Quelltext der Seite Lexikographische Ordnung

Die '''lexikographische Ordnung''' ist eine Methode, um aus einer [[Ordnungsrelation#Totalordnung|linearen Ordnung]] für einfache Objekte, beispielsweise alphabetisch angeordnete Buchstaben, eine lineare Ordnung für zusammengesetzte Objekte, beispielsweise aus Buchstaben zusammengesetzte Wörter, zu erhalten. Das namensgebende Beispiel ist die Anordnung der Wörter in einem Lexikon: Sie werden zunächst nach ihren Anfangsbuchstaben sortiert, dann die Wörter mit gleichen Anfangsbuchstaben nach dem jeweils zweiten Buchstaben usw. Ist ein Wort ganz in einem anderen als Anfangsteil enthalten (wie beispielsweise „Tal“ in „Talent“), so wird das kürzere Wort zuerst aufgeführt.

Die lexikographische Ordnung über dem Standard-Alphabet wird generell als derart selbstverständlich angesehen, dass man kurz und einfach von ''der'' [[Alphabetische Sortierung|alphabetischen Ordnung]] spricht. Ein Suchbegriff kann [[Binärer Suchbaum#Motivation|außerordentlich schnell]] in einer sehr großen Menge von Suchbegriffen gefunden werden, wenn diese (nach einer totalen Ordnungsrelation) sortiert ist.

== Definition ==
Gegeben sei ein [[Quasiordnung|quasigeordnetes]] [[Alphabet]] <math>(\Sigma,\le)</math>, d.&nbsp;i. eine [[Alphabet (Informatik)|Menge von Zeichen]] <math>\Sigma</math> mit der [[Relation (Mathematik)|Relation]] <math>\le</math>.&nbsp;<ref>In der Regel wird meist eine [[Ordnungsrelation#Totalordnung|Totalordnung]] vorliegen. Eine Quasiordnung ist lediglich die Minimalanforderung hier.</ref>
Eine [[Zeichenkette]] <math>a=(a_1,a_2,\ldots)</math> aus Zeichen dieses Alphabets<ref>D.&nbsp;h. mengentheoretisch ist <math>a \in \Sigma^*</math> ein »[[Wort (Theoretische Informatik)|Wort]]« der [[Kleenesche Hülle|Kleeneschen Hülle]] des Alphabets <math>\Sigma</math>, ebenso wie <math>b</math>.</ref> ist ''lexikographisch kleiner als'' eine Zeichenkette <math>b=(b_1,b_2,\ldots)</math>, das heißt <math>a</math> liegt in der Sortierung ''vor'' <math>b</math>, wenn beim komponentenweisen Vergleich Zeichen für Zeichen
{|
|-
|style="width:9em;vertical-align:top"|
* Maßgabe (A):
|| das Zeichen <math>a_i</math> von <math>a</math> mit dem niedrigsten Index <math>i</math>, in dem sich die beiden Zeichenketten unterscheiden, (echt) kleiner ist als das entsprechende Zeichen <math>b_i</math> von <math>b</math>, also <math>a_i\le b_i \wedge b_i \not \le a_i</math>,
|-
|
:oder, wenn
|-
|style="vertical-align:top"|
* Maßgabe (B):
|| {{Anker|Maßgabe2}} <math>a</math> ein Anfang von <math>b</math> (d.&nbsp;h. <math>a_i\le b_i \wedge b_i \le a_i</math> für alle verfügbaren <math>i</math>), aber kürzer ist.
|}
Meist wird für die zusammengesetzte Relation dasselbe Vergleichszeichen <math>\le</math> (resp. <math><</math> für die zugehörige [[Ordnungsrelation#Striktordnung|Striktordnung]]) wie im Alphabet <math>\Sigma</math> verwendet, da letztere Relation eine [[Einschränkung]] der ersteren ist und so Widersprüche nicht entstehen können.

Durch die lexikographische Zusammensetzung wird aus einer Quasiordnung im Alphabet eine Quasiordnung auf der Menge der Zeichenketten, aus einer totalen Quasiordnung wieder eine totale Quasiordnung, aus einer [[Ordnungsrelation#Halbordnung|Halbordnung]] wieder eine Halbordnung und aus einer [[Ordnungsrelation#Totalordnung|Totalordnung]] wieder eine Totalordnung (der häufigste Fall).

Ein Spezialfall dieser Zusammensetzung ist die lexikographische Ordnung von [[Tupel|Folgen]] einer ''festen endlichen Länge''. Dann wird die Maßgabe (B) nicht benötigt. Beispielsweise ist ein [[geordnetes Paar]] <math>(a_1,a_2)\in\Sigma^2</math> lexikographisch kleiner als ein Paar <math>(b_1,b_2)\in\Sigma^2</math>, wenn
* entweder <math>a_1<b_1</math>
* oder <math>a_1=b_1</math> und <math>a_2<b_2</math>
gilt.

== Beispiele ==
Ein Beispiel für eine derartige Ordnung ist die zeitliche Reihenfolge für Zahlentripel (Jahr, Monat, Tag): Ein Datum X ist früher als ein anderes Datum Y, wenn
* entweder die Jahreszahl von X kleiner ist als die Jahreszahl von Y
* oder die Jahreszahlen gleich sind, aber X in einem im Jahresverlauf früheren Monat liegt
* oder die Jahreszahlen und Monate gleich sind, aber der Tag von X kleiner als der Tag von Y ist.

Ein weiteres Beispiel ist die übliche Rangfolge innerhalb eines [[Medaillenspiegel]]s, bei der als erstes Kriterium die Anzahl der Goldmedaillen ausschlaggebend ist, bei gleicher Goldmedaillenzahl die Anzahl der Silbermedaillen und bei nochmaligem Gleichstand die Anzahl der Bronzemedaillen:
{| class="wikitable"
!Land
!Gold [[Datei:Gold medal-2008OB.svg|18px]]
!Silber [[Datei:Silver medal-2008OB.svg|18px]]
!Bronze [[Datei:Bronze medal-2008OB.svg|18px]]
|-
!Land 1
|align="center" | 10
|align="center" | 5
|align="center" | 7
|-
!Land 2
|align="center" | 8
|align="center" | 7
|align="center" | 4
|-
!Land 3
|align="center" | 8
|align="center" | 5
|align="center" | 7
|-
!Land 4
|align="center" | 5
|align="center" | 3
|align="center" | 7
|-
!Land 5
|align="center" | 5
|align="center" | 3
|align="center" | 2
|}

== Mathematische Verwendung ==

=== Unendliche Folgen ===
Die lexikographische Ordnung lässt sich auf unendliche Folgen fortsetzen:<ref>Die abzählbar unendlichen Folgen von Zeichen aus dem Alphabet <math>\Sigma</math> werden mit <math>\Sigma^\omega</math> bezeichnet, siehe: [[Ordinalzahl#Die natürlichen Zahlen als geordnete Mengen|<math>\omega</math>]] = [[Kardinalzahl (Mathematik)#Schreibweise|<math>\aleph_0</math>]].</ref> Eine Folge <math>(s_i)_{i\in\mathbb{N}}</math> ist lexikographisch kleiner als eine Folge <math>(t_i)_{i\in\mathbb{N}}</math> wenn beide Folgen vor einem Index <math>k</math> gleich sind, aber <math>s_k < t_k</math> ist. Besteht das Alphabet z.&nbsp;B. aus den Ziffern <math>\Sigma:=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}</math>, so kann die Folge als ein [[Dezimalsystem|Dezimalbruch]] interpretiert werden, der eine [[reelle Zahl]] zwischen <math>0</math> und <math>1</math> darstellt. Die lexikographische Ordnung der Folgen entspricht im Wesentlichen der reellen Ordnung im Intervall <math>[0,1]</math>. Allerdings haben die ([[Abzählbare Menge|abzählbar unendlich]] vielen) [[Stellenwertsystem#abbrechendeDarstellungen|abbrechenden Dezimalbrüche]], die also an ihren Enden nur Ziffern <math>0</math> oder <math>9</math> haben, zwei lexikographisch verschiedene Urbilder, bspw. <math>0{,}14 = 0{,}14000\ldots = 0{,}13999\ldots</math>, aber lexikographisch <math>(1,3,9,9,9,\ldots) < (1,4,0,0,0,\ldots)</math>.

=== Weitere Verallgemeinerung ===
Das Prinzip kann weiter ausgedehnt werden auf Folgen, in denen der Indexbereich eine beliebige [[Wohlordnung|wohlgeordnete]] Menge <math>W</math> ist. In diesem Fall definiert man <math>f<g</math> für Funktionen <math>f,g \colon W \to X</math> (wobei <math>X</math> linear geordnet ist), falls für das minimale Element <math>w</math> des Definitionsbereiches <math>W</math>, für das sich <math>f</math> und <math>g</math> unterscheiden, <math>f(w)<g(w)</math> gilt. Die so entstandene Ordnung auf den Funktionen ist wieder linear geordnet.

=== Anwendung: Ketten in der Potenzmenge einer Ordinalzahl ===
In der Mengenlehre wird oft der Spezialfall betrachtet, bei dem die Indexmenge eine [[Ordinalzahl]] <math>\lambda</math> ist und die Folgenglieder nur die Werte <math>0</math> oder <math>1</math> annehmen. Diese [[Grundmenge]] wird mit <math>2^\lambda</math> bezeichnet und sie steht in einer bijektiven Beziehung zu der [[Potenzmenge]] von <math>\lambda</math>.
Eine Ordinalzahl wird immer als die Menge ihrer Vorgänger-Ordinalzahlen gesehen. Einer Teilmenge <math>X</math> von <math>\lambda</math> kann man die Funktion <math>f_X\in2^\lambda</math> zuordnen für die <math>f_X(\sigma)=1</math>, wenn <math>\sigma\in{X}</math> und <math>f_X(\sigma)=0</math>, wenn <math>\sigma\not\in{X}</math>. Umgekehrt kommt man von einer Funktion <math>f\in2^\lambda</math> mit der Menge <math>\{\sigma\in\lambda : f(\sigma)=1\}</math> wieder zu einer [[Teilmenge]] von <math>\lambda</math> . Wir betrachten jetzt <math>2^\lambda</math> mit der lexikographischen Ordnung, wie sie oben definiert wurde. Diese lineare Ordnung kann für kombinatorische Fragen über unendliche [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahlen]] verwendet werden. Es gilt:
:''Für jede wohlgeordnete Teilmenge <math>S</math> von <math>2^\lambda</math> gilt <math>|S|\le|\lambda|</math> .''
Zum Beweis durch Induktion nehmen wir an, dass die Aussage für alle Ordinalzahlen <math><\lambda</math> bereits gegeben ist. Ist <math>\mu<\lambda</math> so betrachten wir die Einschränkungen <math>f\mid_\mu</math> der Funktionen <math>f\in2^\lambda</math> auf die Teilmenge <math>\mu=\{\nu<\mu\}</math>. Die Mengen <math>S_\mu=\{f\mid_\mu : f\in{S}\}</math> sind dann wohlgeordnete Teilmengen der lexikographisch geordneten Mengen <math>2^\mu</math> . Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass <math>|S_\mu|\le|\mu|\le|\lambda|</math>. Jetzt nehmen wir wieder ein f in der wohlgeordneten Menge <math>S\subseteq2^\lambda</math> und betrachten auch den direkten Nachfolger <math>f^+\in{S}</math>. Wir definieren <math>\mu_f</math> als das kleinste <math>\mu\in\lambda</math> mit <math>f(\mu){\ne}f^+(\mu)</math>. Dann gilt für <math>\mu<\mu_f</math> stets <math>f(\mu)=f^+(\mu)</math> sowie <math>f(\mu_f)=0</math> und <math>f^+(\mu_f)=1</math> . Zwei Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> in <math>2^\lambda</math> mit <math>\mu_f=\mu=\mu_g</math> müssen sich schon unterhalb von <math>\mu</math> unterscheiden. Nehmen wir an, dass <math>f\mid_\mu=g\mid_\mu</math> gilt. Dann ist <math>f(\mu)=0</math>, <math>g(\mu)=0</math>, <math>f^+(\mu)=1</math> und <math>g^+(\mu)=1</math>. Daraus folgt, dass in der lexikographischen Ordnung auch <math>f<g^+</math> und <math>g<f^+</math> gilt und folglich <math>f{\le}g</math> und <math>g{\le}f</math> , also <math>f=g</math> . Die Mengen <math>\{f\in2^\lambda : \mu_f=\mu\}</math> für ein gegebenes <math>\mu\in\lambda</math> werden also jeweils durch die Einschränkung auf <math>\mu</math> injektiv auf eine Teilmengen von <math>S_\mu</math> abgebildet und haben somit auch nur eine Mächtigkeit <math>\le\lambda</math>. Da aber
<math>S=\bigcup_{\mu\in\lambda} \{f{\in}S : \mu_f=\mu\}</math>,
ist <math>|S|\le|\lambda|\cdot|\lambda|=|\lambda|</math> bewiesen.

== Verwendung in der Informatik ==
Der [[Arbeitsspeicher]] eines [[Computer]]s kennt eine ''kleinste adressierbare Einheit'', auch „Speicherstelle“ genannt. Ein Beispiel ist das [[Byte]] bestehend aus 8 [[Bit]]s, sie kann aber auch aus einer anderen Anzahl von Bits bestehen, oder, wenn die Maschine im [[Dezimalsystem]] rechnet, eine Dezimalziffer beherbergen.

Zweckmäßigerweise sind die Inhalte zweier Speicherstellen (Bytes) auf der untersten Maschinenebene immer miteinander (im Sinne einer Totalordnung) vergleichbar. Zweckmäßigerweise sind die Ziffern resp. [[Codepoint|Buchstaben]] den Bitkombinationen eines Bytes so zugeordnet, dass diese Ordnung mit der üblichen Ordnung im Ziffernsystem resp. Alphabet übereinstimmt. Aufbauend auf diesem Grundbaustein eines Vergleichs lassen sich durch lexikographische Zusammensetzung zusammengesetzte Datentypen, beispielsweise mehrstellige Zeichenketten, miteinander vergleichen.

Korreliert die [[#Definition|lexikographische Indizierung]] mit den Speicheradressen, hat also das beim Vergleichen höherrangige Byte die niedrigere Adresse, dann geschieht der Vergleich im [[Byte-Reihenfolge|Big-Endian]]-Stil, und im [[Byte-Reihenfolge|Little-Endian]]-Stil, wenn das höherrangige Byte die höhere Adresse hat. Da sich der lexikographische Vergleich im günstigsten Fall schon im ersten, höchstrangigen Byte entscheidet, ist er schneller, wenn dieses erste Byte im unmittelbaren Zugriff liegt.

=== Vergleich langer numerischer Daten ===
Auf vielen neueren Maschinen werden ''numerische'' [[Datentyp]]en fester Länge (hardware-mäßig) im Little-Endian-Format gespeichert. (Für die Motivation und die Maschinen-Typen siehe den Artikel [[Byte-Reihenfolge]].) Für diese kurzen Aggregate (meist in der Länge 2, 4, 8 oder 16 Bytes) gibt es entsprechende Maschineninstruktionen für die Vergleiche. Diese Instruktionen sind nicht zusammengesetzt, so dass das lexikographische Prinzip nicht zum Zuge kommt.

Die [[Langzahlarithmetik]] unterstützt das Rechnen mit [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]] ''beliebiger'' Länge, einer Länge, die nur durch den verfügbaren Arbeitsspeicher begrenzt ist. Der ''numerische'' Vergleich beginnt wie der lexikographische bei beiden Operanden am höchstrangigen Ende. Dabei wird der Rang einer Stelle nicht von ihrem Abstand von diesem bestimmt, sondern von ihrem Abstand vom niedrigstrangigen Ende, der »Einerstelle«. Vor dem Vergleich müssen also die Längen der beiden Operanden durch Auffüllen mit führenden Nullen angeglichen werden. Danach werden (beim numerischen wie beim lexikographischen Vergleich) gleiche Ränge in beiden Operanden miteinander verglichen.<ref>Unter der Voraussetzung, dass führende Nullen unterdrückt sind, entspricht die (vorzeichenlose) numerische Ordnung der ''quasi-lexikographischen'' (im Englischen ''quasi-lexicographic'', ''radix'', ''length-plus-lexicographic'' oder ''shortlex order'').</ref>

Eine Auswahl von Langzahlarithmetik-Implementierungen findet sich im Abschnitt [[Langzahlarithmetik#Programmiersprachen]]. Das Vergleichen ist in diesen Softwarepaketen verglichen mit den vier Grundrechenarten aber eher ein Abfallprodukt. Die Verarbeitungsrichtung ist wie bei der Division von hochrangig zu niedrigrangig, bei Addition, Subtraktion und Multiplikation jedoch umgekehrt. Beide Arten der Speicherung, Big- und Little-Endian, können bei diesen fünf Operationen gut unterstützt werden, sofern auf beide Enden der Kette effizient zugegriffen werden kann.

=== Verwendung bei Bitketten ===
Konzeptionell sind [[Bitkette]]n nichts anderes als Zeichenketten über dem zweiziffrigen Alphabet {{nowrap|<math>\Sigma:=\{0,1\}</math>.}} Wird eine Bit-Ziffer in (mindestens) einem Byte gespeichert, dann entspricht die Implementierung (und der lexikographische Vergleich) den üblichen [[#Verwendung bei Zeichenketten|Zeichenketten]].

Bei einer kompakteren Implementierung mit 1 Bit pro Ziffer, also bspw. 8-Bit-Ziffern pro Byte oder 32 pro [[Datenwort|Wort]], kann es, da alle Wörter genau gleich viele Bits enthalten und eine Kette eine beliebige nicht-negative Länge haben kann, passieren, dass im letzten (niedrigstrangigen) Wort unspezifizierte Bits anfallen, sog. [[Bitkette#Füllbits|Füllbits]].

Wie bei den Zeichenketten startet der lexikographische Vergleich von Bitketten am Kettenanfang, bei der höchstrangigen Komponente (das ist Big-Endian-Stil und ist unabhängig von der Endianness der Maschine). Auf Big-Endian-Maschinen hat das höchstrangige Wort den niedrigsten Index und der Vergleich geht in die höheren Adressen wie bei den Zeichenketten. Auf Little-Endian-Maschinen müssen jedoch, wenn (pro Wort) die von der Maschine angebotenen Vergleichsinstruktionen verwendet werden sollen, die Komponenten genau umgekehrt angeordnet sein und das höchstrangige Wort den höchsten Index haben: der lexikographische Vergleich muss dort beginnen und sich zu den Bits niedrigeren Ranges (und niedrigerer Adresse) fortsetzen.<ref>Die Umwandlung einer Bitkette in eine binäre Langzahl (mit dem niedrigstrangigen Bit an der Einerstelle) bedingt auf Seite der Daten einen [[Logische Verschiebung|Rechts-Shift]] um die Anzahl der Füllbits. Ansonsten ist nur die Beschreibung zu ändern. Wie bei den binären Langzahlen können bei Bitketten [[Logische Verschiebung|Verschiebungen]] und [[Logische Verknüpfung|logischen Verknüpfungen]] definiert werden; dazu noch die [[Zeichenkette#Basisoperationen mit Zeichenketten|Kettenoperationen]] wie [[Konkatenation (Wort)|Verketten]], Umkehren und Bildung von Teilketten.</ref>

=== Verwendung bei Zeichenketten ===
Beim [[Datentyp]] Zeichenkette ist die höchstrangige Komponente auf ''jedem'' Maschinentyp die (erste) mit der niedrigsten Adresse. Zeichenketten sind also auch auf Little-Endian-Maschinen im Big-Endian-Stil gespeichert.

Recht gute Unterstützung für den lexikographischen Vergleich von Zeichenketten gibt es in [[C (Programmiersprache)|C]], [[C++]] mit:
* <code>strcmp</code>,<ref>{{cite web|url=https://en.cppreference.com/w/c/string/byte/strcmp |title=strcmp|publisher=en.cppreference.com |accessdate=2017-03-31}}</ref> lexikographischer Vergleich unter Berücksichtigung unterschiedlicher Längen im Sinn der [[#Maßgabe2|Maßgabe (B)]], aber Einschränkung auf einen Zeichensatz (Alphabet) ohne das [[Nullzeichen|Abschlusszeichen <code>null</code>]].
* <code>memcmp</code>,<ref>{{cite web|url=https://en.cppreference.com/w/c/string/byte/memcmp |title=memcmp|publisher=en.cppreference.com |accessdate=2017-03-31}}</ref> lexikographischer Vergleich mit gleichen (Byte-)Längen der beiden Zeichenketten, voller Zeichensatz.<ref>Auf vielen binär orientierten Big-Endian-Maschinen kann eine Zeichenkette auch als vorzeichenlose <code>unsigned</code> Binärzahl aufgefasst werden. Der zugehörige numerische Vergleich ordnet die Inhalte aber in etwas anderer Weise als der lexikographische der Zeichenketten (s. [[#Vergleich langer numerischer Daten]]).</ref>
* <code>wcscmp</code>,<ref>{{cite web|url=https://en.cppreference.com/w/c/string/wide/wcscmp |title=wcscmp|publisher=en.cppreference.com |accessdate=2017-03-31}}</ref> lexikographischer Vergleich von [[Zeichenkette#Multibyte-Zeichen|16-Bit ''wide string''s]]<ref name="open-std1">{{cite web |title=The C99 standard draft + TC3 |url=https://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg14/www/docs/n1256.pdf |accessdate=2017-03-31|location=§7.1.1p1 }}</ref> mit dem Basistyp <code>wchar_t</code> unter Berücksichtigung unterschiedlicher Längen im Sinn der [[#Maßgabe2|Maßgabe (B)]], aber Einschränkung auf einen 2-Byte-Zeichensatz (Alphabet) ohne das Abschlusszeichen (wide) <code>null</code>.

== Anwendung in der Mikroökonomik ==
''→ Siehe auch: [[Präferenzrelation]]''

Sei durch <math>\mathbf{x}_{i}=\left(x_{i}^{1},x_{i}^{2},\ldots,x_{i}^{m}\right)</math> mit <math>i=a</math> das Güterbündel / die Alternative <math>\mathbf{x}_{a}</math> gegeben und mit <math>i=b</math> die Alternative <math>\mathbf{x}_{b}</math> (<math>x_{b}^{2}</math> ist entsprechend beispielsweise die Menge von Gut 2 im Güterbündel <math>\mathbf{x}_{b}</math>). Man bezeichnet eine [[Präferenz-Indifferenz-Relation]] ''R'' als lexikographisch, wenn <math>\mathbf{x}_{a}R\mathbf{x}_{b}</math> dann und nur dann, wenn entweder <math>x_{a}^{1}>x_{b}^{1}</math> oder <math>x_{a}^{1}=x_{b}^{1}</math> und zugleich <math>x_{a}^{2}\geq x_{b}^{2}</math>.<ref>Vgl. Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 46.</ref> Mit anderen Worten wird bei einer lexikographischen Präferenz-Indifferenz-Relation ein Güterbündel nur dann schwach gegenüber einem zweiten vorgezogen (das heißt als mindestens so gut wie dieses angesehen), wenn es mehr Einheiten vom ersten Gut enthält oder hilfsweise, falls beide Güterbündel gleich viele Einheiten von diesem Gut umfassen, wenn es mehr Einheiten vom zweiten Gut beinhaltet.

''Eigenschaften der lexikographischen Präferenzenordnung:''<ref>Vgl. Moore 2007, S. 14.</ref>
# Eine lexikographische Präferenzenordnung ist vollständig, asymmetrisch (und folglich auch antisymmetrisch), negativ transitiv und transitiv. (Zur Definition der Eigenschaften wird auf den Artikel ''[[Präferenzrelation]]'' verwiesen.)
#  Eine lexikographische Präferenzenordnung kann nicht durch eine [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktion]] repräsentiert werden. (Debreu 1959)<ref>Gerard Debreu: ''Theory of value. An axiomatic analysis of economic equilibrium.'' John Wiley & Sons, New York 1959.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Unicode Collation Algorithm]]

== Literatur ==
* Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: ''Microeconomic Theory.'' Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
* James C. Moore: ''General equilibrium and welfare economics.'' An introduction. Springer, Berlin u.&nbsp;a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (auch online: {{DOI|10.1007/978-3-540-32223-8}}).

== Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Ordnungsstruktur]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Theoretische Informatik]]