Quelltext der Seite Levi-Civita-Zusammenhang

In der [[Mathematik]], insbesondere in der [[Riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]], einem Teilgebiet der [[Differentialgeometrie]], versteht man unter einem '''Levi-Civita-Zusammenhang''' einen
[[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]] auf dem [[Tangentialbündel]] einer [[riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen]] oder [[Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit|semi-riemannschen Mannigfaltigkeit]], der in gewisser Weise mit der Metrik der Mannigfaltigkeit verträglich ist. Der Levi-Civita-Zusammenhang spielt beim modernen Aufbau der riemannschen Geometrie eine zentrale Rolle. Er stellt dort eine Verallgemeinerung der klassischen [[Richtungsableitung]] aus der mehrdimensionalen [[Differentialrechnung]] in euklidischen Räumen dar und ist geeignet, die Richtungsänderung eines Vektorfeldes in Richtung eines weiteren Vektorfeldes zu quantifizieren. Der Begriff des Levi-Civita-Zusammenhangs ist äquivalent zum [[Paralleltransport]] im Sinne von Levi-Civita und daher ein Mittel, um Tangentialräume in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen, woher auch die Bezeichnung Zusammenhang rührt. Da die (semi-)riemannsche Geometrie ein wesentliches Werkzeug zur Formulierung der [[allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] ist, wird der Levi-Civita-Zusammenhang auch hier benutzt. Eine weitere Anwendung findet der Levi-Civita-Zusammenhang bei der Konstruktion des [[Dirac-Operator]]s einer [[Spin-Mannigfaltigkeit]].

== Motivation ==

Für Vektorfelder
<math>X</math> und <math>\textstyle Y=\sum_{i=1}^nf_i\frac{\partial}{\partial x_i}</math>
auf dem euklidischen Raum <math>\mathbb R^n</math> definiert man den Levi-Civita-Zusammenhang als die Richtungsableitung von Y nach X, d.&nbsp;h. die Richtungsableitung der einzelnen Komponenten von Y nach X:
:<math>\nabla^{\mathbb R^n}_XY=\sum_{i=1}^n\nabla_Xf_i\frac{\partial}{\partial x_i}</math>,
wobei <math>\nabla_Xf_i</math> die übliche [[Richtungsableitung]] bezeichnet.

Falls <math>M\subset \mathbb R^n</math> eine Untermannigfaltigkeit des <math>\mathbb R^n</math> ist und <math>X,Y</math> Vektorfelder auf <math>M</math> sind, dann ist <math>\nabla^{\mathbb R^n}_XY</math> ein auf <math>M</math> definiertes Vektorfeld, dessen Bilder aber im Tangentialraum des <math>\mathbb R^n</math>, nicht notwendig im Tangentialraum von <math>M</math> liegen. Für jedes <math>x\in M</math> kann man aber die orthogonale Projektion <math>p:T_x\mathbb R^n\rightarrow T_xM</math> benutzen und definiert dann
:<math>\nabla_XY:=p(\nabla^{\mathbb R^n}_XY)</math>.

Dieser Zusammenhang <math>\nabla_XY</math> erfüllt die unten angegebenen Axiome, nach dem Hauptsatz der Differentialgeometrie stimmt er also mit dem Levi-Civita-Zusammenhang überein. Der Vorteil des unten angegebenen axiomatischen Zugangs ist, dass man den Levi-Civita-Zusammenhang einer Riemannschen Mannigfaltigkeit <math>(M,g)</math> unabhängig von einer zu wählenden Einbettung <math>M\rightarrow\mathbb R^n</math> betrachten kann.

== Definition ==

Es sei <math>(M,g)</math> eine [[Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit|(semi-)]][[riemannsche Mannigfaltigkeit]]. Dann existiert genau ein [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]] <math>\nabla</math> auf dem [[Tangentialbündel]] <math>TM</math> von <math>M</math> mit den folgenden Eigenschaften:

* <math>\nabla</math> ist ''[[Torsionstensor|torsionsfrei]]'', d.&nbsp;h., es gilt
::<math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math>
::für alle Vektorfelder <math>X</math>, <math>Y</math>. Dabei bezeichnet <math>[X,Y]</math> die [[Lie-Ableitung|Lie-Klammer]] der [[Vektorfeld]]er <math>X</math> und <math>Y</math>.
* <math>\nabla</math> ist ein ''[[metrischer Zusammenhang]]'', d.&nbsp;h., es gilt
::<math>Z(g(X,Y)) =g(\nabla_Z X,Y)+g(X,\nabla_Z Y)</math>
::für alle Vektorfelder <math>X</math>, <math>Y</math> und <math>Z</math>.

Dieser Zusammenhang <math>\nabla</math> heißt ''Levi-Civita-Zusammenhang'' oder auch der riemannsche Zusammenhang von <math>(M,g)</math>. Es ist benannt nach [[Tullio Levi-Civita]].

== Eigenschaften ==
=== Hauptsatz der riemannschen Geometrie ===
Aus obiger Definition wird nicht klar, ob ein solcher Levi-Civita-Zusammenhang überhaupt existiert. Dies muss also erst bewiesen werden. Die Aussage, dass ein solcher Zusammenhang existiert und auch eindeutig ist, wird in der Literatur häufig ''Hauptsatz der riemannschen Geometrie'' genannt. Der Levi-Civita-Zusammenhang ist nämlich ein wesentliches Hilfsmittel zum Aufbau der riemannschen Krümmungstheorie. Denn der Krümmungstensor wird mit Hilfe eines Zusammenhangs definiert, daher bietet es sich an, in der riemannschen Geometrie den eindeutig ausgezeichneten Levi-Civita-Zusammenhang für die Definition des [[Riemannscher Krümmungstensor|riemannschen Krümmungstensors]] zu verwenden.

=== Koszul-Formel ===
Der Levi-Civita-Zusammenhang <math>\nabla</math> ist eindeutig beschrieben durch die  ''Koszul-Formel'' (benannt nach [[Jean-Louis Koszul]])
:<math>\begin{align}
 &g(\nabla_XY,Z)\\
 &=\frac 12\bigl(X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(X,Y))-g(Y,[X,Z])-g(Z,[Y,X])+g(X,[Z,Y])\bigl).
\end{align}</math>
Diese gibt eine implizite, globale Beschreibung von <math>\nabla</math>, die sich vor allem für einen
abstrakten Existenzbeweis von <math>\nabla</math> eignet. Man kann zur Konstruktion von <math>\nabla</math> aber auch von einer lokalen Beschreibung ausgehen.

=== Christoffelsymbole ===
Eine lokale Beschreibung von <math>\nabla</math> erhält man wie folgt. Allgemein wird ein Zusammenhang auf einem Vektorbündel lokal durch seine Zusammenhangskoeffizienten beschrieben. Die Zusammenhangskoeffizienten des Levi-Civita-Zusammenhangs sind die klassischen [[Christoffelsymbole|Christoffelsymbole zweiter Art]] <math>\Gamma_{ij}^k</math>. Dies bedeutet im Einzelnen, dass bezüglich einer Karte <math>(U,h)</math> von <math>M</math>
:<math>\nabla_{\partial_i}\partial_j=\sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^k\,\partial_k</math>
mit
:<math>\Gamma_{ij}^k=\frac 12\sum_{l=1}^n g^{kl}(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij})</math>
gilt. Hierbei ist <math>(g^{kl})</math> die [[inverse Matrix]] des [[Metrischer Tensor|riemannschen Fundamentaltensors]] <math>(g_{kl})</math> und <math>(\partial_1,\ldots,\partial_n)</math> die Koordinatenbasis der Karte <math>(U,h)</math>.

Da der Levi-Civita-Zusammenhang torsionsfrei ist, sind die Christoffelsymbole symmetrisch, d.&nbsp;h., für alle <math>i</math>, <math>j</math> und <math>k</math> gilt :<math>\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k</math>.

Man nennt <math>\nabla_XY</math> die ''kovariante Ableitung'' von <math>Y</math> entlang <math>X</math>, da <math>\nabla</math> die klassische kovariante Ableitung aus dem Tensorkalkül von [[Gregorio Ricci-Curbastro]] und [[Tullio Levi-Civita]] verallgemeinert.

== Beziehungen zur Richtungsableitung ==

Es seien <math>(M,g)</math> eine (semi-)riemannsche Mannigfaltigkeit und <math>\nabla</math> der Levi-Civita-Zusammenhang von <math>(M,g)</math>. Außerdem seien <math>X</math>, <math>Y</math> Vektorfelder auf <math>M</math>. Dann lässt sich <math>\nabla_XY</math> wie folgt als Verallgemeinerung des Begriffs der [[Richtungsableitung|Richtungsableitung für Vektorfelder]] des <math>\mathbb{R}^n</math> auffassen.

* Es sei <math>p\in M</math> ein Punkt. Dann hängt <math>\nabla_XY</math> nur vom Tangentialvektor <math>X(p)</math> und dem Vektorfeld <math>Y</math> ab. Wählt man eine glatte Kurve <math>\alpha\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M</math> mit <math>\alpha(0)=p</math> und <math>\alpha'(0)=X(p)</math> und bezeichnet mit <math>P^\alpha</math> den [[Paralleltransport]] entlang <math>\alpha</math> im Sinne von Levi-Civita, so gilt
*:<math>(\nabla_XY)(p)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{P_t^{\alpha}(Y\circ\alpha)-P_0^{\alpha}(Y\circ\alpha)}{t}.</math>
:Das heißt, <math>(\nabla_XY)(p)</math> ergibt sich wie die klassische Richtungsableitung als Grenzwert eines Differenzenquotienten, wobei das „Verpflanzungsgesetz“ ([[Hermann Weyl]]) von <math>T_{\alpha(0)}M</math> nach <math>T_{\alpha(t)}M</math> durch die Parallelverschiebung im Sinne Levi-Civitas gegeben ist. Im Spezialfall, in dem <math>(M,g)</math> der <math>\R^n</math> mit der Standardmetrik ist, stimmt dieser Begriff einer Parallelitätsverschiebung mit der herkömmlichen Parallelverschiebung im <math>\R^n</math> überein, sodass in diesem Fall die gewöhnliche Richtungsableitung eines Vektorfeldes entlang eines Vektorfeldes mit der neu definierten kovarianten Ableitung übereinstimmt.
* Es sei <math>p\in M</math> ein Punkt. Dann existiert eine Karte <math>(U,h)</math> um <math>p</math>, sodass der metrische Fundamentaltensor <math>(g_{ij})</math> im Punkt <math>p</math> bzgl. <math>(U,h)</math> durch <math>(g_{ij}(p))=(\delta_{ij})</math> gegeben ist ([[Riemannsche Normalkoordinaten|Normalkoordinaten]]). Bezüglich einer solchen Karte gilt im Punkt <math>p</math>
*:<math>(\nabla_XY)(p)=\sum_{i,j=1}^nX_i(p)\left.\frac{\partial Y_j}{\partial x_i}(p)\partial_j\right|_p,</math>
:wenn <math>X_i</math> und <math>Y_j</math> die lokalen Koordinaten von <math>X</math> und <math>Y</math> bezüglich <math>(U,h)</math> sind. D.&nbsp;h., bezüglich normaler Koordinaten lautet die lokale Definition von <math>(\nabla_XY)(p)</math> genau so wie im „flachen Fall“ des <math>\R^n</math> mit der Standardmetrik.

Der Levi-Civita-Zusammenhang besitzt eine besonders einfache Beschreibung in dem Fall, in dem <math>(M,g)</math> eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist, die dadurch entsteht, dass man die Standardmetrik des <math>\R^n</math> auf eine Untermannigfaltigkeit <math>M</math> des <math>\R^n</math> einschränkt. In diesem Fall ist der Levi-Civita-Zusammenhang <math>\nabla</math> von <math>(M,g)</math> wie folgt gegeben. Es gilt
:<math>(\nabla_XY)(p)=\mathrm{proj}_{T_pM}^\perp((D_{\tilde X}\tilde Y)(p)).</math>
Dabei sind <math>X</math>, <math>Y</math> Vektorfelder auf <math>M</math>, <math>\tilde X</math>, <math>\tilde Y</math> Fortsetzungen dieser Vektorfelder zu Vektorfelder auf ganz <math>\R^n</math>, <math>D_{\tilde X}\tilde Y</math> die Richtungsableitung von <math>\tilde Y</math> entlang des Vektorfeldes <math>\tilde X</math> und <math>\mathrm{proj}_{T_pM}^\perp</math> die [[Orthogonalprojektion|orthogonale Projektion]] von <math>\R^n</math> auf den Tangentialraum <math>T_pM</math> mit Fußpunkt <math>p</math>.

== Richtungsableitung entlang Kurven ==

Der Levi-Civita-Zusammenhang erlaubt es, den Begriff der Beschleunigung einer glatten Kurve, die in einer riemannschen Mannigfaltigkeit verläuft, zu definieren. Dies führt zu einer Beschreibung
der [[Geodäte]]n der zugrundeliegenden riemannschen Mannigfaltigkeit als den beschleunigungsfreien Kurven. Zunächst definiert der Levi-Civita-Zusammenhang (so wie jeder Zusammenhang auf einem Vektorbündel) eine Richtungsableitung für Vektorfelder, die entlang einer Kurve erklärt sind. Diese Richtungsableitung misst die Änderungsrate des Vektorfeldes in Richtung der Kurve. Es sind unterschiedliche Bezeichnungen für diese Ableitung in Gebrauch. Wir nennen die gebräuchlichsten im Anschluss zur Definition.

Es sei <math>\alpha\colon I\rightarrow M</math> eine glatte [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] in der riemannschen Mannigfaltigkeit <math>(M,g)</math> und <math>X</math> ein Vektorfeld entlang <math>\alpha</math>. Die Richtungsableitung von <math>X</math> entlang <math>\alpha</math> im Punkt <math>t_0\in I</math> ist
:<math>(\nabla_\alpha X)(t_0):=\nabla_{\alpha'(t_0)}X.</math>
Weitere gängige Bezeichnungen für diese Größe sind
:<math>\frac{\nabla_\alpha X}{dt}(t_0),\quad D_tX(t_0).</math>

Insbesondere ist <math>\alpha'</math>, das Geschwindigkeitsfeld von <math>\alpha</math>, selbst ein Vektorfeld entlang der Kurve <math>\alpha</math>. Die Beschleunigung von <math>\alpha</math> ist das Vektorfeld <math>\nabla_{\alpha'}\alpha'</math> entlang <math>\alpha</math>. Die Kurve <math>\alpha</math> ist genau dann eine Geodäte der riemannschen Mannigfaltigkeit <math>(M,g)</math>, wenn ihre Beschleunigung verschwindet. Von einem physikalischen Standpunkt aus lassen sich also Geodäten [[Kinematik|kinematisch]] als die Kurven deuten, denen ein Partikel in der riemannschen Mannigfaltigkeit folgen würde, wenn er keiner Krafteinwirkung ausgesetzt ist.

== Paralleltransport ==

Im Allgemeinen definiert ein [[Paralleltransport]] entlang einer Kurve bezüglich eines Zusammenhangs auf einem Vektorbündel einen Isomorphismus zwischen den Fasern, deren Fußpunkte auf der Kurve liegen. Ist der Zusammenhang der Levi-Civita-Zusammenhang einer riemannschen Mannigfaltigkeit, so sind die Isomorphismen [[Orthogonale Gruppe|orthogonal]], also längen- und winkeltreu. Der vom Levi-Civita-Zusammenhang einer riemannschen Mannigfaltigkeit induzierte Paralleltransport stimmt mit dem von Levi-Civita 1918 erstmals definierten Paralleltransport überein (vgl. [[Paralleltransport im Sinne von Levi-Civita]]). Dieser wurde in einem Spezialfall von [[Ferdinand Minding]] antizipiert.

== Riemannscher Zusammenhang ==

In der Theorie der [[Prinzipalbündel]] werden [[Zusammenhang (Prinzipalbündel)|Zusammenhänge]] als Lie-Algebra-wertige 1-Formen definiert. Da das [[Rahmenbündel]] <math>\pi\colon F(M)\to M</math> einer [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> ein Prinzipalbündel mit der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>GL(n,\mathbb R)</math> als Strukturgruppe ist, kann man mit Hilfe des Levi-Civita-Zusammenhanges <math>\nabla</math> eine [[Zusammenhang (Prinzipalbündel)#Definition|Zusammenhangsform]] wie folgt definieren.

Seien <math>(x_i)_i</math> lokale Koordinaten in einer Umgebung von <math>p\in M</math>, so dass die [[Basis (Vektorraum) | Basis]]
:<math>B = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)</math>
ein Element des Rahmenbündels ist, also <math>B\in F(M)_p</math>. Die [[Christoffel-Symbol]]e <math>\Gamma_{ij}^k</math> des Levi-Civita-Zusammenhangs werden dann durch
:<math>\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\frac{\partial}{\partial x_j}=\sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^k\frac{\partial}{\partial x_k}</math>
beschrieben. Die durch <math>\theta(X):=B^{-1}(\pi(X))</math> definierte <math>\mathbb R^n</math>-wertige 1-Form auf <math>F(M)</math> habe in diesen Koordinaten die Zerlegung
:<math>\theta(X)=\sum_{i=1}^n\theta_{ji}\frac{\partial}{\partial x_i}</math>.
Sei
:<math>(X_1,\ldots,X_n) = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)</math>
die auf eine Umgebung fortgesetzte Basis von <math>T_pM</math>. Dann definiert
:<math>(\omega_{ij})_{ij} = \left(\sum_{k=1}^n \theta_{ik}\left(dX_{jk}+\sum_{l,m}\Gamma_{ml}^k X_{jl}dx_m\right)\right)_{ij}</math>
eine Matrix-wertige 1-Form und es gilt
:<math>\theta\in\Omega^1(F(M),\mathfrak {gl}(n,\mathbb R)). </math><ref>Kobayashi, Nomizu: Foundations of Differential Geometry, Section iii.7</ref>

Der durch den riemannschen Zusammenhang definierte Paralleltransport auf dem Rahmenbündel stimmt mit dem von dem Levi-Civita-Zusammenhang definierten Paralleltransport auf dem Tangentialbündel überein.

Seien <math>(\omega_i)_i</math> die kanonischen 1-Formen des Rahmenbündels, dann hängt die [[Krümmungsform]] des Levi-Civita-Zusammenhangs mit dem [[Riemannscher Krümmungstensor|Riemannschen Krümmungstensor]] über die Gleichung <math>\textstyle \Omega_{ij}=\frac{1}{2}\sum_{kl}R_{ijkl}\omega_k\wedge\omega_l</math> zusammen.

== Literatur ==
* [[Isaac Chavel]]: ''Riemannian Geometry. A Modern Introduction.'' 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-61954-8.
* John M. Lee: ''Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature.'' Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98322-8.
* Barrett O’Neill: ''Semi-Riemannian Geometry. With Applications to Relativity.'' Academic Press, New York 1983, ISBN 0-12-526740-1.
* Michael Spivak: ''A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Band 2).'' Publish or Perish Press, Berkeley 1999, ISBN 0-914098-71-3.
* Rainer Oloff: ''Geometrie der Raumzeit. Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie.'' 3. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-26917-0.
* [[Hermann Weyl]]: ''Raum, Zeit, Materie.'' Springer, 1923.

== Weblinks ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Levi-CivitaConnection.html MathWorld: Levi-Civita Connection]
* [http://planetmath.org/encyclopedia/LeviCivitaConnection.html PlanetMath: Levi-Civita Connection]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]