Quelltext der Seite Mitchell-Netravali-Filter

Die '''Mitchell-Netravali-Filter''' oder '''BC-Splines''' sind eine vorrangig in der [[Computergrafik]] verwendete Gruppe von [[Rekonstruktionsfilter]]n, die zum Beispiel beim [[Antialiasing (Computergrafik)|Antialiasing]] oder bei der [[Skalierung (Computergrafik)|Skalierung von Rastergrafiken]] verwendet werden können. In [[Grafiksoftware|Bildbearbeitungsprogrammen]] werden sie auch als '''bikubische Filter''' bezeichnet, da sie zu den [[Spline-Interpolation|kubischen Splines]] zählen.

== Definition ==
[[Datei:Mitchell Filter.svg|mini|Graph des Mitchell-Netravali-Filters mit Parameterwahl (⅓, ⅓)]]

Die Mitchell-Netravali-Filter wurden im Rahmen einer Untersuchung zu [[Artefakt (Computergrafik)|Artefakten]] von Rekonstruktionsfiltern entworfen. Die Filter sind stückweise [[Kubische Funktion|kubische]] Filter mit vier Pixel breiten [[Träger (Mathematik)|Trägern]]. Nach Ausschluss ungeeigneter Filter aus dieser Familie, wie zum Beispiel [[Unstetigkeit|unstetige]] Kurven, verbleiben zwei Parameter <math>B</math> und <math>C</math>, durch die die Mitchell-Netravali-Filter konfigurierbar sind. Die Filter sind wie folgt definiert:

:<math>
k(x) = \frac{1}{6}
\begin{cases}
\begin{array}{l}
(12-9B-6C)|x|^3 + (-18+12B+6C)|x|^2 \\
\qquad + (6-2B)
\end{array} & \text{, wenn } |x|<1 \\
\begin{array}{l}
(-B-6C)|x|^3 + (6B+30C)|x|^2 \\
\qquad + (-12B-48C)|x| + (8B+24C)
\end{array} & \text{, wenn } 1\le |x|<2 \\
0 & \text{ansonsten}
\end{cases}
</math>

Es ist möglich, zweidimensionale Versionen der Mitchell-Netravali-Filter durch [[Separierbarkeit|Separation]] zu konstruieren (siehe: [[Rekonstruktionsfilter#Konstruktion zweidimensionaler Filter|Rekonstruktionsfilter: Konstruktion zweidimensionaler Filter]]). In diesem Fall können die Filter durch eine Reihe von Interpolationen mit dem eindimensionalen Filter ersetzt werden. Aus den Farbwerten der vier benachbarten Pixel <math>P_0</math>, <math>P_1</math>, <math>P_2</math>, <math>P_3</math> berechnet sich dann der Farbwert <math>P(d)</math> folgendermaßen:
:<math>\begin{align}
P(d) &\textstyle = \left((-\frac{1}{6}B-C)P_0 + (-\frac{3}{2}B-C+2)P_1 + (\frac{3}{2}B+C-2)P_2 + (\frac{1}{6}B+C)P_3\right) d^3 \\
&\textstyle + \left((\frac{1}{2}B+2C)P_0 + (2B+C-3)P_1 + (-\frac{5}{2}B-2C+3)P_2 -CP_3\right) d^2 \\
&\textstyle + \left((-\frac{1}{2}B-C)P_0 + (\frac{1}{2}B+C)P_2\right) d \\
&\textstyle + \frac{1}{6}BP_0 + (-\frac{1}{3}B+1)P_1 + \frac{1}{6}BP_2 \\
\end{align}</math>

<math>P</math> liegt hierbei zwischen <math>P_1</math> und <math>P_2</math>; <math>d</math> ist der Abstand zwischen <math>P_1</math> und <math>P</math>.

=== Spezialfälle ===
[[Datei:Mitchell-Netravali Artefakte.svg|mini|Subjektives Aussehen von mit Mitchell-Netravali-Filtern rekonstruierten Bildern. Die gestrichelte Linie markiert eine von den Entwicklern als guter Kompromiss empfohlene Parameterfamilie.]]

Je nach Wahl der Parameter ''B'' und ''C'' kann es zu verschiedenen Artefakten kommen (siehe Bild rechts). Die Entwickler schlugen die Parameter aus der Familie <math>B+2C=1</math> und besonders <math>\textstyle B=C=\frac{1}{3}</math> als guten Kompromiss vor.

Die Wahl bestimmter Parameter führt zu bekannten kubischen Splines:
* ''B''=1, ''C''=0 ist der kubische [[B-Spline]] (als bikubischer Filter z.&nbsp;B. in [[Paint.NET]] verwendet);
* ''B''=0 ist die Familie der [[Cardinal Spline]]s;
* ''B''=0, ''C''=0,5 ist der [[Catmull-Rom Spline]] (als bikubischer Filter z.&nbsp;B. in [[GIMP]] verwendet).

[[Datei:Resize Catmull-Rom.png|gerahmt|links|Vergrößerung mit bikubischem Filter in GIMP (''B''=0, ''C''=0,5)]]
{{Absatz}}
[[Datei:Resize Cubic B-Spline.png|gerahmt|links|Vergrößerung mit bikubischem Filter in Paint.NET (''B''=1, ''C''=0)]]
{{Absatz}}

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Don Mitchell, [[Arun Netravali]] |Titel=Reconstruction Filters in Computer Graphics |Sammelwerk=ACM SIGGRAPH Computer Graphics |Band=22 |Nummer=4 |Datum=1988-08 |Sprache=en |ISSN=0097-8930 |Seiten=221–228 |Online=https://www.cs.utexas.edu/~fussell/courses/cs384g-fall2013/lectures/mitchell/Mitchell.pdf |Format=PDF |KBytes=2254}}
* {{Literatur |Autor=Matt Pharr, Greg Humphreys |Titel=Physically Based Rendering: From Theory to Implementation |Verlag=Morgan Kaufmann |Ort=London |Datum=2004 |Sprache=en |ISBN=0-12-553180-X |Seiten=279–367 |Online=https://www.pbrt.org/chapters/pbrt_chapter7.pdf |Format=PDF |KBytes=7500}}
* {{Literatur |Autor=Vincent Pegoraro |Titel=Handbook of Digital Image Synthesis: Scientific Foundations of Rendering |Verlag=CRC Press |Ort=Boca Raton |Datum=2017 |Sprache=en |ISBN=978-1-4987-7424-6 |Kapitel=Chapter&nbsp;5.4.4.4: Mitchell-Netravali Filter |Seiten=228–231 |Online={{Google Buch |BuchID=GlOzDQAAQBAJ |Seite=228}}}}

== Weblinks ==
* {{Webarchiv | url=http://www.cg.tuwien.ac.at/~theussl/DA/node11.html | wayback=20140824074425 | text=''The eighties: an image processing view.''}} – Thomas Teußl: ''Sampling and Reconstruction in Volume Visualization'' (Diplomarbeit).

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]