Quelltext der Seite Minimalkostenkombination

Unter einer '''Minimalkostenkombination''' versteht man in [[Produktionstheorie]] bzw. [[Mikroökonomie]] eine optimale Kombination mehrerer [[Produktionsfaktor]]en.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Bofinger |Titel=Grundzüge der Volkswirtschaftslehre: Eine Einführung in die Wissenschaft von Märkten |Verlag=Pearson Deutschland GmbH |Datum=2011 |Seiten=102}}</ref> Das Problem diese Kombination zu bestimmen wird auch '''kostenminimierende [[Inputwahl]]''' genannt.<ref>{{Literatur |Autor=Robert S. Pindyck |Titel=Mikroökonomie |Verlag=Pearson Deutschland GmbH |Datum=2009 |Seiten=316}}</ref>

Bei einer Minimalkostenkombination kann gemäß dem [[Ökonomisches Prinzip|Wirtschaftlichkeitsprinzip]] entweder eine gegebene Menge zu minimalen Kosten hergestellt oder bei gegebenem Kostenbudget die hergestellte Menge maximiert werden.<ref>[http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/minimalkostenkombination.html Minimalkostenkombination] – Artikel im Gabler Wirtschaftslexikon.</ref> Eine Minimalkostenkombination ist damit die Umsetzung des [[Ökonomisches Prinzip|ökonomischen Prinzips]] im Produktionsbereich einer Unternehmung: ein gegebenes Ziel mit geringstem Aufwand realisieren (Minimumversion) oder mit gegebenem Aufwand möglichst viel zu erreichen (Maximumversion).

Zur Vereinfachung werden oft nur zwei Inputfaktoren betrachtet, etwa [[Erwerbstätigkeit|Arbeit]] und [[Kapital]]. Eine entsprechende Frage könnte lauten: „Wie viel Arbeit und Kapital sind jeweils einzusetzen, um einen bestimmten Output zu minimalen Kosten zu erzielen?“

== Substitutionale Produktionsfunktion ==
[[Datei:Minimalkostenkombination-op.png|350px|mini|Tangentialpunkt von [[Isokostengerade]] und [[Isoquante]] bestimmen die Minimalkostenkombination.]]

Substitutionalität erlaubt es, einen bestimmten Output durch verschiedene Kombinationen von Produktionsfaktoren zu erstellen. Substitutionalität wird häufig angenommen, da viele Faktoren in gewissem Maße substituierbar sind. Die Form oder Existenz der Minimalkostenkombinationen hängt also stark von der Form der zugrundeliegenden [[Produktionsfunktion]] ab. Zur Vereinfachung wird weiter angenommen, dass die Ertragsisoquante konvex sei. Wäre sie linear oder konkav, wäre die optimale Kombination eine Randlösung.<ref>Joachim Schwalbach: ''Produktionstheorie.'' Vahlen, 2014, S. 23.</ref>

In diesem Fall liegt eine Minimalkostenkombination vor (notwendige Bedingung), wenn sich die [[Grenzproduktivität]]en je zweier Faktoren zueinander verhalten wie deren Preise. Die sogenannte [[Grenzrate der technischen Substitution]] entspricht also dem Verhältnis der Faktorpreise. Ist <math>f(r_1, \ldots, r_n)</math> eine Produktionsfunktion, die von den Inputfaktoren <math>r_1, \ldots r_n</math> abhängt, so liest sich diese Bedingung als<ref>{{Literatur |Autor=Wied Nebbeling, Schott |Titel=Grundlagen der Mikroökonomik |Datum=2005 |Seiten=137}}</ref>

:<math>\frac{\partial  f / \partial r_i}{\partial f / \partial r_j} = \frac{p_i}{p_j} </math>  für alle <math>i,j</math>.

=== Zahlenbeispiel ===
Ein Produkt wird unter dem Einsatz von zwei Inputfaktoren <math>r_1</math>und <math>r_2</math> gemäß der Produktionsfunktion <math>f(r_1, r_2) = \sqrt{r_1}\sqrt{r_2}</math> (Typ: [[Cobb-Douglas-Funktion]]) hergestellt. Die Preise der Inputfaktoren betragen <math>p_1=1</math> und <math>p_2 = 3</math>. Die partiellen Ableitungen der Produktionsfunktion sind <math>\tfrac{\partial f}{\partial r_i} = \tfrac{1}{2\sqrt{r_i}}\sqrt{r_j}</math>. Damit liest sich die Optimalitätsbedingung als

:<math>
\frac{ \frac{1}{2\sqrt{r_1}}\sqrt{r_2}}{\frac{1}{2\sqrt{r_2}}\sqrt{r_1}}  = \frac{1}{3}
</math>.
Hieraus erhält man nach elementaren Umformungsschritten <math>3 r_2 = r_1 </math>. Im Optimum werden also stets dreimal so viele Mengeneinheiten von <math>r_1</math>wie von <math>r_2</math> im Produktionsprozess eingesetzt.

Für eine bestimmte Budgetrestriktion (Isokostengerade, Gesamtkosten betragen bspw. 182) können nun die optimalen Mengen von <math>r_1^*</math> und <math>r_2^*</math> berechnet werden:

:<math>\begin{align}
182 = r_1 + 3 r_2 & \Rightarrow 182 = r_1 + 3 \left( \frac{1}{3} r_1 \right) = 2 r_1 \Rightarrow r_1^* = 91 \\
& \Rightarrow 182 = (3 r_2) + 3 r_2 = 6 r_2 \Rightarrow r_2^* = \frac{91}{3}
\end{align}</math>
== Limitationale Produktionsfunktion ==
[[Datei:Isoquant perfect compliments.png|mini|Verschiedene Isoquanten für den Fall einer limitationalen Produktionsfunktion.]]
Bei einer limitationalen Produktionsfunktion können die Produktionsfaktoren für jede Ausbringungsmenge nur in einem festen Verhältnis zueinander eingesetzt werden, das durch die technischen Produktionsbedingungen determiniert ist. Für jeden Output ist dieses Verhältnis dann auch die Minimalkostenkombination.<ref>Corsten: ''Produktionswirtschaft.'' 6. Auflage, S. 91f.</ref> 

Stehen zwei oder mehr limitationale Funktionen zur Wahl, die alle das gleiche Ergebnis liefern, so können sie kombiniert und substituiert werden. Stehen beispielsweise die beiden linear-limitationalen Funktionen <math>x_1=2r_1 + 5r_2</math> und <math>x_1=5r_1 + 2r_2</math> zur Verfügung, so ist es möglich mit jeder der beiden Prozesse je ein Produkt herzustellen, was einer Faktorsubstitution faktisch gleichkommt.

== Expansionspfad ==
[[Datei:Expansionspfad.svg|mini|250px|Isokosten-Isoquanten-Diagramm mit vier Minimalkostenkombinationen]]

Im Isoquantendiagramm ist eine Minimalkostenkombination als [[Tangente|Tangentialpunkt]] von [[Isoquante]] und [[Isokostengerade]] zu erkennen. Die Verbindungslinie der Minimalkostenkombinationen für unterschiedliche Produktionsniveaus heißt '''Expansionspfad'''. Analytisch erhält man den Expansionspfad, indem man die Minimalkostenkombination für alternative Mengen bestimmt.

Bei [[Homogene Funktion|homogenen Produktionsfunktionen]] ist der Expansionspfad eine Ursprungsgerade, d. h. für jede Produktionsmenge ist das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis dasselbe.<ref>{{Literatur |Autor=Wied-Nebbeling, Schott |Titel=Grundlagen der Mikroökonomik |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum=2005 |ISBN= |Seiten=136}}</ref>

== Literatur ==
* Günter Fandel: ''Produktion.'' I. Springer-Verlag, Berlin 2007. Kapitel IV ''Das kostentheoretische Auswahlproblem: Die Minimalkostenkombination.'' ISBN 978-3-540-73140-5, S. 233&nbsp;ff.
* Susanne Wied-Nebbeling, Hartmut Schott: ''Grundlagen der Mikroökonomik''. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2005, ISBN 3-540-22683-4, S. 135–143.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/minimalkostenkombination.html Minimalkostenkombination] – Artikel im Gabler Wirtschaftslexikon

[[Kategorie:Mikroökonomie]]
[[Kategorie:Produktionstheorie]]