Quelltext der Seite Lorenz-Eichung

Die '''Lorenz-Eichung''', nach [[Ludvig Lorenz]], ist eine spezielle [[Eichtheorie|Eichung]] der elektromagnetischen Potentiale. Sie hat nichts mit [[Hendrik Antoon Lorentz]] zu tun, nach dem die [[Lorentz-Transformation]] benannt ist.

Im statischen Fall ist die Lorenz-Eichung identisch mit der [[Coulomb-Eichung]].

== Vorbemerkung ==
Ein [[Elektromagnetismus|elektromagnetisches]] [[Feld (Physik)|Feld]] besteht aus einem [[elektrisches Feld|elektrischem Feld]] und einem [[Magnetische Feldstärke|magnetischem Feld]]. Diese Felder lassen sich auch durch Angabe des [[Magnetisches Vektorpotential|magnetischen Vektorpotentials]] zusammen mit dem [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] [[Elektrisches Potential|elektrischen Potential]] beschreiben.

Die Beschreibung des elektromagnetischen Feldes durch Potentiale ist nicht eindeutig, d.&nbsp;h., es gibt eine Eichfreiheit. Diese zusätzlichen Freiheiten können dazu genutzt werden, die Gleichungen der Problemstellung anzupassen und zu vereinfachen, indem eine Eichung eingeführt wird. Eine solche ist die Lorenz-Eichung, die häufig zur Berechnung [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischer Wellen]] benutzt wird.

== Die Lorenz-Eichung, Relativistische Invarianz ==

:<math>{\rm div} \vec A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t}\phi = 0</math> ([[Internationales Einheitensystem|Internationales Einheitensystem (SI)]])
:<math>{\rm div} \vec A + \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\phi = 0</math> ([[Gauß-System]])

Die Eichfreiheit der elektrodynamischen Potentiale wird dahingehend ausgenutzt, dass die Summe aus der Divergenz des Vektorpotentials <math>\vec A</math> und der ersten partiellen Ableitung des skalaren Potentials <math>\phi</math> nach der Zeit ''t'' Null ergibt. Je nachdem, ob man das [[Gaußsches Einheitensystem|Gaußsche]] oder das SI-[[Einheitensystem]] verwendet, muss man die zeitliche Ableitung des skalaren Feldes noch durch ''c'' oder ''c''<sup>2</sup> teilen. Im Folgenden wird das cgs-System und außerdem die [[Vierervektor]]-Schreibweise sowie die [[Einsteinsche Summenkonvention]] benutzt. Das [[Viererpotential]] <math>A^\mu</math> ist dabei durch <math>A^\mu = \begin{pmatrix}\phi & \vec A\end{pmatrix}^T</math> definiert.

:<math>\partial_{\mu}A^{\mu} = 0</math>

Somit geht aus der vierdimensionalen Formel der inhomogenen [[Maxwell-Gleichungen]]
:<math>  \partial_{\mu} F^{\mu\nu} = \frac{4 \pi}{c} j^\nu</math>
und dem [[Elektromagnetischer Feldstärketensor|Feldstärketensor]]
:<math> F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu</math>
der folgende Ausdruck hervor:
:<math>
\partial_{\mu} F^{\mu\nu} =
\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu \partial^\nu A^\mu =
\square A^\nu - \partial^\nu \partial_\mu A^\mu =
\frac{4 \pi}{c} j^\nu
</math>
Unter Verwendung der Lorenz-Eichung <math>\partial_{\mu}A^{\mu} = 0</math> ergeben sich die [[Wellengleichung]]en im Vierdimensionalen (mit dem [[D’Alembert-Operator]] <math>\square</math>):
:<math>\square A^\nu = \frac{4 \pi}{c} j^\nu</math>

Man kann also die Differentialgleichung für jede Komponente des Potentials bzw. des Stroms gesondert lösen.
Die Lorenz-Eichung hat wie jede Eichung die Eigenschaft, die physikalisch messbaren Felder unverändert zu lassen.

Lösung der zuletzt genannten Gleichung sind die sog. retardierten Viererpotentiale
:<math>A^\nu (\vec r , t) =\int\,\frac{j^\nu (\vec r',t-\frac{|\vec r -\vec r'|}{c}) }{c\cdot|\vec r -\vec r'|}\,\mathrm d^3 \vec r'\,</math>

Damit wird zugleich auch die relativistische Invarianz der [[Maxwellsche Gleichungen|Maxwellschen Gleichungen]] explizit.

Anstelle der Lorenz-Eichung wird häufig die [[Coulomb-Eichung]] benutzt, welche das elektrostatische Potential auszeichnet, aber in den meisten Fällen keine Vereinfachung bringt.

== Schreibweise mittels Differentialformen ==
In der Sprache der [[Differentialform]]en kann die Lorenz-Eichung geschrieben werden als 

:<math>d \star A = 0</math>,

wobei
* <math> d</math> die [[äußere Ableitung]]
* <math>\star</math> der [[Hodge-Stern-Operator]]
* <math>A = A_{\mu}dx^{\mu}</math> die Potentialform ist,

oder kürzer mit der [[Koableitung]] <math>\delta</math> als

:<math>\delta A = 0</math>.

== Literatur ==
* Ludvig Lorenz: ''On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents.'' In: ''[[Philosophical Magazine]].'' Series 4, Bd. 34, Nr. 230, 1867, [https://zs.thulb.uni-jena.de/rsc/viewer/jportal_derivate_00127414/PMS_1867_Bd34_%200295.tif?logicalDiv=jportal_jpvolume_00126560 S. 287–301], {{doi|10.1080/14786446708639882}}.
* Robert Nevels, Chang-Seok Shin: ''Lorenz, Lorentz, and the Gauge.'' In: ''IEEE Antennas and Propagation Magazine.'' Bd. 43, Nr. 3, June 2001, S. 70–71, {{doi|10.1109/74.934904}}.
* Adolf Schwab, C. Fuchs, Peter Kistenmacher: ''Semantics of the Irrotational Component of the Magnetic Vector Potential, A.'' In: ''IEEE Antennas and Propagation Magazine.'' Bd. 39, Nr. 1, February 1997, S. 46–51, {{doi|10.1109/74.583518}}.
* Ari Sihvola: ''Lorenz-Lorentz or Lorentz-Lorenz.'' In: ''IEEE Antennas and Propagation Magazine.'' Bd. 33, Nr. 4, August 1991, S. 56, {{doi|10.1109/MAP.1991.5672658}}.

[[Kategorie:Elektrodynamik]]