Quelltext der Seite Metamathematik

'''Metamathematik''' ist die mathematische Betrachtung der [[Grundlagen der Mathematik]].

Im Jahre 1920 stellte der Mathematiker [[David Hilbert]] die Forderung auf, die [[Mathematik]] auf die Grundlage eines vollständigen und widerspruchsfreien [[Axiomensystem]]s zu stellen. Dieses Bestreben wurde als [[Hilbertprogramm]] bekannt. Für die Analyse der Grundlagen der Mathematik mit mathematischen Methoden prägte er den Begriff ''Metamathematik'' (in Anlehnung an [[Metaphysik]]).

Das Hilbertprogramm schien zu scheitern, seit der [[Gödelscher Unvollständigkeitssatz|Gödelsche Unvollständigkeitssatz]] zeigte, dass es kein Axiomensystem gibt, das allen Forderungen Hilberts entspricht. Insbesondere ist es nicht möglich, ein [[formales System]] zu entwickeln, in dem alle wahren Aussagen auch bewiesen werden können.

Nach Widerspruchsfreiheitsbeweisen für Teile der Arithmetik durch [[Leopold Löwenheim]], [[Albert Thoralf Skolem]], [[Jacques Herbrand]] und [[Mojżesz Presburger]] gelang [[Gerhard Gentzen]] ein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die [[Peano-Arithmetik]] erster Stufe, wobei er die so genannte [[transfinite Induktion]] benutzte. All diesen Beweisen ist allerdings gemeinsam, dass sie – gemäß dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz – nicht innerhalb der Arithmetik selbst ausgeführt werden konnten.

Über die [[Entscheidbarkeit]] gab es wichtige Ergebnisse von [[Alonzo Church]], der die Unentscheidbarkeit der [[Prädikatenlogik|Quantorenlogik]] aller Stufen zeigen konnte. Der Begriff der [[Rekursivität]] ist dem der [[Berechenbarkeit]] äquivalent.

[[Paul Lorenzen]] führte 1951 einen Widerspruchsfreiheitsbeweis für die verzweigte [[Typentheorie]] durch. Dieser Beweis liefert die Widerspruchsfreiheit von Teilen der klassischen Analysis. In seinem 1962 veröffentlichten Buch ''Metamathematik'' fasst er die Metamathematik als „Mathematik der Metatheorien“ auf, wobei eine Metatheorie eine (konstruktive oder axiomatische) Theorie über axiomatische Theorien darstellt. 
 
Durch Verwendung der <math>\omega </math>-Regel (unendliche Induktion) erhält man einen ''vollständigen Halbformalismus'' (K. Schütte) der Arithmetik und so einen Widerspruchsfreiheitsbeweis der [[Konstruktive Mathematik|konstruktiven Mathematik]] durch Einbeziehung in den [[Gentzenscher Hauptsatz|Gentzenschen Hauptsatz]].

== Siehe auch ==
* [[Beweistheorie]]
* [[Modelltheorie]]
* [[Metalogik]]
* [[Philosophie der Mathematik]]

== Literatur ==
* [[David Hilbert]], [[Paul Bernays]]: ''Grundlagen der Mathematik''. I–II, Berlin/Heidelberg/New York 1968/1970².
* [[Paul Lorenzen]]: ''Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Analysis''. In: ''Mathematische Zeitschrift'' 54, 1951.
* P. Lorenzen: ''Algebraische und Logische Untersuchungen über freie Verbände''. In: ''The Journal of Symbolic Logik'' 16, Providence 1951.
* [[Stephen Cole Kleene]]: ''Introduction to Metamathematics.'' Amsterdam/Groningen 1952.
* K. Schütte: ''Beweistheorie.'' Berlin/Göttingen/Heidelberg 1960.
* P. Lorenzen: ''Metamathematik.'' Mannheim 1962/1980².
* [[Wolfgang Stegmüller]]: ''Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit. Die metamathematischen Resultate von Gödel, Church, Kleene, Rosser und ihre erkenntnistheoretische Bedeutung''. Wien/New York 1973³.
* [[Douglas R. Hofstadter]]: ''[[Gödel, Escher, Bach]]  ein Endloses Geflochtenes Band''. ISBN 3-608-94338-2.
* [[Gereon Wolters (Philosoph)|Gereon Wolters]]: ''Metamathematik''. In: Mittelstraß (Hrsg.) ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie 2''. Mannheim/Wien/Zürich 1984.

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[[Kategorie:Philosophie der Mathematik]]
[[Kategorie:Logik]]