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Eine '''Lie-Algebra''' (auch '''Liesche Algebra'''), benannt nach [[Sophus Lie]], ist eine [[algebraische Struktur]], die mit einer [[Lie-Klammer]] versehen ist, d.&nbsp;h., es existiert eine [[Antisymmetrische Relation|antisymmetrische]] [[Zweistellige Verknüpfung|Verknüpfung]], die die [[Jacobi-Identität]] erfüllt. Lie-Algebren werden hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie [[Lie-Gruppe]]n und differenzierbarer [[Mannigfaltigkeit]]en eingesetzt.

Eine Verallgemeinerung des Begriffs ist das [[Lie-Algebroid]].

== Definition ==

Eine Lie-Algebra ist ein [[Vektorraum]] <math>\mathfrak g</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>
zusammen mit einer [[Zweistellige Verknüpfung|inneren Verknüpfung]]

:<math>[\cdot,\cdot] \colon \mathfrak g\times \mathfrak g\rightarrow \mathfrak g,\quad (x,y)\mapsto [x,y],</math>

welche ''[[Lie-Klammer]]'' genannt wird und den folgenden Bedingungen genügt:
* Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt somit <math>[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z]</math> und <math>[z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y]</math> für alle <math>a, b\in K</math> und alle <math>x, y, z \in \mathfrak g</math>.
* Sie genügt der [[Jacobi-Identität]]. Die Jacobi-Identität lautet: <math> [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0</math> gilt für alle <math>x,y,z\in \mathfrak g</math>.
* Es gilt <math>[x, x] = 0</math> für alle <math>x\in \mathfrak g</math>.

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die ''Antisymmetrie'' <math>[x, y] = -[y, x]</math> für alle <math>x, y \in \mathfrak g</math>.
Wenn der Körper <math>K</math> nicht [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 2 hat, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die dritte Eigenschaft herleiten (man wähle <math>y=x</math>).

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ: <math>[[x, y], z]</math> muss nicht gleich <math>[x, [y, z]]</math> sein. Jedoch gilt für Lie-Klammern immer das ''[[Flexible Algebra|Flexibilitätsgesetz]]'' <math>[[x,y],x] = [x,[y,x]]</math>.

Anstelle eines Körpers und eines Vektorraums lässt sich eine Lie-Algebra allgemeiner für einen kommutativen unitären Ring definieren.

== Beispiele ==

=== Aus der Algebra ===
* Der [[Euklidischer Raum|Vektorraum]] <math>\mathbb{R}^3</math> bildet eine Lie-Algebra, wenn man die Lie-Klammer als das [[Kreuzprodukt]] definiert.
* Die [[allgemeine lineare Lie-Algebra]] <math>\mathfrak{gl}(V)</math> für einen <math>K</math>-Vektorraum <math>V</math> ist die Lie-Algebra der [[Endomorphismus|Endomorphismen]] von <math>V</math> mit dem Kommutator
::<math style="margin-left:2em">[A,B] = AB - BA</math>
:als Lie-Klammer. Ist speziell <math>V=K^n</math>, so schreibt man <math>\mathfrak{gl}_n(K)</math> oder <math>\mathfrak{gl}(n,K)</math> statt <math>\mathfrak{gl}(V)</math>.
* Die Endomorphismen mit [[Spur (Mathematik)|Spur]] <math>0</math> in <math>\mathfrak{gl}(V)</math> bilden ebenfalls eine Lie-Algebra. Sie heißt „spezielle lineare Lie-Algebra“ und wird mit <math>\mathfrak{sl}(V)</math> bzw. <math>\mathfrak{sl}_n(K)</math> bezeichnet. Diese Benennung leitet sich aus der Lie-Gruppe <math>{\rm SL}(n, \mathbb{R})</math> aller <math>(n\times n)</math>-Matrizen mit reellen Elementen und [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] 1 ab, denn der [[Tangentialraum]] der [[Einheitsmatrix]] kann mit dem Raum aller reellen <math>(n \times n)</math>-Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die [[Matrizenmultiplikation]] der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.
* Allgemeiner kann man jede [[assoziative Algebra]] <math>A</math> zu einer Lie-Algebra machen, indem man als Lie-Klammer den [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]
::<math style="margin-left:2em">[x,y] = x\cdot y - y\cdot x</math>
:wählt. Umgekehrt kann man zeigen, dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lässt, die sogenannte [[universelle einhüllende Algebra]].
* Die [[Derivation (Mathematik)|Derivationen]] auf einer (nicht notwendig assoziativen) Algebra werden mit der Kommutatorklammer zu einer Lie-Algebra.

=== Aus der Physik ===
In der Physik sind die Lie-Gruppen <math>\mathrm{SO}(n)</math> beziehungsweise <math>\mathrm{SU}(n)</math> wichtig, da sie Drehungen des reellen bzw. komplexen Raumes in <math>n</math> Dimensionen beschreiben. Beispielsweise lautet die Kommutatorrelation der der [[Spezielle orthogonale Gruppe|speziellen orthogonalen Gruppe]] <math>\mathrm{SO}(3)</math> zugrundeliegenden Lie-Algebra <math>\mathfrak{so}(3)</math>
:<math>[L_i, L_j] = -\sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} L_k</math>
in der Basis der drei <math>3\times 3</math>-Matrizen
:<math>(L_i)_{jk} = \varepsilon_{ijk}</math>
wobei <math>\varepsilon</math> das [[Levi-Civita-Symbol]] bezeichnet. Durch Anwenden des [[Matrixexponential]]s auf die Generatoren erhält man die drei Koordinatentransformationen für [[Drehmatrix|Drehungen]] um die Koordinatenachsen
:<math>R_i = \exp\left(\theta L_i\right)</math>.
Allgemein lässt sich jedes Element der Lie-Gruppe <math>\mathrm{SO}(3)</math> und somit jede beliebige Rotation im dreidimensionalen reellen Raum durch das Exponential einer [[Linearkombination]] von Basisvektoren der Lie-Algebra <math>\mathfrak{so}(3)</math>
:<math>R = \exp\left(\sum_{i=1}^3 \theta_i L_i\right)</math>
darstellen.

=== Glatte Vektorfelder ===

Die glatten [[Vektorfeld]]er auf einer differenzierbaren [[Mannigfaltigkeit]] bilden eine unendlichdimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als [[Lie-Ableitung]] auf dem Ring der [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]].
Seien <math>X, Y</math> zwei glatte Vektorfelder und <math>f</math> eine glatte Funktion.
Wir definieren die Lie-Klammer durch
:<math>\ [X, Y]f := X(Yf) - Y(Xf)</math>.

=== Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ===

Der Vektorraum der [[Translationsinvarianz|linksinvarianten]] Vektorfelder auf einer [[Lie-Gruppe]] ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlichdimensionale Lie-Algebra.

=== Glatte Funktionen mit der Poisson-Klammer ===

Die glatten Funktionen auf einer [[Symplektische Mannigfaltigkeit|symplektischen Mannigfaltigkeit]] bilden mit der [[Poisson-Klammer]] eine Lie-Algebra. Vergleiche [[Poisson-Mannigfaltigkeit]].

=== Konstruktionen ===
Aus gegebenen Lie-Algebren kann man neue konstruieren, siehe dazu
* [[Affine Lie-Algebra]]
* [[Semidirekte Summe]]

== Homomorphismus ==
Seien <math>\mathfrak g</math> und <math>\mathfrak h</math> zwei Lie-Algebren. Eine lineare Abbildung <math>\varphi \colon \mathfrak g\longrightarrow \mathfrak h</math> heißt ''Lie-Algebra-Homomorphismus'', wenn <math>[\varphi(x),\varphi(y)]=\varphi([x,y])</math> für alle <math>x,y\in \mathfrak g</math> gilt.

In der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Lie-Algebren sind die Lie-Algebren die Objekte und die Lie-Algebra-Homomorphismen die Pfeile.

== Unteralgebra ==
=== Definition ===
Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> ist ein [[Untervektorraum]] <math>\mathfrak h\subseteq \mathfrak g</math>, der abgeschlossen unter der Lie-Klammer ist. Das heißt, für alle <math>x,y\in \mathfrak h</math> gilt
<math>[x,y]\in \mathfrak h</math>. Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra ist selbst eine Lie-Algebra.

=== Ideal ===

Eine Unteralgebra <math>\mathfrak i\subseteq \mathfrak g</math> heißt ''Ideal'', wenn <math>[x,y]\in \mathfrak i</math> für alle <math>x\in \mathfrak g</math> und <math>y\in \mathfrak i</math> gilt.

Die Ideale sind genau die Kerne der Lie-Algebra-Homomorphismen.

Auf dem Quotientenraum <math>\mathfrak g/\mathfrak i</math> wird durch <math>[x+\mathfrak i,y+\mathfrak i]:=[x,y]+\mathfrak i</math> eine Lie-Algebra definiert, die Quotienten-Algebra. Dabei sind <math>x,y\in \mathfrak g</math>.

=== Satz von Ado ===

Der Satz von Ado (nach dem russischen Mathematiker [[Igor Dmitrijewitsch Ado]]) besagt, dass jede endlichdimensionale Lie-Algebra über einem Körper <math>K</math> mit [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>0</math> isomorph zu einer Unteralgebra der <math>\mathfrak{gl}_n(K)</math> für ein genügend großes <math>n</math> ist. Das heißt, man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen.

Allgemeiner lässt sich zeigen, dass diese Aussage auch für Körper mit beliebiger Charakteristik gültig bleibt. Dieser Satz wurde 1948 von [[Iwasawa Kenkichi|Kenkichi Iwasawa]] bewiesen und wird daher auch oft als Satz von Ado-Iwasawa bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Kenkichi Iwasawa |Titel=On the representation of Lie algebras |Sammelwerk=Japanese Journal of Mathematics |Band=19 |Datum=1948 |Seiten=405-426}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Nathan Jacobson |Titel=Lie Algebras |Verlag=Courier Corporation |Datum=2013 |Reihe=Dover books on advanced mathematics}}</ref>

== Typen von Lie-Algebren ==

=== Abelsche Lie-Algebra ===

Eine Lie-Algebra ist ''abelsch'', wenn die Lie-Klammer identisch null ist.

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.

=== Nilpotente Lie-Algebra ===
==== Definition ====
Sei <math>\mathfrak g</math> eine Lie-Algebra. Eine ''absteigende Zentralreihe'' wird durch
:<math>
\mathcal C^0\mathfrak g=\mathfrak g,\;\;\;
\mathcal C^1\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g],\;\;\;
\mathcal C^2\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathcal C^1\mathfrak g],
</math>

allgemein
:<math>\mathcal C^{n+1}\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathcal C^n\mathfrak g]</math>
definiert. Gelegentlich wird sie auch <math>\mathfrak g^{n}</math> geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt ''nilpotent'', wenn ihre absteigende Zentralreihe null wird, das heißt, <math>\mathcal C^N\mathfrak g=\{0\}</math> für einen Index <math>N</math> gilt.

==== Satz von Engel ====
Sei <math>\mathfrak g</math> eine endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra, dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:
# Die Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> ist nilpotent.
# Für jedes <math> x \in \mathfrak g </math> ist <math>{\rm ad}(x) \colon \mathfrak g\rightarrow \mathfrak g,\ y\mapsto [x,y]</math> eine nilpotente lineare Abbildung.
Dieser Satz ist nach dem Mathematiker [[Friedrich Engel (Mathematiker)|Friedrich Engel]] benannt.

=== Auflösbare Lie-Algebra ===
Sei <math>\mathfrak g</math> eine Lie-Algebra. Wir definieren die ''abgeleitete'' (oder ''derivierte'') ''Reihe'' durch:
:<math>
\mathcal D^0\mathfrak g=\mathfrak g,\;\;\; \mathcal D\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g],
\;\;\; \mathcal D^2\mathfrak g=[\mathcal D\mathfrak g,\mathcal D\mathfrak g]</math>, allgemein <math>\mathcal D^{n+1}\mathfrak g=[\mathcal D^n\mathfrak g,\mathcal D^n\mathfrak g] </math>.
Die abgeleitete Reihe wird gelegentlich auch <math>\mathfrak g^{(n)}</math> o.&nbsp;ä. geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt ''auflösbar'', wenn ihre abgeleitete Reihe schließlich null wird, d.&nbsp;h. <math>\mathcal D^N\mathfrak g=\{0\}</math> für große <math>N</math>. Das [[Cartan-Kriterium]] ist für den Fall der Charakteristik 0 des Grundkörpers eine äquivalente Bedingung. Aus dem [[Satz von Lie]] ergeben sich Eigenschaften endlichdimensionaler, auflösbarer, komplexer Lie-Algebren.

Eine maximale auflösbare Unteralgebra heißt ''Borel-Unteralgebra''.

Das größte auflösbare Ideal in einer endlichdimensionalen Lie-Algebra ist die Summe aller auflösbaren Ideale und wird das ''Radikal'' der Lie-Algebra genannt.

=== Einfache Lie-Algebra ===
Eine Lie-Algebra heißt ''einfach'', wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat
und nicht abelsch ist.

Bei den Lie-Algebren wird Einfachheit abweichend verwendet. Dies kann zu Verwirrungen führen. Wenn man eine Lie-Algebra als algebraische Struktur auffasst, so ist die Forderung, dass sie nicht abelsch sein darf, unnatürlich.

=== Halbeinfache Lie-Algebra ===
{{Hauptartikel|Halbeinfache Lie-Algebra}}
Eine Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> heißt ''halbeinfach'', wenn sie die direkte Summe von einfachen Lie-Algebren ist.

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> sind die folgenden Aussagen äquivalent:

# <math>\mathfrak g</math> ist halbeinfach.
# Das Radikal von <math>\mathfrak g</math> verschwindet, d.&nbsp;h., es gibt keine nichttrivialen auflösbaren Ideale.
# [[Cartan-Kriterium]]: Die ''Killing-Form'': <math>\ k(u, v) = {\rm tr}({\rm ad}(u)\circ {\rm ad}(v))</math> ist nicht entartet (<math>\rm tr</math> bezeichnet die [[Spur (Mathematik)|Spur]] von Endomorphismen).

==== Satz von Weyl ====
{{Hauptartikel|Satz von Weyl (Lie-Algebra)}}
Sei <math>\mathfrak g</math> eine halbeinfache, endlichdimensionale, komplexe Lie-Algebra, dann ist jede endlichdimensionale Darstellung von <math>\mathfrak g</math> vollständig reduzibel, also als direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegbar. Der Satz ist nach [[Hermann Weyl]] benannt.

==== Zerlegung ====
Halbeinfache Lie-Algebren haben eine Zerlegung
:<math>\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha}\mathfrak{g}_\alpha</math>
in eine [[Cartan-Unteralgebra]] <math>\mathfrak{h}</math> und Wurzelräume <math>\mathfrak{g}_\alpha</math>, siehe [[Wurzelsystem#Lie-Algebren]].

==== Klassifikation ====

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren können anhand ihrer [[Wurzelsystem]]e klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde [[1900]] von [[Élie Cartan]] abgeschlossen.

=== Reduktive Lie-Algebra ===

Eine Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> heißt reduktiv, wenn
:<math>\mathfrak{g}=\mathfrak{z}(\mathfrak{g})\oplus\left[\mathfrak{g},\mathfrak{g}\right]</math>
mit dem ''Zentrum'' der Lie-Algebra
:<math>\mathfrak{z}(\mathfrak{g})=\left\{X\in\mathfrak{g}: \left[X,Y\right]=0\ \forall\ Y\in\mathfrak{g}\right\}</math>
gilt. In diesem Fall ist <math> \left[\mathfrak{g},\mathfrak{g}\right] </math> eine [[halbeinfache Lie-Algebra]].

Eine Lie-Algebra ist genau dann reduktiv, wenn jede endlich-dimensionale Darstellung vollständig reduzibel ist. Insbesondere sind halbeinfache Lie-Algebren nach dem Satz von Weyl reduktiv.

=== Reelle Lie-Algebren ===
Eine Auswahl reeller Lie-Algebren:

# eindimensionale: <math>\mathbb{R}</math> mit <math>[\cdot, \cdot]\equiv 0</math>
# Es gibt genau zwei Isomorphieklassen von zweidimensionalen reellen Lie-Algebren, und zwar <math>\mathbb{R}^2</math> mit <math>[\cdot, \cdot]\equiv 0</math>, sowie mit <math>[\cdot, \cdot]\not\equiv 0</math>.
# dreidimensionale:
## <math>\mathbb{R}^3</math>
## [[Heisenberg-Algebra]]
## <math>\mathfrak{su}(2) \cong \mathfrak{so}(3,\mathbb{R})</math>
## <math>\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})</math>
# sechsdimensionale: [[sl(2,C)|<math>\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math>]] <math> \cong \mathfrak{so}(3,1)</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* [[Igor Frenkel]], [[James Lepowsky]], [[Arne Meurman]]: ''Vertex Operator Algebras and the Monster'', Academic Press, New York (1989) ISBN 0-12-267065-5
* Anthony W. Knapp: ''Lie Groups Beyond an Introduction'', Birkhäuser (2002) ISBN 0-8176-4259-5
* [[Jean-Pierre Serre]]: ''Complex Semisimple Lie Algebras'', Springer, Berlin, 2001. ISBN 3-5406-7827-1

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv:_Lie-Algebren:_Wurzelsysteme:_Klassifikation_von_Wurzelsystemen | Ausführlicher Beweis der Klassifikation}}
* Leistner: [http://www.maths.adelaide.edu.au/thomas.leistner/2012-Lie/TopicD2012-handout4-classical.pdf The classical Lie algebras and their root systems.]

{{Normdaten|TYP=s|GND=4130355-6}}

[[Kategorie:Lie-Algebra| ]]