Quelltext der Seite Maschinenzahl

Unter einer '''Maschinenzahl''' versteht man eine [[Zahl]], die im [[Computer]] in [[Binärcode|binärer]] Form gespeichert wird. Man unterscheidet dabei [[Integer (Datentyp)|Integerzahlen]] ([[Ganze Zahlen]]) und [[Gleitkommazahlen]] oder Realzahlen ([[Reelle Zahlen]]).

Auf Grund der Darstellung in einem konkret vorgegebenen Speicherformat entsteht ein [[Endliche Menge|endlicher]] Zahlenvorrat. Integerzahlen können mit [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] bei einer Länge von n [[Bit]] im [[Zweierkomplement]] die Zahlen von <math>-2^{(n-1)}</math> bis <math>+2^{(n-1)}-1</math> abbilden, ohne Vorzeichen von 0 bis <math>2^n-1</math>. Bei einer Länge von 8 Bit (ein [[Byte]]) können also mit Vorzeichen die Zahlen von −128 bis +127 gespeichert werden, ohne Vorzeichen von 0 bis 255.

Reelle Zahlen werden als Kombination aus [[Mantisse]] * [[Exponent (Mathematik)|Exponent]] gespeichert.
Auf Grund dessen entstehen [[Rundungsfehler]], wenn das Ergebnis nicht zufälligerweise wieder genau eine Maschinenzahl trifft.
Wie diese Zahlen konkret gespeichert werden können, ist teilweise genormt – z.&nbsp;B. [[IEEE 754|IEEE&nbsp;754]].

== Die Reduktionsabbildung ==

Die Reduktionsabbildung <math>fl:\R \rightarrow\R</math> bildet eine (exakte) reelle Zahl <math>x</math> auf die Computerdarstellung <math>fl(x)</math> ab.

Man kann grundsätzlich jede reelle Zahl <math>x\in\R \setminus \{ 0 \}</math> ''eindeutig'' in einer Potenzreihendarstellung zur Basis <math>b \in \N \setminus \{1\}</math> darstellen:
:<math>
x = \pm \left(\sum_{j=1}^{\infty} d_j b^{-j} \right) b^e
</math>,
wobei folgende Einschränkungen (für Eindeutigkeit) gelten sollen:
:<math>
\begin{align}
d_j &\in \N_0 \quad \text{mit} \quad \begin{cases}
	1 \leq d_1 < b \\
	0 \leq d_j < b , \; j=2,3,\ldots
\end{cases} \\
e &\in \Z.
\end{align}
</math>

In einer Computerdarstellung können nicht unbegrenzt lange [[Mantisse]]n <math>d_j ,j \in \N</math> abgespeichert werden, sondern immer nur eine endliche Mantisse <math>d_j,j=1,2,\ldots,m</math> mit der ''Mantissenlänge'' <math>m \in \N</math>.
Des Weiteren gibt es auch ein einschränktes Intervall für den ''Exponenten'': <math>-r \leq e \leq R</math> mit <math>r,R\in\N</math>.

Die Reduktionsabbildung <math>fl\colon\R \rightarrow\R</math> wird wie folgt definiert:
:<math>
          fl(x):=\pm\left\{
          \begin{matrix}
          \left(\sum_{j=1}^{m}d_j b^{-j}\right)
            \cdot b^e & \mbox{falls}\quad d_{m+1}<\frac{b}{2} \\
          \left(\sum_{j=1}^{m}d_j b^{-j}+b^{-m}\right)
            \cdot b^e & \mbox{falls}\quad d_{m+1}\geq\frac{b}{2}.
          \end{matrix}\right.
</math>

=== Anmerkungen ===

Die Zahl <math>x=0</math> kann auch exakt dargestellt werden mittels: <math>fl(0) := 0</math>.

Für <math>x\in\R,x\neq0</math> mit einem Exponenten <math>e</math>, der nicht im Intervall <math>[ -r,R ]</math> liegt, wird die Reduktionsabbildung wie folgt definiert:
:<math>
\begin{align}
fl(x) :=
\begin{cases}
	0 , & \quad e < -r \\
	\sgn(x) \cdot \infty , & \quad e>R.
\end{cases}
\end{align}
</math>

Wichtig hierbei zu beachten ist, dass <math>fl</math> weder [[Injektivität|injektiv]] noch [[Surjektivität|surjektiv]] ist. Es werden nämlich viele Zahlen <math>x</math> mit derselben Maschinenzahl dargestellt (deshalb nicht injektiv) bzw. das [[Bild (Mathematik)|Bild]] der Funktion ist nur eine endliche Menge (deshalb nicht surjektiv).

Ein weiterer oft benutzter Namen für die Reduktionsabbildung lautet: <math>fl(x) = rd(x)</math>.

Mit ihrer Hilfe kann der absolute Rundungsfehler bei der [[Kodierung]] einer [[Zahl]] ermittelt werden.

== Siehe auch ==
* die Genauigkeit der Darstellung mittels Maschinenzahlen beschreibt die [[Maschinengenauigkeit]]
*[[Optimierung]] der Anzahl von [[Maschine]]n für technische und wirtschaftliche Abläufe

== Weblinks ==
*[https://timms.uni-tuebingen.de/tp/UT_20040628_002_numerik_0001 Film zu einer Vorlesung] von Frank Loose

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Theoretische Informatik]]