Quelltext der Seite Lokalisierung (Stochastik)

In der [[Stochastik]] versteht man unter '''Lokalisierung''' das Erweitern einer Klasse von [[stochastischer Prozess|stochastischen Prozessen]] durch solche, die durch gezieltes [[Stoppzeit|Stoppen]] der Klasse zugehörig gemacht werden können. Hierbei ist insbesondere der Begriff der [[Lokales Martingal|lokalen Martingale]] von Bedeutung, die eine wichtige Rolle in der [[stochastische Analysis|stochastischen Analysis]] spielen.

== Gestoppte Prozesse ==
{{Hauptartikel|Gestoppter Prozess}}
Sei <math>X = (X_t)_{t \in T}</math> ein stochastischer Prozess auf einem [[Filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum|filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, (\mathcal{F})_{t\in T}, P)</math>, wobei <math>T=\N_0</math> oder <math>T=\R^{+}_0</math> ist. Ist <math>\tau</math>
eine beliebige [[Stoppzeit]] bezüglich der Filtrierung, so bezeichnet man den Prozess
:<math>X^{\tau} = (X^{\tau}_t)_{t \in T} \quad\text{mit}\quad X^{\tau}_t(\omega):=X_{\min(\tau(\omega), t)}(\omega), \quad \omega \in \Omega</math>
als ''bei <math>\tau</math> gestoppten Prozess''. Der Prozess <math>X^{\tau}</math> stimmt also bis zum Zeitpunkt <math>\tau</math> mit dem Prozess <math>X</math> überein, bleibt aber danach bei seinem aktuellen Wert stehen und ändert seinen Zustand nicht mehr.

== Lokalisierung von Prozessklassen ==
Sei nun <math>\mathcal{C}</math> eine Menge von Prozessen mit derselben Indexmenge <math>T</math>, etwa die Menge aller [[Martingal]]e oder aller [[Lévy-Prozess]]e. Ein Prozess <math>X</math> heißt lokal von der Klasse <math>\mathcal{C}</math>, falls es eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math> (\tau_i),\; i\in \N</math> von Stoppzeiten gibt, die die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt:

* Es gilt <math>\tau_i \to \infty</math> [[fast sicher]] für <math> i \to \infty </math>, d. h. für fast alle <math>\omega \in \Omega</math> divergiert die (deterministische) Folge <math>\tau_1(\omega),\;\tau_2(\omega)\ldots</math> gegen plus [[unendlich]].
* Für alle <math>i \in \N </math> liegt der gestoppte Prozess <math>X^{\tau_i} </math> in <math>\mathcal{C}</math>.

Die Lokalisierung <math>\mathcal{C}_\mathrm{loc}</math> der Menge <math>\mathcal{C}</math> wird nun definiert als Klasse aller Prozesse, die lokal von der Klasse <math>\mathcal{C}</math> sind. Eine zu einem lokalen Prozess <math>X</math> gehörige (aber nicht eindeutige!) Folge von Stoppzeiten mit den obigen Eigenschaften wird auch als ''lokalisierende Folge'' von <math>X</math> bezeichnet.

== Eigenschaften ==

Die Abbildung <math> \mathcal{C} \mapsto \mathcal{C}_\mathrm{loc} </math> ist kein [[Hüllenoperator]]: Es gilt zwar stets <math> \mathcal{C} \subseteq \mathcal{C}_\mathrm{loc} </math> (zu jedem Prozess <math>X \in \mathcal{C} </math> kann als lokalisierende Folge die konstante Folge <math> \tau_n := \infty </math> [[fast sicher|f.s.]] gewählt werden), und auch die Bedingung <math> \mathcal{C} \subseteq \mathcal{D} \Rightarrow \mathcal{C}_\mathrm{loc} \subseteq \mathcal{D}_\mathrm{loc} </math> gilt, jedoch gilt im Allgemeinen nicht <math>(\mathcal{C}_\mathrm{loc})_\mathrm{loc} = \mathcal{C}_\mathrm{loc} </math>, die Abbildung ist also nicht [[Idempotenz|idempotent]].

Zu einem Hüllenoperator wird die Abbildung erst, wenn man sich auf Mengen von Prozessen beschränkt, die stabil unter Stoppen sind: Eine Menge <math>\mathcal{C}</math> von stochastischen Prozessen heißt stabil unter Stoppen, wenn für alle <math>X \in \mathcal{C} </math> und alle Stoppzeiten <math>\tau</math> gilt: <math>X^{\tau} \in \mathcal{C}</math>. Dann gilt obige Idempotenz sowie zusätzlich die Eigenschaft <math>(\mathcal{C} \cap \mathcal{D})_\mathrm{loc} = \mathcal{C}_\mathrm{loc} \cap \mathcal{D}_\mathrm{loc} </math>

== Literatur ==
* Daniel Revuz, Marc Yor: ''Continuous Martingales and Brownian motion''. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 978-3-540-64325-8.
[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]