Quelltext der Seite Mittendreieck

[[Datei:Medial Triangle.svg|mini|hochkant=1.0|Ausgangs- oder Referenzdreieck (schwarz) mit zugehörigem Mittendreieck (rot)]]
Das '''Mittendreieck''' ist eines speziellen Dreieck in der Elementargeometrie. Zu einem gegebenen Dreieck erhält man das zugehörige Mittendreieck, indem man die  Seitenmitten des gegebenen Dreiecks verbindet, die Eckpunkte des Mittendreiecks sind also die Seitenmitten des Ausgangsdreiecks.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Mittendreieck.svg|mini|hochkant=1.6|
<math>M</math>: Umkreismittelpunkt von <math>\triangle ABC</math>,<br/><math>\quad\,</math>      Höhenschnittpunkt von <math> \triangle DEF</math><br/>
<math>N</math>: Inkreismittelpunkt von <math>\triangle ABC</math>, Nagel-Punkt von <math> \triangle DEF</math> <br/>
<math>S</math>: Schwerpunkt von <math>\triangle ABC</math> und <math> \triangle DEF</math><br/><math> \triangle DEF \cong \triangle ADF \cong \triangle DBE \cong \triangle EFC \sim \triangle ABC </math>
 ]]
Für ein Ausgangsdreieck <math> \triangle ABC </math> mit Mittendreieck <math> \triangle DEF</math> (siehe Zeichnung) gilt aufgrund des [[Satz von der Mittelparallelen im Dreieck|Satz vom Mittendreieck]] oder des [[Strahlensatz]]es, dass die Seiten des Mittendreiecks halb so lang wie die gegenüberliegenden Seiten des Ausgangsdreiecks sind. Zudem ist das Mittendreieck ähnlich zum Ausgangsdreieck und seine Fläche beträgt ein Viertel der Fläche des Ausgangsdreiecks. Aus dem [[Kongruenzsatz|Kongruenzsatz SSS]] folgt, dass die drei anderen Teildreiecke <math> \triangle ADF</math>, <math> \triangle DBE</math> und <math>\triangle EFC</math>, die durch das Mittendreieck entstehen, kongruent zu diesem sind. Man erhält das Mittendreieck aus dem Ausgangsdreieck auch durch eine [[zentrische Streckung]] mit dem Faktor <math>-\tfrac{1}{2}</math> und dem Schwerpunkt des Ausgangsdreiecks als Streckzentrum.<ref> Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann: ''The Secrets of Triangles''. Prometheus Books, 2012, S. 177 </ref>

Das Ausgangsdreieck und das Mittendreieck sind [[orthologische Dreiecke]].<ref>Florentin Smarandache, Ion Patrascu: [https://digitalrepository.unm.edu/math_fsp/260/ ''THE GEOMETRY OF THE ORTHOLOGICAL TRIANGLES'']. Pons Editions, 2020, S. 49
 </ref>

Das Mittendreieck ist einzige in das Ausgangsdreieck einbeschriebene Dreieck, bei dem keines der anderen drei dabei entstehenden Teildrecke eine kleinere Fläche besitzt als das einbeschriebene Dreieck.<ref>Ricardo M. Torrejon: ''On an Erdos Inscribed Triangle Inequality''. Forum Geometricorum, Band 5 (2005) S. 137–141  ([https://web.archive.org/web/20060901070949/http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html archiviert])</ref>

Eine Reihe der [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|Dreieckszentren]] des Mittendreiecks entspricht Dreieckszentren des Ausgangsdreiecks. Die folgende Tabelle stellt eine Auswahl dar:<ref>{{MathWorld |id=MedialTriangle.|title=medial triangle}} </ref>
{| class="wikitable"
|+
!Mittendreieck
!Ausgangsdreieck
|-
|[[Inkreismittelpunkt]]
|[[Spieker-Punkt]]
|-
|[[Umkreismittelpunkt]]
|[[Feuerbachkreis|Mittelpunkt des Feuerbachkreis]]
|-
|[[Geometrischer Schwerpunkt#Dreieck|Schwerpunkt]]
|[[Geometrischer Schwerpunkt#Dreieck|Schwerpunkt]]
|-
|[[Höhenschnittpunkt]]
|[[Umkreismittelpunkt]]
|-
|[[Gergonne-Punkt]]
| [[Mittenpunkt]]
|-
|[[Nagel-Punkt]]
|[[Inkreismittelpunkt]]
|-
|[[Longchamps-Punkt]]
|[[Höhenschnittpunkt]]
|}

== Weblinks ==
{{commonscat|Medial triangle|Mittendreieck}}
* {{MathWorld |id=MedialTriangle.|title=medial triangle}}
* Elizabeth Gieseking: [https://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa2014/Gieseking/Exploration%204/Medial%20Triangles1.html ''Exploration 4: Centers of Medial Triangles''] (University of Georgia)

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]