Quelltext der Seite Lamb-Verschiebung

[[Datei:Wasserstoff Aufspaltung.svg|mini|hochkant=2|Lamb-Verschiebung als eine von mehreren Aufspaltungen der Energieniveaus des Wasserstoffatoms]]

Die '''Lamb-Verschiebung''' (auch '''Lamb-Shift''') ist ein Effekt in der [[Quantenphysik]], der 1947 von [[Willis Eugene Lamb]] und [[Robert C. Retherford]]<!-- *** Jawohl, Retherford, nicht Ernest Rutherford! *** --->   entdeckt wurde.<ref>{{Literatur |Autor=Willis E. Lamb, Robert C. Retherford |Titel=Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method |Sammelwerk=Physical Review |Band=72 |Nummer=3 |Datum=1947 |Seiten=241–243 |DOI=10.1103/PhysRev.72.241}}</ref>

Das Experiment zeigte, dass zwei Atomzustände im Wasserstoffatom, die nach der [[Dirac-Theorie]] der [[Relativistische Quantenmechanik|relativistischen Quantenmechanik]] exakt gleiche Energien haben sollten, eine – sehr geringe – Energiedifferenz aufwiesen. Diese Entdeckung legte einen Grundstein für die [[Quantenelektrodynamik]]. Lamb wurde dafür 1955 mit dem [[Nobelpreis für Physik]] ausgezeichnet.<ref>https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1955/</ref> Der Nobelpreis bezieht sich auf den Effekt am Wasserstoffatom, aber die Lamb-Verschiebung ist ein allgemeiner quantenelektrodynamischer Effekt.

== Beschreibung ==
Aus der [[Dirac-Gleichung]] ergibt sich, dass Zustände mit gleicher [[Hauptquantenzahl]] <math>n</math> und gleicher Gesamtdrehimpulsquantenzahl (Bahndrehimpuls plus [[Spin]]) <math>j</math> im [[Wasserstoff]] oder in [[Ein-Elektron-System|wasserstoffähnlichen Atomen]] bezüglich der Nebenquantenzahl <math>\ell</math> [[Entartung (Quantenmechanik)|entartet]] sind, d.&nbsp;h. dieselbe Energie haben.
Die niedrigsten Zustände, die demnach entartet sein müssten, sind die Zustände <math>2s_{1/2}</math> <math>(\ell=0)</math> und <math>2p_{1/2}</math> <math>(\ell=1)</math>, die beide die Quantenzahlen <math>n=2</math> und <math>j=\tfrac{1}{2}</math> haben.

Lamb und Retherford erzeugten einen Strahl von Wasserstoffatomen im 2s<sub>1/2</sub>-Zustand und setzten ihn einer [[Mikrowellen]]strahlung von 2395&nbsp;MHz aus. Dadurch wurden die Atome in den 2p<sub>3/2</sub>-Zustand angehoben und fielen von dort auf den 2p<sub>1/2</sub>-Zustand. Ein externes Magnetfeld bewirkte durch den [[Zeeman-Effekt]] eine Aufspaltung der Energieniveaus. Durch Variation des Magnetfeldes konnten sie die Energien der Übergänge sehr genau bestimmen und stellten fest, dass der Zustand 2p<sub>1/2</sub> um 4,37&nbsp;[[Elektronenvolt|μeV]] niedriger liegt als 2s<sub>1/2</sub>, entsprechend einem Frequenzunterschied <math>\Delta \nu = 1058 \, \text{MHz}</math>. Verglichen mit der Energie der beiden Niveaus von −3,4&nbsp;eV ist das eine sehr kleine Korrektur (um einen Faktor 10 nochmals kleiner als die [[Feinstruktur (Physik)|Feinstruktur]]-Aufspaltung zwischen 2p<sub>1/2</sub> und 2p<sub>3/2</sub>), die aber von fundamentaler Bedeutung ist.

== Erklärung ==
{| class="wikitable zebra float-right"
|+ Beiträge zur Lamb-Verschiebung im H-Atom.<ref name="gottfr-weissk" />
|-
! Beitrag
! colspan="2" | 2p<sub>1/2</sub>
! colspan="2" | 2s<sub>1/2</sub>
|-
| Selbstenergie des Elektrons
| style="text-align:right" | 4,07 MHz || style="text-align:right" | 16,8&nbsp;neV
| style="text-align:right" | 1015,52&nbsp;MHz || style="text-align:right" | 4199,9&nbsp;neV
|-
| Vakuumpolarisation
| style="text-align:right" | 0 MHz || style="text-align:right" | 0&nbsp;neV
| style="text-align:right" | −27,13 MHz || style="text-align:right" | −112,2&nbsp;neV
|-
| anomales magn.&nbsp;Moment
| style="text-align:right" | −16,95 MHz || style="text-align:right" | −70,1&nbsp;neV
| style="text-align:right" | 50,86 MHz || style="text-align:right" | 210,3&nbsp;neV
|}
Die ersten Berechnungen zur Lamb-Verschiebung nahm [[Hans Bethe]] vor, gefolgt von [[Richard Feynman]] und [[Julian Schwinger]]. Drei quantenelektrodynamische Effekte liefern den größten Beitrag: die Selbstenergie des Elektrons, Vakuumpolarisation sowie das anomale magnetische Moment.<ref name="gottfr-weissk" />

=== Selbstenergie ===
[[Datei:SelfE.svg|mini|Feynman-Diagramm der Selbst&shy;energie]]
Den größten Anteil an der Lamb-Verschiebung hat die [[Selbstenergie]] des Elektrons, d.&nbsp;h. seine Wechselwirkung mit [[Vakuumfluktuation]]en. In Übereinstimmung mit der [[Heisenbergsche Unschärferelation|heisenbergschen Unschärferelation]] werden [[Virtuelles Teilchen|virtuelle Photonen]] aus dem Vakuumfeld absorbiert und emittiert. Die dadurch hervorgerufene Bewegung (vgl. auch [[Zitterbewegung]]) verändert im zeitlichen Mittel das auf das Elektron wirkende Potential. Relevant wird der Effekt nahe am Zentrum des Atoms <math>(r=0)</math>, vor allem innerhalb des Kerns, wo das Potential von der [[Coulombsches Gesetz|Coulombform]] abweicht. Dies betrifft vorwiegend Elektronen mit Drehimpulsquantenzahl <math>\ell=0</math> (s-Zustände), deren Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Kern klein, aber relevant ist, während für <math>\ell>0</math> die Wellenfunktion des Elektrons im Zentrum null ist.<ref name="HakenWolf-1552" /> s‑Elektronen sind somit geringfügig schwächer gebunden.

Deshalb wird eine kleine Korrektur <math>\delta r</math> zur Berechnung der [[Potentielle Energie|potentiellen Energie]] hinzugefügt, die näherungsweise wie folgt geschrieben werden kann:

:<math>\langle E_\mathrm{pot} \rangle = - \frac{Ze^2}{4 \pi \varepsilon_0}\left \langle \frac{1}{r + \delta r}\right \rangle</math>

mit
[[Kernladung]]szahl <math>Z</math>,
[[Elementarladung]] <math>e</math>,
[[Elektrische Feldkonstante|elektrischer Feldkonstante]] <math>\varepsilon_0</math> und
Abstand <math>r</math>.

=== Vakuumpolarisation ===
[[Datei:Vacuum polarization.svg|mini|Feynman-Diagramm der Vakuum&shy;polarisation]]
Ein weiterer Beitrag zur Lamb-Verschiebung kann auf die [[Vakuumpolarisation]] zurückgeführt werden. Durch Erzeugung und Vernichtung virtueller Teilchenpaare verhält sich das Vakuum wie ein [[Dielektrikum|dielektrisches Medium]], das die Ladung des Kerns abschirmt. Sehr nahe am Kern ist dessen effektive Ladung erhöht, das elektrische Potential ist dadurch tiefer ([[Uehling-Potential|Uehling-Effekt]]). Auch hiervon sind wiederum hauptsächlich s‑Elektronen betroffen.

Die Vakuumpolarisation trägt – mit entgegengesetztem Vorzeichen – kaum mehr als 2 % zum Gesamteffekt bei (in [[Myon#Myonische Atome|myonischen Atomen]] hingegen ist der Anteil dominant), aber die theoretischen Berechnungen und Experimente waren so präzise, dass dieser Beitrag und damit die Vakuumpolarisation bestätigt werden konnte.

=== Anomales magnetisches Moment ===
[[Datei:Vertex correction.svg|mini|Feynman-Diagramm einer Vertex&shy;korrektur]]
Ein weiterer Beitrag resultiert aus dem [[Landé-Faktor|anomalen magnetischen Moment]] des Elektrons (das v.&nbsp;a. von [[Vertex]]<nowiki/>korrekturen herrührt).

=== Gesamter Effekt ===
Es gibt weitere Beträge höherer Ordnung (d.&nbsp;h. beschrieben durch höhere Potenzen der [[Feinstrukturkonstante]] α).

Die Lamb-Verschiebung ergibt sich so zu:

:<math>\Delta E_\mathrm{Lamb}(n, \ell = 0, j = \tfrac 12) = (Z \alpha)^4 \frac{4\alpha}{3 \pi n^3} m_\mathrm e c^2 \left(\ln \left( \frac{m_\mathrm e c^2}{2 R_y }\right) -\gamma(n,\ell ,j) + \frac{19}{30} \right)</math>

respektive:

:<math>\Delta E_\mathrm{Lamb}(n,\ell \neq 0,j) = (Z\alpha)^4 \frac{4 \alpha}{3\pi n^3} m_\mathrm e c^2 \left(\ln \left((Z\alpha)^2 \frac{m_\mathrm e c^2}{2 R_y }\right) - \gamma(n,\ell ,j) + \frac{3}{8} \frac{j(j+1) - \ell (\ell +1)- \frac 34}{\ell (\ell +1)(2\ell +1)}\right)</math>

Dabei sind:
* <math>\alpha</math> die [[Feinstrukturkonstante]]
* <math>m_\mathrm e</math> die Masse des Elektrons
* <math> c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]]
* <math> n,\ell ,j</math> die [[Hauptquantenzahl|Haupt-]], [[Nebenquantenzahl|Neben-]] und [[Gesamtdrehimpulsquantenzahl]]
* <math>R_y</math> die [[Rydberg-Energie]]
* <math>\gamma</math> der Bethe-Logarithmus

Der Bethe-Logarithmus kann numerisch berechnet werden und beträgt für die niedrigsten Orbitale<ref>{{Literatur |Autor=Robert W. Huff |Titel=Simplified Calculation of Lamb Shift Using Algebraic Techniques |Sammelwerk=Phys. Rev. |Band=186 |Nummer=5 |Datum=1969 |Seiten=1367–1379 |Sprache=en}}</ref>
:<math>\begin{align}
\gamma(1,0,\tfrac 12) &= 2{,}98\dots \\
\gamma(2,0,\tfrac 12) &= 2{,}81\dots \\
\gamma(2,1,j) &= 0{,}03\dots
\end{align}</math>

Mit diesen Werten beträgt die Energiedifferenz <math>\delta E</math> zwischen den <math>2s_{1/2}</math>- und <math>2p_{1/2}</math>-Orbitalen <math>\delta E = 4{,}37\cdot 10^{-6}\,\text{eV}</math>, entsprechend einem Frequenzunterschied <math>\delta f</math> der Spektrallinien von <math>\delta f = 1058\,\text{MHz}</math>, in präziser Übereinstimmung mit dem Experiment.

== Lamb-Verschiebung in myonischen Atomen ==

In myonischen Atomen, also Atomen, in denen ein Elektron durch ein [[Myon]] ersetzt ist, tritt der Effekt deutlich stärker auf, weil der Bahnradius des Myons weit geringer und das anomale magnetische Moment größer ist. Für [[Myonischer Wasserstoff|myonischen Wasserstoff]] liegen die Zustände 2s<sub>1/2</sub> und 2p<sub>1/2</sub> um 202,4&nbsp;meV auseinander, also rund 46.000-mal so viel wie im gewöhnlichen Wasserstoff.<ref name="Antognini" /> Den größten Anteil hat hierbei die Vakuumpolarisation. Ebenso wächst der Effekt mit Kernladung und &#x2011;radius. Allerdings wird er bei Atomen mit mehr als einem Elektron durch andere Effekte (Abschirmung der Kernladung durch die anderen Elektronen) überlagert.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Steven Weinberg
   |Titel=The Quantum Theory of Fields Volume I: Foundations
   |Verlag=Cambridge University Press
   |Ort=New York
   |Datum=1995
   |Sprache=en}}
* {{Literatur
   |Autor=Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz
   |Titel=Atome, Moleküle und optische Physik 1
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin/Heidelberg
   |Datum=2008
   |Sprache=de}}
* {{Literatur
   |Autor=Hermann Haken, Hans Christoph Wolf
   |Titel=Atom- und Quantenphysik
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin/Heidelberg
   |Datum=2004
   |Sprache=de}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="gottfr-weissk">
{{Literatur
 |Autor=Kurt Gottfried, Victor F. Weisskopf
 |Titel=Concepts of Particle Physics, Vol II
 |Auflage=
 |Verlag=Clarendon Press
 |Ort=Oxford
 |Datum=1986
 |ISBN=978-0-19-503393-9
 |Seiten=266–270}}
</ref>
<ref name="HakenWolf-1552">
{{Literatur
 |Autor=Hermann Haken, Hans Christoph Wolf
 |Titel=Atom- und Quantenphysik
 |Verlag=Springer-Verlag
 |Ort=Berlin/Heidelberg
 |Datum=2004
 |Kapitel=15.5.2
 |Sprache=de}}
</ref>
<ref name="Antognini">
{{Literatur
 |Autor=Aldo Antognini
 |Titel=Muonic atoms and the nuclear structure
 |Sammelwerk=Laser Spectroscopy
 |Datum=2016
 |Seiten=17-29
 |Verlag=World Scientific
 |DOI=10.1142/9789813200616_0002
 |Hrsg=Kai Dieckmann 
 |Kommentar=Proceedings ICOLS 2015, Singapore
 |arXiv=1512.01765}}
</ref>
</references>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4166502-8}}

[[Kategorie:Atomphysik]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]