Quelltext der Seite Mittelpunktsregel

[[Datei:Mittelpunktsregel.svg|mini|250px|Mittelpunktsregel]]
[[Datei:Tangententrapezformel.svg|mini|250px|Tangenten-Trapezregel]]
Die '''Mittelpunktsregel''' (auch: '''Rechteckregel''' oder '''[[Tangententrapezregel|Tangenten-Trapezregel]]''') ist ein [[Numerische Mathematik|numerisches Verfahren]] zur näherungsweisen Berechnung von [[Integralrechnung|Integralen]] ([[Numerische Quadratur]]).
Sie beruht auf der fortlaufenden Summation eng benachbarter [[Mittelwert]]e der zu integrierenden Funktion.

== Beschreibung ==
=== Boxregel ===
Bei der ''linksseitigen (Linke-Box-Regel)'' bzw. ''rechtsseitigen '''Boxregel''' (Rechte-Box-Regel)'' wird die Intervalllänge <math>(b - a)</math> mit dem Funktionswert der zu integrierenden Funktion am linken bzw. rechten Randpunkt multipliziert:
: <math>\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b - a) \cdot f(a)\quad \text{resp.}\quad \int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b - a) \cdot f(b)</math>.

Die Boxregel spielt eine wichtige Rolle bei der Herleitung des [[Riemannsches Integral|Riemann-Integrals]]. Die linksseitige Boxregel entspricht den Untersummen und die rechtsseitige Boxregel stimmt mit den Obersummen überein. Ferner ist sie mit dem einseitigen [[Differenzenquotient]]en vergleichbar.

Die Boxregel ist exakt für Polynomfunktionen von Grad höchstens 0 (also für konstante Funktionen) und damit von Ordnung 1.

=== Mittelpunktsregel ===
Man nimmt dabei den Mittelpunkt <math>(a + b) / 2</math> des Intervalls <math>[a, b]</math> und multipliziert die Intervallbreite <math>(b - a)</math> mit dem Funktionswert des Integranden an dieser Stelle, um einen Näherungswert des Integrals zu erhalten:
: <math>\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b - a) \cdot f\!\left(\frac{a + b}{2}\right)</math>.

Dreht man im oben stehenden Bild der Mittelpunktsregel die horizontale Gerade im Punkt <math>(c, f(c))</math> gegen den Uhrzeigersinn, so erhält man die Tangente für den Punkt <math>(c, f(c))</math>. Es ergibt sich das Bild der Tangenten-Trapezregel. Da das so erhaltene Trapez den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck besitzt, sind somit die Mittelpunktsregel und die Tangenten-Trapezregel nur verschiedene geometrische Deutungen der gleichen Quadraturformel.

Die Mittelpunktsregel ist exakt für Polynomfunktionen von Grad höchstens 1 (d.&nbsp;h. für affin-lineare Funktionen) und folglich von Ordnung 2.

Für [[konkave Funktion]]en liefert die Tangententrapezformel eine bessere Näherung als die [[Sehnentrapezformel]].

Grafisch veranschaulicht bedeutet dies, dass die nicht ausgeschöpfte gelbe Fläche oberhalb des Funktionsgraphen bei der Tangententrapezformel kleiner ist als die nicht ausgeschöpfte gelbe Fläche unterhalb des Funktionsgraphen bei der Sehnentrapezformel.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag [[Berlin]] [[Heidelberg]] 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 170</ref>
[[Datei:Trapezformeln.svg|center]]

Bei der zusammengesetzten Mittelpunktsregel oder der [[Trapezregel#Tangententrapezformel oder Mittelpunktsregel|zusammengesetzten Tangenten-Trapezformel]] wird nun das Intervall <math>[a, b]</math> in <math>n</math> äquidistante Teilintervalle der Breite <math>h = (b - a) / n</math> aufgeteilt. Anschließend führt man die Mittelpunktsregel für jedes der Teilintervalle aus und summiert die Flächen auf. Dies führt zur Gleichung:<ref>{{Literatur | Autor=Hans Petter Langtangen | Titel=A Primer on Scientific Programming with Python | Auflage=3 | Verlag=Springer | Ort=Berlin/Heidelberg | Jahr=2012 | ISBN=978-3-642-30293-0 | Seiten=<!-- Bitte ergänzen! -->}}</ref>
: <math>\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx \approx h \cdot \sum_{k = 1}^{n} f\!\left(a - \frac{h}{2} + k \cdot h\right)</math>.

== Beispiel ==
Es sei eine Funktion <math>f\colon \mathbb{R}_{> 0} \to \mathbb{R},\ x \mapsto \ln(x)</math> (der natürliche Logarithmus) im Intervall <math>[2, 6]</math> zu integrieren. Dazu wäre die Berechnung des Integrals <math>\int\limits_2^6 f(x)\, dx = \int\limits_2^6 \ln(x)\, dx</math> nötig. Die allgemeine Lösung ist:
: <math>\int\limits \ln(x)\, dx = x \ln(x) - x + C</math>.
Demnach ist <math>\int\limits_2^6 f(x)\, dx = 5{,}3642\ldots</math>

Bei der Nutzung der zusammengesetzten Mittelpunktsregel mit vier Teilintervallen ergibt sich Folgendes:
# Zerlegung des Intervalls <math>[2, 6]</math> in vier Teilintervalle: <math>[2, 3], [3, 4], [4, 5]</math> und <math>[5, 6]</math> mit den Intervallmitten 2,5, 3,5, 4,5 und 5,5.
# Berechnung von: <math>\begin{align}
\frac{6 - 2}{4} \cdot (f(2{,}5) + f(3{,}5) + f(4{,}5) + f(5{,}5)) & =  \frac{4}{4} (\ln(2{,}5) + \ln(3{,}5) + \ln(4{,}5) + \ln(5{,}5))\\
& \approx 0{,}9163 + 1{,}2528 + 1{,}5041 + 1{,}7047 = 5{,}3779.
\end{align}</math>
# Es gilt also <math>\int\limits_2^6 f(x)\, dx \approx 5{,}3779</math>.

== Weblinks ==
* [https://www.mathematik.ch/anwendungenmath/numint/ Numerische Integration] ([[Java-Applet]] zur Darstellung verschiedener Integrationsmethoden)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]