K</math>-Algebra der [[Endomorphismus|Endomorphismen]] von <math>M</math> mit dem [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] als Lieklammer.

<math>\mathfrak g</math>-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der [[Universelle einhüllende Algebra|universellen einhüllenden Algebra]] von <math>\mathfrak g</math>.

== Moduln über einer Gruppe ==

Es sei <math>(G, *)</math> eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]. Ein ''<math>G</math>-Modul'' oder genauer ''<math>G</math>-Linksmodul'' ist eine abelsche Gruppe <math>(M, +)</math> zusammen mit einer [[Zweistellige Verknüpfung#Äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art|äußeren zweistelligen Verknüpfung]]
:<math>G \times M \to M,\; (g, m) \mapsto g \cdot m</math>,
so dass
:<math>g\cdot(m_1 + m_2) = g\cdot m_1 + g\cdot m_2</math> für alle <math>g \in G, m_1, m_2 \in M</math>
und
:<math>(g_1 * g_2)\cdot m = g_1\cdot (g_2\cdot m)</math> für alle <math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math>
sowie
:<math>e\cdot m = m</math> für das neutrale Element <math>e</math> von <math>G</math> und für alle <math>m \in M</math>
gilt.

Ein <math>G</math>-''Rechtsmodul'' ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch
:<math>m\cdot (g_1 * g_2)=(m\cdot g_1)\cdot g_2</math> für alle <math>g_1, g_2 \in G, m \in M</math>
zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein <math>G</math>-(Links-)Modul eine abelsche Gruppe <math>(M, +)</math> zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus
:<math>G \to \operatorname{Aut}_\Z(M),</math>
dabei ist <math>\operatorname{Aut}_\Z(M) = (\operatorname{End}_\Z(M))^\times</math> die Gruppe der [[Automorphismus|Automorphismen]] von <math>M</math> mit der Verknüpfung
:<math>(f_1 \circ f_2)(m) = f_1(f_2(m))</math> für <math>f_1, f_2 \in \operatorname{Aut}_\Z(M), m \in M.</math>
Ein <math>G</math>-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe <math>(M, +)</math> zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus
:<math>G \to (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op},</math>
das Produkt auf <math>(\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}</math> ist durch
:<math>(f_1 \bullet f_2)(m) := f_2(f_1(m))</math> für <math>f_1, f_2 \in (\operatorname{Aut}_\Z(M))^\mathrm{op}, m \in M</math>
gegeben.

Ist <math>R</math> weiter ein Ring, so ist ein <math>G</math>-<math>R</math>-Modul eine abelsche Gruppe mit einer <math>R</math>-Modul- und einer <math>G</math>-Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:
:<math>r\cdot(g\cdot m) = g\cdot(r\cdot m)</math> für <math>r \in R, g \in G, m \in M.</math>

Alternativ ist ein <math>G</math>-<math>R</math>-Modul ein <math>R</math>-Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus
:<math>G \to \operatorname{Aut}_R(M),</math>
dabei ist <math>G \to \operatorname{Aut}_R(M)</math> die Gruppe der Automorphismen von <math>M</math> als <math>R</math>-Modul.

<math>G</math>-<math>R</math>-Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem [[Gruppenring]] <math>R[G]</math>.

Ist <math>K</math> speziell ein [[Körpertheorie|Körper]], so stimmt der Begriff des <math>G</math>-<math>K</math>-Moduls mit dem der <math>K</math>-linearen [[Darstellung (Gruppe)|Darstellung]] von <math>G</math> überein.

== Siehe auch ==
* [[Basis (Modul)]]
* [[einfacher Modul]]
* [[freier Modul]]
* [[Hauptidealring#Moduln über Hauptidealringen|Moduln über Hauptidealringen]]
* [[Untermodul]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Modul#Substantiv, m|Modul}}

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Algebra'', 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, [[doi:10.1007/978-3-540-92812-6]].
* {{EoM
|Autor = L.V. Kuz'min
|Titel = Module
|Url = http://eom.springer.de/M/m064470.htm
}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

{{SORTIERUNG:Modul #Mathematik}}
[[Kategorie:Modul (Mathematik)| ]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]