Quelltext der Seite Leonhard Euler

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[[Datei:Leonhard Euler 2.jpg|mini|Leonhard Euler (Porträt von [[Jakob Emanuel Handmann]], 1756)[[Datei:Euler's signature.svg|rahmenlos|klasse=skin-invert-image]]]]

'''Leonhard Euler''' ({{laS|Leonhardus Eulerus}}; * [[15. April]] [[1707]] in [[Basel]]; †&nbsp;{{JULGREGDATUM|18|9|1783|Link=1}} in [[Sankt Petersburg]]) war ein [[Schweiz]]er [[Mathematik]]er, [[Physik]]er, [[Astronomie|Astronom]], [[Geographie|Geograph]], [[Logik]]er und [[Ingenieur]].

Er machte wichtige und weitreichende Entdeckungen in vielen Bereichen der Mathematik, beispielsweise der [[Infinitesimalrechnung]] und der [[Graphentheorie]]. Gleichzeitig leistete Euler fundamentale Beiträge auf anderen Gebieten wie der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]]. Er prägte große Teile der bis heute weltweit gebräuchlichen mathematischen [[Terminologie]] und Notation, beispielsweise führte er den Begriff der [[Mathematische Funktion|mathematischen Funktion]] in die [[Analysis]] ein. Er ist zudem für seine Arbeiten in der [[Mechanik]], [[Strömungsdynamik]], [[Ballistik]], [[Optik]], [[Astronomie]] und [[Musiktheorie]] bekannt.

Euler, der den größten Teil seines Lebens in [[Sankt Petersburg]] und in [[Berlin]] verbrachte, gilt als einer der brillantesten und produktivsten Mathematiker aller Zeiten. Seine bekannten gesammelten Schriften ''(Opera omnia)'' umfassen 76 Bände.

Leonhard Euler zu Ehren erhielten zwei mathematische Konstanten seinen Namen: die [[Eulersche Zahl]] <math> \mathrm{e} \approx 2{,}71828</math> (Basis des [[Natürlicher Logarithmus|natürlichen Logarithmus]]) und die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math> \gamma \approx 0{,}57721</math> aus der Zahlentheorie, die gelegentlich auch ''Eulersche Konstante'' genannt wird.

[[Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers|Eulers Arbeiten]] inspirierten viele Generationen von Mathematikern, darunter [[Pierre-Simon Laplace]], [[Carl Gustav Jacobi]] und [[Carl Friedrich Gauß]], nachhaltig. Laplace soll zu seinen Schülern gesagt haben: «Lest Euler, er ist unser aller Meister!».

== Biographie ==
=== Kindheit, Jugend und Ausbildung ===
[[Datei:Pfarrhaus, Riehen, Switzerland.jpg|mini|alt=Im Pfarrhaus in Riehen wuchs Leonhard Euler auf.|Im Pfarrhaus in [[Riehen]] bei Basel wuchs Leonhard Euler auf.]]

Euler wurde als ältestes Kind des Pfarrers Paul III. Euler (1670–1745) und dessen Ehefrau Margaretha Brucker (1677–1761), einer Pfarrerstochter, in Basel geboren. Er hatte zwei jüngere Schwestern, Anna Maria und Maria Magdalena, und einen jüngeren Bruder, Johann Heinrich.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Princeton University Press, 2016, S. 11.</ref>

[[Datei:Riehen Dorfkirche.jpg|mini|In der [[Dorfkirche Riehen]] war Leonhard Eulers Vater Paul Pfarrer.]]

Bald nach der Geburt von Leonhard zog die Familie Euler wegen einer Versetzung des Vaters von Basel in das benachbarte Dorf [[Riehen]], wo Leonhard ab 1708 den größten Teil seiner Kindheit verbrachte.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.lexikon-riehen.ch/personen/leonhard-euler/ |titel=Leonhard Euler {{!}} Gemeinde Lexikon Riehen |abruf=2023-02-19}}</ref> Das geistige Klima im Pfarrhaushalt war inspirierend: Eulers Mutter kam selbst aus einer gebildeten Familie, und der Vater hatte mathematische Interessen und bei [[Jakob I Bernoulli]] nicht nur Vorlesungen gehört, sondern sogar 1688 eine mathematische Dissertation verfasst.<ref name="Sonar-s448">Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen.'' Heidelberg (u.&nbsp;a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S.&nbsp;448.</ref> Leonhard Euler besuchte das [[Gymnasium am Münsterplatz]] in Basel und bekam gleichzeitig Privatunterricht beim Theologen [[Johannes Burckhardt (Theologe)|Johannes Burckhardt]] (1691–1743). Dies hatte sein Vater für ihn arrangiert, da der Mathematikunterricht an der Schule gestrichen worden war. Es gilt zudem als gesichert, dass der junge Euler das Buch ''Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeinicklich die Coß genennt werden'' von [[Christoph Rudolff]] (1499–1545) erfolgreich studierte.<ref>Rüdiger Thiele: ''Leonhard Euler.'' Leipzig, 1982, S.&nbsp;16.</ref> Der mathematikbegeisterte Vater war mit den Bernoullis und speziell Europas führendem Mathematiker [[Johann I Bernoulli]], der später großen Einfluss auf den jungen Leonhard nehmen sollte, befreundet.

Im Jahr 1720 schrieb er sich im Alter von 13 Jahren an der [[Universität Basel]] ein. Auf Wunsch seines Vaters, der für seinen Sohn eine Pastorenlaufbahn vorgesehen hatte, begann Euler ein Studium der [[Theologie]] sowie der griechischen und hebräischen Sprache. Drei Jahre später erhielt er die [[Magister]]würde. In der dabei eingereichten Dissertation verglich er die [[Naturphilosophie]] in den Systemen von [[Descartes]] und von [[Isaac Newton|Newton]] miteinander. Die Verteidigungsrede ist zwar nicht schriftlich überliefert, doch wird Eulers naturphilosophisches Bild später Elemente beider großen Systeme beibehalten: von Descartes die Metaphysik der ''Nahwirkung'' aller Kräfte und von Newton die rein ''mathematische'' Durcharbeitung von ''Fernkräften'' auf Punktmassen, die er zeit seines Lebens mit den Mitteln der von ihm geprägten [[Analysis]] weiterentwickeln wird.<ref>Siehe dazu S.&nbsp;14 in R. Thiele (2008): ''Euler und Basel.''</ref>

Zwischenzeitlich hatte er wöchentlich Unterricht bei [[Johann I. Bernoulli|Johann Bernoulli]] genommen, der zu damaliger Zeit führende Mathematiker auf dem Kontinent. Bernoulli war mit dem damaligen Stand der [[Infinitesimalrechnung]] vertraut und entwickelte sie weiter. Euler hatte somit bereits in seinen Jugendjahren direkten Zugang zu aktuellen Problemen der Mathematik, die seine Erforschung der Analysis bestimmen sollten.<ref>Siehe etwa dazu S.&nbsp;16 in R. Thiele (2008): ''Euler und Basel.''</ref><ref>H. Heuser: ''Eulers Analysis.'' (2008), S.&nbsp;147.</ref> Bernoulli war es auch, der die außergewöhnliche Begabung seines neuen Schülers für Mathematik erkannte und zu fördern begann.<ref>Ioan James: ''Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann.'' Cambridge, 2002, S. 2.</ref> Bernoulli überzeugte daraufhin Paul Euler, dass sich Leonhard besser der Mathematik und Physik zuwende. Sein Einfluss auf Eulers Entwicklung war prägend.<ref>Siehe hier unter ‚Autobiographische Notizen‘.</ref> Mit Johann Bernoulli pflegte Euler seit Beginn seiner wissenschaftlichen Karriere bis zu dessen Lebensende, also etwa zwanzig Jahre lang, eine freundschaftliche und kollegiale Briefbeziehung.<ref>Siehe Fellmann: ''Leonhard Euler.'' (1995), S. 12 und 31.</ref>

1726 schloss Euler eine weitere Dissertation mit dem Titel ''De Sono'', ein Werk über die [[Schallausbreitung]], ab.<ref>{{Internetquelle |url=http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf |titel=Concerning the Nature and Propagation of Sound. |format=PDF |abruf=2023-02-19}}</ref> Im Jahr 1727 nahm er erstmals am Wettbewerb um den Pariser Akademiepreis teil, in dem es galt, das Problem der optimalen Platzierung von Schiffsmasten zu lösen. Jedes Jahr stellte die Pariser Akademie einen Preisbericht zusammen, und die Berichte wurden anschließend in ihren Preisbänden ''Pièces qui ont remporté le prix de l’académie royale des sciences de Paris'' (Arbeiten, die den Preis der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Paris gewonnen haben) veröffentlicht.<ref name="Calinger31">Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Princeton University Press, 2016, S. 31.</ref> Eulers eingereichte Arbeit belegte nur den dritten Platz, löste jedoch ein Problem.<ref name="Calinger31" /> Den Wettbewerb gewann [[Pierre Bouguer]], der später als „Vater des Schiffbaus“ Bekanntheit erlangte. Spätere Austragungen des Wettbewerbs konnte Euler in insgesamt zwölf Fällen für sich entscheiden.<ref>{{Literatur |Autor=Ronald Calinger |Titel=Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) |Sammelwerk=Historia Mathematica |Band=23 |Nummer=2 |Datum=1996-05 |Seiten=121–166 |Online=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0315086096900154 |Abruf=2023-02-19 |DOI=10.1006/hmat.1996.0015}}</ref> Von der ersten Ausschreibung im Jahr 1720 bis zum größten Teil des achtzehnten Jahrhunderts galt der ''Prix de Paris'' als die bedeutendste wissenschaftliche Auszeichnung in Europa.<ref name="Calinger31" />

=== Zeit in Sankt Petersburg ===
Um diese Zeit arbeiteten die beiden Söhne von Johann Bernoulli, [[Daniel Bernoulli|Daniel]] und [[Nikolaus II Bernoulli|Nikolaus]], an der 1725 neu eröffneten [[Russische Akademie der Wissenschaften|Kaiserlich Russischen Akademie der Wissenschaften]] in [[Sankt Petersburg]], nachdem bereits Eulers Studienkollege [[Jakob Hermann (Mathematiker)|Jakob Hermann]] ein Jahr zuvor dort die Professur für Mathematik angenommen hatte.<ref>[[Rudolf Wolf (Astronom)|Rudolf Wolf]]: ''Leonhard Euler von Basel.'' In: ''Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz. Vierter Cyclus.'' Orell, Füssli&nbsp;& Comp., Zürich 1862, Seite 91, [https://books.google.de/books?id=k5EPAAAAQAAJ&pg=PA91 online] in: ''books.google.de,'' abgerufen am 4.&nbsp;November 2024.</ref> Am 31. Juli 1726 starb Nikolaus an einer Blinddarmentzündung.<ref name="Calinger125">{{Literatur |Autor=Ronald Calinger |Titel=Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741) |Sammelwerk=Historia Mathematica |Band=23 |Nummer=2 |Datum=1996-05 |Seiten=121–166 |Online=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0315086096900154 |Abruf=2023-02-19 |DOI=10.1006/hmat.1996.0015}}</ref> Als Daniel die Stelle seines Bruders in der Abteilung Mathematik/Physik übernahm, empfahl er, die von ihm frei gewordene Stelle in der [[Physiologie]] mit seinem Freund Euler zu besetzen. Im November 1726 nahm Euler das Angebot an, verzögerte aber die Reise nach Sankt Petersburg, während er sich erfolglos um eine Physikprofessur an der Universität Basel bewarb.<ref name="Calinger125" />

[[Datei:ETH-BIB-Bernoulli, Daniel (1700-1782)-Portrait-Portr 10971.tif (cropped).jpg|mini|Daniel Bernoulli]]

Euler kam am 17. Mai 1727 in Sankt Petersburg an. Er wurde sehr bald von seiner Junior-Stelle in der medizinischen Abteilung der Akademie auf eine Stelle in der mathematischen Abteilung befördert und trat damit die Nachfolge Jakob Hermanns an, der wieder nach Basel zurückkehrte.<ref>Siehe Seite 92 in Wolf: ''Leonhard Euler von Basel'' (1862), im u.&nbsp;a. Literaturverzeichnis. In seiner autobiographischen Notiz, die in Emil A.&nbsp;Fellmann: ''Leonhard Euler'' (1995) abgedruckt ist (S.&nbsp;13 im u.&nbsp;a. Literaturverzeichnis), benennt Euler hingegen die Stelle des ebenfalls mit Hermann in die Heimat zurückkehrenden Herrn ''Büflinger''.</ref> Während dieser Zeit wohnte er bei Daniel Bernoulli, mit dem er oft eng zusammenarbeitete. Euler beherrschte bereits nach kurzem Aufenthalt die [[russische Sprache]] fließend und ließ sich in Sankt Petersburg nieder.<ref>Peter Hoffmann: ''Leonhard Euler and Russia.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 63.</ref> Einige Quellen (primär ältere Sekundärwerke) behaupten, dass er (auf der Grundlage eines Preises der Pariser Akademie für [[Schiffsmast]]en und [[Physiologie]]kurse) zum Sanitäter der [[Russische Marine|russischen Marine]] wurde. Hierüber gibt es jedoch keine Aufzeichnungen.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Princeton University Press, 2016, S. 68.</ref>

Die von [[Peter der Große|Peter dem Großen]] gegründete Akademie in Sankt Petersburg sollte die Ausbildung in Russland verbessern und den wissenschaftlichen Vorsprung Westeuropas aufholen. Zu diesem Zweck wurde sie für ausländische Wissenschaftler wie Euler besonders attraktiv gemacht. Die Akademie verfügte über reichlich finanzielle Mittel und eine umfangreiche Bibliothek, die aus den Privatbibliotheken Peters und des Adels stammte. Um die Lehrtätigkeit der Fakultät zu entlasten, wurden nur sehr wenige Studenten an der Akademie eingeschrieben. Die Akademie legte gesteigerten Wert auf die Forschung und bot ihren Mitgliedern sowohl die Zeit als auch die Freiheiten, wissenschaftlichen Fragen nachzugehen.<ref name="CalingerFirst126">Ronald Calinger: ''Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)''. Historia Mathematica. 23 (2), 1996, S. 126.</ref>

[[Katharina I.]], die die fortschrittliche Politik ihres verstorbenen Mannes fortgesetzt und die Akademie unterstützt hatte, starb am Tag von Eulers Ankunft. Mit dem Aufstieg des zwölfjährigen [[Peter II. (Russland)|Peter II.]] gewann der russische Adel an Einfluss. Der Adel, der den ausländischen Wissenschaftlern der Akademie ablehnend gegenüberstand, kürzte die Mittel und bereitete Euler und seinen Kollegen damit zunehmende Schwierigkeiten.<ref name="CalingerFirst126" />

Nach dem Tod Peters II. Anfang 1730 verbesserten sich die Bedingungen für die Wissenschaft wieder ein wenig. Euler stieg dank seiner Leistungen rasch auf und wurde 1731 zum Professor für Physik ernannt. Zwei Jahre später reiste Daniel Bernoulli, der die Zensur und die Feindseligkeiten in Sankt Petersburg nicht mehr ertrug, nach Basel. Euler trat schließlich 1733 als dessen Nachfolger die Professur für Mathematik an.<ref>Ronald Calinger: ''Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)''. Historia Mathematica. 23 (2), 1996, S. 128–129.</ref>

Am 7.&nbsp;Januar 1734 heiratete er Katharina Gsell (1707–1773), eine Tochter des Malers [[Georg Gsell]] aus dessen erster Ehe mit Marie Gertrud van Loen.<ref>I. R. Gekker, A. A. Euler: ''Leonhard Euler’s family and descendants''. In [[Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow]], G. K. Michaĭlow, [[Adolf Pawlowitsch Juschkewitsch]] (Hrsg.): Euler and Modern Science. Übersetzt von Robert Burns. Mathematical Association of America, 2007, S.&nbsp;402.</ref> Das junge Paar kaufte ein Haus an der [[Newa]]. Von ihren 13 Kindern überlebten nur fünf die Kindheit.<ref>{{Internetquelle |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Euler_Fuss_Eulogy/ |titel=Eulogy of Leonhard Euler by Nicolas Fuss |sprache=en |abruf=2023-02-19}}</ref> Eulers Enkelin Charlotte Anna Wilhelmine (*&nbsp;1773; †&nbsp;1831), die Tochter seines Sohnes [[Johann Albrecht Euler|Johann Albrecht]] (*&nbsp;1734; †&nbsp;1800), war mit [[Jakob II Bernoulli|Jakob Bernoulli]], dem zweiten Jakob der Bernoulli-Familie (*&nbsp;1759; †&nbsp;1789), kinderlos verheiratet.<ref>{{Internetquelle |url=http://www.hfls.ch/humo-gen/family/1/F73018?main_person=I219557 |titel=Historisches Familienlexikon der Schweiz |abruf=2024-01-14}}</ref>

Nach Eulers eigener Einschätzung ließen ihn die Petersburger Jahre zu einem starken Wissenschaftler heranreifen. Dies geht aus verschiedenen überlieferten Briefen aus seiner Berliner Zeit hervor.<ref>Peter Hoffmann: ''Leonhard Euler and Russia.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 63.</ref>

=== Zeit in Berlin ===
[[Datei:Friederike-Charlotte-Preussen.jpg|mini|[[Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt]] (1767), Fürstäbtissin des [[Stift Herford|Stifts Herford]]]]

Besorgt über die anhaltenden politischen Wirren und Machtkämpfe in Folge des Todes der [[Zar]]in [[Anna (Russland)|Anna&nbsp;I.]] in Russland verließ Euler am 19. Juni 1741 Sankt Petersburg, um eine Stelle an der [[Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin|Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin]] zu übernehmen, die ihm von [[Friedrich der Große|Friedrich&nbsp;II.]] von Preußen angeboten worden war. Euler korrespondierte dort mit [[Christian Goldbach]] und verglich dessen Theorien mit seinen eigenen.

Darüber hinaus wurde Euler gebeten, [[Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt]], Friedrichs Cousine zweiten Grades, als Tutor zu dienen. Anfang der 1760er-Jahre schrieb Euler über 200 Briefe an sie, die später zu einem Buchband mit dem Titel ''[[Briefe an eine deutsche Prinzessin]] – über verschiedene Gegenstände aus der Physik und Philosophie'' zusammengestellt wurden.<ref>{{Internetquelle |url=https://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?mode=imagepath&url=/permanent/library/DWK1035T/pageimg |titel=Euler, Leonhard – Briefe an eine deutsche Prinzessin über verschiedene Gegenstände aus der Physik und Philosophie; Bd. 1 |abruf=2023-02-19}}</ref> Dieses Werk enthielt Eulers Ausführungen zu verschiedenen Themen der Physik und Mathematik und bot wertvolle Einblicke in seine Persönlichkeit und religiösen Überzeugungen. Das Buch wurde populärer als jedes seiner mathematischen Werke und in ganz Europa und in den [[Vereinigte Staaten|Vereinigten Staaten]] veröffentlicht. Die Popularität der „Briefe“ zeugt von Eulers Fähigkeit, wissenschaftliche Themen einem Laienpublikum effektiv zu vermitteln, etwas, was unter engagierten Forschern als selten galt.<ref>William Dunham: ''Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America.'' 1999, S. XXIV–XXV.</ref>

[[Datei:Leonhard Euler.jpg|mini|Porträt des Leonhard Euler ([[Jakob Emanuel Handmann]] 1753). Zu erkennen ist das entzündete rechte Auge.]]

Eulers [[Sehkraft]] verschlechterte sich im Laufe seines Lebens. Im Jahr 1738, drei Jahre nachdem er zwischenzeitlich lebensgefährlich erkrankt war (es ist aus den Aufzeichnungen Eulers damaligen Arztes nicht zu erkennen, welche Erkrankung genau vorlag),<ref>Emil. René Bernoulli: ''Leonhard Eulers Augenkrankheiten.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 473.</ref> erblindete er auf seinem rechten Auge fast vollständig. Euler machte jedoch die mühsame Arbeit an der [[Kartographie]] für die Sankt Petersburger Akademie dafür verantwortlich. Seine Sehkraft auf diesem Auge verschlechterte sich während seines Aufenthalts in Deutschland so sehr, dass Friedrich ihn bald als „mein [[Kyklop|Zyklop]]“ bezeichnete.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahr Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen.'' Heidelberg (u.&nbsp;a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S.&nbsp;458.</ref> Euler bemerkte zu seinem Sehverlust: „Jetzt werde ich weniger Ablenkung haben“.<ref>David S. Richeson: ''Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology.'' Princeton University Press, 2012, S. 17 (zitiert von Howard W. Eves: ''In Mathematical Circles: A Selection of Mathematical Stories and Anecdotes.'' Prindle, Weber, & Schmidt, 1969, S.&nbsp;48).</ref>

[[Datei:Friedrich Zweite Alt.jpg|mini|Friedrich II. (Porträt von [[Anton Graff]], 1781) gilt als großer Reformer]]

Trotz Eulers immensen Beitrags zum Ansehen der Akademie geriet er mit Friedrich in Streit. Der preußische König hatte einen großen Kreis von Intellektuellen an seinem Hof. Er fand den Mathematiker jedoch unkultiviert und zu schlecht informiert über die Dinge jenseits von Zahlen und Werten. In einem Brief an seinen Bruder [[August Wilhelm von Preußen (1722–1758)|August Wilhelm]] schrieb Friedrich:

{{Zitat
 |Text=Liebster Bruder! Ich dachte mir schon, daß Deine Unterhaltung mit Herrn Euler Dich nicht erbauen würde. Seine Epigramme bestehen in Berechnungen neuer Kurven, irgendwelcher Kegelschnitte oder astronomischer Messungen. Unter den Gelehrten gibt es solche gewaltige Rechner, Kommentatoren, Übersetzer und Kompilatoren, die in der Republik der Wissenschaften nützlich, aber sonst alles andere als glänzend sind. Man verwendet sie wie die dorischen Säulen in der Baukunst. Sie gehören in den Unterstock, als Träger des ganzen Bauwerkes und der korinthischen Säulen, die seine Zierde bilden.
 |Autor=[[Friedrich II. (Preußen)|Friedrich II.]]
 |Quelle=Oktober 1746
 |ref=<ref>E. A. Fellmann: ''Leonhard Euler.'' Reinbek, 1995, S. 85 f.</ref>}}

Als einfacher, frommer Mann, der nie die bestehende Gesellschaftsordnung oder konventionelle Überzeugungen in Frage stellte, galt Euler in vielerlei Hinsicht als das genaue Gegenteil von [[Voltaire]], der an Friedrichs Hof einen hohen Stellenwert genoss. Euler war kein geübter Redner und machte es sich oft zur Aufgabe, über Themen zu streiten, über die er wenig wusste, was ihn zum Ziel von [[Spott]] seitens Voltaires machte.<ref>William Dunham: ''Euler: The Master of Us All.'' Mathematical Association of America, 1999, S. XXIV–XXV.</ref> In der als ''Akademiestreit'' bezeichneten Auseinandersetzung zwischen [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|Pierre Maupertuis]] und Voltaire stand Euler, neben Friedrich II., als einer der wenigen auf Maupertuis’ Seite.<ref>Emil. A. Fellmann: ''Leonhard Eulers Stellung in der Geschichte der Optik.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 310.</ref>

Friedrich hatte für Eulers Arbeits- und Ausdrucksweise nur wenig Verständnis. Ihm war die ‹Strenge der Mathematik […] ein Greuel›.<ref>G. Kröber: ''Einleitung'' zu: Leonhard Euler, ''Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl'', 1983, Seite 5–27, in der u.&nbsp;a. ''Literatur: Sonstiges'', S. 8. Friedrich hat eine Abhandlung mit dem Titel ''Betrachtungen über die Betrachtungen der Mathematiker über die Dichtkunst'' verfasst (1762), in der er seiner Abneigung gegenüber mathematischem Denken und Vorgehen Ausdruck verleiht. Zu finden in G.&nbsp;Volz, F.&nbsp;Oppeln-Bronikowski (Hrsg.): ''Die Werke Friedrichs des Großen.'' Bd.&nbsp;8: ''Philosophische Schriften''. Berlin 1913, S.&nbsp;62–73. Online: {{archive.org |diewerkefriedric08fred |Blatt=62}}, abgerufen am 4.&nbsp;November 2024.</ref> Unter anderem konnten Eulers Versuche, die Musik auf Basis der Mathematik zu behandeln, bei Friedrich nur hämische Bemerkungen hervorrufen.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen.'' Heidelberg (u.&nbsp;a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S.&nbsp;457.</ref> Auch soll Euler sich einmal auf einen Wettstreit mit Friedrichs Kapellmeister eingelassen haben, in dem er ein Menuett nach den Grundsätzen der von ihm entwickelten und nach ihm benannten [[Eulersches Tonnetz|Tonlehre]] komponierte. Doch erwies sich diese Musik als ‹unsangbar, steif, ohne die mindeste Anmut; man war froh, als er die letzte Note anschlug›.<ref>Wortlaut aus O. Spiess: ''Leonhard Euler.'' (1929), S. 174; wiedergegeben in G. Kröber: ''Einleitung'' zu: Leonhard Euler, ''Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl'', 1983, Seite 5–27, beide Schriften in der unten angegebenen ''Literatur'', S. 8.</ref>

Friedrich II. brauchte Eulers mathematische Fertigkeiten vor allem für praktische Dienste, wie für die Nivellierung des [[Finowkanal]]s, für die Anlage der Wasserwerke in [[Sanssouci]], zur Aufsicht über die [[Liste der Salinen Deutschlands#Sachsen-Anhalt|Salzwerke in Schönebeck]], oder zur Begutachtung von Lotterieplänen, Witwenkassen und anderen Finanzprojekten.<ref>G. Kröber: ''Einleitung'' zu: Leonhard Euler, ''Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl'', 1983, Seite 5–27, in der u.&nbsp;a. ''Literatur: Sonstiges'', S. 8.</ref> Dabei äußerte er seine Enttäuschung über Eulers praktische Fähigkeiten als [[Ingenieur]]:

{{Zitat
 |Text=Je voulus faire un jet d’eau en mon Jardin; le Ciclope Euler calcula l’éffort des roues, pour faire monter l’eau dans un bassin, d’ou elle devoit retomber par des canaux, afin de jaillir à Sans-Souci. Mon Moulin a été éxécuté géométriquement, et il n’a pu élever une goutte d’eau à Cinquante pas du Bassin. Vanité des Vanités ! Vanité de la géométrie.
 |Sprache=fr
 |Autor=[[Friedrich II. (Preußen)|Friedrich II.]]
 |Quelle=An Voltaire 25. Januar 1778
 |Übersetzung=Ich wollte in meinem Garten eine Fontaine anlegen lassen. Der Zyklop Euler berechnete die Kräfte der Räder, durch die das Wasser in ein Bassin steigen, von da wieder herunterfallen, durch Kanäle fließen und in Sanssouci springen sollte. Meine Wasserkunst ward mathematisch angelegt, und konnte fünfzig Schritte weit nicht einen Tropfen in die Höhe bringen. O Eitelkeit der Eitelkeiten! O Eitelkeit der Geometrie!
 |ref=<ref>''Deutsch in Karl Heinrich Siegfried Rödenbeck: Tagebuch oder Geschichtskalender aus Friedrich’s des Großen Regentenleben'' (1740–1786). Bd. 3, S. 182–183.</ref><ref>{{Literatur |Hrsg=Theodore Besterman |Titel=The Complete Works of Voltaire |Band=Band 129: ''Correspondence and related documents, XLV September 1777-May 1778, letters D20780-D21221'' |Verlag=The Voltaire Foundation |Ort=Banbury |Datum=1976 |Kapitel=D21010, Frederick II to Voltaire, 25 January 1778 |Seiten=184–186 |Fundstelle=hier S.&nbsp;185 |Sprache=en}} {{" |Text=I wanted to make a jet of water in my Garden; the Cyclop Euler calculated the effort of the wheels for raising the water to a basin, from where it should fall down through canals, in order to form a fountain jet at Sans-Souci. My mill was constructed mathematically, and it could not raise one drop of water to a distance of fifty feet from the basin. Vanity of Vanities! Vanity of mathematics. |Sprache=en}}</ref>}}

Nach Einschätzung des Physikers [[Michael Eckert]] ist das Scheitern des Bauprojektes jedoch nicht auf Rechenfehler Eulers, sondern minderwertiges Baumaterial zurückzuführen.<ref>M. Eckert: ''Euler and the Fountains of Sanssouci.'' In: [[Archive for History of Exact Sciences]] 56 (2002) 451–468, S. 451 ff.</ref>

Als Grund für den endgültigen Bruch zwischen Euler und Friedrich gilt jedoch die Weigerung des Monarchen, nach dem Tode von [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|Pierre Maupertuis]] Euler als dessen Nachfolger für das Amt des Präsidenten der Akademie zu ernennen. Stattdessen favorisierte Friedrich den französischen Mathematiker [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert]]. Als d’Alembert aber den Posten des Präsidenten der Akademie nicht annahm und stattdessen Euler vorschlug, ignorierte Friedrich dies.
Euler zeigte zu wenig ‹staatmännischen Schliff›, zu wenig Eloquenz, er hatte kein sicheres Auftreten: Merkmale, auf die Friedrich viel Wert legte.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler''. (1995), S. 96.</ref> Überliefert sind auch Vorkommnisse, bei denen Euler in der Akademie gewisse Führungsschwäche an den Tag legte und die Friedrich verärgert haben.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler''. (1995), Seite 99; sowie Wolf (1862), S. 100.</ref>
Als Reaktion auf Friedrichs Ablehnung reichte Euler ein Entlassungsgesuch ein, blieb mit seiner Bitte jedoch erfolglos. Erst nach einem zweiten Versuch ließ Friedrich ihn ziehen.<ref>Rüdiger Thiele: ''Leonhard Euler.'' Leipzig, 1982, S. 137.</ref> Kurz nach Eulers Abreise ernannte Friedrich den Mathematiker [[Joseph-Louis Lagrange]], mit dem Euler bei der Entwicklung der [[Variationsrechnung]] zusammengearbeitet hatte, zum Präsidenten.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen.'' Heidelberg (u.&nbsp;a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S.&nbsp;459.</ref>

Euler lebte insgesamt 25 Jahre lang in Berlin, wo er über 380 Artikel schrieb. In Berlin veröffentlichte er zwei seiner bekanntesten Werke: die ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'', ein 1748 veröffentlichter Text über [[Mathematische Funktion|Funktionen]], und die Arbeit ''Institutiones calculi differentialis'',<ref>{{Internetquelle |url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/ |titel=Euler Archive – Works by Euler {{!}} Euler Archive {{!}} University of the Pacific |abruf=2023-02-19}}</ref> die die [[Differentialrechnung]] behandelt und 1755 veröffentlicht wurde. 1755 wurde er zum ausländischen Mitglied der [[Königlich Schwedische Akademie der Wissenschaften|Königlich-Schwedischen Akademie der Wissenschaften]] gewählt.

=== Rückkehr nach Sankt Petersburg und Tod ===
[[Datei:Catherine II by J.B.Lampi (1780s, Kunsthistorisches Museum).jpg|mini|Katharina II. bereitete Euler in Sankt Petersburg einen großen Empfang]]

1760, als der [[Siebenjähriger Krieg|Siebenjährige Krieg]] im Gange war, wurde Eulers Hof in [[Berlin-Charlottenburg|Charlottenburg]] von den vorrückenden russischen Truppen geplündert. Als General [[Iwan Petrowitsch Saltykow]] von diesem Zwischenfall erfuhr, zahlte er eine Entschädigung an Euler für dessen verloren gegangenen Besitz, wobei Kaiserin Elisabeth von Russland später eine weitere Zahlung von 4000 [[Rubel]] hinzufügte – damals eine enorme Summe.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Life and Thought.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 43–44.</ref> Die politische Situation in Russland stabilisierte sich nach der Thronbesteigung von [[Katharina die Große|Katharina der Großen]], so dass Euler 1766 eine Einladung zur Rückkehr an die Sankt Petersburger Akademie annahm. Euler stellte Bedingungen: ein Jahresgehalt von 3000 Rubel, eine Rente für seine Frau und das Versprechen, seine Söhne in hohe Positionen zu berufen. All diesen Bitten wurde stattgegeben.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Life and Thought.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 47.</ref> Er sollte den Rest seines Lebens in Russland verbringen.

1771 erblindete er vollständig. Es hatte sich ein [[Grauer Star]] in seinem linken Auge entwickelt, der 1766 entdeckt wurde. Die Wiederherstellung des Sehvermögens durch einen chirurgischen Eingriff an seinem linken Auge verbesserte seine Sehkraft vorübergehend. Im Oktober wurde er jedoch durch eine Komplikation, möglicherweise eine Infektion, fast vollständig blind und hatte gelegentlich Schmerzen.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Life and Thought.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 51.</ref> Er war damals 59 Jahre alt. Sein Zustand schien aber kaum Auswirkungen auf seine Produktivität zu haben, da er vieles mit seinen geistigen Rechenfähigkeiten und seinem außergewöhnlichen Gedächtnis kompensierte. Mit Hilfe seiner Schreiber konnte Euler seine Publikationsrate sogar noch erhöhen.<ref>Edna Ernestine Kramer: ''The Nature and Growth of Modern Mathematics.'' Princeton University Press, S. 217.</ref> Die Eulers trugen einen Doppelnamen, Euler-Schölpi, der sich von „schelb“ und „schief“ ableitet und für schielende oder krumme Augen steht.<ref>Fritz Nagel: ''Leonhard Euler und die Wonnen der Wissenschaft.'' Begleittext zur Ausstellung in der Universitätsbibliothek Basel vom 17.03. bis 9. Juni 2007, S. 15.</ref> Dies deutet darauf hin, dass die Eulers möglicherweise alle eine Anfälligkeit für Augenprobleme hatten.<ref>Ronald Calinger: ''Leonhard Euler mathematical genius in the Enlightenment''. Princeton University Press, 2016, S. 8.</ref>

Trotz Erblindung entstand fast die Hälfte seines Lebenswerks in der zweiten Petersburger Zeit. Hilfe erhielt er dabei von seinen Söhnen [[Johann Albrecht Euler|Johann Albrecht]], Karl und [[Christoph Euler|Christoph]] sowie von seinem Sekretär [[Nikolaus Fuss]].<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Life and Thought.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 53.</ref> Trotz seiner wissenschaftlichen Produktivität wurde er nie Präsident der Universität. Eulers Beziehungen zum Direktor der Petersburger Akademie [[Wladimir Grigorjewitsch Orlow]], der den Posten im Alter von 23 Jahren angetreten hatte, gestalteten sich erneut schwierig. Euler zog sich bald von seinen offiziellen akademischen Pflichten an der Petersburger Akademie zurück, was ihm mehr Freiraum für seine wissenschaftliche Arbeit gab.<ref>Peter Hoffmann: ''Leonhard Euler and Russia.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 69.</ref>

Sein zweiter Aufenthalt in Russland war, neben seiner Erblindung, auch von weiteren einschneidenden Ereignissen geprägt. Ein Brand in Sankt Petersburg im Jahr 1771 kostete ihn seine Wohnstätte und fast sein Leben. Unter anderem seine Bibliothek und Möbel fielen den Flammen zum Opfer, doch durch die schnelle Reaktion von Wladimir Orlow konnten viele Manuskripte gerettet werden. Ein Verlust war ein Werk über Mondtheorie, das 1772 von der Akademie in Paris hätte veröffentlicht werden sollen. Johann Albrecht Euler musste es anschließend Wort für Wort neu aufschreiben.<ref>Ronald Calinger: ''Leonhard Euler mathematical genius in the Enlightenment''. Princeton University Press, 2016, S. 487.</ref> 1773 starb schließlich seine erste Frau Katharina.<ref name="Calinger52">Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Life and Thought.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 52.</ref> Der Verlust erschwerte das häusliche Leben enorm, da Katharina den kompletten Haushalt geführt hatte. Euler war entschlossen, unabhängig zu bleiben und sich nicht auf seine Söhne zu verlassen, obwohl es damals durchaus üblich war, dass ein älterer Elternteil bei den Kindern wohnte und unter ihrer Obhut stand.<ref name="Calinger52" /> Er arbeitete wie in der ersten Sankt Petersburger Periode in der [[Kunstkammer (Sankt Petersburg)|Kunstkammer]].

[[Datei:euler1a.jpg|mini|Eulers Grab auf dem Friedhof des [[Alexander-Newski-Kloster]]s in Sankt Petersburg]]

Drei Jahre nach dem Tod seiner Frau heiratete Euler ihre Halbschwester Salome Abigail Gsell (1723–1794), Tochter von Georg Gsell und dessen dritter Ehefrau [[Dorothea Maria Graff|Maria Dorothea Gsell]],<ref name="eulerstammbaum">{{Internetquelle |url=http://www.euler.ch/stammbaum.pdf |titel=Genealogische Liste der Nachkommenschaft von Leonhard Euler |format=PDF |abruf=2023-02-19 |archiv-datum=2020-07-23 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20200723055159/http://www.euler.ch/stammbaum.pdf |offline=ja |archiv-bot=2026-03-25 20:42:52 InternetArchiveBot }}</ref> der Tochter von [[Maria Sibylla Merian]]. Diese Ehe währte bis zu seinem Tod. Im Jahr 1782 wurde er zum ausländischen Ehrenmitglied der [[American Academy of Arts and Sciences|Amerikanischen Akademie der Künste und Wissenschaften]] gewählt.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.amacad.org/sites/default/files/academy/multimedia/pdfs/publications/bookofmembers/ChapterE.pdf |titel=Euler, Leonhard (1707–1783) |format=PDF |abruf=2023-02-19}}</ref>

Am 18. September 1783 (des [[Gregorianischer Kalender|gregorianischen Kalenders]]) diskutierte Euler in Sankt Petersburg nach einem Mittagessen mit seiner Familie und seinem Kollegen [[Anders Johan Lexell]] über den neu entdeckten Planeten [[Uranus (Planet)|Uranus]] und seine Umlaufbahn, als er in Folge einer [[Hirnblutung]] kollabierte. Einige Stunden später, gegen elf Uhr in der Nacht, starb er.<ref>''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', herausgegeben von Robert E. Bradley, Ed Sandifer, S. 56.</ref> [[Jacob von Staehlin]] schrieb einen kurzen Nachruf für die Russische Akademie der Wissenschaften, und Nikolaus Fuss hielt bei einem Gedenktreffen eine ausführlichere Lobrede. [[Marquis de Condorcet]] schrieb angesichts Eulers Ableben:

{{Zitat
 |Text=[…] er hörte auf zu rechnen und zu leben.
 |Autor=Marquis de Condorcet
 |ref=<ref>{{Literatur |Autor=Marquis de Condorcet |Titel=Leonhard Eulers Briefe über verschiedene Gegenstände aus der Naturlehre |Band=1 |Datum= |Seiten=XIX |Originalsprache=fr |Übersetzer=Friedrich Kries |Online={{Google Buch |BuchID=iCB6cs1YQ80C |SeitenID=PR19}}}}</ref>}}

Euler wurde neben seiner Frau auf dem lutherischen Smolensker Friedhof auf der [[Wassiljewski-Insel]] in Sankt Petersburg begraben. Die [[Russische Akademie der Wissenschaften]] setzte 1837 einen [[Grabstein|Stein auf das Grab]].<ref>''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy'', herausgegeben von Robert E. Bradley, Ed Sandifer, S. 57.</ref> Zum Gedenken an den 250. Jahrestag von Eulers Geburtstag wurde der Grabstein 1956 zusammen mit seinen sterblichen Überresten in die Nekropole auf den [[Lazarus-Friedhof]] des [[Alexander-Newski-Kloster]]s umgebettet.

[[Datei:Nicolaus Fuss.png|mini|Titelblatt der «Lobrede auf Herrn Leonhard Euler» von 1783]]
Eulers bahnbrechende Leistungen auf vielen Gebieten waren bereits seinen Zeitgenossen bewusst. So wurde er als „fleischgewordene Analysis“ und „Sonne aller Mathematiker“ gefeiert.<ref name="Sonar-s448" /> In seiner ausführlichen Lobrede betonte Nikolas Fuss Eulers Einfluss auf die Wissenschaft:

{{Zitat
 |Text=Dies sind Eulers Verdienste um die Aufklärung seines Zeitalters, dies seine der Unsterblichkeit würdigen Arbeiten. Sein Name, den die Nachwelt dem eines Galilei, Descartes, Leibniz, Newton und so vieler anderer grossen Männer, die der Menschheit durch ihr Genie Ehre gemacht haben, an die Seite setzen wird, kann nur mit den Wissenschaften erlöschen. […] Wenige Gelehrte haben so viel als Euler geschrieben, kein Geometer so viele Gegenstände auf einmal umfaßt, keiner über alle Teile der Mathematik so viel Licht verbreitet.
 |Autor=[[Nikolaus Fuss]]
 |Quelle=1783
 |ref=<ref>N. Fuss: [https://reader.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/display/bsb10063079_00116.html ''Lobrede auf Herrn Leonhard Euler''], Digitalisat der Bayerischen Staatsbibliothek, München, S. 106–107.</ref>}}

Bei diesem Nachruf handelt es sich um einen der berühmtesten, die aus der Geschichte der Wissenschaften überliefert sind. Die ursprüngliche Fassung war auf Französisch geschrieben und wurde am 23. Oktober 1783 (gregorianisch: 3. November) in der ''Kayserlichen Akademie der Wissenschaften zu Sankt Petersburg'' vorgelesen.<ref>{{Internetquelle |url=http://www.personalschriften.de/aktuelles/artikelansicht/details/leonhard-euler-1707-1783.html |titel=Artikelansicht : Forschungsstelle für Personalschriften |datum=2020-02-16 |abruf=2023-02-19 |archiv-datum=2020-02-16 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20200216102525/http://www.personalschriften.de/aktuelles/artikelansicht/details/leonhard-euler-1707-1783.html |offline= |archiv-bot=2026-03-25 20:42:52 InternetArchiveBot }}</ref>

Nach der [[Oktoberrevolution]] von 1917 kehrte ein Teil seiner Nachkommen von Russland in die Schweiz zurück, darunter die Eltern des späteren Nationalrats [[Alexander Euler]] (1929–2012).<ref>{{HLS|33690|Alexander Euler|Autor=[[Ruedi Brassel-Moser]]|Datum=2012-10-24|Abruf=2020-02-08}}</ref>

== Wissenschaftliches Werk ==
{{Hauptartikel|Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers}}

Eulers Forschung war sehr vielseitig. Er arbeitete in fast allen Bereichen der Mathematik und gilt als einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte.<ref name="Sonar-s448" /><ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute.'' S. vii.</ref><ref>Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' Springer, S. XI.</ref> Unter anderem publizierte er über [[Geometrie]], [[Infinitesimalrechnung]], [[Trigonometrie]], [[Algebra]] und [[Zahlentheorie]], sowie [[Kontinuumsmechanik]], Mondtheorie und andere Bereiche der Physik. Seine gesammelten Schriften der ''Opera omnia'' umfassen 76 Bände.<ref>Walter Gautschi: [https://www.cs.purdue.edu/homes/wxg/EulerLect.pdf ''Leonhard Euler: His Life, the Man, and His Works''], SIAM Review, Bd. 50, Nr. 1, S. 3–33, [[doi:10.1137/070702710]], S. 3.</ref> Insgesamt sind 866&nbsp;Publikationen von ihm bekannt.<ref>James J. Tattersall: ''Elementary Number Theory in Nine Chapters.'' S. 18.</ref> Sein Gesamtwerk umfasst damit schätzungsweise ein Drittel des gesamten [[Textkorpus|Korpus]] mathematischer, physikalischer und mechanischer Forschung innerhalb der letzten drei Viertel des 18. Jahrhunderts.<ref>W. Dunham: ''The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work.'' S. 15.</ref> Eulers Name ist mit einer großen Anzahl von Resultaten und wissenschaftlichen Themenbereichen verbunden.

Nach Leonhard Euler sind gleich zwei [[Liste mathematischer Konstanten|mathematische Konstanten]] benannt: die [[Eulersche Zahl]] <math> \mathrm{e} \approx 2{,}71828 </math> aus der [[Analysis]] und die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] γ (Gamma) aus der Zahlentheorie, die manchmal nur als ''Eulersche Konstante'' bezeichnet wird und ungefähr gleich 0,57721 ist.

Sein mathematisches Werk inspirierte viele Generationen von Mathematikern nachhaltig. Unter anderem beeinflusste er die Arbeit von [[Pierre-Simon Laplace]], [[Joseph-Louis Lagrange]], [[Carl Friedrich Gauß]], [[Carl Gustav Jacobi]], [[Niels Henrik Abel]], [[Évariste Galois]], [[Karl Weierstraß]] und [[Bernhard Riemann]].<ref>Herbert Pieper: ''Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi.'' Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 98.</ref><ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute.'' S. xix.</ref>

=== Mathematische Notationen ===
Euler hat in seinen zahlreichen Lehrbüchern mehrere Notationskonventionen eingeführt. Durch die weite Verbreitung der Bücher setzten sich viele seiner Notationen nachhaltig durch. Er führte das Konzept der [[Mathematische Funktion|mathematischen Funktion]] ein<ref>William Dunham: ''Euler: The Master of Us All.'' Mathematical Association of America 1999, S. 17.</ref> und schrieb als erster ''f(x)'', um die Funktion ''f'' zu bezeichnen, die auf das Argument ''x'' angewandt wird.

'''Der Funktionsbegriff:'''
Allgemeine Definitionen einer Funktion stellt Euler erstmals in seinen Schriften über die Analysis des Unendlichen ''Introductio in Analysin infinitorum'' (1748, E101, 1745 verfasst<ref>[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/101/ Introductio in analysin infinitorum, volume 1], auf scholarlycommons.pacific.edu.</ref>) und über die Differentialrechnung ''Institutiones calculi differentialis'' (1755, E212, verfasst 1748<ref>[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/212/ Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, volume 1], auf scholarlycommons.pacific.edu</ref>) an den Anfang.<ref>Beide Schriften sind hier auch in den ''Publikationen (Auswahl)'' zu finden.</ref> So wie für Euler die ganze Mathematik eine Lehre zur Analyse von Größen (als lateinische ''quantitas'') darstellte, so bezeichnet er die ''Funktion'' als eine ‹Abhängigkeit einer Größe von einer anderen›.<ref>Wortlaut in H. Heuser (2008), S.&nbsp;152.</ref> Besonders in diesem Funktionsbegriff zeigt sich der ‚mechanisch‘ geprägte Hintergrund, den Euler von seinen Lehrern wie aus seinen Lektüren übernommen hatte.<ref>R. Thiele (2008): ''Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte.'' S.&nbsp;172.</ref> Während er aber in der erstgenannten Schrift noch ''rechnerische'' Abhängigkeiten für die Variablen erklärt – und damit noch im Bereich des arithmetischen Funktionsbegriffs nach seinem Lehrer [[Johann I Bernoulli|Joh. Bernoulli]] bleibt,<ref>Man vergleiche den lateinischen Wortlaut in der Online-Ausgabe: [https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb10860438?page=34 ''Introductio in Analysin infinitorum''], Digitalisat der Bayerischen Staatsbibliothek, München, S.&nbsp;4. Von H. Heuser (2008), S.&nbsp;153, so übersetzt: «Eine Funktion einer veränderlichen Zahlgröße ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgendeine Weise aus der veränderlichen Größe und aus eigentlichen Zahlen oder aus konstanten Zahlgrößen zusammengesetzt ist». Johann Bernoullis Funktionsbegriff von 1718 ist in R.&nbsp;Thiele (2008): ''Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte'', S.&nbsp;172, im französischen Original wiedergegeben. Übersetzt: «Ich nenne hier ''Funktion'' einer veränderliche Größe, eine Quantität, die in beliebiger Weise aus variablen und konstanten Größen zusammengesetzt ist.»</ref> sind es in der zweiten Schrift schon ''beliebige Arten'' von bestimmenden Abhängigkeiten zwischen den Variablen. Damit eröffnete Euler bewusst den Weg zum [[Funktional]] und ermöglicht die Zuordnung zu infinitesimalen Größen.<ref>C. Carathéodory (1952), S.&nbsp;XII bemerkt, dass Euler in seiner Kurventheorie auch Funktionen zulässt, die Differentiale der ursprünglichen Funktion enthalten, also Fragestellungen, ‹welche heute gar nicht mehr betrachtet werden›.</ref>
{{Zitat
 |Text=Wenn daher <math>x</math> die variable Größe bezeichnet, so werden alle Größen, die in einer beliebigen Art von <math>x</math> abhängen, oder aber die von ihr bestimmt werden, Funktionen genannt.
 |Autor=Euler (1755)
 |ref=<ref>''Institutiones calculi differentialis'', hier in den ''Publikationen (Auswahl)'', S.&nbsp;vi, im lateinischen Original folgendermaßen: «Si igitur <math>x</math> denotet quantitatem variablem, omnes quantitates, quae utcumque ab <math>x</math> pendent, seu per eam determinantur, eius functiones vocantur;».</ref>}}

'''Symbolische Konventionen:'''
Von Euler stammen auch die bis heute gebräuchlichen Notationen für die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]], der Buchstabe ''e'' für die [[Potenz (Mathematik)|Basis]] des [[Logarithmus|natürlichen Logarithmus]], der griechische Buchstabe Σ ([[Sigma]]) für [[Summe]]n und der Buchstabe ''i'' zur Bezeichnung der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]].<ref name="Boyer">Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach: ''A History of Mathematics.'' John Wiley & Sons, 1991, S. 439–45.</ref> Die Verwendung des griechischen Buchstabens π zur Bezeichnung des Verhältnisses von Kreisumfang und -durchmesser ([[Kreiszahl]]) wurde ebenfalls von Euler popularisiert, obwohl sie ursprünglich auf den [[Wales|walisischen]] Mathematiker [[William Jones (Mathematiker)|William Jones]] zurückgeht.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.stephenwolfram.com/publications/mathematical-notation-past-future/ |titel=Mathematical Notation: Past and Future |sprache=en |abruf=2023-02-19}}</ref>

'''Rechtwinklige Raumkoordinaten:'''
Euler war der erste mathematische Physiker, der von den 1740ern an ''sämtliche'' [[Bewegungsgleichung]]en seiner Untersuchungsobjekte aus der Mechanik in voneinander unabhängigen, zueinander rechtwinkligen [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen]] Komponenten formuliert hat.<ref>So die Behauptung [[Clifford Truesdell|C. Truesdells]] von Seite 229 in Truesdell (1960): ''The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies.'' Hier in der ''Literatur'' → ''Monographien, Sammelbände.'' Truesdell datiert diese Neuerung auf die 1744 entstandene und 1751 veröffentlichte Mechanikschrift ''De Motu Corporum Flexibilium'' ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/174/ E174]).</ref><ref>Von der Nützlichkeit der Zerlegung von Bewegungsgleichungen in zueinander rechtwinklige Koordinaten konnte Euler sich exemplarisch an Vorgängern überzeugen, allen voran an der Schrift ''Propositiones Variae Mechanico-Dynamicae'' (1742) seines in vieler Hinsicht prägenden Lehrers [[Johann I Bernoulli|Johann Bernoulli]]. Siehe dazu G.&nbsp;Maltese: ''On the Relativity of Motion In Leonhard Euler's Science.'' In: ''Archive for History of Exact Sciences.'' 54 (2000), S.&nbsp;323, insbes. Anm.&nbsp;21, dort Bezug nehmend auf Feststellungen Truesdells.</ref> Damit begründete er den heute für gewöhnlich angesehenen Standard in der Mechanik, während zu Eulers Zeit und der Generation vor ihm vorrangig radiale und tangentiale Komponenten der Bahnkurven herangezogen wurden.<ref>Siehe etwa N. Guicciardini: ''An Episode in the History of Dynamics: Jakob Hermann’s Proof (1716–1717) of Proposition 1, Book 1, of Newton’s ›Principia‹.'' In: ''Historia Mathematica''. 23 (1996), Seite 172.</ref>

=== Analysis ===
Euler kann als einer der Begründer der [[Analysis]] angesehen werden. Wegen anhaltender Forschung war die [[Infinitesimalrechnung]] im 18. Jahrhundert auf dem Vormarsch. Insbesondere Eulers Freunde, die Bernoullis, waren für einen Großteil der frühen Fortschritte auf diesem Gebiet verantwortlich. Dank ihres Einflusses wurde das Studium der Infinitesimalrechnung zum Hauptschwerpunkt von Eulers Arbeit.

Wegweisend waren vor allen Dingen sein Beweis der [[Taylor-Reihe]] der [[Exponentialfunktion]]
:<math> \mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots, </math>
sowie seine Lösung des sog. [[Basler Problem]]s:
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.</math>

[[Datei:Euler's formula.svg|mini|Geometrische Interpretation der Eulerschen Formel anhand des [[Einheitskreis]]es]]

Euler verwendete erstmals die [[Exponentialfunktion]] und [[Logarithmen]] in analytischen Beweisen und definierte sie erfolgreich für [[komplexe Zahl]]en. Dadurch wurde deren Anwendungsbereich stark erweitert.<ref name="Boyer" /> Damit fand er die enge Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen. Für jede reelle Zahl <math>\varphi</math> (im [[Bogenmaß]]) besagt die [[Eulersche Formel]], dass die [[komplexe Exponentialfunktion]] diese Gleichung erfüllt:
:<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = \cos(\varphi) + \mathrm{i}\sin(\varphi)</math>
Ein spezieller Fall der obigen Formel ist als die [[Eulersche Identität]] bekannt:
:<math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0</math>
Der [[Pentagonalzahlensatz]] aus der [[Funktionentheorie]] und [[Kombinatorik]] ist eine weitere Entdeckung von Leonhard Euler. Er besagt, dass folgendes Eulersches Produkt als [[Maclaurinsche Reihe|Maclaurinsche Summenreihe]] mit Hilfe der [[Fünfeckszahl]]en und Kartenhauszahlen als Exponenten dargestellt werden kann:

: <math>\prod_{n = 1}^{\infty}(1-q^n) = \sum_{k = 0}^{\infty} \left[q^{k(6k + 1)} - q^{(2k + 1)(3k + 1)} - q^{(2k + 1)(3k + 2)} + q^{(k + 1)(6k + 5)}\right]</math>

Für alle [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>q \in \C</math> mit <math>|q| < 1</math> ist diese Formel gültig. Später wurde der Pentagonalzahlensatz ebenso von [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Carl Gustav Jacobi]] und [[Srinivasa Ramanujan]] in ihren Werken behandelt.

=== Zahlentheorie ===
Eulers Interesse an der [[Zahlentheorie]] lässt sich auf den Einfluss von [[Christian Goldbach]], einem Freund in der Sankt Petersburger Akademie, zurückführen. Viele von Eulers frühen Arbeiten zur Zahlentheorie basieren auf den Werken von [[Pierre de Fermat]]. Euler entwickelte einige von Fermats Ideen und widerlegte manche seiner Vermutungen.

Euler verknüpfte die Natur der Primzahlverteilung mit Ideen aus der Analysis. Zum Beispiel bewies er, dass die [[Satz von Euler (Primzahlen)|Summe der Kehrwerte der Primzahlen divergiert]]. Dabei fand er die Verbindung zwischen der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]] und den Primzahlen; seine Entdeckung ist heute als [[Euler-Produkt]]formel für die Riemannsche Zeta-Funktion bekannt. Er verwendete analytische Methoden, um ein gewisses Verständnis für die Verteilung der Primzahlen zu gewinnen. Eulers Arbeiten auf diesem Gebiet führten zur Entwicklung des [[Primzahlsatz]]es.<ref>William Dunham: ''Euler: The Master of Us All.'' Mathematical Association of America, 1999, Kapitel 3 und 4.</ref>

Euler bewies den [[Kleiner fermatscher Satz|kleinen fermatschen Satz]], Fermats Satz über die [[Zwei-Quadrate-Satz|Summe zweier Quadrate]], und er leistete wichtige Beiträge zu Lagranges [[Vier-Quadrate-Satz]]. Er führte auch die [[Eulersche Phi-Funktion]] ein. Mit Hilfe der Eigenschaften dieser Funktion verallgemeinerte er Fermats kleinen Satz zu dem, was heute als [[Satz von Euler]] bekannt ist. Er trug wesentlich zur Theorie der [[Perfekte Zahl|vollkommenen Zahlen]] bei, die die Mathematiker seit [[Euklid]] fasziniert hatten. Euler bewies, dass die von Euklid gezeigte Beziehung zwischen (geraden) vollkommenen Zahlen und [[Mersenne-Primzahl]]en sogar [[Bijektion|eins zu eins]] ist, ein Ergebnis, das als [[Euklid-Euler-Satz]] bekannt ist. Euler vermutete auch das Gesetz der [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz|quadratischen Reziprozität]], das später durch [[Carl Friedrich Gauß]] bewiesen wurde. Dabei handelt es sich um eines der grundlegendsten Konzepte der Zahlentheorie. 1772 hatte Euler bewiesen, dass <math>2^{31} - 1 =</math> [[2147483647|2.147.483.647]] eine Mersenne-Primzahl ist. Sie galt bis 1867 als die größte gefundene Primzahl.<ref>{{Internetquelle |url=https://primes.utm.edu/notes/by_year.html |titel=The Largest Known prime by Year: A Brief History |abruf=2023-02-19}}</ref>

Nach Euler sind verschiedene Zahlen und Zahlenfolgen benannt, siehe dazu [[Eulersche Zahlen (Begriffsklärung)]].

=== Variationsrechnung ===
Leonhard Euler beschäftigte sich bereits seit Beginn seiner wissenschaftlichen Karriere, vor allem in den frühen 1730ern von [[Jakob Hermann (Mathematiker)|J.&nbsp;Hermann]] ermuntert,<ref>Siehe C. Carathéodory: ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. 1952, S. VIII f.</ref> mit der mathematischen Beschreibung von einzelnen [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] und ihren Variationen. Die analytische Problemstellung hatte häufig in der Mechanik ihren Ursprung: Spezielle Forschungsfragen und Ergebnisse zu Beschleunigungen und Kraftwirkungen, in der Art von Differentialausdrücken und ihnen korrespondierenden Kurven, untersuchte er in diesen Jahren intensiv, auch im Austausch mit seinem freundschaftlichen Kollegen [[Daniel Bernoulli]].<ref>Siehe insbes. S. 172 u. 202 in: C. Truesdell: ''The Rational Mechanics of flexible or elastic Bodies.'' (1638–1788), 1960.</ref> Das Jahr 1744 schließlich datiert die Veröffentlichung des epochalen Werks ''Methodus inveniendi lineas curvas,''<ref>Der ausführliche und deutlich längere Titel findet sich hier in den ''Schriften'', und in Paul Stäckel (Hrsg.): ''Abhandlungen über Variationsrechnung von Joh. Bernoulli (1696), Jakob Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744)''. Engelmann, Leipzig 1894, siehe hier: ''Schriften'' → ''Deutsche Übersetzungen''.</ref> das Euler schon spätestens 1741 fertiggestellt haben muss.<ref>Siehe C. Carathéodory: ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. 1952, S. VIII f.</ref> Hierbei handelt es sich nicht nur um die gewünschte Zusammenführung und Vereinheitlichung der vielen Einzelergebnisse auf diesem Gebiet; sondern es wird auch rückblickend als der ‹Durchbruch zu einer methodischen [[Variationsrechnung]]› gesehen.<ref>H. Heuser: ''Eulers Analysis''. 2008, S. 151, daraus der Wortlaut.</ref><ref>Entsprechend auch P. Stäckel: ''Abhandlungen über Variationsrechnung von Joh. Bernoulli (1696), Jakob Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744)''. 1894, S. 134, wenn es dort heißt: «''Leonhard Euler'' hat das Verdienst, die Einzeluntersuchungen der Brüder ''Bernoulli'' zusammengefasst und die Variations-Rechnung als besonderen Zweig der [[Analysis]] begründet zu haben.»</ref> Wissenschaftshistoriker sind sich (weitestgehend) einig, in Euler den ‹Schöpfer› dieses neuen Zweigs der Analysis zu sehen.<ref>Siehe etwa O. Neumann: ''Leonhard Euler und die Zahlen.'' 2008, S. 151.</ref><ref>[[Egon Friedell|E. Friedell]]: ''Kulturgeschichte der Neuzeit – Band 1.'' 1928, (dtv) 16. Auflage, München 2005, S. 672.</ref><ref>A. O. Gelfond: ''Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der Analysis und seiner «Einführung in die Analysis des Unendlichen».'' In: E. Fellmann (Hrsg.): ''Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk.'' 1983, S. 102; daraus der Wortlaut.</ref><ref>E. Knobloch: ''Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis''. 2008, S. 80, betont, dass die Bernoulli-Brüder zusammen mit Leibniz die Problemstellung und die analytische Herangehensweise zur Variationsrechnung ''entwickelt'' haben, Euler die systematische ‹Zusammenfassung aller Einzelergebnisse› gebührt. So P. Stäckel: ''Abhandlungen über Variationsrechnung von Joh. Bernoulli (1696), Jakob Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744)''. 1894, S. 134.</ref><ref>In [[Adolf Kneser|A. Kneser]]: ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung''. Wiesbaden 1928, S. 22, werden Anfänge der Variationsrechnung in das punktmechanische Werk der Mechanica Tomus 1 (E015) von 1736 gefunden.</ref>

Die Aufgabenstellung und Motivation zur Variationsrechnung ist ‹ein Stockwerk über der gewöhnlichen [[Extremwert|Minimum – Maximum]] – Rechnung›.<ref>Wortlaut aus: H. Heuser: ''Eulers Analysis''. 2008, S. 151.</ref> Es geht nunmehr darum, Kurven bzw. deren Funktionsgleichungen zu bestimmen, die hinsichtlich einer Kenngröße ''extremal'' sind. Der Ursprung zu dieser Fragestellung war in der sich entwickelnden Analysis von allgemeinem Forschungsinteresse und wurde intuitiv mit der abstrakteren ‹Lehre von den Kurven›, wie es zur Zeit Eulers noch hieß,<ref>Siehe dazu Euler (1744/1894), E065, in der Übersetzung von P. Stäckel, S. 31.</ref> verbunden. Historisch nahm sie in dem von Eulers Lehrer [[Johann I Bernoulli|Johann Bernoulli]] gestellten Problem der [[Brachistochrone]] ihren Anfang.<ref>P. Stäckel: ''Abhandlungen über Variationsrechnung von Joh. Bernoulli (1696), Jakob Bernoulli (1697) und Leonhard Euler (1744)''. 1894, S. 133.</ref><ref>R. Thiele: ''Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte''. 2008, Seite 166, hier in der ''Literatur'' → ''Sonstiges''.</ref> Daneben gab es viele weitere ''isoperimetrische'' Probleme, wie Euler sie nannte,<ref>Siehe dazu Euler (1744/1894), E065. In: ''Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli''. (1894), S. 22.</ref> die einer allgemeinen methodischen Behandlung bedurften. Gesucht war ein zusammenfassendes, analytisches Verfahren, und Euler hat es in der Variationsrechnung gefunden.<ref>Die Bezeichnung der ‹''Calculum Variationum''› geht ebenso auf Euler zurück, was C. Carathéodory: ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. 1952, S. IX, bemerkt.</ref> Im Resultat findet sich in den ''Methodus inveniendi lineas curvas'' erstmals dieses Instrument der [[Euler-Lagrange-Gleichung]].

Im Anschluss an die Deduktion dieser allgemeinen Variationsgleichung wendet Euler sie dann auf zahlreiche Kurvenintegrale an (''Exempla''), wobei er dabei zusätzliche Randbedingungen an die Art der fraglichen Kurven zu stellen weiss. Der Herausgeber der Variationsrechnung in den ''Euleri Opera Omnia'', [[Constantin Carathéodory]], bemerkt dazu: «Der größte Reiz des Lehrbuches von 1744 besteht in der Behandlung von etwa 66 Einzelproblemen, die fast jede Seite dieses Werkes beleben».<ref>C. Carathéodory: ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. 1952, S. X in ''Euleri Opera Omnia'', Ser. I, Vol. 24 (''Methodus Inveniendi lineas curvas)''. </ref> Hierunter findet sich, wie ein beiläufiges Lemma, die Lösung zur Aufgabe der ''Brachistochrone'': Sie tritt als ein Spezialfall der Variation über eine ganze [[Kurvenschar]] von [[Potenzfunktion]]en auf.<ref>Euler (1744/1894), E065, S. 61 f.</ref><ref>Weiteres zu Eulers Methode und ihren Anwendungen befindet sich im Eintrag [[Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers]] unter ''Begründung der Variationsrechnung''.</ref>

=== Angewandte Mathematik ===
Zu Eulers größten Erfolgen gehören analytische Lösungen praktischer Probleme und die Beschreibung zahlreicher Anwendungen der [[Bernoulli-Zahl]]en, [[Fourier-Reihe]]n, [[Euler-Zahl]]en, der Konstanten ''e'' und ''π'', der [[Kettenbruch|Kettenbrüche]] und [[Integralrechnung|Integrale]]. Er integrierte die Differentialrechnung von Leibniz mit der ''Method of Fluxions'' (Newtons Beschreibung der [[Differentialrechnung#Ableitungsfunktion|Ableitung]]) und entwickelte Techniken, die die Anwendung der Mathematik auf physikalische Probleme erleichterten. Er machte große Fortschritte bei der Verbesserung der [[Numerische Mathematik|numerischen Approximation]] von Integralen. Die bemerkenswertesten dieser Annäherungen sind das [[Explizites Euler-Verfahren|explizite Euler-Verfahren]] und die [[Euler-Maclaurin-Formel]]. Er erkannte den Nutzen von Differentialgleichungen und führte die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] ein:
:<math>\gamma := \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \log(n) \right],</math>
die u.&nbsp;a. beim [[Zipfsches Gesetz|Zipfschen Gesetz]], aber auch in zahlreichen weiteren Feldern, eine Rolle spielt. In anderen Arbeiten setzte Euler sich mit der Anwendung mathematischer Methoden in den [[Sozialwissenschaften|Sozial-]] und [[Wirtschaftswissenschaften]] auseinander (zum Beispiel Bevölkerungswachstum,<ref>A. J. Lotka: ''Studies on the mode of growth of material aggregates.'' American Journal of Science, 24, S. 199–216.</ref> [[Rentenrechnung]], [[Lotterie]]n,<ref>R. E. Bradley: ''Euler’s analysis of the Genoese lottery.'' 2004.</ref> [[Lebenserwartung]] und [[Lebensversicherung]]<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute.'' S. 341.</ref>). Wegen seiner Beiträge zur Populationsdynamik ist die [[Euler-Lotka-Gleichung]] zum Teil nach ihm benannt.

=== Graphentheorie und Topologie ===
[[Datei:Konigsberg bridges.png|gerahmt|Karte von [[Königsberg (Preußen)|Königsberg]] zur Zeit Eulers: Zu sehen sind die Grundrisse der Sieben Königsberger Brücken und der Fluss Pregel. Die Brücken sind mit Farbe hervorgehoben.]]

Im Jahr 1735<ref>{{Literatur |Autor=Gerald L. Alexanderson |Titel=About the cover: Euler and Königsberg’s Bridges: A historical view |Sammelwerk=Bulletin of the American Mathematical Society |Band=43 |Nummer=04 |Datum=2006-07-18 |ISSN=0273-0979 |Seiten=567–574 |Online=http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0273-0979-06-01130-X |Abruf=2023-02-19 |DOI=10.1090/S0273-0979-06-01130-X}}</ref> (1736 erschienen und 1741 veröffentlicht)<ref>{{Internetquelle |url=http://eulerarchive.maa.org/publications/journals/Commentarii.html |titel=Commentarii |datum=2020-01-28 |offline=1 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20200128105048/http://eulerarchive.maa.org/publications/journals/Commentarii.html |abruf=2023-02-19}}</ref> mit der Arbeit ''Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis''<ref>{{Internetquelle |url=http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E053.pdf |titel=Solvtio problematis ad geometricam situs |format=PDF |abruf=2023-02-19}}</ref> präsentierte Euler eine Lösung für das [[Königsberger Brückenproblem]]. Die Stadt [[Königsberg (Preußen)|Königsberg]] in Preußen lag am Fluss [[Pregel]] und umfasste zwei große Inseln, die durch sieben Brücken miteinander und mit dem Festland verbunden waren. Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob es möglich ist, einen Weg zu wählen, der jede Brücke genau einmal überquert und zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Das ist nicht möglich, da es keinen [[Eulerkreisproblem|Eulerkreis]] für diesen [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]] gibt. Diese Lösung Eulers gilt als der erste Satz der [[Graphentheorie]], insbesondere der [[Planarer Graph|planaren Graphentheorie]].<ref>{{Literatur |Autor=Gerald L. Alexanderson |Titel=About the cover: Euler and Königsberg’s Bridges: A historical view |Sammelwerk=Bulletin of the American Mathematical Society |Band=43 |Nummer=04 |Datum=2006-07-18 |ISSN=0273-0979 |Seiten=567–574 |Online=http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0273-0979-06-01130-X |Abruf=2023-02-19 |DOI=10.1090/S0273-0979-06-01130-X}}</ref>

Euler entdeckte die Formel <math>E - K + F = 2</math> bezüglich Anzahl der Ecken (''E''), Kanten (''K'') und Flächen (''F'') eines [[Konvexer Körper|konvexen]] [[Polyeder]]s,<ref>David Richeson: ''The Polyhedral Formula.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 421.</ref> eines planaren Graphen. Die Konstante in dieser Formel wird heute als [[Euler-Charakteristik]] des Graphen (oder eines anderen mathematischen Objekts) bezeichnet und steht mit dem mathematischen [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht]] des Objekts direkt in Zusammenhang.<ref>David Richeson: ''The Polyhedral Formula.'' In: ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' S. 430.</ref> Die Untersuchung und Verallgemeinerung dieser Formel, insbesondere durch [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]]<ref>A. L. Cauchy: ''Recherche sur les polyèdres – premier mémoire.'' In: ''Journal de l’École Polytechnique.'' 9 (Cahier 16), 1813, S.&nbsp;66–86.</ref> und [[Simon L’Huilier|L’Huilier]],<ref>S.-A.-J. L’Huillier: ''Mémoire sur la polyèdrométrie.'' In: ''Annales de Mathématiques.'' Band 3, 1861, S. 169–189.</ref> markierte den Beginn der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].<ref>Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' Springer, S. 10.</ref>

=== Logik ===
{{Hauptartikel|Mengendiagramm}}

Euler wird die Verwendung geschlossener Kurven zur Veranschaulichung der [[Syllogismus|syllogistischen]] Argumentation zugeschrieben. Diese Diagramme sind als Euler-Diagramme bekannt geworden.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Bernhard |Titel=Euler-Diagramme. Zur Morphologie einer Repräsentationsform in der Logik |Auflage=1. |Verlag=mentis Verlag |Ort=Paderborn |Datum=2001 |ISBN=3-89785-142-3}}</ref> Euler verwandte sie in den ''Briefen an eine deutsche Prinzessin'' 101 bis 108, die im Februar und März 1761 verfasst wurden. Diagramme für mathematische Darstellungen in der Logik tauchten in einigen Abhandlungen des achtzehnten Jahrhunderts zu diesem Thema auf, und es ist möglich, dass [[Johann Heinrich Lambert]] sie kurz vor Eulers Briefen verwendete. In den Briefen 101 und 102 betonte Euler die Notwendigkeit einer disziplinierten Sprache bei der Darstellung allgemeiner Ideen und ihrer Erweiterung; er verwendete Kreise in Diagrammen, um verschiedene Formen von Syllogismen und hypothetischen [[Satz (Mathematik)|Propositionen]] zu erklären.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Princeton University Press, 2016, S. 467.</ref>

=== Physik und Astronomie ===
Euler hat sich in sehr vielen klassischen Gebieten der [[Physik]] verdient gemacht, allem voran in den Hauptzweigen der [[Klassische Mechanik|Klassischen Mechanik]].

==== Mechanik ====
In der frühen Schrift ''Mechanica, sive motus scientia analytica exposita'' (1736) und in seiner späteren ''Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum'' (1765) wandte Euler die Mathematik auf Fragen der Physik an. Die neue Ausrichtung, die Mechanik zu mathematisieren, wird von Euler selbst in seiner ersten Mechanik programmatisch erklärt und dann in der gesamten Folge seiner mechanischen Schriften konsequent fortgesetzt.<ref>Siehe H. Iro: ''Eulers analytische Mechanik''. 2008, S. 237 und 243.</ref> Euler ging es vorrangig darum, die Mechanik auf die Mittel der [[Analysis]] (im heutigen Verständnis) anzuwenden und sie so nach, wie er sagt, ''analytischer Methode'' umzugestalten und zu ergänzen.<ref>Siehe dazu auch Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler''. 1995, in der ''Literatur'', S. 44.</ref><ref>Nach Nicolas Marquis de Condorcet: ''Éloge de M. Euler''. 1786, im ''Literatur''-Verzeichnis → ''Sonstiges'', S. 41 f. In der englischen Übersetzung von ''Letters of Euler on different subjects in Natural Philosophy, Euler (1795)''. S. xliii.</ref> Insbesondere finden sich bei Euler erstmals [[Differentialgleichung]]en zu einzelnen Grundgesetzen der Mechanik starrer und elastischer Körper sowie zur Fluidmechanik.<ref>Siehe Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightenment''. 2016, u. a. Literatur, S. 2 (''Introduction'').</ref>

{{Zitat |Text=Was aber von allen, ohne Anwendung der Analysis verfassten Schriften gilt, trifft vorzugsweise die Werke der Mechanik. Der Leser wird zwar von der Wahrheit der vorgetragenen Sätze überzeugt, allein er erlangt keine hinreichend klare und bestimmte Kenntniss derselben. Werden daher dieselben Fragen nur ein wenig abgeändert, so wird er sie mit Kräften kaum beantworten können; wenn er nicht zur Analysis seine Zuflucht nimmt, und dieselben Sätze nach der analytischen Methode entwickelt. |Autor=Leonhard Euler |Quelle=1736. |ref=<ref>L. Euler: ''Mechanica, Sive Motus Scientia Analytice Exposita''. 1. Auflage. Petersburg 1736. § 123, S. 2. Außerdem in: Opera Omnia Ser. 2, Volume 1 (hrsg. v. P. Stäckel). Bern 1912. Online-Präsenz unter: [http://eulerarchive.maa.org/backup/E015.html E015]. Hier in der deutschen Übersetzung genommen von Jakob Philipp Wolfers: ''Leonhard Euler’s Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft von der Bewegung. Erster Theil''. (Koch) Greifswald 1848, S. 3. Online: {{archive.org |leonhardeulersm02eulegoog |Blatt=8}}.</ref>}} Diese ''analytische'' Umgestaltung in Eulers Werk wurde schon frühzeitig von Condorcet als eine ‹Revolution› in der Mechanik gesehen. Sie gehört zu dem allgemeinen und vorrangigen Beitrag Eulers in der Mechanik, der ihm seither historisch zugeeignet wird.<ref>Siehe H. Iro: ''Eulers analytische Mechanik''. 2008, S. 237. Dort wird auch bemerkt, dass Eulers Beiträge für die Mechanik historisch sehr unterschiedlich bewertet worden sind.</ref> Die methodische Erneuerung ebnete den Weg zur [[Analytische Mechanik|Analytischen Mechanik]], indem sie den damals schon als ‹steif› und ‹schwerfällig› wahrgenommenen, ''geometrischen'' Beweiskonstruktionen ein schnelleres und allgemeineres Verfahren an die Hand gab. Euler hat seit seinem ersten Buch und Meisterwerk, die ''Mechanica'' von 1736, uneingeschränkten Gebrauch von der Analysis gemacht und sie im Gebrauch erweitert.<ref>H. Heuser: ''Eulers Analysis''. 2008, S. 148 f., daraus auch die Wortlaute. Das soll nicht heißen, dass Euler auf jegliche geometrische Beweisverfahren verzichtet hätte, wie schon sehr bald später [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] seine ‹Analytische Mechanik› konstruiert haben wird. Das Gegenteil war der Fall, neue Kontexte wurden von Euler in der Mechanik zunächst ''nur'' geometrisch erschlossen. Siehe dazu auch hier Abschnitt ''Variationsrechnung'' → ''Verfechter der geometrischen Verfahrensweise''.</ref>

In Eulers ''Mechanica'' (E15<ref>[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/15/ ''Mechanica,'' volume 1], auf ''scholarlycommons.pacific.edu.''</ref> und E16<ref>[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/16/ ''Mechanica,'' volume 2], auf ''scholarlycommons.pacific.edu.''</ref>) sind die allgemeinen Grundgrößen der Punktmechanik in der [[Newtonsche Gesetze|Fassung Newtons]] wiederzufinden und als quantitative Bewegungsmasse (das ist die traditionelle ''Quantitas Motus'') bereits vollständig anerkannt.<ref>Allein ihr grundlegender (primitiver) Charakter wird noch offen gelassen. Die qualitative Eigenständigkeit der Kraft wird hingegen in späteren Werken Eulers in Frage gestellt. Zu diesem metaphysischen Unterschied siehe Helmut Pulte: ''Konstanter Cartesianismus''. 1989, in der hier angegebenen ''Literatur'' → ''Monografien und Sammelbände''. Darin insbes. Abschn. 1.1 (''Die Mechanica von 1736''), S. 106–110.</ref> Euler formuliert von Beginn an den Kraftbetrag auf eine Punktmasse <math>\mathrm dm</math> als infinitesimale Grösse der Bewegungsänderung <math>\mathrm dv</math>, um sie der Analysis zugänglich zu machen:
:<math>\mathrm dF = \mathrm dm \cdot \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>
und leitet damit die mechanische Energieerhaltung als Folgerung her:<ref>Siehe Euler (1736), S. 61 ff.: Prop. 19 und Coroll. 1 u. 2; zur Energieerhaltung insbes. Prop. 20, S. 64, Coroll. 3 ; sowie in Deutsch: Euler, Wolfers (1848), S. 48.f. Zur Energieerhaltung S. 51.</ref>
:<math>m\cdot v \cdot \mathrm dv = F \cdot \mathrm ds </math>.

Zusammen mit der analytischen Methode für die Mechanik formuliert Euler dort auch eine Art Programm, demgemäß die Mechanik nach der „Beschaffenheit der Körper“ zu gestalten wäre. Es ist eine Einteilung nach Materietyp, die seitdem in der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] beibehalten wurde. {{Zitat |Text=Zuerst betrachten wir unendlich kleine Körper, welche man als Punkte ansehen kann [d.i. die [[Punktmechanik]]]. Hierauf gehen wir zu Körpern von endlicher Größe über, welche fest sind und ihre Gestalt nicht verändern können [d. i. die Mechanik [[starrer Körper]]]. Drittens behandeln wir biegsame Körper. Viertens diejenigen, welche eine Ausdehnung und Zusammensetzung zulassen [d.i. [[Elastizität (Physik)|Elastika]] in zwei und drei Dimensionen]. Fünftens untersuchen wir die Bewegung mehrerer loser Körper [d.i. die Mechanik [[Gas|gasförmiger Stoffe]]…] Sechstens müssen wir die Bewegung flüssiger Körper behandeln [d.i. die [[Fluidmechanik]]]. |Autor=Leonhard Euler |Quelle=1736. |ref=<ref>L. Euler: ''Mechanica, Sive Motus Scientia Analytice Exposita''. 1. Auflage. Petersburg 1736. § 123, S. 37. Außerdem in: ''Opera Omnia'' Ser. 2, Volume 1 (hrsg. v. P. Stäckel). Bern 1912. Online-Präsenz unter: [http://eulerarchive.maa.org/backup/E015.html E015]. Hier in der deutschen Übersetzung von Jakob Philipp Wolfers, Leonhard Euler’s Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft von der Bewegung. Erster Theil. (Koch) Greifswald 1848, S. 31 f. Online: {{archive.org |leonhardeulersm02eulegoog |Blatt=32}}.</ref>}} Eulers mechanische Schriften zeigen neue Resultate in allen sechs Bereichen der Mechanik.

Am 3. September 1750 las Euler vor der Berliner Akademie der Wissenschaften ein Mémoire,<ref>D. i. Euler (1752): ''Découverte d’un nouveau principe de Méchanique.'' Zuerst veröffentlicht in: ''Mémoires de l’académie des sciences de Berlin,'' Band VI, pp. 185–217. [http://eulerarchive.maa.org/backup/E177.html E177.]</ref> in dem er das Prinzip „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ im Kontext der „Eulerschen Gleichung der Starrkörper-Rotation“ als eigene und neue Entdeckung vorstellte.<ref>Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' Springer, S. 11.</ref> Im Keim werden hier die heute sog. [[Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)|Eulerschen Gleichungen]] formuliert.

Im Jahr 1757 veröffentlichte er wichtige Gleichungen, die den Fluss reibungsfreier elastischer Fluide beschreiben. Diese sind heute als [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik]] bekannt. Außerdem arbeitete Leonhard Euler in der [[Mechanik]] auf den Gebieten der [[Turbine]]ngleichung und der [[Kreiseltheorie]] ([[Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)|Eulersche Kreiselgleichungen]]).

Die erste analytische Beschreibung der [[Knicken#Eulersche Knickfälle (Biegeknicken)|Knickung]] eines mit einer [[Kraft|Druckkraft]] belasteten [[Stab (Statik)|Stabes]] geht auf Euler zurück; er begründete damit die [[Stabilitätstheorie]]. Er half bei der Entwicklung der [[Balkentheorie|Euler-Bernoulli-Balkengleichung]], die zu einem Eckpfeiler des Ingenieurwesens wurde.

==== Weitere Gebiete der Physik ====
Abgesehen von der erfolgreichen Anwendung seiner analytischen Werkzeuge auf Probleme der klassischen Mechanik wandte Euler diese auch in der [[Astronomie]] an – diese Arbeiten wurden im Laufe seiner Karriere durch eine Reihe von Preisen der Pariser Akademie anerkannt. Zu seinen Errungenschaften gehören die genaue Bestimmung der Bahnen von [[Komet]]en und anderen [[Himmelskörper]]n, das Verständnis der Natur von Kometen und die Berechnung der [[Sonnenparallaxe]].<ref>Andreas Verdun: ''Leonhard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik''. Springer, 2015, S. 283.</ref> Seine Berechnungen trugen zur Entwicklung präziser [[Längenproblem|Längengradtabellen]] bei.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment''. 2016, S. 384.</ref>

In der [[Optik]] veröffentlichte er Werke zur [[Wellentheorie des Lichts]] und zur Berechnung von optischen [[Linse (Optik)|Linsen]] zur Vermeidung von [[Chromatische Aberration|Farbfehlern]]. Er widersprach Newtons [[Korpuskeltheorie]] des Lichts, die damals vorherrschend war, in den Opticks.<ref>Christa Jungnickel, Russell McCormmach: ''Cavendish – The Experimental Life. American Philosophical Society''. 1999, S. 155.</ref> Seine Arbeiten zur Optik aus den 1740er-Jahren trugen dazu bei, dass die von [[Christiaan Huygens]] vorgeschlagene Wellentheorie des Lichts zur vorherrschenden Denkweise wurde,<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk''. In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk'', hrsg. von Emil Fellmann. Birkhäuser, 1983, S. 67.</ref> zumindest bis zur Entwicklung der [[Quantentheorie]] des Lichts.<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A Tricentennial Tribute.'' S. 361.</ref>

1745 übersetzte Euler das Werk New principles of gunnery des Engländers [[Benjamin Robins]] ins Deutsche, wobei er dessen Umfang stark erweiterte. Somit wurde dank Robins und mit Eulers Hilfe „das erste Lehrbuch der Ballistik“ geschaffen. Es wurde zum Beispiel in Frankreich (in französischer Übersetzung) als offizielles Lehrbuch in den Militärschulen eingeführt. [[Napoleon Bonaparte]] musste es als Leutnant studieren.<ref>L. Euler: ''Einleitung in die Analysis des Unendlichen: Erster Teil''. Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, 1748 (Reprintausgabe 1983), S. 11 (Einführung).</ref>

Weniger bekannt sind seine Arbeiten zur Hydrodynamik und zum [[Stabilität (Schiffskörper)|Stabilitätskriterium]] von Schiffen,<ref>Anne-Marie Dubler, Charlotte Kunz Bolt: ''Schiffbau''. In: ''Historisches Lexikon der Schweiz'' (HLS), 2014, abrufbar unter [https://hls-dhs-dss.ch/de/articles/027651/2014-11-17/ ''hls-dhs-dss.ch.'']</ref> in denen er das bereits erworbene, aber wieder verlorengegangene Wissen von [[Archimedes]] erneuerte.<ref>''Bouguer und Euler: Zur Begründung der Theorie der hydrostatischen Schiffsstabilität''. In: ''Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft'', Band 98, 2004, S. 183.</ref>

Beachtlich ist, dass Euler auf dem Gebiet der technischen Mechanik und Schiffswissenschaft nicht nur der analytische Geist gewesen war, der sich in seinen Konstruktionen auf die Richtigkeit des mathematischen Beweises verlassen hätte. Eulers Nachlass in Petersburg konnte G. Michailow vor einigen Jahrzehnten entnehmen, dass er bis ins hohe Alter gezielt Experimente zu seinen Theorien entworfen und selbst durchgeführt hat, so etwa zur Brückentheorie oder zu den Grundlagen des Schiffbaus.<ref>R. Thiele: ''Euler und Basel''. 2008, S. 18.</ref>

=== Mathematische Musiktheorie ===
Auch im Bereich der Musik beruhten Eulers Gedanken hauptsächlich auf der Mathematik. Obwohl seine Schriften über Musiktheorie nur einen kleinen Teil seiner Arbeit ausmachen (einige hundert Seiten, bei einer Gesamtproduktion von etwa 30.000 Seiten), spiegeln sie dennoch ein bereits früh gewecktes Interesse wider, das ihn sein ganzes Leben lang nicht mehr verlassen hat.<ref>Peter Pesic: ''Music and the Making of Modern Science.'' S. 133.</ref> Einer seiner Schwerpunkte war die Zuordnung eines „Grades der Lieblichkeit“ zu Mehrklängen wie musikalischen Intervallen oder auch Akkorden wie Dreiklängen. Dieser kann abstrakt als [[zahlentheoretische Funktion]] aufgefasst werden und impliziert mit steigenden Werten eine erhöhte Komplexität (also fallende Annehmlichkeit) des Klangs.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 73–74.</ref>

=== Populäre Darstellungen und Themen ===
Besondere Bedeutung in der breiten Öffentlichkeit erlangte seine [[Populärwissenschaftliche Literatur|populärwissenschaftliche]] Schrift ''Lettres à une princesse d’Allemagne'' von 1768, in der er in Form von Briefen an die Prinzessin [[Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt]], eine Nichte Friedrichs II., die Grundzüge der Physik, der Astronomie, der Mathematik, der Philosophie und der Theologie vermittelt.
{{Hauptartikel|Briefe an eine deutsche Prinzessin}}
Darüber hinaus widmete er sich Aufgaben der [[Schachmathematik]], zum Beispiel dem [[Springerproblem]].<ref>Leonhard Euler: ''Solution d’une question curieuse que ne paroit soumise à aucune analyse.'' [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/309/ E309], erschienen 1766.</ref> Er ist der Erfinder des [[Lateinisches Quadrat|lateinischen Quadrats]], einer Vorform des [[Sudoku]].<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute.'' S. 162.</ref>

== Überzeugungen gegenüber Philosophie und Religion ==
Der allgemein und in Prinzipien denkende Geist Leonhard Euler beschäftigte sich auch mit den naturphilosophischen Fragen und Positionen seiner Zeit. Nach [[Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet|Condorcet]] hat Euler von seinen Mentoren und Lehrern aus den Basler Studienzeiten, allen voran von [[Johann I Bernoulli|Johann Bernoulli]], die Auffassung übernommen, dass ein physikalisches Phänomen nur durch eine naturphilosophische und metaphysische Betrachtung vollständig erfasst werden könne.<ref>Siehe dazu insbes. Nicolas de Condorcet: ''Éloge de M. Euler'' (1786), S. 37–38.</ref> Dieses Bestreben ist im gesamten Werk Eulers verankert: In jedem physikalischen Bericht, in jedem mechanischen Mémoire, und erst recht in jedem Buch Eulers finden sich grundsätzliche Einleitungen zum Themenbereich, die eine naturphilosophische Perspektive eröffnen. Sie sind zwar vielfach nur ein Beiwerk zur mathematischen Arbeit, für den allgemeinen Kontext aber unverzichtbar.

Ebenso typisch ist, dass Euler nur zur wissenschaftlichen Veröffentlichung seiner konzeptuellen Beiträge motiviert war, wenn er von einzelnen Fehlvorstellungen in den überlieferten Lehrauffassungen überzeugt war.<ref>W. Breidert: ''Leonhard Euler and Philosophy.'' (2007), S.&nbsp;98.</ref><ref>So auch R. Thiele (2008): ''Leonhard Euler und die Philosophie.'' S.&nbsp;500.</ref> Nicht das geschlossene Begriffssystem, sondern die aspektbezogene Kritik und die mathematische Ausformulierung der naturphilosophischen Grundbegriffe – und das waren damals die der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] – finden Eulers Forschungsinteresse.<ref>Siehe dazu H. Pulte: ''Konstanter Cartesianismus''. (1989), S. 112.</ref><ref>Auch Émile Saisset stellt das in seiner ''Einleitung'' zu den ''Lettres à une princesse d’Allemagne'' fest: in der 9. Auflage, (Charpentier) Paris 1843, S. iv f. Online: {{archive.org |bub_gb_3J1jFj4l17gC}}, abgerufen am 4.&nbsp;November 2024.</ref>

=== Wirklichkeitsbezug der Mathematik ===
Und hierbei gelangen ihm originelle wie neuartige Sichtweisen.<ref>Wissenschaftshistoriker halten unterschiedliche Aspekte in Eulers philosophischem Werk für ‹originell›. G. Kröber: ''Einleitung'' zu: Leonhard Euler: ''Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl.'' 1983, Seite 5–27 etwa, S.&nbsp;17&nbsp;f., hebt z.&nbsp;B. das Neuartige der Materiekonzeption hervor. A. Speiser (1960), S.&nbsp;XXVII&nbsp;f., erklärt die Konzeption der Willensfreiheit in Eulers ''Briefe an eine deutsche Prinzessin'' (2. Teil von E344) für wegweisend.</ref> Sie lassen sich allesamt mit Eulers Überzeugung kennzeichnen, dass die mathematische Analyse unmittelbaren Realitätsbezug haben muss. Mathematik ist für ihn das vorrangige Instrument, um über naturphilosophische Fragen zu Raum, Zeit und Materie sicher entscheiden und metaphysischen Spekulationen, denen er selbst nur wenig abgewinnen konnte,<ref>Die historische Diskussion zu diesem Punkt rangiert zwischen den Positionen, dass Euler entweder wenig Interesse daran zeigte oder aber wenig Talent in der eigenen Umsetzung. Dazu W.&nbsp;Breidert: ''Leonhard Euler and Philosophy.'' (2007), S.&nbsp;97; oder aber H.&nbsp;E.&nbsp;Timerding, ''Kant und Euler.'' In: ''Kant-Studien.'' Bd. 23, Reuther & Reichard, Berlin 1919, S. 18.</ref> ein Ende bereiten zu können. Die Mathematisierung der Grundbegriffe und -gesetze, mit denen die Natur beschrieben wird, ist für Euler ein wesentlicher Schritt dahin.
{{Zitat
 |Text=Und so schützt die Mathematik uns besonders gegen die Fehler der Sinne und belehrt uns sogar über die tatsächlichen Objekte, die über die Sinne wahrgenommen werden, mal im richtigen Verhältnis, und mal wie sie erscheinen. Und diese sicherste aller Wissenschaften bringt Vorgaben ein, die von denen befolgt werden, welche vor den Illusionen der Sinne geschützt sind. Auf diese Weise ist sie von sämtlichen Widerworten fern geblieben, so dass ihre Lehre vor Metaphysikern bewahrt wird, die vielmehr noch größeren Argwohn erzeugen.
 |Autor=Leonhard Euler
 |Quelle=1755
 |ref=<ref>L. Euler: ''Institutiones Calculi Differentialis''. Petersburg 1755. Kap. III, §&nbsp;81, p. 76. Online-Präsenz: [https://archive.org/details/bub_gb_sYE_AAAAcAAJ/page/76/mode/2up?view=theater ''archive.org,''] abgerufen am 4.&nbsp;November 2024. Man vergleiche auch mit der englischen Übersetzung: J. D. Blanton (Hrsg.): ''Leonhard Euler, Foundations of Differential Calculus''. (Springer) New York, Berlin, Heidelberg 2000, S. 50. Die Textpassage lautet im lateinischen Original: „Mathesis enim nos imprimis a fallacia sensum defendit, atque docet obiecta, quae sensibus pecipiuntur, aliter reversa esse comparata, aliter vero apparere: haecque scientia tutissima tradit praecepta, quae qui sequuntur, ab illusione sensuum immunes sunt. Huiusmodi ergo responsionibus, tantum abest, ut Metaphysici suam doctrinum tuenatur, ut eam potius magis suspectam efficiant.“</ref>}}

{{Zitat
 |Text=Allerdings hoffe ich dadurch zu dem Ziel zu gelangen, dass wenn noch Schwierigkeiten bestehen bleiben, sie nicht mehr von Seiten der Mechanik auftreten werden, sondern allein von Seiten der Analysis: wobei diese Wissenschaft noch nicht zu einer Stufe der Perfektion emporgehoben wurde, was notwendig wäre, um analytische Formeln zu entwickeln.
 |Autor=Leonhard Euler
 |Quelle=1757
 |ref=<ref>L. Euler: ''Principes généreaux du mouvement des fluides.'' In: ''Mémoires de l’académie des sciences de Berlin.'' Volume 11, Berlin 1757, S. 274. Außerdem in: ''Opera Omnia.'' Ser. 2, Volume 12, S. 54–91. Online-Präsenz unter: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/226/ ''E226,''] abgerufen am 4.&nbsp;November 2024. Man vergleiche auch mit der englischen Übersetzung: U. Frisch: ''Translation of Leonhard Euler’s: General Principles of the Motion of Fluids.'' In: [https://arxiv.org/abs/0802.2383 ''archive.org,''] abgerufen am 4.&nbsp;November 2024, S. 1. Die Textpassage lautet im französischen Original: „[C]ependant j’espère d’en venir aussi heureusement à bout, de sorte que s’il y reste des difficultés, ce ne sera pas du côté du méchanique, mais uniquement du côté de l’analytique: cette science n’etant pas encore portée à ce degré de perfection, qui seroit nécessaire pour d’developper les formules analytiques […].“</ref>}}

Mit den folgenden Beiträgen, die Kontinuumsanschauung, die Undurchdringlichkeit der Materie und das raumzeitliche Anschauungsvermögen betreffend, konnte Euler vor allem die metaphysikkritische Haltung in der [[Transzendentalphilosophie]] [[Immanuel Kant]]s wesentlich beeinflussen.<ref>Detaillierte Nachweise siehe [[Michael Friedman (Philosoph)|M. Friedman]]: ''Kant’s Construction of Nature''. Cambridge; New York, Melbourne 2013. Darin insbes. S. xii, S. 135, 139 (Kap. 12: ''Matter as an originally fluid an elastic medium''). Kant hat nachweislich viele seiner physikalischen Erkenntnisse und Überzeugungen durch Eulers ''Lettres à une princesse d’Allemagne sur quelques sujets e physique et de philosophie'', Petersburg 1768–1772 ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/343/ ''E343,''] [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/344/ ''E344'']), erworben. Friedman belegt auch Kants Lektüre der folgenden Schriften: ''Principes generaux de l’ état d’équilibre des fluides'' ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/225/ ''E225'']), ''Réflexions sur l’espace et le tems'' ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/149/ ''E149'']), ''Nova theoria lucis et colorum'' ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/88/ ''E088'']), ''Gedancken von den Elementen der Cörper'' ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/81/ ''E081'']) sowie nicht zuletzt Eulers ''Mechanica, sive motus scientia analyticae'' ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/15/ ''E015,''] [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/16/ ''E016'']), abgerufen am 4.&nbsp;November 2024.</ref><ref>[[Heinrich Emil Timerding|H. E. Timerding]]: ''Kant und Euler.'' In: ''Kant-Studien.'' Bd. 23, Reuther & Reichard, Berlin 1919, S. 18–64 ([https://archive.org/details/kantstudienphilo23kantuoft/page/18/mode/2up online]).</ref> Auch für Euler galten diese Elemente als ‚metaphysische Anfangsgründe‘, die eine Gültigkeit vor jeder Erfahrung haben.

=== Die Kontinuitätsauffassung ===
Viele grundlegende Vorstellungen Eulers zum Aufbau der Materie haben ihren Ursprung in der Naturphilosophie [[René Descartes|Descartes’]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz’]], wenn vielleicht nicht durch eigene Lektüre, so doch über die Unterrichtung des Cartesianers [[Johann I Bernoulli|Johann Bernoulli]].<ref>S. Gaukroger: ''The Metaphysics of Impenetrability: Euler’s Conception of Force.'' In: ''The British Journal for the History of Science,'' Volume 15, Issue 2, Juli 1982, S. 134.</ref> So ist auch Euler von der uneingeschränkten Gültigkeit des [[Kontinuität (Philosophie)|Kontinuitätsprinzips]] (nach Leibniz und Bernoulli) in allen Bewegungsabläufen überzeugt und stellt sie in seinen Aufbauten zur Mechanik der Fluida und der Elastika an den Anfang.

''Die Natur macht keine Sprünge'' – [[Natura non facit saltus]] – so der Leitgedanke der Kontinuumsauffassung.<ref>Man findet den lateinischen Wortlaut ''Natura non operatur per saltum'' etwa in der Schrift von Eulers Lehrmeister [[Johann I Bernoulli]], Discours sur les loix de la communication du mouvement. In: Johannis Bernoulli, Opera Omnia, Band III. Lausanne, Genf 1742, S. 9, § 5 des Kap. 1. Siehe auch C. I. Gerhardt (Hrsg.): Leibnizens Mathematische Schriften, Berlin 1860, Bd. 6, S. 248. Online: [https://archive.org/details/leibnizensmathe04leibgoog/page/n257/mode/2up Specimen Dynamicum – II].</ref> Materie besitzt demnach eine allumspannende Dichte und Ausdehnung, aus der alle mechanischen Vorgänge durch Stöße und Kontaktkräfte in der Natur entstehen. {{Zitat |Text=Ich lege also fest, dass inmitten der Bewegung des Fluids vom Fluid her kein freier Raum zurückgelassen wird, sondern die Kontinuität in ihm beständig erhalten bleibt. |Autor=Leonhard Euler |Quelle=1761 |ref=<ref>L. Euler: Principia motus fluidorum. In: Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, Volume 6, 1761, S. 271–311. Außerdem in: Opera Omnia, Series 2, Volume 12, S. 133–168. Online: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/258/ E258].</ref>}}

Ein Vakuum, ein leerer Raum ist (wie schon für Descartes und Leibniz) nicht denkbar. Die inneren Wechselwirkungen dieses materiellen [[Kontinuum (Physik)|Kontinuums]] treten zwischen „''subtilen''“<ref>Das ist auch der Wortlaut in Eulers Anleitung zur Naturlehre ([http://eulerarchive.maa.org/backup/E842.html E842]), Kapitel XIII (''Von den besonderen Eigenschaften der groben und subtilen Materie''), S. 510.</ref> und dicht gedrängten Partikeln auf, wie eine Art ideale Flüssigkeit, welche fluide und elastische Zustandsänderungen hervorbringen. Damit schließt Euler allerdings nicht aus, dass es auch auf größerer Ebene „''grobe''“ atomare Elemente geben muss, welche die Grundlage einer Molekularphysik bilden und die Vielfalt der Stoffe erklären würden.<ref>Man vergleiche zu Descartes’ und Leibniz’ Materiekonzeption R. Dugas, La Mécanique au XVIIe siècle, Dunod, Paris 1954, Kap. 7 (''La pensée mécanique de Descartes''), § 20 (''Le mécanisme au sens des Principes''), S. 186–193; und Kap. 14 (''La pensée mécanique de Leibniz''), § 3 (''Theoria motus concreti''), S. 463–466.</ref>

{{Zitat |Text=Diese Partikel [der groben Materie] sind somit von endlicher Größe, folglich zusammengesetzt aus noch kleineren Teilen, und somit sehr wohl von diesen zu unterscheiden, welche unter dem Namen der Elemente eingeschlossen werden. |Autor=Leonhard Euler |Quelle=1746 |ref=<ref>L. Euler: Recherches physique sur la nature des moindres parties de la matière. In: Opuscula varii argumenti, Volume 1, 1746, S. 287–300. Außerdem in: Opera Omnia, Series 2, Volume 1, S. 3–15. Online: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/91/ E091].</ref>}}

Materie ist nach der Kontinuitätsauffassung unendlich oft teilbar.<ref>Auch mit Blick auf Eulers Konzeption spricht Immanuel Kant später noch im Kommentar seiner zweiten Antinomie der reinen Vernunft von einem „mathematischen Beweisgrund“. Siehe Seite 307 der Akademie-Ausgabe der 2. Auflage der Kritik der reinen Vernunft, 1787. De Gruyter, Berlin / New York 1968.</ref> Es ist eine wesentliche Eigenschaft aller Körper, insofern diese im Raum ausgedehnt sind.<ref>Zu dieser cartesianischen Tradition bei Euler siehe L. B. Kraus, Ontologie der Grenzen ausgedehnter Gegenstände, De Gruyter, Berlin, Boston 2016, Abschn. 2.1 (''Ausdehnung : Teile''), S. 17, 28, Anm. 33.</ref><ref>W. Breidert: ''Leonhard Euler and Philosophy''. 2007, S. 102.</ref> Hierbei findet Euler in den Infinitesimalen wie etwa dx, dt, dm und ihren Zahlwerten die mathematischen Repräsentanten für unendlich kleine, materielle Partikel. Jedes Integral <math>\int f(x) dm</math> bringt entsprechend die endliche Größe über dem materiellen Feld zum Ausdruck.<ref>Diesen analytischen Zusammenhang zwischen Materieauffassung und Analysis erläutert Euler insbesondere in Institutiones Calculi Differentialis, Vol. 1, Petersburg 1755, Kap. III (''De infinitis atque infinite paruis''). Neu veröffentlicht in Opera Omnia, Series 1, Volume 10, S. 1–676. Eneström-Index (E212). Siehe auch: [https://archive.org/details/bub_gb_sYE_AAAAcAAJ/page/70/mode/2up?view=theater archive.org].</ref> Hieraus erwachsen auch Eulers ablehnende Bedenken gegen kraftbegabte Letztelemente der Materie, wie sie in der Monadenlehre vorkommen. Man findet diese Kritik vor allem in seiner Schrift ''Gedancken von den Elementen der Cörper'' von 1746.<ref>In: Opera Omnia, Series 3, Volume 2, S. 347–366. Online: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/81/ E081].</ref>

=== Begründung der Kontinuumsmechanik ===
Nach Euler ist die mathematische Kontinuität Abbild der materiellen [[Konfiguration (Mechanik)#Kontinuumshypothese|Kontinuumshypothese]]. Damit gilt Euler als Begründer der formalen Konfiguration in der [[Kontinuumsmechanik]]. Jedes Partikel mit Anfangskoordinaten <math>(x_0, y_0, z_0)</math> im Raum ist nun durch stetige und differenzierbare Ortsfunktionen <math> f_i (x_0, y_0, z_0, t), \, i \in (1,2,3)</math> beschreibbar.<ref>Siehe v.&nbsp;a. [[Clifford Truesdell|C. Truesdell]]. R. Toupin, J. Ericksen: ''The Classical Field Theories.'' In: [[Siegfried Flügge|S. Flügge]]: ''[[Handbuch der Physik]].'' Band III-1: ''Principles of Classical Mechanics and Field Theory.'' Springer, Berlin/Göttingen/Heidelberg 1960. §§&nbsp;5 u. 6 (''Deformation'', ''Continuity''), S.&nbsp;243&nbsp;f., Anm. 1, sowie §&nbsp;65 (''Motion'' and ''Continuity'') S.&nbsp;325&nbsp;f.</ref><ref>G. A. Tokaty, ''A History and Philosophy of Fluid Mechanics''. (Dover) New York, 1971, S.&nbsp;76–77.</ref> In demselben Zusammenhang der Mathematisierung des Feldes gelingt Euler zugleich die Formulierung der allgemeinen [[Kontinuitätsgleichung]] in der Form<ref>L. Euler: ''Principes généreaux du mouvement des fluides.'' In: ''Mémoires de l’académie des sciences de Berlin.'' Volume 11, Berlin 1757, S. 274. Außerdem in: ''Opera Omnia.'' Ser. 2, Volume 12, §&nbsp;1, S. 284 und §&nbsp;24, S. 288. Online-Präsenz unter: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/226/ E226]. (Zugriffsdatum: 12. Februar 2023). Englische Übersetzung: U. Frisch, ''Translation of Leonhard Euler’s: General Principles of the Motion of Fluids.'' In: [https://arxiv.org/abs/0802.2383 archive.org.] (Zugriffsdatum: 12. Februar 2023), §&nbsp;17, S. 6 und §&nbsp;24, S. 7.</ref><ref>In neuerer Darstellung vgl. v.&nbsp;a. mit [[Arnold Sommerfeld|A. Sommerfeld]], ''Mechanik der deformierbaren Medien.'' (= ''Vorlesungen über Theoretische Physik.'' Band II). 6. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt. a. M. 1992, S. 83/84.</ref>
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \left(\rho \vec v \right) = 0 ~</math> und <math>~\frac{\mathrm d \vec v}{\mathrm d t} + \frac{1}{\rho}\vec \nabla \vec p = \vec{F}</math>.
Mit dem mathematischen Kunstgriff der Kontinuumshypothese hat Euler wohl „nicht zur Fluidmechanik beigetragen, sondern sie erfunden“, wie [[Joseph-Louis Lagrange|J. L. Lagrange]] gesagt haben soll.<ref>Zitiert in G. A. Tokaty, ''A History and Philosophy of Fluid Mechanics''. (Dover) New York, 1971: S. 77.</ref>

=== Undurchdringlichkeit ===
Euler betont an vielen Stellen, dass die Eindeutigkeit der Partikelkonfiguration in einem fluiden Medium gewährleistet werden muss. Andernfalls wäre die Undurchdringlichkeit der Materie verletzt, was nach Eulers bzw. nach Cartesischer Auffassung unvorstellbar ist.
{{Zitat
 |Text=Die ''Undurchdringlichkeit'' ist diejenige Eigenschaft, vermöge welcher zwei oder mehrere Körper sich nicht an demselben Ort befinden können, sie erstreckt sich selbst auf die kleinsten Elemente der Körper, so dass nicht einmal zwei solche Elemente an demselben Orte existieren können.
 |Autor=Leonhard Euler
 |Quelle=1765
 |ref=<ref>L. Euler:, ''Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum.'' 1. Auflage. (Röse) Rostock 1765. §&nbsp;123, S. 46. Außerdem in: Opera Omnia Ser. 2, Volume 3 (hrsg. v. C. Blanc). Bern 1948. Online-Präsenz unter: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/289/ E289]. (Zugriffsdatum: 18. Februar 2023). Hier in der deutschen Übersetzung genommen von [[Jakob Philipp Wolfers|J. P. Wolfers]], ''Leonhard Euler’s Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft von der Bewegung. Dritter Teil.'' (Koch) Greifswald 1853, S. 54 f. Online unter [https://archive.org/details/abr1577.0003.001.umich.edu/page/n65/mode/2up Archive.org] (Zugriffsdatum:18. Feb. 2023). Der lateinische Originaltext lautet: „''Impenetrabilitas'' est ea corporum proprietas, qua duo plurave corpora in eodem loco inesse nequeunt, atque adeo ad minima corporum elementa extenditur, ita ut ne duo quidem elementa in eodem loco existere possint.“</ref>}}
Neben Trägheit und Ausdehnung gehört Undurchdringlichkeit in Eulers Naturphilosophie zu den wesentlichen metaphysischen Eigenschaften der Materie. Sie ist nicht messbar oder quantifizierbar, da auch überabzählbare Infinitesimalen <math>\mathrm dm </math> von Körpern darunter fallen. Sie bildet den Letztgrund aller physischen Kräfte.<ref>Zu Eulers Kraftbegriff siehe hier den Eintrag [[Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers]], und darin insbes. Abschnitt ''Mechanik''. Siehe außerdem im Eintrag [[Briefe an eine deutsche Prinzessin]] Abschnitt ''Metaphysik der Materie''.</ref><ref>S. Gaukroger: ''The Metaphysics of Impenetrability: Euler’s Conception of Force.'' In: ''The British Journal for the History of Science.'' Volume 15, Issue 2, July 1982: S.&nbsp;135–138.</ref><ref>Pulte: ''Konstanter Cartesianismus''. (1989), darin insbes. Abschn. 3.2 (''Die Rationalisierung des Kraftbegriffs (2): Undurchdringlichkeit''), S.&nbsp;161–170.</ref><ref>L. B. Kraus, ''Ontologie der Grenzen ausgedehnter Gegenstände''. (De Gruyter) Berlin, Boston 2016: S.&nbsp;29 (Abschn. 2.4: ''Materielle Gegenstände''), u. S.&nbsp;161 (Abschn. 5.3: ''Vergleich mit der hier vertretenen Charakterisierung ausgedehnter Gegenstände'').</ref>

Die logische Notwendigkeit der Undurchdringlichkeit aus dem Kontinuitätsprinzip ist zwar von Euler an vielen Stellen formuliert worden. Der logische bzw. analytische Beweis wurde allerdings weit später erbracht.<ref>Laut Truesdell, Toupin (1960), im obigen Einzelnachw, S. 326 Anm. 1, findet sich dieser Beweis erstmals in [[Jacques Hadamard|J. Hadamard]], ''Leçons sur la Propagation des Ondes et les Équations de l’Hydrodynamique'' (Herman) Paris 1903, §&nbsp;46, S. 60. Siehe auch [[Bertrand Russell|B. Russell]], ''The Principles of Mathematics''. 2.&nbsp;Aufl.(Norton) New York 1903: Chapter LIII (''Matter''), §&nbsp;440, S.&nbsp;467.</ref>

=== Idealität der Raumzeit ===
In der kleinen Schrift ''Réflexions sur l’espace et le temps'' von 1750<ref>In: ''Mémoires de l’académie des sciences de Berlin.'' Vol. 4, S. 324–333. Außerdem in: ''Opera Omnia.'' Series 3, Volume 2, S. 376–383. Man vergleiche auch mit der englischen Übersetzung von
M. P. Saclolo, P. Wake (2009): [https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?filename=0&article=1148&context=euler-works&type=additional Reflections On Space and Time] (Zugriffsdatum: 18. Februar 2023).</ref> und später in seiner ''Theoria Motus'' von 1765 stellt Euler die damaligen Argumente für und gegen die Realität einer absoluten Raumzeit (u.&nbsp;a. nach Newton und entgegen Leibniz) in Frage. Jede raumzeitliche Konzeption der sichtbaren Gegenstände müsse deren Realität erkenntnistheoretisch vorausgehen. Der ‚Ort‘ eines einzeln betrachteten Körpers habe eine von dem Körper selbst eigenständige und mehrdeutige Realität:
{{Zitat
 |Text=Wie aber diese Ruhe oder diese Bewegung beschaffen sein wird, können wir, da die Änderung der Lage in Beziehung auf andere Körper hier nicht stattfindet, uns nicht einmal denken; wenn wir nicht einen absoluten Raum annehmen, in welchem unser Körper einen gewissen Ort einnehmen wird und von wo er nach andern Orten übergehen kann.
 |Autor=Leonhard Euler
 |Quelle=1765
 |ref=<ref>L. Euler (1765), ''Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum'' ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E289.html E289]): §&nbsp;80, S.&nbsp;31. Hier in der deutschen Übersetzung Wolfers (1853), S.&nbsp;37. Der lateinische Originaltext lautet: „Qualis autem haec futura fit quies, qualisve hic motus? cum mutatio situs respectu aliorum corporum hic nullum inveniat locum, ne cogitare quidem possumus, nisi spatium absolutum admittamus, in quo nostrum corpus locum quendam occupet, indeque in alia loca transire possit.“</ref>}}
Hinsichtlich dieser Frage greift Euler der [[Transzendentale Ästhetik|transzendentalen Ästhetik]] I. Kants voraus.<ref>[[Helmut Pulte|H. Pulte]], ''Leonhard Euler’s Theory of Space and Time and its Reception by Kant.'' In: I. Grattan-Guinness, H. Pulte: Mini-Workshop: ''The Reception of the Work of Leonhard Euler (1707–1783)''. Oberwolfach Rep. 4 (2007), 2251-2254. Online: [https://publications.mfo.de/handle/mfo/3026 Math. Forschungsinst. Oberwolfach, Workshop Report 2007,38] (Zugriffsdatum 18. Februar 2023).</ref>

=== Teleologische Sicht auf die Natur ===
Euler teilte eine, wie man mit Kant sagt, ''physiko-teleologische'' Sichtweise:<ref>R. Thiele: ''Leonhard Euler und die Philosophie''. S.&nbsp;501.</ref><ref>zu der Bezeichnung siehe auch I. Kant (''Zur Unmöglichkeit eines physikoteleologischen Gottesbeweises''), ab Seite 413 der Akademie-Ausgabe der 2. Auflage der ''Kritik der reinen Vernunft'' von 1787. De Gruyter, Berlin / New York 1968</ref> dass jede Wirkung der Natur nach einer zweckdienlichen Ordnung, einer höheren Vernunft gemäß, eingerichtet sein, alle Dinge in der Natur einem höheren Zweck dienen müsse. Dieser teleologische Hintergrund hat seine prominenteste und damals viel beachtete Fassung in der Naturphilosophie [[Gottfried Wilhelm Leibniz|G. W. Leibniz’]].<ref>Diese Parallelen zwischen Euler und Leibniz werden insbes. dargestellt in [[Adolf Kneser|A. Kneser]], ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung''. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928, S. 3–26. Darin heißt es auf Seite 24: «Euler, der später so scharf gegen die Leibnizische Monadologie streitet, steht ganz auf dem Boden der Leibnizischen Teleologie».</ref>

Hierzu gehört im Besonderen, dass alles in der Natur nach einem rational zugänglichen «Sparsamkeitsprinzip» eingerichtet sein müsse.<ref>E. Knobloch: ''Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis''. (2008): S.&nbsp;80.</ref><ref>H. Heuser (2008), S.&nbsp;151.</ref>

:«''Immer nämlich gibt es in den Dingen ein Prinzip der Bestimmung, welches vom Maximum oder Minimum hergenommen ist, daß nämlich die größte Wirkung hervorgebracht werde mit dem kleinsten Aufwande so zu sagen''» (Leibniz).<ref>A. Kneser, ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung''. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928. Die hier übersetzte lateinische Passage ist entnommen: G. W. Leibniz, [[s:la:De rerum orginatione radicali|De rerum originatione radicali]], (Zugriffsdatum 23. Februar 2024.). Erstveröffentlichung in: Autographum Leibnitii nondum editum; e scriniis Bibliotlhecæ Regiæ Hanoveranæ (1697), p. 267–294. Die Passage befindet sich dort auf Seite 660: «Semper scilicet est in rebus principium determinationis quod al maximo minimove petendum est, ut nempe maximus præstetur effectus minimo ut sic dicam sumtu».</ref>

:«''Tritt in der Natur irgendeine Änderung ein, so ist die für diese Änderung notwendige Aktionsmenge die kleinstmögliche''» (Maupertuis).<ref>H. Heuser (2008), S.&nbsp;151, dort zitiert in der Übersetzung aus I. Szabó: ''Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen.'' Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1979. Dritte Auflage, Birkhäuser, 1996: Seite 93. Die französische Originalschrift lautet: P. Maupertuis, [[s:fr:Les Loix du mouvement et du repos déduites d’un principe metaphysique|Les Loix du mouvement et du repos]], (Zugriffsdatum 23. Februar 2024.). Erstveröffentlichung in: Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles Lettres (1746), p. 267–294. Die Passage befindet sich auf Seite 290: «Lors qu’il arrive quelque changement dans la Nature, la Quantité d’Action, nécessaire pour ce changement, est la plus petite qu’il soit possible».</ref>

Weder für diese naturphilosophische Position noch für ihre mathematisch-analytische Konzeption erhob Euler irgendeine Priorität.
So hat er mehrere philosophische Verteidigungsschriften verfasst, in denen er seinen Kollegen [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|P. de Maupertuis]] zum Urheber des ''Prinzips der kleinsten Aktion'' erklärt.<ref>Dazu Knobloch: ''Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis''. (2008), und H. Pulte: ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen der rationalen Mechanik''. (Franz Steiner) Stuttgart, 1989 (Kap. II): S.&nbsp;200&nbsp;f. (''Der Prioritätsverzicht Eulers'').</ref><ref>Die Streitschriften Eulers hierzu datieren vor allem aus den anfänglichen 1750er Jahren: etwa ''Sur le principe de la moindre action'' Berlin, 1753 ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/198/ E198]).</ref> Hingegen lassen sich historische Belege finden, die Euler als gleichberechtigten Entdecker neben Maupertuis auszeichnen.<ref>H. Pulte: ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen der rationalen Mechanik''. (Franz Steiner) Stuttgart, 1989 (Kap. II): S.&nbsp;193&nbsp;f. (Kap. III: ''Euler und Maupertuis als gleichzeitige Entdecker'').</ref><ref>H. C. Goldstine, ''A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century''. (Springer) New York, Heidelberg, Berlin 1980: S.&nbsp;67&nbsp;f. (Kap. 2: ''Euler'')</ref>

Ein frühes und häufig wiedergegebenes Bekenntnis Eulers zu einem zielgerichteten Wirken und deren Erkennbarkeit in der Natur findet man im ersten Additamentum (''De Curvis Elasticis'') seiner epochalen Schrift ''Methodus inveniendi lineas curvas'' (1744, E065), woraus die folgende philosophische Exposition stammt. Sie enthält zugleich die verallgemeinerte Vorstellung (und die auch auf Leibniz zurückgeht),<ref>Siehe A. Kneser, ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung''. (Vieweg, Teubner), Wiesbaden 1928, S.&nbsp;9&nbsp;f.</ref> dass jeder geometrischen Aufgabe eine eigene Erhaltungs-''Größe'' (‹Quantitas›) korrespondieren müsse, die auf ein Extremum hin zu betrachten ist.

{{Zitat
 |Text=Schon längst haben einige hervorragende Mathematiker eingesehen, daß die in diesem Buch vorgetragene Methode nicht nur in der Analysis, sondern auch bei der Lösung physikalischer Probleme von Nutzen sei. Da nämlich der Plan des gesamten Universums der vollkommenste ist und von dem weisesten Schöpfer festgelegt worden ist, so geschieht nichts auf der Welt, dem nicht irgendein Verhältnis des Maximums oder Minimums zugrunde liegt. Deshalb kann kein Zweifel bestehen, daß alle Wirkungen in der Welt aus den Endursachen mit Hilfe der Methode der Maxima und Minima gleich gut bestimmt werden können wie aus den bewirkenden Ursachen. [… Dafür] wird man danach streben müssen, daß in jeder Art naturwissenschaftlicher Fragen die Größe bestimmt werde, die einen größten oder kleinsten Wert annimmt. Diese Aufgabe scheint mehr zur Philosophie als zur Mathematik zu gehören.
 |Autor=L. Euler
 |Quelle=''Methodus Inveniendi'' (1744/1910)
 |ref=<ref>Euler: ''Von den elastischen Kurven''. Seite 18–100 in: Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: ''Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven,'' Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910.</ref>}}

Euler nahm für sich in Anspruch, nachträglich oder ''empirisch'' dieses universell angenommene ''Prinzip der kleinsten Aktion'' vielfältig und ohne Ausnahmen bestätigt zu haben, indem er nach dieser analytischen Methode viele materielle Kurven der Mechanik und Statik hatte finden bzw. wieder auffinden können. In einem formalen Sinn, zu einer allgemeinen Mechanik und Naturbetrachtung reichend, bildet es neben dem ''Prinzip der Undurchdringlichkeit''<ref>Das wird auch hier unter ''Überzeugungen gegenüber Philosophie und Religion'' → ''Undurchdringlichkeit'' genannt.</ref> einen Grundpfeiler seines naturphilosophischen Denkens.<ref>Siehe dazu insbesondere Pulte: ''Konstanter Cartesianismus''. (1989), S.&nbsp;146 und 176.</ref>

=== Religiöse Überzeugungen ===
Euler und sein Freund [[Daniel Bernoulli]] lehnten beide die [[Monadologie]] von Leibniz und die Philosophie von [[Christian Wolff (Aufklärer)|Christian Wolff]] ab.<ref>W. Breidert: ''Leonhard Euler and Philosophy.'' (2007), S. 98.</ref> Euler war davon überzeugt, dass Wissen (zumindest in Teilen) auf präzisen quantitativen Gesetzen beruht, etwas, was die Monadologie und die Wolffsche Wissenschaft nicht zu leisten vermochten. Eulers religiöse Neigungen könnten einen Einfluss auf seine Abneigung gegen diese Lehre gehabt haben; er ging sogar so weit, Wolffs Ideen als „[[Heidentum|heidnisch]] und [[Atheismus|atheistisch]]“ zu bezeichnen.<ref>Ronald Calinger: ''Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)''. Historia Mathematica. 23 (2), 1996: 121–166. [[doi:10.1006/hmat.1996.0015]], S. 153–154.</ref> Eine religiöse Überzeugung im Sinne des reformierten Glaubens wurde auch in seiner Grabrede betont.<ref>{{Internetquelle |autor=Nikolaus von Fuss |url=http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html |titel=Grabrede für Euler |datum=1783 |offline=1 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20150324171852/http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html |archiv-datum=2015-03-24 |abruf=2017-02-22}}</ref> Dies macht verständlich, dass er und der [[Aufklärung|Aufklärer]] [[Voltaire]], zeitgleich am preußischen Hof, keinen Konsens bezüglich Weltanschauung fanden.

In einem Brief vom August 1736 an den Danziger Mathematiker [[Karl Leonhard Gottlieb Ehler]] begann Euler, der wissenschaftliche Streitigkeiten meist vermied, vorsichtig mit der Kritik an Christian Wolffs ''Philosophia prima sive ontologia'' (1729), ''Cosmologia generalis'' (1731) und der «Theorie der positiven und negativen Unendlichkeit», die in der letzten Ausgabe von ''Elementa matheseos universae'' (1710) gegeben wurde.<ref>Leonhard Euler: ''Opera omnia.'' ser. IVA, vol. 1 (Hrsg.): Adolph Pavlovitch Jusˇkevicˇ et al.: ''Briefwechsel.'' Birkhäuser, Basel 1975, S.&nbsp;115.</ref> Er akzeptierte nicht die Art und Weise, wie Wolff bei Verwendung der [[Regel von de L’Hospital]] den Ausdruck <math> \tfrac{0}{0}</math> interpretierte. Er stimmte zwar mit Leibniz und Wolff darin überein, dass infinitesimale Größen „absolute Nullen“ sind (diese Anschauung Eulers war ein Resultat von dessen „Nullenrechnung“<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen.'' Heidelberg (u.&nbsp;a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S.&nbsp;462.</ref>), aber er war formal der Auffassung, dass das Verhältnis <math> \tfrac00</math> nur in besonderen Situationen eine feste „endliche Zahl“ darstellt. [[Michael Segre]] zeigt, dass Euler dieses Problem später in seiner ''Institutiones calculi differentialis'' (1755) über die Schlussfolgerung <math>n \cdot 0 = 0</math> und damit <math>n \cdot 1 = \tfrac00</math> aufgriff.<ref>Leonhard Euler: ''Opera omnia.'' ser. I, vol. 10, Gerhard Kowalewski (Hrsg.): ''Institutiones calculi differentialis.'' Teubner, Leipzig 1913, esp. 69–71, S. 136.</ref>

Vieles von dem, was über Eulers religiöse Überzeugungen bekannt ist, lässt sich aus seinen ''Briefen an eine deutsche Prinzessin'' und einem früheren Werk, der ''Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister'', ableiten. Diese Werke zeigen, dass Euler ein gläubiger [[Christ]] war, der die [[Bibel]] als wegweisend empfand; die ''Rettung'' war in erster Linie ein Argument für die göttliche [[Verbalinspiration]].<ref>Leonhard Euler: ''Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister''. Leonhardi Euleri Opera Omnia (3. Auflage), 1960. 12.</ref> Euler war in aktiven Funktionen in der reformierten Gemeinde tätig.<ref>[[Michael Raith]]: ''Der Vater Paulus Euler. Zur geistigen Herkunft Leonhard Eulers.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 465.</ref> Jegliche Kritiken der Offenbarungslehre (zur Zeit der Aufklärung von P. Bayle und M. Montaigne erwogen) waren für Euler abwegig und fehlerhaft. Euler hatte seine theologischen Auffassungen wohl vom Vater und Pfarrer Paul Euler übernommen und war (nach dem Biografen O. Spieß) darin überzeugt und ernst.<ref>Man vgl. hier S.&nbsp;497 und 504 in R. Thiele (2008), ''Leonhard Euler und die Philosophie''.</ref>

'''Anekdote über «Gottesbeweis»'''

Es gibt eine berühmte [[Anekdote]],<ref name="Calinger501">Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Princeton University Press, 2016, S. 501.</ref> die von Eulers Auseinandersetzungen mit [[Säkularismus|säkularen]] Philosophen über Religion inspiriert wurde und die während Eulers zweiter Amtszeit an der Sankt Petersburger Akademie spielt. In dieser soll Euler gegenüber [[Denis Diderot]] als [[Gottesbeweis]] das ''[[non sequitur]]'': «Mein Herr! <math> \tfrac{a+b^n}{n} = x </math>, also existiert Gott. Antworten Sie mir!» vorgebracht haben, woraufhin dieser nichts erwidern konnte und Russland gedemütigt verließ. Die Anekdote ist [[Apokryphen#Begriff|apokryph]], da Diderot selbst in der Mathematik forschte.<ref>Jacques Marty: [https://www.persee.fr/doc/rde_0769-0886_1988_num_4_1_954 ''Quelques aspects des travaux de Diderot en Mathematiques Mixtes'']. Recherches Sur Diderot et Sur l’Encyclopédie. 4 (1), 1988, S. 145–147.</ref> Die Legende wurde offenbar zuerst von [[Dieudonné Thiébault]] erzählt (in seinem Buch ''Mes souvenirs de vingt ans de séjour à Berlin'' im Jahr 1801<ref name="Calinger501" />), mit weiteren starken Verzierungen durch [[Augustus De Morgan]].<ref>Dirk J. Struik: ''A Concise History of Mathematics'' (3. überarbeitete Edition). Dover Books, 1967, S. 129.</ref><ref>R. J. Gillings: ''The So-Called Euler-Diderot Anecdote''. American Mathematical Monthly. 61 (2), Februar 1954, S. 77–80. [[doi:10.2307/2307789]].</ref> Dies geschah möglicherweise, um die religiösen Überzeugungen Eulers hervorzuheben.<ref name="Calinger501" /> Für den angeblichen Vorfall liegen jedoch keine zeitgenössischen Quellen vor.<ref>Dirk J. Struik: ''A Concise History of Mathematics''. Dover, dritte überarbeitete Auflage, 1967, ([https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/euler.html Online-Kopie]), S. 129.</ref>

== Korrespondenzen ==
Euler unterhielt umfangreiche Kontakte und Korrespondenz mit vielen der bedeutendsten mathematischen Wissenschaftler der damaligen Zeit, darunter [[Christian Goldbach]], [[Alexis Clairaut]], [[Jean d’Alembert]], [[Joseph Louis Lagrange]] und [[Pierre Simon Laplace]]. Besonders mit Goldbach und Clairaut tauschte er sich über aktuelle Probleme der Zahlentheorie, der mathematischen Analysis, der Differentialgleichungen, der Strömungsmechanik und der Himmelsmechanik aus. Weder Meinungsverschiedenheiten noch Ansprüche des einen gegen andere dominierten den Austausch. Sie diskutierten vielmehr alle mathematischen Ideen und Probleme offen, oft schon deutlich vor ihrer Veröffentlichung. Besonders Euler in Berlin und d’Alembert in Paris hatten über viele Jahre eine umfangreiche mathematische Korrespondenz. Im Jahre 1757 hatten sie dabei schließlich doch eine starke Meinungsverschiedenheit, die zu einer Entfremdung darüber führte, ob diskontinuierliche oder nichtdifferenzierbare Funktionen zulässige Lösungen des Schwing[[saite]]nproblems sind. Auch über die Theorie der [[Präzession]], der [[Äquinoktium|Tagundnachtgleichen]] und der [[Nutation (Astronomie)|Nutation]] der [[Erdachse]] gab es zwischen ihnen einen Prioritätsstreit. Nachdem d’Alembert 1763 Euler in Berlin besuchte, wurde ihr Verhältnis jedoch wieder vertrauter. 1759 beteiligte sich der junge Lagrange mit einem kontroversen Artikel, der sowohl von Euler als auch von d’Alembert kritisiert wurde, an der Diskussion der Lösungen. Lagrange schloss sich jedoch den meisten von Eulers Ansichten an. 1761 versuchte Lagrange, den Kritiken von d’Alembert und anderen zu begegnen, indem er eine andere Behandlung des Problems der schwingenden Saiten vorsah. Die Debatte dauerte weitere zwanzig Jahre, ohne dass eine Lösung gefunden wurde. Die strittigen Fragen wurden erst gelöst, als [[Joseph Fourier]] das Thema im nächsten Jahrhundert aufgriff. Obwohl Euler einen wichtigen und wegweisenden Beitrag zur [[Variationsrechnung]] leistete, machte Lagrange im Alter von 19 Jahren die erste Formulierung der Gleichungen der analytischen Dynamik nach den Prinzipien der Variationsrechnung, und sein Ansatz war Eulers semi-geometrischen Methoden überlegen. So führte das klassische Euler-Lagrange-Variationsproblem der Bestimmung des Extremwertes einer [[Funktionalanalysis|Funktionalanalyse]] zu der berühmten [[Euler-Lagrange-Gleichung]].<ref>Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler, A Tricentennial Tribute.'' S. ix–x.</ref>

<gallery class="center">
 ETH-BIB-Bernoulli, Daniel (1700-1782)-Portrait-Portr 10971.tif (cropped).jpg|Daniel Bernoulli
 Johann Bernoulli2.jpg|Johann I Bernoulli
 PierreLouisMaupertuis.jpg|Pierre Louis de Maupertuis
 Alexis Clairault.jpg|Alexis-Claude Clairaut
 Maurice Quentin de La Tour - Portrait de Jean Le Rond d'Alembert.jpg|Jean Baptiste le Rond d’Alembert
 Лагранж.jpg|Joseph-Louis Lagrange
 Pierre-Simon Laplace.jpg|Pierre-Simon Laplace
</gallery>

Die wissenschaftliche Korrespondenz fußte in erster Linie auf zahlreichen Briefen. Besonders regen Austausch gab es mit Jean d’Alembert (mind. 39 Briefe), [[Daniel Bernoulli]] (mind. 100 Briefe), [[Johann I Bernoulli]] (mind. 38 Briefe), Alexis Clairaut (mind. 61 Briefe), Christian Goldbach (mind. 196 Briefe) sowie [[Pierre Louis Maupertuis]] (mind. 129 Briefe, davon 124 von Euler).<ref>Leonhard Euler: ''Briefwechsel.'' Opera omnia, Series Quarta A, Vol, 1, S. 505–509.</ref>
{{Annotiertes Bild
| image = Euler Korrespondenz.pdf
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| caption = Anzahl der Briefwechsel Eulers über die Jahre seines Lebens (diese Angaben stützen sich auf das chronologische Verzeichnis der ca. 3000 Briefe von und an Euler in der Opera omnia IV (Series Auqrta) A. 1, S. 513–554). Die ''gesamte'' Korrespondenz Eulers dürfte sich nach vorsichtiger Schätzung auf etwa das Doppelte belaufen.<ref name="Fellmann32">Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 32.</ref>
}}
Legende in oberer Graphik:<ref name="Fellmann32" /><br />
A: 1738 erkrankte Euler schwer und verlor die Sehkraft seines rechten Auges.<br />
B: Im Januar 1745 wurde die Berliner Akademie eröffnet, und Euler, der sich seit 1741 in Berlin aufhielt, hatte als Direktor der Mathematischen Klasse viele administrative Arbeiten zu erledigen. Zudem erkrankte er in diesem Jahr ernsthaft.<br />
C: In die Jahre 1751/52 fällt die aufreibende Kontroverse Maupertuis’ mit J. S. Koenig, die den «Akademiestreit» zur Folge hatte.<br />
D: 1753 lässt sich Maupertuis beurlauben und reist nach Frankreich. Euler obliegt – inoffiziell zwar, aber de facto – die Leitung der Akademie.<br />
E: Der Siebenjährige Krieg (1756–1763) unterbindet – in der ersten Hälfte wenigstens – weitgehend den Postverkehr.<br />
F: Eulers Zerwürfnis mit Friedrich II., das schließlich<br />
G: 1766 zur Abreise Eulers nach Petersburg führt.<br />
H: Euler hat sich neu einzurichten, stark behindert durch den sich verschlimmernden Star am linken Auge.<br />
J: 1771 gänzlicher Verlust der Sehkraft (vollständige [[Erblindung]]).

== Rezeption ==
=== Zeitgenössisch ===
Eulers Ansehen und Einfluss galten schon zu seinen Lebzeiten als äußerst groß. Etwa zwei Jahrzehnte lang war er der „geistige Führer der gebildeten Kreise“ im protestantischen Teil Deutschlands. Wichtige Dienste leistete er als „goldene Brücke zwischen zwei Akademien“, wovon seine Korrespondenzen ein ebenso eindrückliches Zeugnis ablegen wie die Tatsache, dass während seiner Berliner Zeit 1741–1766 in den Petersburger Akten (den Zeitschriftenbünden der Akademie) 109 Publikationen aus seiner Feder stammten, gegenüber 119 in den ''Memoires'' der Preussischen Akademie. Insgesamt gewann Euler zwölf internationale Akademiepreise, die acht Preise seiner Söhne Johann Albrecht (7) und Karl (1), zu denen er entscheidende Beiträge leistete, nicht mitgerechnet. [[Ludwig XVI.]] schenkte ihm für seine ''zweite Schiffstheorie'' 1000 [[Rubel]], und Katharina II. bescherte ihn mit dem doppelten Betrag.<ref name="Fellmann33">Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 33.</ref>

Eulers erste [[Wissenschaftliches Werk Leonhard Eulers#Astronomie|Mondtheorie]] hatte eine nicht zu unterschätzende praktische Konsequenz: Der Göttinger Astronom [[Tobias Mayer]] stellte 1755 nach Eulers Formeln [[Mondtafel]]n zusammen, die gestatteten, die Position des Erdtrabanten und damit die [[geographische Länge]] eines Schiffes auf hoher See mit einer damals in der [[Navigation]]slehre noch nie erreichten Exaktheit zu bestimmen. Das britische Parlament hatte 1714 einen beachtlichen Geldpreis für die Längenbestimmung auf hoher See unterhalb einer Fehlergrenze von einem halben Grad ausgesetzt. Dieser Preis wurde erstmals 1765 vergeben: Die Witwe Mayers erhielt 3000 [[Britisches Pfund|Pfund]], und Euler für die den ''Mayerschen Tafeln'' zugrunde gelegte Theorie 300 Pfund. Diese Mondtafeln wurden in alle Navigationsalmanache aufgenommen und die Methode mehr als ein Jahrhundert lang in der Seefahrt genutzt.<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 71.</ref>

[[Pierre-Simon Laplace]] soll zu seinen Schülern gesagt haben:

{{Zitat
 |Text=Lisez Euler, c’est notre maître à tous!
 |Sprache=fr
 |Autor=[[Pierre-Simon Laplace]]
 |Übersetzung=Lest Euler, er ist unser aller Meister!
 |ref=<ref>Dirk Jan Struik: ''Abriss der Geschichte der Mathematik.'' Springer, S. 139.</ref>}}
Eulers wissenschaftlicher Kollege [[Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet|Nicolas Marquis de Condorcet]] pflegte über viele Jahre einen privaten Briefwechsel mit Euler und hatte die Entwicklung seiner mathematischen Ergebnisse genau mitverfolgt.<ref>Siehe vor allem C. Gilain, V. Hug, R. Taton (Hrsg.) ''Correspondance de Leonhard Euler avec M.J.A.N. Caritat, Marquis de Condorcet et A.R.J. Turgot. '' Publikationen des Bernoulli-Euler-Zentrums. In: Opera Omnia IVA 9, edition en ligne, Bale 2020. Online-Prescript: [https://eterna.unibas.ch/publbez/issue/view/308 Band 5 (2020)].<!-- abgerufen am 22. Juni 2023 --></ref> Er schrieb eine vielbeachtete ''Lobrede für Euler'', stellvertretend für die [[Académie des sciences|Pariser Akademie der Wissenschaften]],<ref>Das ist Condorcet (1786), im u. a. Literaturverzeichnis. Siehe auch Calinger (2016), im ''Literatur''-Verz. (→''Monografien und Sammelbände''), Seite 532 f.: ''Major Eulogies and an Epilogue''.</ref> die in mehreren kommenden Auflagen und Übersetzungen der von ihm neu herausgegebenen ''Lettres à une princesse d’Allemagne'' wiederzufinden ist.<ref>Das ist Condorcet (1787), im u. a. Literaturverzeichnis. Diese Fassung wurde von H. Hunter ins Englische übersetzt. Siehe etwa die zweite englische Auflage der ''Letters of Euler to a German Princess''. p. xxxiii – xvii. Onlinezugang: {{archive.org |letterseulertoa00eulegoog |Blatt=33}}.<!-- abgerufen am 25. Mai 2023 --></ref>
Darin bemerkt Condorcet, dass durch Eulers mathematisches Werk eine ‚Revolution‘, ein Umsturz in der Bedeutung der Algebra und Analysis für die Mathematik einsetzte. Galten zuvor noch anschaulich-geometrische Methoden als die einzig überzeugenden, so erhielten die Algebra und Infinitesimalrechnung (Analysis) durch Eulers Werk erst diejenige Verständlichkeit und Relevanz, die seit dem 19. Jahrhundert in der Mathematik und Physik weit verbreitet ist.
{{Zitat
 |Text=Aussi en jetant les yeux sur les ouvrages des grand géomètres du siècle dernier, de ceux memes auxquel l’algèbre doit les dècouvertes les plus importantes, on verra combien peu ils étoient accoutumés à manier ce meme instrument qu’ils ont tant perfectionné; et l’on ne pourra s’empêcher de regarder comme l’ouvrage de M. Euler, la révolution qui a rendu l’analyse algébrique, une méthode lumineuse, universelle, applicable à tout, et même facile.
 |Sprache=fr
 |Autor=Nicolas de Condorcet
 |Übersetzung=Wenn man ebenso seine Augen auf die Werke der großen Geometer des letzten Jahrhunderts [d.i. des 17. Jh.] wirft, so wird man sehen, wie wenig man sich an die Verfahrensweise dieses mathematischen Instruments gewöhnen konnte, selbst unter denen, welche die Algebra zu den wichtigsten Entdeckungen zählten und welche sie zugleich derart vollkommen gemacht haben. Und so wird man sich nicht davor erwehren können, das Werk von Hrn. Euler als einen Umsturz aufzufassen, das die algebraische Analyse in eine erhellende Methode verwandelt hat, zudem eine allgemeine, auf alles anwendbar und leicht zugänglich.
 |ref=<ref>Condorcet (1786), Seite 42; auch mit der englischen Übersetzung von H. Hunter in Euler (1802), S. xli. verglichen<!-- abgerufen am 22. Mai 2023 --></ref>}}
Ebenso einzigartig sei Eulers Bemühen um vielseitige Beweiskonstruktionen. Für Euler galt es als Festigung und Vergewisserung einer Erkenntnis, wenn weitere Beweise dasselbe mathematische Ergebnis bestätigen. So blieb er niemals bei nur einem Beweisverfahren stehen, sondern suchte weitere Deduktionen, die zu tiefer liegendem Verständnis der zugrundeliegenden Theorie führen.<ref>Eulers gesamte Arbeit der Variationsrechnung steht unter diesem Vorzeichen der festigenden Bestätigung vorangehender Resultate. Anders kann das ''Additamentum I de curvis elaticis'' zur Theorie der ''Elastica'' in Eulers ''Methodus Inveniendi'' (1744, E065) nicht verstanden werden. Siehe dazu C. Truesdell (1960), Seite 200. Sämtliche Propositionen in seinen großen Werken enthalten oft mehrere Ergänzungen und Korrollarien, die auf weitere Deduktionen hinweisen.</ref>
{{Zitat
 |Text=Tantôt il substituoit une méthode directe et analytique à une méthode indirecte; tantôt il étendoit sa première solution à des cas qui lui avoient d’abord échappé, ajoutant presque toujours de nouveaux exemples qu’il savoit choisir avec un art singulier parmi ceux qui offroient ou quelque application utile ou quelque remarque curieuse. La seule intention de donner à son travail une forme plus methodique, d’y rèpandre plus de clarité, d’y ajouter un nouveau degré de simplicité […].
 |Sprache=fr
 |Autor=Nicolas de Condorcet
 |Übersetzung=Mal ersetzte er eine direkte und analytische Methode an die Stelle einer indirekten Methode, mal erweiterte er seine erste Lösung für Fälle, die ihm zunächst entgangen waren und ergänzte nahezu immer neue Beispiele, die er in einzigartiger Weise unter denen auszuwählen wusste, welche eine nützliche Anwendung oder eine interessante Bemerkung bieten würden. Die einzige Absicht war dabei, seiner Arbeit eine noch methodischere Form zu geben, sie mit mehr Klarheit zu versehen und einen neuen Grad der Einfachheit zu ergänzen […].
 |ref=<ref>Condorcet (1787), Seite xxvi; auch mit der englischen Übersetzung von H. Hunter in Euler (1802), S. xlix. verglichen<!-- abgerufen am 6. Junii 2023 --></ref>}}
Fehlkonstruktionen und unvollständige Beweise verstand Euler oft als eine Herausforderung zum Neuansatz unter anderen Voraussetzungen. In dieselbe Richtung zielt auch die Einschätzung [[Johann Wolfgang von Goethe|Goethes]], der die Farbenlehre dieses „außerordentlichen Menschen“, wie er ihn nennt, mindestens über die [[Briefe an eine deutsche Prinzessin|''Lettres'' (E343/344)]] gut kannte und eingehend studiert haben muss:<ref>Man vergleiche auch mit Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. (1995), S. 88.</ref><ref>O. Krätz, ''Goethe und die Naturwissenschaften''. (Callwey), München 1992, S. 174.</ref>
{{Zitat
 |Text=Euler, einer von denjenigen Männern, die bestimmt sind, wieder von vorn anzufangen, wenn sie auch in eine noch so reiche Ernte ihrer Vorgänger geraten […].
 |Autor=J. W. v. Goethe
 |ref=<ref>J. W. v. Goethe, ''Materialien zur Geschichte der Farbenlehre''. Band 14 der Hamburger Ausgabe. (dtv Beck) 9. Auflage, München 1994. Seite 222. Online: [http://www.zeno.org/Literatur/M/Goethe,+Johann+Wolfgang/Naturwissenschaftliche+Schriften/Zur+Farbenlehre/Materialien+zur+Geschichte+der+Farbenlehre zeno.org] <!-- abgerufen am 10. Juni 2023 --></ref>}}

=== Im 19. Jahrhundert ===
Eulers Bücher, die sich nach [[Emil Fellmann]] „durchweg durch höchstes Streben nach Klarheit und Einfachheit auszeichnen“ und die „ersten eigentlichen Lehrbücher im modernen Sinne darstellen“, etablierten Euler nicht nur „zum Lehrer Europas seiner Zeit“, sondern bis tief ins 19. Jahrhundert hinein: Die Werke [[Bernhard Riemann]]s trügen so beispielsweise „unverkennbare Eulersche Züge“. [[Henri Poincaré]] berichtet, dass nach [[Theodore Strong]] „Euler der Gott der Mathematik sei, dessen Tod den Niedergang der mathematischen Wissenschaften markiere“.<ref name="Fellmann33" />

Im Gegensatz dazu fand Eulers Spekulation über „subtile“ und „grobe“ Materie<ref>Siehe oben Abschnitt ''Die Kontinuitätsauffassung''</ref> im 19. Jahrhundert kaum Resonanz. Die metaphysische Begründung einer plenistischen Materieauffassung blieb, vor allem in der Nachfolge der [[Antinomien der reinen Vernunft|zweiten Antinomie]] Kants, als wissenschaftliche Hypothese unbeantwortet und ungelöst.<ref>Vgl. mit [[Manfred Stöckler|M. Stöckler]], ''Materie.'' S. 1507 in: P. Kolmer, A. G. Wildfeuer (Hrsg.): ''Neues Handbuch philosophischer Grundbegriffe'', Band 2. (Alber) Freiburg, München 2011.</ref> Sie wurde im Allgemeinen nicht weiter verfolgt.<ref>David R. Speiser, ''Eulers Schriften zur Optik, zur Elektrizität und zum Magnetismus.'' In: J. J. Burghardt, E. Fellmann, W. Habicht (Hrsg.): ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk''. (Birkhäuser) Basel 1983, S. 226.</ref> Stattdessen suchte man nach empirischen Modellen und experimentellen Ergebnissen auf den Gebieten der [[Elektrodynamik]] und der [[Elastizitätstheorie]], um ein umfassendes Ätherkonzept befürworten zu können.<ref>Siehe [[Max Born]], ''Die Relativitätstheorie Einsteins.'' (Springer) Berlin, Göttingern, Heidelberg 1964. Abschn. IV.6: ''Der Äther als elastischer Körper.'' S. 93.</ref>

Eulers metaphysische Überlegungen zu einer materiellen [[Ontologischer Dualismus|Dualität]], die sich im systematischen Zusammenhang in der Schrift ''Anleitung zur Naturlehre'' finden, wurden posthum erst 1862 veröffentlicht.<ref>In: P.H. Fuss u. [[Nikolaus Fuss|N. Fuss]] (Hrsg.): ''Opera Postuma'', Bd. 2: ''Mathematica et Physica''. Petersburg 1862. Online: [http://eulerarchive.maa.org/backup/E842.html E842]. Gesamtband: [https://archive.org/details/operapostumamath02euleuoft/page/n7/mode/2up archive.org] (Zugriffsdatum: 27. Februar 2023).</ref> Demnach ist die „grobe Materie“ für „diverse Stoffe“ (deren genaue Untersuchung Euler der [[Chemie]] überließ) und die «subtile Materie» (ein [[Äther (Physik)|Äther]]) für [[Schwerkraft]], [[Elektrizität]], [[Magnetismus]] und [[Optik]] verantwortlich. Es gilt jedoch als möglich, dass Bernhard Riemann die ''Anleitung'' studierte und von ihr beeinflusst war.<ref>David R. Speiser, ''Eulers Schriften zur Optik, zur Elektrizität und zum Magnetismus.'' In: J. J. Burghardt, E. Fellmann, W. Habicht (Hrsg.): ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk''. (Birkhäuser) Basel 1983, S. 226.</ref>

Die Schriften Eulers sollen einen ganz besonderen Einfluss auf [[Carl Gustav Jacobi]] gehabt haben, einen der bedeutendsten Mathematiker des 19. Jahrhunderts. Er sammelte Bücher Eulers, studierte diese voller Eifer, und bemerkte 1849 in einem Brief an seinen Bruder:

{{Zitat
 |Text=Es ist wunderbar, dass man noch heute jede seiner Abhandlungen nicht bloß mit Belehrung, sondern mit Vergnügen liest.
 |Autor=[[Carl Gustav Jacobi]]
 |Quelle=1849
 |ref=<ref>W. Ahrens: ''Briefwechsel zwischen C.G.J. Jacobi und M.H. Jacobi.'' Leipzig 1907.</ref>}}

Vergeblich versuchte er, die 1783 und 1785 in Petersburg erschienenen beiden Bände ''Opuscula analytica'' Eulers zu erhalten. Als Eulers Urenkel Paul Heinrich von Fuss ihm die Bände aus Petersburg sandte, antwortete Jacobi ihm am 3. Mai 1841 in einem Brief:

{{Zitat
 |Text=Ich sah sie [die beiden Bände] zuerst vor zwei Jahren bei Crelle und entdeckte gleich etwas, was Dirichlet und ich bisher für unser Eigenthum gehalten hatten; anderes, indem es alte Ideen von mir befruchtete, kann mich vielleicht zu einer interessanten Entdeckung führen.
 |Autor=[[Carl Gustav Jacobi]]
 |Quelle=1841
 |ref=<ref name="Pieper98">Herbert Pieper: ''Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi.'' Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 98.</ref>}}

Die Eulerschen Schriften wurden für Jacobi eine „Fundgrube der Anregung“ und seine Resultate und Methoden führten Jacobi zu neuen „scharfsinnigen Entdeckungen“.<ref name="Pieper98" /> Dies bezieht sich vor allen Dingen auf das von Jacobi gefundene [[Jacobi-Tripelprodukt|Tripelprodukt]], welches er als das „wohl das wichtigste und fruchtbarste, was [er] in reiner Mathematik erfunden habe“ bezeichnete.<ref>Herbert Pieper: ''Der Euler des 19. Jahrhunderts: C.G. Jacob Jacobi.'' Elemente der Mathematik, Swiss Mathematical Society, 2005, S. 100.</ref> Dieses ist eine direkte Verallgemeinerung des Eulerschen Pentagonalsatzes und zieht wichtige Konsequenzen für die Theorie der [[Thetafunktion]]en nach sich.

[[Carl Friedrich Gauß]] lobte Eulers Arbeit und betonte ihren Wert für kommende Generationen von Mathematikern:

{{Zitat
 |Text=Von keinem anderen Mathematiker älterer und neuerer Zeit kann man eine solche fast unbegreifliche Schnelligkeit in den schwierigsten Arbeiten bei einer solchen unerschöpflichen Fruchtbarkeit an neuen Ideen und Hilfsquellen rühmen. Alle Teile der Mathematik bearbeitete er, und die meisten erhielten unter seinen Händen eine ganz neue Gestalt.
 |Autor=Carl Friedrich Gauß
 |ref=<ref>K. R. Biermann: ''C. F. Gauß als Mathematik- und Astronomiehistoriker.'' Historia Math. 10, 1983, S. 422–434.</ref>}}

=== 20. Jahrhundert bis heute ===
Aus Sicht der heutigen Wissenschaftshistorie wird Leonhard Euler einschlägig eine sehr bedeutende Rolle bezüglich Fortschritt von Mathematik und Technik eingeräumt. Bezüglich seiner nicht strengen Ausführung analytischer Techniken werden jedoch vereinzelt „logische Lücken“ moniert. Insbesondere sein Umgang mit dem [[unendlich]] Großen stieß auf Kritik, obgleich ihm wegen der trotz allem vielen korrekten Endergebnisse öfters eine große „analytische Kraft“ zugesprochen wird.

[[Ronald Calinger]] ordnet das Phänomen Euler und seine Leistungen wie folgt in die Geschichte der Wissenschaft ein: In der Mathematik wurden mit Beginn der [[Aufklärung]] nur wenige große neue Errungenschaften oder grundlegende Innovationen erwartet. Das 17. Jahrhundert – als die meisten Fachleute auf diesem Gebiet aus der [[Aristokratie]] kamen oder Positionen in Medizin, Recht oder Religion innehatten – galt als ein „goldenes Zeitalter“ der Mathematik. Mitte des Jahrhunderts hatten [[René Descartes]] und [[Pierre de Fermat]] unabhängig das geschaffen, was heute als [[analytische Geometrie]] bezeichnet wird. Diese Periode gipfelte in den Anfängen der Differentialrechnung in der ''Method of fluxions'' von [[Isaac Newton|Newton]] und dem Werk von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]]. Viele gingen nun davon aus, dass es nur noch wenig von allgemeiner Bedeutung zu verfolgen gäbe. Doch andere Gelehrte erwarteten stattdessen eine «fruchtbare Ära» nicht nur in der Analysis, einschließlich der Schaffung ihrer Kernzweige, sondern auch in der gesamten Mathematik – sowohl in Theorie als auch in Anwendung. Vor allem die umfangreichen Forschungen und Schriften Leonhard Eulers sollten sicherstellen, dass all dies geschehen würde. Nach Ansicht von Calinger war Euler angetrieben von „enormer Energie“, einer „Leidenschaft für die Mathematik“ und die exakten Wissenschaften, einem „Engagement“ für den Aufbau einer „starken institutionellen Basis“ für diese Felder und einer „beharrlichen Verteidigung“ des [[Reformation|reformierten Christentums]]. Er verfolgte seit seiner Zeit in Basel mit Ausnahme einiger schwerer Fieberschübe „fleißig“ ein „immenses Forschungs-, Rechen- und Schreibprogramm“ in reiner und angewandter Mathematik und verwandten Feldern. Allein im Kalkül der Differentialrechnung lieferte er Hunderte von Entdeckungen und Beweisen, zusammen mit vielen „furchtlosen“ Berechnungen zur Vereinfachung und Verdeutlichung von Techniken für [[Differentialrechnung]], [[Reihe (Mathematik)|unendlichen Reihen]] und [[Integralrechnung]]. Er war der Haupterfinder der Kernzweige von [[Differentialgleichung]]en in einer semi-geometrischen analytischen Form und (zusammen mit Lagrange) später der analytischen [[Variationsrechnung]]. In Hunderten von Artikeln und einer Analysis-Trilogie, beginnend mit der zweibändigen ''Introductio in analysin infinitorum'' (Einführung in die Analyse des Unendlichen, E101 und E102, 1748), legte Euler Grundlagen: diese wurden von ihm „methodisch arrangiert“, „ausgearbeitet“ und „als Kalkül vermittelt“. Er legte damit den Grundstein für das anfängliche Programm für die Entwicklung der [[Infinitesimalrechnung]]. Als ein primäres Ergebnis seiner Studien verdrängte die Analysis die [[euklidische Geometrie]] von ihrer zwei Jahrtausende währenden Vorherrschaft in der Mathematik und war das Vorbild für die Vernunft im ''esprit géométrique'' der Epoche. In der reinen Mathematik tat Euler mehr: er leistete «wesentliche Fortschritte» in [[Zahlentheorie]], [[Algebra]], [[Kombinatorik]], [[Graphentheorie]], [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und [[Geometrie]], wie auch Pionierarbeit der [[Differentialgeometrie]] von Oberflächen. Auch in den exakten Wissenschaften der Mechanik, Optik und Astronomie war Euler „tief verwurzelt“ und leistete Beiträge zur angewandten Mathematik, die in ihrer Kombination von Umfang und Tiefe „ihresgleichen suchten“.<ref>Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment.'' Princeton University Press, 2016, S. 1–2.</ref>

Die [[Eulersche Identität]] in der Form <math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0 </math> wurde vom Nobelpreisträger [[Richard P. Feynman]] als «die bemerkenswerteste Formel in der Mathematik» bezeichnet wegen ihrer genau einmaligen Verwendung von [[Addition]], [[Multiplikation]], [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] und [[Gleichheit]] sowie der einmaligen Verwendung der wichtigen Konstanten 0, 1, [[Eulersche Zahl|e]], [[Imaginäre Einheit|i]] und [[Kreiszahl|π]].<ref>Richard Feynman: ''Chapter 22: Algebra''. The Feynman Lectures on Physics, 1970. I, S. 10.</ref> 1988 wählten die Leser des [[Mathematical Intelligencer]] sie (in der Form <math> \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} = -1</math>) zur «schönsten mathematischen Formel aller Zeiten». Insgesamt war Euler für drei der fünf besten Formeln dieser Umfrage verantwortlich: Gleich auf Platz zwei rangierte der [[Polyedersatz]] und auf Platz fünf das [[Basler Problem]]<ref>David Wells: ''Are these the most beautiful?'' Mathematical Intelligencer. 12 (3), 1990: 37–41. [[doi:10.1007/BF03024015]]</ref>
:<math> 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.</math>

=== Eulers Analysis aus heutiger Sicht ===
Nach Einschätzung von [[Alexander Ossipowitsch Gelfond|Alexander Gelfond]] war für Leonhard Euler die Mathematik „unzertrennlich mit ihren Anwendungen verbunden“. Bei der Suche nach einem Algorithmus zur Lösung von Aufgaben hätten „an erster Stelle Methoden, die mit bequemsten, praktischen und einfachsten Operationen zum Ziel führten“ gestanden. Euler habe in der Mathematik ein „mächtiges Hilfsmittel“, das zum Aufsuchen von Lösungsalgorithmen „unumgänglich“ ist, gesehen. Dies habe stets im Vordergrund gestanden und „die algebraische und konstruktive Färbung“ der Methoden bestimmt, die Euler in die Analysis einführte. Bezüglich des Begriffs des [[Unendlich]]en führe Euler „statt irgendwelchen exakten Definitionen lange philosophische Erläuterungen“ durch, die „das Wesen der Frage nicht erhellen“. Er mache jedoch im Umgang mit unendlich wachsenden oder abnehmenden Größen „keine Fehler“, weil er stets die „Schnelligkeit des Anwachsens oder Abnehmens“ dieser Größen beachtet, wenn sie ihm z.&nbsp;B. in Form von Verhältnissen begegnen. An verschiedenen Stellen spreche „er auch über das Unendliche unendlich großer Ordnung im Vergleich zu einem andern Unendlich“. So sage er beispielsweise in der Arbeit ''De summa seriei ex numeris primis formatae'', dass „das Unendliche, das durch die Reihe
:<math> \sum_{p \, \mathrm{Primzahl}} \frac1p = \infty</math>
entsteht, der Logarithmus desjenigen Unendlichen ist, das durch die harmonische Reihe
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac1n = \infty </math>
repräsentiert wird“. Somit sei „die zweite Unendlichkeit von unendlich höherer Ordnung als die erstere“. Aufkommende Probleme mit fehlender Konvergenz (etwa bei Werten der Riemannschen Zeta-Funktion an negativen Stellen) habe er stets „umgangen“, indem er unter anderem „die sogenannte [[Abelsche partielle Summation|Abelsche Summationsmethode]] verwendet“ und somit „um ein Jahrhundert vorweggenommen“ habe.<ref>Aleksander O. Gelfond: ''Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der mathematischen Analysis und seiner Einführung in die Analysis des Unendlichen.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 100–101.</ref>

[[Detlef Laugwitz]] bemerkt in diesem Kontext die Gewohnheit Eulers, Gleichheiten wie
:<math> \sum_{k=1}^{\Omega} \frac{\xi^k}{k!} = \left( 1 + \frac{\xi}{\Omega}\right)^\Omega </math>
oder auch
:<math> \sum_{n=1}^\Omega \frac{1}{n} = \log(\Omega + 1) + C </math>
verwendet zu haben (wobei hier <math> \Omega</math> „größer als jede endliche Zahl ist“), was „zu mancher Kritik Anlass gegeben“ habe.<ref>Detlef Laugwitz: ''Die Nichtstandard-Analysis: Ideen und Methoden von Leibniz und Euler.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 187–188.</ref>

[[Emil Fellmann]] verweist wegen Eulers Schwächen bezüglich des Umgangs mit dem Unendlichen auf das Fehlen einer axiomatischen Einführung der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]:

{{Zitat
 |Text=Gewiss hat man oftmals&nbsp;– fast immer zu Unrecht&nbsp;– auf vermeintlich eindeutige Schwächen im Werk Eulers hingewiesen, hauptsächlich auf das angeblich unzulässige Umspringen mit dem Begriff des Unendlichen, sei es im Großen (Reihentheorie) wie auch im Kleinen. Um Konvergenz- und Stetigkeitskriterien im modernen Sinne wie auch um die logisch exakte und geschlossene Fundierung der Analysis im Sinne der ''ars demonstrandi'' eines Cauchy, Bolzano oder Weierstrass konnte er sich gar nicht kümmern, da ein (im heutigen Sinne) strenger Beweis etwa für das [[Cauchy-Kriterium|Cauchysche Konvergenzkriterium]] erst nach einer Definition der reellen Zahlen&nbsp;– also frühestens 1870&nbsp;– ermöglicht wurde. Euler verließ sich&nbsp;– nur vereinzelt erfolglos&nbsp;– auf seine erstaunliche Instinktsicherheit und algorithmische Kraft.
 |Autor=Emil Fellmann
 |ref=<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 34.</ref>}}

[[Thomas Sonar]] hebt in besonderer Weise die Bedeutung der Eulerschen „Nullenrechnung“ als große Leistung hervor. Diese sei von Euler „zur höchsten Perfektion“ gebracht worden. Dabei bezieht sich Sonar unter anderem auf Leibnizsche Beiträge zur Bewegungslehre, in der von „Rudimenten und Anfängen von Linien und Figuren“ die Rede ist, welche „kleiner als jede angebbare Größe“ sind.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen.'' Heidelberg (u.&nbsp;a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S.&nbsp;415.</ref> Auf „virtuose“ Weise gelänge es Euler mit diesem Werkzeug, als richtig bekannte unendliche Reihen für die Exponentialfunktion und den Logarithmus, aber auch Ableitungen wie
:<math> \mathrm{d}(\log(x)) = \frac{\mathrm{d}x}{x}</math>
herzuleiten.<ref>Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen.'' Heidelberg (u.&nbsp;a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8, S.&nbsp;462–464.</ref>

=== Einschätzung der Arbeitsweise und Produktivität ===
Der Wissenschaftshistoriker [[Emil Fellmann]] nennt bezüglich des Phänomens der Produktivität und Arbeitsweise Eulers drei Schlüsselkomponenten. Erstens hätte Euler «die Gabe eines wohl einmaligen [[Gedächtnis]]ses» besessen. Was Euler je gehört, gesehen oder geschrieben hatte, scheint sich «ihm für immer fest eingeprägt» zu haben. Davon gebe es «unzählige zeitgenössische Zeugnisse». Noch in hohem Alter solI er beispielsweise «seine Familienangehörigen, Freunde und Gesellschaften mit der wortgetreuen Rezitation jedes beliebigen Gesanges aus ''Vergils Aeneis'' entzückt haben, und Protokolle der Akademiesitzungen kannte er nach Jahrzehnten noch auswendig – von seinem Gedächtnis für mathematische Belange ganz zu schweigen». Als zweiten Punkt hebt Fellmann Eulers «seltene Konzentrationsfähigkeit» hervor. Lärm und Betrieb in seiner unmittelbaren Umgebung hätten ihn «kaum in seiner Gedankenarbeit gestört». Das Zitat: «Ein Kind auf den Knien, eine Katze auf dem Rücken, so schrieb er seine unsterblichen Werke» ist von [[Dieudonné Thiébault]] überliefert. Der dritte Schlüssel bestehe «ganz einfach in steter, ruhiger Arbeit».<ref>Emil A. Fellmann: ''Leonhard Euler: Essay über Leben und Werk.'' In: ''Leonhard Euler 1707–1783: Beiträge zu Leben und Werk.'' S. 31.</ref>

Nach [[François Arago]] äußerte sich Eulers Genie in der Leichtigkeit, mit der er jede mathematische Frage zu behandeln wusste:
{{Zitat
 |Text=Euler calculait sans aucun effort apparent, comme les hommes respirent, comme les aigles se soutiennent dans les airs.
 |Sprache=fr
 |Autor=[[François Arago]].
 |Übersetzung=Euler rechnete ohne irgendeine ersichtliche Anstrengung, wie andere Menschen atmen, wie die Adler in der Luft schweben.
 |ref=<ref>François Arago, [[s:fr:Condorcet (Arago)/Texte entier|Caritat de Condorcet.]], Seite [134] (Zugriffsdatum 17. Januar 2023.). Veröffentlichung in: Œuvres complètes de François Arago, secrétaire perpétuel de l’académie des sciences, 1854, 2 (p. 117-246).</ref>}}

=== Zum Schreibstil ===

Eulers Schriften weisen auch für heutige Leser einen besonderen Reiz auf. Sie sind didaktisch konzipiert, in vielen Detailfragen ausführlich, ursprünglich und selbstkritisch, um einen breiteren Zugang zu ermöglichen. [[Rudolf Fueter]] beschrieb Leonhard Eulers Arbeitsweise als „besonders wertvoll“, weil Euler in seinen wissenschaftlichen Abhandlungen den Leser aktiv an seinem Denkprozess teilhaben ließ. Anstatt nur die erfolgreichen Ergebnisse zu präsentieren, zeige Euler auch die Wege, die er eingeschlagen hatte, selbst wenn sie nicht zum Ziel führten. Dies ermögliche es dem Leser, Eulers methodischen Ansatz nachzuvollziehen und zu verstehen, wie er seine Entdeckungen gemacht hat. Fueter hob hervor, dass Euler seine Arbeiten häufig mit einer gründlichen Analyse des Problems begann, bei der er das Problem auf seine einfachste und zugleich tiefgründigste Form reduzierte. Danach folgte die Entwicklung von Begriffen und Konzepten, die oft nach nur wenigen Überlegungen zu überraschenden und bedeutenden Ergebnissen führten.<ref>R. Fueter (1948), S. 14 (Rechtschreibung dem heutigen Stand angepasst).</ref>

Mehrere Wissenschaftshistoriker bemerken, dass Eulers Monographien zur Mechanik, die ''Mechanica'' (1736) und die ''Theoria Motus Corporum Solidorum seu Rigidorum'' (1765), als erste Schriften ihrer Art genannt werden können, die den Charakter eines theoretischen Lehrbuches haben. Sie stellen den Gegenstand im sachlichen und didaktischen Aufbau bereits so dar, wie er z. T. auch in heutigen Lehrbüchern noch zu finden ist.<ref>Charles Blanc: ''Préface de l’éditeur.'' In: ''Leonhardi Euleri Opera Omnia.'' Ser. 2 (Opera Mechanica et Astronomica), Vol. 3: ''Theoria Motus Corporum Solidorum Seu Rigidorum'' (E289), Bern 1948. Seite VII.</ref><ref>[[István Szabó (Ingenieur)|I. Szabó]], ''Einführung in die Technische Mechanik'' (Springer) Berlin, Göttingen, Heidelberg <sup>5</sup>1961, Kap. 1 (''Einführende Betrachtungen''), S. 8.</ref><ref>[[René Dugas|R. Dugas]], ''A History of Mechanics''. (Dover) New York 1988, S. 242.</ref>
In der letztgenannten Mechanikschrift Euler (1765) findet man beispielsweise eine umfassende Rekonstruktion der [[Punktmechanik]] in [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]], wie sie Euler selbst in vielen Einzelartikeln vorbereitet hat. Dazu bemerkt der Herausgeber:
{{Zitat
 |Text=[L’]idée d’utiliser les methodes de la géometrie analytique pour étudier le mouvement d’un point, nous est si familière qu’on fera bien de se souvenir qu’elle était alors toute nouvelle[.]
 |Sprache=fr
 |Autor=Charles Blanc.
 |Übersetzung=Die Vorstellung, Methoden der analytischen Geometrie zu verwenden, um die Bewegung eines Punktes zu studieren, ist uns so vertraut, dass man sich bewusst in Erinnerung rufen muss, dass sie einmal völlig neu waren.
 |ref=<ref>Charles Blanc: ''Préface de l’éditeur.'' In: ''Leonhardi Euleri Opera Omnia.'' Ser. 2, Vol. 3 (E289), Bern 1948, S. IX.</ref>}}

== Autobiographische Notizen ==
Von Euler gibt es einige wenige autobiographische Notizen, die er 1767 seinem Sohn [[Johann Albrecht Euler|Johann Albrecht]] auf Deutsch diktiert hat.<ref>Sie sind originalgetreu in Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. (1995), in d. u. a. Literatur, S. 11 - 13, wiedergegeben worden.</ref> Als einziges Werk nennt Euler darin seine «Disputationem ''de Sono»''<ref>D. i. die Dissertation [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/2/ E002], die auch in englischer Übersetzung vorliegt (I. Bruce): [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf Euler (1727)].</ref> und verliert sich sonst in einigen Reise- und Gehälterdetails.

Zum Beispiel erfährt man, dass er zu seiner ersten Überfahrt im Frühjahr 1727 nach St. Petersburg ein Schiff über [[Lübeck|Lubec]] genommen hat. Ausführlicher gedenkt er dort auch seines früheren Mentors und Lehrers aus Studienzeiten [[Johann I Bernoulli]], der ihm anstelle von mehreren wöchentlichen Privatlektionen den «weit heilsameren Rath» zum [[Autodidakt|autodidaktischen]] Erlernen der Mathematik mitgab:

{{Zitat
 |Text=[…] welcher darin bestund, dass ich selbsten einige schwerere mathematische Bücher vor mich nehmen und mit allem Fleiß durchgehen sollte.
 |Autor=Leonhard Euler
 |ref=<ref>Autobiographische Notiz aus dem Jahre 1767, abgedruckt in Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. (1995), S. 11 f.</ref>}}

== Ehrungen ==
[[Datei:Gedenktafel für Leonhard Euler (1707–1783), Dorfkirche Sankt Martin. Riehen, Schweiz.jpg|mini|alt=Gedenktafel für Leonhard Euler (1707–1783), Dorfkirche Sankt Martin. Riehen, Schweiz|Gedenktafel, Dorfkirche St. Martin, [[Riehen]], mit Aufschrift: ''Leonhard Euler (1707–1783): Mathematiker, Physiker, Ingenieur, Astronom und Philosoph, verbrachte in Riehen seine Jugendjahre. Er war ein großer Gelehrter und ein gütiger Mensch.'']]

=== Namensgeber für Preise und Auszeichnungen ===
Nach Leonhard Euler sind mehrere Preise benannt. Seit 1991 wird von der Russischen Akademie der Wissenschaften die [[Leonhard-Euler-Goldmedaille]] für besonders herausragende Leistungen in den Bereichen Mathematik und Physik vergeben. Für besondere Leistungen im Bereich [[Kombinatorik]] verleiht das [[Institute of Combinatorics and its Applications]] seit 1993 jährlich die [[Euler-Medaille]].

Der [[Euler Book Prize]] wird jährlich von der [[Mathematical Association of America]] für «ein hervorragendes Buch über Mathematik» vergeben.<ref>{{Webarchiv|url=https://www.maa.org/programs-and-communities/member-communities/maa-awards/writing-awards/euler-book-prize |wayback=20190507131220 |text=''Euler Book Prize'' |archiv-bot=2026-03-25 20:42:52 InternetArchiveBot }}, Mathematical Association of America, abgerufen am 29. Februar 2020.</ref>

=== Ausstellungen, Kolloquien und Vorträge ===
Zu seinem 200. Todesjahr 1983 veranstaltete die [[Technische Universität Berlin]] ein ''Euler-Kolloquium'', in welchem unter anderem [[Emil Fellmann]], [[Erhard Heinz]], [[Olli Lehto]] und [[Kurt Strebel]] Vorträge hielten.<ref>Eberhard Knobloch: ''Zum Werk Leonhard Eulers: Vorträge des Euler-Kolloquiums im Mai 1983 in Berlin.'' Birkhäuser, 1984, S. XI</ref>

Anlässlich seines 300. Geburtstages widmete das [[Landesmuseum Braunschweig]] Leonhard Euler eine Ausstellung und Vortragsreihe. Dabei ging es «in der Erforschung, Darstellung und Vermittlung von wissenschaftsgeschichtlichen Fragestellungen um Kooperation unterschiedlicher Fachrichtungen, für die sich das «Projekt Euler» in hervorragender Weise angeboten habe.»<ref>Gerd Biegel, Angela Klein und Thomas Sonar (Hrsg.): ''Leonhard Euler 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker.'' Disquisitiones Historiae Scientiarum. Braunschweiger Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte Bd. 3. Braunschweigisches Landesmuseum. Braunschweig 2008, S. 9.</ref>
<!--
Ferner heißt es im Ausstellungsbericht:

{{Zitat
 |Text=Euler war nicht nur herausragender Wissenschaftler mit internationaler Bedeutung, sondern darüber hinaus auch eine Persönlichkeit, die bereits im 18. Jahrhundert ein mit den Wissenschaftszentren Europas eng verbundenes Leben führte.
 |Autor=Gerd Biegel et al.
 |ref=<ref>Gerd Biegel, Angela Klein, Menso Folkerts, Karin Reich und Thomas Sonar: [https://www.degruyter.com/downloadpdf/j/dmvm.2007.15.issue-1/dmvm-2007-0022/dmvm-2007-0022.pdf ''Euler-Ausstellung in Braunschweig''], Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung</ref>}}
-->
Andere Ausstellungen veranstalteten u.&nbsp;a. die [[Universität Basel]]<ref>[https://www.euler-2007.ch/ausstell.htm ''Ausstellung zu Eulers Leben und Werk'']. Abgerufen am 29. Februar 2020.</ref> und die [[Universität Würzburg]].<ref>[http://www.history.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/ausstell/euler/index.html ''Ausstellung zum 300. Geburtstag von Leonhard Euler'']. Abgerufen am 29. Februar 2020.</ref>

=== Leonhard Euler als Namensgeber ===
Von Leonhard Euler entwickelte Methoden oder Ideen, die seinen Namen tragen, sind:

Gleichungen:
* Euler-Bernoulli-Gleichung, Differentialgleichung vierter Ordnung, die der [[Balkentheorie|Kontinuumsmechanik des Balkens]] zugrunde liegt, siehe [[Biegelinie]] (Bestandteil der Euler-Bernoulli-Balkentheorie)
* [[Eulersche Differentialgleichung]], lineare gewöhnliche Differentialgleichung beliebiger Ordnung
* [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Eulersche Gleichungen der Strömungsmechanik]], Grundgleichungen zur Dynamik idealer (reibungsfreier) [[Flüssigkeit]]en
* [[Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)|Eulersche Kreiselgleichungen]]
* [[Euler-Lagrange-Gleichung]]
* [[Euler-Lotka-Gleichung]]

Formeln:
* [[Euler-Eytelwein-Formel]], Formel für [[Seilhaftung]]
* [[Eulersche Formel]]
* Eulersche Formel oder Satz von Euler in der Flächenkrümmung, siehe [[Hauptkrümmung]]
* [[Euler-Maclaurin-Formel]]
* [[Euler-Rodrigues-Formel]]
* [[Eulersche Reihe]]
* [[Euler-Produkt]]
Sätze und Theoreme:
* [[Euler-Theorem]], Theorem in den Wirtschaftswissenschaften
* [[Satz von Euler]]-Fermat (Zahlentheorie)
Konstanten und Zahlenfolgen:
* [[Euler-Mascheroni-Konstante]] <math>\gamma = 0{,}5772\dots</math>, auch ''Eulersche Konstante'' genannt
* [[Eulersche Zahl]] <math>\mathrm e = \exp(1) = 2{,}71828\dots</math>
* [[Eulersche Zahlen]], verwandt mit den [[Bernoulli-Zahlen]], treten als Taylor-Koeffizienten der [[Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus|Sekans-hyperbolicus-Funktion]] auf
* [[Euler-Zahlen]] bilden das dem [[Pascalsches Dreieck|Pascalschen Dreieck]] ähnliche Euler-Dreieck in der Kombinatorik
* [[Euler-Zahl]] ist eine dimensionslose Kennzahl in der Strömungsmechanik
* [[Eulersche Pseudoprimzahl]]
Vermutungen:
* [[Eulersche Vermutung]], Vermutung der Zahlentheorie und Verallgemeinerung der [[Fermatsche Vermutung|fermatschen Vermutung]]
Funktionen und (mathematische) Verfahren:
* Eulersches Integral erster und zweiter Gattung ([[Eulersche Betafunktion]] und [[Gammafunktion]])
* [[Euler-Maruyama-Verfahren]] zur Lösung von [[Stochastische Differentialgleichung|stochastischen Differentialgleichungen]]
* [[Eulersches Polygonzugverfahren]] (Integrationsverfahren für Differenzialgleichungen)
* [[Eulersche Phi-Funktion]] <math>\varphi(m)</math> = Anzahl der zu <math>m</math> teilerfremden ganzen Zahlen <math>a</math> mit <math>0 < a \leq m</math>
* [[Eulersche Reihentransformation]]
* Manchmal als Euler-Funktion bezeichnet wird das Euler-Produkt in der Theorie der [[Partitionsfunktion]] (siehe auch [[Pochhammer-Symbol]]).
* [[Eulersches Kriterium]] zur Berechnung des Legendre-Symbols
* [[Eulersche Substitution]] in der [[Integralrechnung]]
Geometrie und Topologie:
* [[Eulersche Gerade]]: die [[Verbindungsgerade]] von Schwerpunkt, [[Höhenschnittpunkt]] und Umkreismittelpunkt eines [[Dreieck]]s
* [[Satz von Euler (Geometrie)]]
* [[Satz von Euler (Vierecksgeometrie)]]
* [[Eulersches Dreieck]], eine besondere Form des [[Kugeldreieck]]s
* [[Euler-Ziegel]], ein Quader mit ganzzahligen Längen der Kanten und Flächendiagonalen
* [[Eulerscher Polyedersatz]]
* [[Eulersche Winkel]]
* [[Euler-Charakteristik]], in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] eine Kennzahl für geschlossene Flächen
* [[Euler-Wiege]], eine kardanische Aufhängung, die in allen drei [[Eulersche Winkel|Eulerschen Winkeln]] drehbar ist
* [[Euler-Klasse]]
Graphentheorie:
* [[Euler-Hierholzer-Satz]]
* [[Eulerkreisproblem|Eulersche Linie]] (auch «Eulertour» oder «Eulerkreis»), ein Kantenzug, der jede Kante eines Graphen enthält
Musiktheorie:
* [[Eulersches Tonnetz]], Darstellung des Tonumfanges der reinen Stimmung in einem zweidimensionalen Gitternetz aus reinen Quint- und Terzintervallen
Physik und Mechanik:
* Euler-Bernoulli-Balkentheorie, siehe [[Bernoullische Annahmen]]
* [[Eulersche Knickfälle]]
* [[Eulersche Turbinengleichung]] als Grundlage für die [[Kraftmaschine]] der modernen [[Stromerzeugung]]
* [[Eulersche Last]] in der [[Balkentheorie]] die minimale axiale Last, die nötig ist, um eine Verbiegung zu bewirken
* [[Euler-Kreisel]]
* [[Eulerkraft]]
* [[Euler-Wind]]

=== Widmungen ===
[[Datei:Euler-(krater).jpg|mini|Der Mondkrater ''Euler'']]
Nach Euler benannt ist das [[Leonhard-Euler-Teleskop]], ein [[Spiegelteleskop]] der [[Sternwarte Genf]] am [[La-Silla-Observatorium]] der [[Europäische Südsternwarte|Europäischen Südsternwarte]] in [[Chile]].<ref name="kuleuven">[https://www.eso.org/public/austria/teles-instr/lasilla/swiss/ Swiss 1.2-metre ''Leonhard Euler Telescope.''] In: ''ster.kuleuven.be.''</ref><ref name="phot-13c-00">[https://www.eso.org/public/austria/teles-instr/lasilla/swiss/ Swiss 1.2-metre ''Leonhard Euler Telescope.''] In: ''eso.org.''</ref> Weiterhin sind zu seinen Ehren der [[Mondkrater]] [[Euler (Mondkrater)|Euler]] und der [[Asteroid]] [[(2002) Euler]] benannt. Letzteres geschah im Jahr 2002 in Anerkennung «seiner Beiträge zur Mathematik und den Wissenschaften».<ref>Ronald S. Calinger, Ekaterina (Katya) Denisova, Elena N. Polyakhova: ''Leonhard Euler’s Letters to a German Princess.'' IOP Concise Physics, Morgan and Claypool Publishers, 2019, S. 3–25.</ref>

Seit 1983 trägt die [[Mathematische Schülergesellschaft]] in Berlin seinen Namen.

Euler ist Namensgeber des sog. [[Project Euler]], einer Website, auf der eine Reihe von Problemen gestellt sind, welche zumeist mittels mathematischer Programmierung gelöst werden müssen. Ziel des Projektes ist es, interessierte Menschen dabei zu unterstützen, spielerisch Programmierkenntnisse zu vertiefen oder bereits Gelerntes aufzufrischen. Auch eine Software für numerische und symbolische Berechnungen ([[Euler (Software)|Euler Math Toolbox]]) sowie eine [[Linux-Distribution]] ([[EulerOS]]) tragen seinen Namen.

Die [[Eulersche Scheibe]] (englisch ''Euler’s Disc'') ist ein physikalisches Spielzeug für die Demonstration der Energiedissipation einer rotierenden Scheibe. Die Scheibe wurde etwa 1987 von Joe Bendik erfunden, die dieser nach Leonhard Euler benannte, weil Euler sich bereits mit mathematischen Aspekten dieses physikalischen Problems beschäftigt hatte.<ref>''[https://www.experimentis.de/physikalisches_spielzeug/eulers-disk/ Euler’s Disc]'' bei ''Experimentis.de.'' Abgerufen am 2. November 2017.</ref>

Seit 1976 zeigte die Vorderseite der [[Schweizer Franken#Sechste Serie von 1976|10-Schweizer-Franken]]-Banknote das Porträt Eulers. Das Motiv des Scheins auf der Rückseite zeigte eine [[Wasserturbine]] (eine solche mit hohem Wirkungsgrad wurde von Euler erstmals konstruiert), unser [[Sonnensystem]] und der [[Strahlengang]] in einem [[Linsensystem]]. In der in den 1980er-Jahren entworfenen ''Reserveserie'' (sog. Geheimreserve, die im Falle massenhafter Fälschungen im Umlauf gekommen wäre), war Leonhard Euler ebenfalls auf dem 10-Franken-Schein abgebildet. Allerdings änderte sich sowohl Porträt als auch Motiv. Auf dem Reserveschein sind die [[Gammafunktion]], das Sonnensystem und im Hintergrund eine Zahlentabelle abgebildet.

<gallery class="center">
 Euler-10 Swiss Franc banknote (front).jpg|[[Schweizer Franken#Sechste Serie von 1976|10-Schweizer-Franken]]-[[Banknote|Note]] von 1976 bis 1995
 CHF10 6 back horizontal.png|Gegenstände des Eulerschen Schaffens: Wasserturbine, Sonnensystem, Linsensystem
 CHF10 7 front horizontal.jpg|[[Schweizer Franken#Siebte Serie von 1984|10-Schweizer-Franken]]-[[Banknote|Note]] (Reserveserie ab 1984)
 CHF10 7 back horizontal.jpg|Auf dem Reserveschein änderte sich das Motiv: Andere Gegenstände von Eulers Forschung wurden abgebildet.
</gallery>
[[Datei:Gedenktafel Behrenstr 21-22 Leonhard Euler.JPG|mini|Gedenktafel am Haus Behrenstraße&nbsp;21/22 in [[Berlin-Mitte]] mit Aufschrift: ''Hier wohnte von 1743 bis 1766 der Mathematiker Leonhard Euler, *&nbsp;15.IV.1707; †&nbsp;18.IX.1783. Seinem Andenken, die Stadt Berlin 1907.'']]
In Basel wurde 1875 zu Ehren von Leonhard Euler beim Eingang des [[Bernoullianum]]s eine vom Bildhauer [[Heinrich Ruf (Bildhauer)|Heinrich Ruf]] verfertigte Marmorbüste aufgestellt.<ref>[[Gustaf Adolf Wanner]]: ''Rund um Basels Denkmäler.'' Basel 1975, S.&nbsp;40&nbsp;ff.</ref> Auf einer Texttafel wird darauf hingewiesen, dass das Bernoullianum in den Jahren 1872–1874 von [[Johann Jakob Stehlin der Jüngere]] (1826–1894) zur 400-Jahr-Feier der Universität für die Naturwissenschaftlichen Disziplinen auf dem Areal des 1530 errichteten Wasenbollwerks, eines wichtigen Teils der Basler Stadtbefestigung im 16. Jahrhundert, erbaut wurde. Es handelte sich um eine spezielle Art von Verteidigungsanlage, die entwickelt wurde, um die Stadt besser gegen die zunehmende Feuerkraft von Kanonen zu schützen.<ref>[http://www.w-volk.de/museum/bust08.htm ''Zeugnisse zu Mathematikern'']: Büsten von Daniel, Jakob und Johann Bernoulli sowie Leonhard Euler im Bernoullianum in Basel (Schweiz), abgerufen am 16. Mai 2020.</ref> Zudem wurden unter anderem in Basel Straßen nach Leonhard Euler benannt. An seine Tätigkeit und sein damaliges Wohnhaus in Berlin erinnert eine Gedenktafel an der [[Behrenstraße#Behrenstraße 21–39|Behrenstraße&nbsp;21/22]], dem heutigen Haus der Bayerischen Vertretung in Berlin, die 1907 angebracht wurde. Eine weitere Gedenktafel sowie eine Darstellung der [[Eulersches Dreieck|Eulerschen Dreiecke]] befinden sich im Stadtbezirk Mitte am Bundesamt für Statistik, Otto-Braun-Straße 70–72.<ref>[https://euler.bbaw.de/euleriana/ansicht.php@dokument=147.html ''Euleriana''], berlin-brandenburgische Akademie der Wissenschaften, abgerufen am 4. Februar 2024.</ref>

Die Pflanzengattung ''[[Euleria]]'' {{Person|Urb.}} aus der Familie der [[Sumachgewächse]] (Anacardiaceae) wurde 1925 nach ihm benannt.<ref>Lotte Burkhardt: ''Verzeichnis eponymischer Pflanzennamen''. Erweiterte Edition. Botanic Garden and Botanical Museum Berlin, Freie Universität Berlin, Berlin 2018. [https://www.bgbm.org/sites/default/files/verzeichnis_eponymischer_pflanzennamen_2018_teil_1.pdf bgbm.org]</ref>

Leonhard Euler wurde mehrfach auf Briefmarken geehrt: in der Schweiz 1957 und 2007,<ref>[https://www.euler-2007.ch/bilder.htm ''Leonhard Eulers 300. Geburtstag – Basel 2007'']. Abgerufen am 20. Februar 2020.</ref> in der DDR 1950, 1957 und 1983 und in der Sowjetunion 1983. 2007 wurde in Russland eine Gedenkmünze zu Ehren Eulers herausgegeben.

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 DDR-Briefmarke Akademie 1950 1 Pf.JPG|Briefmarke DDR 1950
 Stamps of Germany (DDR) 1957, MiNr 0575.jpg|Briefmarke DDR anlässlich des 250.&nbsp;Geburtstages (1957)
 The Soviet Union 1957 CPA 2000 stamp, Portrait of Leonhard Euler (1707-1783).jpg|Briefmarke Sowjetunion anlässlich des 250.&nbsp;Geburtstages (1957)
 RR5110-0079R.gif|Silbermünze Russland 2007 mit der Lösung des ''Basler Problems''
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Die [[Evangelisch-Lutherische Kirche in Amerika]] erinnert mit einem Gedenktag am 24.&nbsp;Mai an Leonhard Euler, gemeinsam mit [[Nikolaus Kopernikus]].<ref>Gail Ramshaw: ''More Days for Praise: Festivals and Commemorations in Evangelical Lutheran Worship''. Augsburg Fortress 2016, S. 117.</ref>

== Schriften ==
=== Publikationen (Auswahl) ===
* ''Mechanica sive motus scientia analytice exposita.'' 2&nbsp;Bände, 1736 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E015.html E015], [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/016/ E016]).
* ''[[Tentamen novae theoriae musicae]].'' 1739 ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/033/ E033]).
* ''Einleitung zur Rechen-Kunst zum Gebrauch des Gymnasii bey der Kayserlichen Academie der Wissenschafften in St. Petersburg.'' 2&nbsp;Bände, Academische Buchdruckerey, Sankt Petersburg; Band&nbsp;1 1738, Band&nbsp;2 1740. ({{DTAW|euler_rechenkunst01_1738}} Band&nbsp;1, {{DTAW|euler_rechenkunst02_1740}} Band&nbsp;2).
* ''Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis.'' 1741 ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/053/ E053]).
* ''Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti.'' Erstveröffentlichung (M. Bousquet) Lausanne, Genf 1744. ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/65/ E065]).<!--Zugriff am 14.01.2024--> Neu erschienen in den Opera Omnia Ser.&nbsp;I, Bd.&nbsp;24, S.&nbsp;1–322, hrsg. v. [[Constantin Carathéodory|C. Carathéodory]]. (Orell) Turici 1952.
* ''Introductio in analysin infinitorum.'' 2&nbsp;Bände. Erstveröffentlichung (M. Bousquet) Lausanne, Genf 1748 ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/101/ E101], [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/102/ E102]<!--Zugriff am 15.01.2024-->). Neu erschienen in den Opera Omnia Ser.&nbsp;I, Bde.&nbsp;8&nbsp;u.&nbsp;9, hrsg. v. [[Adolf Krazer (Mathematiker)|A. Krazer]] u. [[Andreas Speiser|A. Speiser]]. (Teubner), Leipzig 1922&nbsp;u.&nbsp;1945.
* ''Découverte d’un nouveau principe de Mécanique.'' In: ''Mémoires de l'académie des sciences de Berlin.'' Band&nbsp;6, 1752, S.&nbsp;185–217 ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/177/ E177]).
* ''Institutiones calculi differentialis.'' 2&nbsp;Bände. Erstveröffentlichung Bd.&nbsp;1 (Akademie) St. Petersburg 1755. ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/212/ E212]). Neu erschienen im Opera Omnia Ser.&nbsp;I, Bd.&nbsp;10, S.&nbsp;1–676, hrsg. v. [[Gerhard Kowalewski|G. Kowalewski]]. (Teubner) Leipzig 1913.
** In englischer Übersetzung erschienen als ''Euler – Foundations auf Differential Calculus.'' Hrsg.&nbsp;v. J. D. Blanton, (Springer) New York, Berlin, Heidelberg, 2000.
* ''Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum.'' 1765 ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/289/ E289]).
* ''Lettres à une princesse d’Allemagne.'' 3&nbsp;Bände, 1768 ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/343/ E343], [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/344/ E344], [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/417/ E417]).
* ''Institutiones calculi integralis.'' 3&nbsp;Bände, 1768–1770 ([https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E342.html E342], [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/366/ E366], [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/385/ E385]).
* ''Vollständige Anleitung zur Algebra.'' 2&nbsp;Bände, 1770 ([https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/387/ E387], [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/388/ E388], Band&nbsp;2 {{DTAW|euler_algebra02_1770}}).
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 Methodus inveniendi - Leonhard Euler - 1744.jpg|Titelblatt der ''Methodus inveniendi lineas curvas'' von 1744
 Introductio1.pdf|Titelblatt der ''Introductio in analysin infinitorum'' (Band 1) von 1748
 Introductio in analysin infinitorum. T. 2 - Leonhard Euler, 1748 (title page).pdf|Titelblatt der ''Introductio in analysin infinitorum'' (Band 2) von 1748
 Differentialis.pdf|Titelblatt der ''Institutiones calculi differentialis'' von 1755
 Euler Inst Calc Int Vol1.jpg|Titelblatt der ''Institutiones calculi integralis'' (Band 1) von 1768
 Institutionum calculi integralis - vol. 2, 1769 - Leonhard Euler (title page).pdf|Titelblatt (beschrieben) der ''Institutiones calculi integralis'' (Band 2) von 1769
 Institutionum calculi integralis - vol. 3, 1770 - Leonhard Euler (title page).pdf|Titelblatt (gestempelt) der ''Institutiones calculi integralis'' (Band 3) von 1770
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=== Deutsche Übersetzungen und Ausgaben seiner Werke ===
* ''Leonhard Euler’s vollständige Anleitung zur Integralrechnung'', Hrsg. Joseph Solomon, 3 Bände, Wien 1828 bis 1830 (Band 1 [https://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/14891491 e-rara.ch], Band 1 {{archive.org |vollstndigeanle01eulegoog}}, Band 2 {{archive.org |vollstndigeanle00eulegoog}}, Band 3 {{archive.org |vollstndigeanle02eulegoog}}).
* ''Leonhard Euler’s Mechanik oder analytische Darstellung der Wissenschaft,'' 3 Bände, Hrsg. J. Ph. Wolfers, Greifswald 1848 bis 1853 (Band 1 {{archive.org |leonhardeulersm02eulegoog}}, Band 2 {{archive.org |leonhardeulersm01eulegoog}}, Band 3 {{archive.org |leonhardeulersm00eulegoog}}).
* Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli: ''Abhandlungen über Variationsrechnung,'' Hrsg. v. [[Paul Stäckel|P. Stäckel]], 1. Teil, [[Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften|Ostwalds Klassiker]] 46. (W. Engelmann) 1894, zweite Auflage Leipzig, Berlin 1910.
** Darin enthalten E065, die ''Methodus inveniendi lineas curvas'' (1744), ohne Anhänge (Additamenta). Erschienen als Kapitel III mit dem Titel: ''Methode Curven zu finden, denen eine Eigenschaft im höchsten oder geringsten Grade zukommt oder Lösung des isoperimetrischen Problems, wenn es im weitesten Sinne des Wortes aufgefasst wird.'' Seite &nbsp;21–132.
* ''Zwei Abhandlungen über Sphärische Trigonometrie,'' Ostwalds Klassiker 73, Leipzig 1896 ({{archive.org |abn7435.0001.001.umich.edu}}).
* ''Drei Abhandlungen über Kartenprojektion,'' Ostwalds Klassiker 93, Leipzig 1898 ({{archive.org |dreiabhandlunge00wanggoog}}).
* ''Von den elastischen Kurven'' Deutsche Übersetzung von ''Additamentun I: De Curvis Elasticis'' zu ''Methodus Inveniendi Lineas Curvas'' (E065), siehe hier unter ''Schriften''. In: ''Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven'': S.&nbsp;18 – 99. Hrsg. v. H. Linsenbarth, [[Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften|Ostwalds Klassiker]] Band 175. (W. Engelmann) Leipzig 1910.
* Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: ''Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven,'' Ostwalds Klassiker 175, Leipzig 1910
* ''Vollständigere Theorie der Maschinen, die durch Reaktion des Wassers in Bewegung versetzt werden (1754),'' Ostwalds Klassiker 182, Leipzig 1911
* ''Drei Abhandlungen über die Auflösung der Gleichungen (1783, 1764, 1790).'' Ostwalds Klassiker 226, Leipzig 1928
* ''Einleitung in die Analysis des Unendlichen,'' Teil 1, Einführung Wolfgang Walter, Springer 1983
* ''Zur Theorie komplexer Funktionen,'' Einleitung A. P. Juschkewitsch, Ostwalds Klassiker 261, Akademische Verlagsgesellschaft 1983
* ''Eine Methode sich der Eigenschaft des Maximums oder Minimums erfreuender Kurven zu finden, oder die Lösung des im weitesten Sinn aufgefassten isoperimetrischen Problems''. Vollständige deutsche Übersetzung der ''Methodus Inveniendi Lineas Curvas'' (E065), siehe hier unter ''Schriften'', von A. Aycock und A. Diener; herausgegeben vom [https://www.agtz.mathematik.uni-mainz.de/algebraische-geometrie/van-straten/euler-kreis-mainz/ Euler-Kreis Mainz].<!--Stand: 20. Januar 2024 -->
* ''Grundlagen des Differentialkalküls, der vollständige Erklärung dieses Kalküls enthält, Teil 1''. Übersetzung der ''Institutiones calculi differentialis, Partis Prioris'' (E212), siehe hier unter ''Schriften'' → ''Publikationen (Auswahl)'', übersetzt von A. Aycock und A. Diener, herausgegeben vom [https://www.agtz.mathematik.uni-mainz.de/algebraische-geometrie/van-straten/euler-kreis-mainz/ Euler-Kreis Mainz].<!--Stand: 20. Januar 2024 -->

=== Opera Omnia ===
Euler veröffentlichte rund zwei Dutzend Bücher und 500&nbsp;wissenschaftliche Aufsätze. Der deutsche Mathematiker [[Ferdinand Rudio]] (1856–1929) initiierte die Herausgabe von Eulers sämtlichen Werken. Zu Lebzeiten Rudios wurden mehr als 30&nbsp;Bände publiziert. Bis 2013 sind über 70&nbsp;Einzelbände erschienen, außerdem vier Bände aus dem umfangreichen Briefwechsel. Die Arbeiten erscheinen in der Originalsprache, meist Französisch oder Latein.

Die gesammelten Werke wurden durch die [[Euler-Kommission]] seit 1911 als '''''Opera Omnia''''' im Birkhäuser (Springer) Verlag herausgegeben, die von Ferdinand Rudio gegründet wurde. Damals waren auch [[Adolf Krazer (Mathematiker)|Adolf Krazer]], [[Rudolf Fueter]], [[Heinrich Weber (Mathematiker)|Heinrich Weber]], [[Paul Stäckel]] und [[Karl von der Mühll]] an der Herausgabe beteiligt. Zu den späteren Herausgebern von Einzelbänden gehörten [[Ludwig Schlesinger (Mathematiker)|Ludwig Schlesinger]], [[Friedrich Engel (Mathematiker)|Friedrich Engel]], [[Andreas Speiser]], [[Clifford Truesdell]] (Physik, Mechanik, der ganze Band 11-1 ist eine Geschichte der Elastizitätstheorie im 17. und 18.&nbsp;Jahrhundert, verfasst von Truesdell),<ref>Das ist C. Truesdell (1960).</ref> [[Alexander Michailowitsch Ljapunow]], [[Georg Faber (Mathematiker)|Georg Faber]], [[August Gutzmer]], [[Carl Boehm]], [[Constantin Carathéodory]], [[Henri Dulac]], [[Max Herzberger]], [[Emile Cherbuliez (Physiker)|Emile Cherbuliez]], [[Charles Blanc (Mathematiker)|Charles Blanc]] und [[Eric Aiton]] (Physik). Hauptherausgeber nach Rudio waren Andreas Speiser (ab 1928), [[Walter Habicht]] (ab 1965) und seit 1985 [[Hans-Christoph Im Hof]]. Weitere Herausgeber waren unter anderem [[Emil Fellmann]], [[Adolf Juschkewitsch]], Henri Dulac, [[Pierre Costabel]], [[René Taton]], [[Wladimir Iwanowitsch Smirnow]], Alot T.&nbsp;Grigorjan, [[Joachim Otto Fleckenstein]], [[Johann Jakob Burckhardt (Mathematiker)|Johann Jakob Burckhardt]], Gleb K.&nbsp;Mikhailov, [[Franz Lemmermeyer]], [[Andreas Kleinert (Wissenschaftshistoriker)|Andreas Kleinert]] und Martin Mattmüller.

Die Edition besteht aus
* Reihe 1: Mathematik, 30&nbsp;Bände (vollständig). Erster Band war 1911 die ''Anleitung zur Algebra.'' Band&nbsp;16 besteht aus zwei Teilbänden.
* Reihe 2: Mechanik und Astronomie, 27&nbsp;Bände in 30&nbsp;Teilbänden (vollständig).
* Reihe 3: Physik und Sonstiges, 12&nbsp;Bände (vollständig).
* Reihe 4a: Briefwechsel. Geplant: 10&nbsp;Bände für die rund 3100&nbsp;Briefe mit rund 300&nbsp;Korrespondenten. Bisher erschienen: 4&nbsp;Bände.
* Reihe 4b: Notizbücher, Tagebücher und Unveröffentlichtes (geplant).<ref>Hans-Christoph Im Hof, Andreas Kleinert u. a.: ''Leonhard Euler, Opera omnia.'' In: ''Birkhäuser Wissenschaftsgeschichte.'' ([https://www.springer.com/birkhauser/history+of+science?SGWID=0-40295-2-121672-0 springer.com]) Abgerufen am 24.&nbsp;Dezember 2016.</ref><ref>Andreas Kleinert, Matthias Mattmüller: [https://www.euler-2007.ch/doc/EMS70965.pdf ''Leonhardi Euleri Opera Omnia: a centenary project.''] EMS Newsletter, September 2007, {{ISSN|1027-488X}} (PDF; 1,9&nbsp;MB), online auf: ''Euler-2007.ch.'' Abgerufen am 24.&nbsp;Dezember 2016.</ref>

Seit 2014 widmet sich die [[Bernoulli-Euler-Gesellschaft]] um die Veröffentlichung und Vermittlung der Lebensleistung Eulers.

=== Briefe ===
Beim Briefwechsel sind im Rahmen der ''Opera Omnia'' erschienen:
* Band&nbsp;1 (Zusammenfassung Inhalte, Übersicht, 1975),
* Band&nbsp;2 (mit Johann&nbsp;I. und Nikolaus&nbsp;I. Bernoulli),
* Band&nbsp;5 (mit [[Alexis-Claude Clairaut|Clairaut]], [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert|d’Alembert]] und [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]) und
* Band&nbsp;6 (mit Maupertuis und Friedrich&nbsp;II.).

Außerdem sind außerhalb der ''Opera Omnia'' folgende Briefwechsel erschienen:
* mit Goldbach (Akademie Verlag, Berlin 1965),
* mit den Berliner und Petersburger Akademien (Akademie Verlag, Berlin, 3&nbsp;Bände: 1959, 1961, 1976),
* mit [[Tobias Mayer]] (American Elsevier, 1971).

Paul-Heinrich Fuss veröffentlichte 1845 Teile des Briefwechsels von Euler mit Goldbach, [[Nikolaus Fuss]], Johann&nbsp;I, Nikolaus und Daniel Bernoulli. Im Band 14 der Werkausgabe von Lagrange ist auch der Briefwechsel mit Euler.<ref>''Lagrange, Œuvre.'' Band 14 ([https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229949x/f9 gallica.bnf.fr]).</ref>

* [[Briefe an eine deutsche Prinzessin]]

== Literatur ==
=== Monografien und Sammelbände ===
* [[Gerd Biegel]], Angela Klein, Thomas Sonar (Hrsg.): ''Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker'' (= ''Disquisitiones historiae scientiarum. Braunschweiger Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte.'' Bd. 3). Braunschweigisches Landesmuseum, Braunschweig 2008, ISBN 978-3-927939-79-0.
* [[Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow]], Gleb K. Michailow, [[Adolf Juschkewitsch]]: ''Euler and modern science.'' Englische Ausgabe. (Erstveröffentlichung auf Russisch, Isdatelstvo Nauka 1988.) Mathematical Association of America. Washington DC. 2007.
* Robert E. Bradley, C. Edward Sandifer (Hrsg.): ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy.'' Elsevier 2007.
* [[Horst Bredekamp]], Wladimir Velminski (Hrsg.): ''Mathesis & Graphe. Leonhard Euler und die Entfaltung der Wissensysteme.'' Akademie-Verlag, Berlin 2010, ISBN 978-3-05-004566-5.
* Ronald S. Calinger: ''Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightment.'' Princeton University Press. New Jersey, Oxfordshire 2016.
* Lokenath Debnath: ''The legacy of Leonhard Euler. A tricentennial tribute.'' Imperial College Press, London 2010.
* [[William Dunham]]: ''Euler: The Master of Us All.'' Mathematical Association of America, 1999, ISBN 0-88385-328-0.
* William Dunham (Hrsg.): ''The Genius of Euler. Reflections on his life and work.'' Mathematical Association of America, Washington DC. 2007
* Emil Fellmann (Hrsg.): ''Leonhard Euler 1707–1783. Beiträge zu Leben und Werk. Gedenkband des Kantons Basel-Stadt.'' Birkhäuser, Basel 1983, ISBN 3-7643-1343-9.
* [[Emil Fellmann|Emil A. Fellmann]]: ''Leonhard Euler.'' Rowohlt, Reinbek 1995, ISBN 3-499-50387-5.
* Emil Fellmann: ''Leonhard Euler.'' Birkhäuser 2007
* [[Rudolf Fueter]], ''Leonhard Euler''. Beiheft Nr. 3 zur Zeitschrift ''Elemente der Mathematik''. (Birkhäuser) Basel 1948, S. 1–22.
* Xavier Hascher, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): ''Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique.'' CNRS Editions, Paris 2015, ISBN 978-2-271-08331-9.
* [[Helmut Pulte]], ''Konstanter Cartesianismus: Eulers rationale Mechanik und seine materietheoretische Interpretation des Prinzips der kleinsten Wirkung.'' Kap. B.II (S. 104 – 192) in: H. Pulte, ''Das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Kraftkonzeptionen''. Studia Leibnitiana (Sonderheft 19). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 1989.
* C. Edward Sandifer: ''How Euler did it.'' Mathematical Association of America 2007 (monatliche Kolumne von Sandifer in MAA Online 2003 bis 2007).
* C. Edward Sandifer: ''How Euler did even more.'' Mathematical Association of America 2015
* C. Edward Sandifer: ''The early math of Leonhard Euler.'' Mathematical Association of America 2007
* [[Thomas Sonar]]: ''3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen.'' Heidelberg (u.&nbsp;a.) 2011, ISBN 978-3-642-17203-8.
* [[Otto Spiess]]: ''Leonhard Euler. Ein Beitrag zur Geistesgeschichte des 18. Jahrhunderts.'' Frauenfeld 1929.
* [[Wilhelm Stieda]]: ''Die Übersiedlung Leonhard Eulers von Berlin nach St. Petersburg.'' Hirzel, Leipzig 1931 {{URN|nbn:de:hbz:061:1-13189}}.
* Dieter Suisky: ''Euler as physicist.'' Springer, Berlin 2009.
* Margaret B. W. Tent: ''Leonhard Euler and the Bernoullis: Mathematicians from Basel.'' 2009, ISBN 978-1-56881-464-3.
* [[Rüdiger Thiele (Mathematiker)|Rüdiger Thiele]]: ''Leonhard Euler.'' (=&nbsp;''[[Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner]].'' Band 56) B.&nbsp;G.&nbsp;Teubner, Leipzig 1982, ISBN 3-322-00576-3.<br /> Abschrift verfügbar bei {{Internetquelle |url=https://mathematikalpha.de/biografien |titel=Mathematik alpha |abruf=2025-11-26}}
* [[Clifford Truesdell]], ''The Rational Mechanics of flexible or elastic Bodies (1638 – 1788).'' Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia Vol. X et XI Seriei Secundae (Opera Mechanica et Astronomia). (Orell Füssli) Turici 1960
* [[V. S. Varadarajan]]: ''Euler through time: A new look at old themes.'' American Mathematical Society, 2006.
* Andreas Verdun: ''Leonard Eulers Arbeiten zur Himmelsmechanik.'' Springer-Spektrum 2015
* Wladimir Velminski (Hrsg.): ''Leonhard Euler. Die Geburt der Graphentheorie.'' Kulturverlag Kadmos, Berlin 2009, ISBN 978-3-86599-056-3.
* [[Rudolf Wolf (Astronom)|Rudolf Wolf]]: ''Leonhard Euler von Basel.'' In: ''Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz. Vierter Cyclus.'' Orell, Füssli&nbsp;& Comp., Zürich 1862, S. 87–134 [https://books.google.de/books?id=k5EPAAAAQAAJ&pg=PA87 (books.google.de)].

=== Sonstiges ===
* [[Wolfgang Breidert]]: ''Leonhard Euler and Philosophy.'' In: R. Bradley, C. E. Sandifer (Hrsg.): ''Leonhard Euler: Life, Work and Legacy''. (Elsevier) Amsterdam, Boston, Heidelberg 2007.
* [[Constantin Carathéodory]], ''Einführung in Eulers Arbeiten über Variationsrechnung''. S.&nbsp; VIII – LXII in: L. Euleri Opera Omnia, Ser. I (Opera Mathematica). Vol.&nbsp;24: ''Methodus inveniendi lineas curvas''. (Orell Füssli) Turici 1952.
* [[Marie Jean Antoine Nicolas Caritat, Marquis de Condorcet|Nicolas Marquis de Condorcet]]: ''Éloge de M. Euler'' (Erste Fassung). In: ''Histoire de l’Académie royale des sciences année 1783 avec les Mémoires'', Paris 1786, S. 37 – 68. Onlinezugriff: [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3582m/f45.item gallica.bnf.fr]. <!-- abgerufen am 1. Juni 2023 -->.
* N. de Condorcet: ''Éloge de M. Euler''. Neue redigierte Fassung von Condorcet (1786). In ''Lettres de M. Euler à une princesse d‘Allemange''. Neue Ausgabe von [http://eulerarchive.maa.org/backup/E343.html E343], Paris 1787, S. ix – xliv. Online: {{archive.org |bub_gb_Ia0oOnoT6NQC |Blatt=13}}.<!-- abgerufen am 1. Juni 2023 -->
* [[Gustaf Eneström]]: ''Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers.'' Ergänzungsband&nbsp;4 zum Jahresbericht der DMV. B.&nbsp;G.&nbsp;Teubner, Leipzig 1910 (erste Lieferung), 1913 (zweite Lieferung) – ({{archive.org |enestrom-test}}).
* [[Lutz Felbick]]: ''Lorenz Christoph Mizler de Kolof. Schüler Bachs und pythagoreischer «Apostel der Wolffischen Philosophie»'' (= ''Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Leipzig. Schriften.'' Bd. 5). Georg-Olms-Verlag, Hildesheim u. a. 2012, ISBN 978-3-487-14675-1 (Zugleich: Leipzig, Hochschule für Musik und Theater «Felix Mendelssohn Bartholdy», Dissertation, 2011), S. 126–172 (Eulers Musiktheorie) [https://gigamove.rz.rwth-aachen.de/d/id/nSnKcXPD662jLu Online-Version].
* [[Günther Frei]]: ''Zahlentheorie, Analysis und vieles mehr – Die Bedeutung von Leonhard Euler für die heutige Zeit.'' In: ''Naturwissenschaftliche Rundschau.'' Band 60 (12). 2007, {{ISSN|0028-1050}}, S.&nbsp;629–635.
* [[Nikolaus Fuß]]: ''Lobrede auf Herrn Leonhard Euler''. Basel 1786. Online: [https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb10063079?page=,1 digitale sammlungen.de]<!-- abgerufen am 10. Juni 2023 -->
* [[Harro Heuser]]: ''Eulers Analysis''. S.&nbsp;147–163 des Abschnitts ''Eulers Werk: Mathematik'' in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der ''Literatur'' → ''Monografien und Sammelbände''.
* [[Eberhard Knobloch]]: ''Das große Spargesetz der Natur: Zur Tragikomödie zwischen Euler, Voltaire und Maupertuis''. In: Biegel, Klein, Sonar (Hrsg.) (2008), S. 79–89.
* [[Günter Kröber (Wissenschaftstheoretiker)|Günter Kröber]], ''Einleitung'' zu: Leonhard Euler, ''Briefe an eine deutsche Prinzessin – Philosophische Auswahl'', (Reclam/deb) Leipzig (DDR), Westberlin (BRD) 1983, Seite 5–27.
* Harald Iro: ''Eulers analytische Mechanik''. S.&nbsp;237–268 des Kapitels ''Eulers Werk: Naturwissenschaften'' in Biegel, Klein, Sonar (2008).
* [[Olaf Neumann (Mathematiker)|Olaf Neumann]]: ''Leonhard Euler und die Zahlen''. S.&nbsp;115–145 des Abschnitts ''Eulers Werk: Mathematik'' in: Biegel, Klein, Sonar (2008), in der ''Literatur'' → '' Monografien und Sammelbände''.
* Rüdiger Thiele: ''The Mathematics and Science of Leonhard Euler (1707–1783).'' Kapitel 5 in Glen van Brummelen, Michael Kinyon (Hrsg.): ''Mathematics and the Historian’s Craft.'' Springer, New York 2005, ISBN 0-387-25284-3, S. 81–140.
* R. Thiele: ''Euler und Basel''. S.&nbsp;10–21 des biographischen Teils (''Zum Leben von Leonhard Euler''). In: Biegel et al. (Hrsg.): ''Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker''. Braunschweig 2008,
* R. Thiele: ''Die Brachistochrone – Was eine kleine Kugel alles ins Rollen brachte''. S.&nbsp;165–176 des Kapitels ''Eulers Werk: Mathematik'' In: Biegel et al. (Hrsg.): ''Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker''. Braunschweig 2008,
* R. Thiele: ''Leonhard Euler und die Philosophie''. S.&nbsp;497–513 des Kapitels ''Eulers Werk: Die Vielseitigkeit Eulers''. In: Biegel et al. (Hrsg.): ''Leonhard Euler. 1707–1783. Mathematiker – Mechaniker – Physiker''. Braunschweig 2008,
* [[André Weil]]: ''Zahlentheorie – ein Gang durch die Geschichte von Hammurabi zu Legendre.'' Birkhäuser 1992.

=== Nachschlagewerke ===
* {{ADB|6|422|431|Euler: Leonhard|[[Moritz Cantor]]|ADB:Euler, Leonhard}}
* {{NDB|4|688|689|Euler. Leonhard|[[Andreas Speiser]]|118531379}}
* {{HLS|18751|Euler, Leonhard|Autor=[[Emil Fellmann|Emil A. Fellmann]]}}
* {{DictSciBiogr |Autor=A. P. Youschkevitch |Lemma=Euler, Leonhard |Band=4 |Seiten=467–484}}

== Siehe auch ==
* [[Lagrange-Punkte]]

== Weblinks ==
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{{Wikisource}}
{{Wikisource|Scriptor:Leonhardus Eulerus|Leonhardus Eulerus|lang=la}}
* {{Helveticat}}
* {{DNB-Portal|118531379}}
* {{DDB|Person|118531379}}
* {{MathGenealogyProject|id=38586}}
* [https://www.agtz.mathematik.uni-mainz.de/algebraische-geometrie/van-straten/euler-kreis-mainz/ Euler-Kreis Mainz] – Sammlung von deutschen Übersetzungen Eulerscher Werke (von A. Aycock), bereitgestellt und herausgegeben vom Fachbereich ''Algebraische Geometrie'' der Universität Mainz.<!--Stand: 20. Januar 2024 -->

'''Über Euler'''
* [https://euler.scnat.ch/de Euler-Kommission] der Akademie der Naturwissenschaften Schweiz (SCNAT)
* Benedikt Meyer: [https://blog.nationalmuseum.ch/2019/05/euler-genialer-mathematiker/ ''e wie Euler''] Im Blog des [[Schweizerisches Nationalmuseum|Schweizerischen Nationalmuseums]] vom 27. Mai 2019
* [https://www.euler-2007.ch/ Euler 2007]
* [http://eulerarchive.maa.org/hedi/ Rubrik bei MAA von Ed Sandifer «How Euler did it»]
* {{MacTutor|id=Euler}}
* [http://www.euler.ch/ Genealogie Leonhard Eulers]
* [https://www1.wdr.de/stichtag/stichtag3198~_mon-092008_tag-18092008.html WDR-Reportage zum 225. Todestag Eulers]
* [https://euler.bbaw.de/ 300 Jahre Leonhard Euler (Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften)]
* [https://www.spektrum.de/sixcms/media.php/924/April_2007_Euler.pdf Mathematischer Kalender in Spektrum der Wissenschaft] (PDF; 849&nbsp;kB)
* [https://www.ams.org/journals/bull/2007-44-04/ verschiedene Aufsätze zu Euler in den BAMS 2007]
* [http://sonic-arts.org/monzo/euler/euler-en.htm Music translated into Mathematics: Leonhard Euler]
* Günther Frei: [http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:29353/eth-29353-01.pdf ''Zum 300.&nbsp;Geburtstag von Leonhard Euler.''] Hombrechtikum 15.&nbsp;März 2007 (PDF;&nbsp;656&nbsp;kB)
* [http://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/view/collections/c-49.html Euler, Leonhard], in [http://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/view/collections/c-16.html Heidelberger Texte zur Mathematikgeschichte]
* [https://www.youtube.com/watch?v=HK5iP8DOolI Video über Leonhard Eulers Leben].
* [https://www.ams.org/journals/bull/2007-44-04/home.html Bulletin of the AMS, Band 44, 2007, Heft 4], mit Aufsätzen zu Euler (Varadarajan, Euler and his work on infinite series, Burt Totaro, Euler and algebraic geometry, George Andrews, Euler’s De partitio numerorum, Harold Edwards, Euler’s definition of the derivative)

'''Von Euler'''
* [https://math.dartmouth.edu/~euler Gesammelte Schriften im Euler-Archiv der MAA] (englische Benutzerführung, auch mit Texten zu Euler und seinem Umfeld)
* [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN378953206 Einleitung in die Analysis des Unendlichen] (Deutsche Übersetzung)
* [https://euler.bbaw.de/euleriana/ Digitalisierte Schriften zu Eulers Wirken in Berlin] (BBAW)
* [http://friedrich.uni-trier.de/oeuvres/20/219/ Briefwechsel mit Friedrich II.] – Digitale Ausgabe der Universitätsbibliothek Trier

== Anmerkungen ==
<references responsive />

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[[Kategorie:Mann]]

{{Personendaten
|NAME=Euler, Leonhard
|ALTERNATIVNAMEN=
|KURZBESCHREIBUNG=Schweizer Mathematiker und Physiker
|GEBURTSDATUM=15. April 1707
|GEBURTSORT=[[Basel]]
|STERBEDATUM=18. September 1783
|STERBEORT=[[Sankt Petersburg]]
}}