Quelltext der Seite Laguerre-Polynome

'''Laguerre-Polynome''' (benannt nach [[Edmond Laguerre]]) sind spezielle [[Polynom]]e, die auf dem Intervall <math>[0,\infty[</math> ein [[Orthogonale Polynome|orthogonales]] Funktionensystem bilden. Sie sind die Lösungen der '''laguerreschen Differentialgleichung'''. Eine wichtige Rolle spielen die Laguerre-Polynome in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]], insbesondere in der [[Quantenmechanik]].

== Differentialgleichung und Polynome ==

=== Laguerresche Differentialgleichung ===
Die laguerresche [[Differentialgleichung]]
: <math>x\,y''(x) + (1-x)\,y'(x) + n\,y(x) = 0</math>,
ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für <math>x>0</math> und <math>n = 0, 1, 2, \ldots</math>

Sie ist ein Spezialfall der [[Sturm-Liouville-Problem|Sturm-Liouville-Differentialgleichung]]
: <math>- \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) = n y </math>

=== Erste Polynome ===
[[Bild:Mplwp laguerre04.svg|mini|hochkant=1.8|Die ersten fünf Laguerre-Polynome]]
Die ersten fünf Laguerre-Polynome lauten
: <math>\begin{align}
L_0(x) & = 1 \\
L_1(x) &= -x + 1\\
L_2(x) &= \tfrac{1}{2}(x^2 - 4x + 2) \\
L_3(x) &= \tfrac{1}{6}(-x^3 + 9x^2 -18x + 6) \\
L_4(x) &= \tfrac{1}{24} (x^4 -16x^3 + 72x^2 -96x + 24)
\end{align}</math>

In der Physik wird üblicherweise eine Definition verwendet, nach der die Laguerre-Polynome um einen Faktor <math>n!</math> größer sind.

== Eigenschaften ==
=== Rekursionsformeln ===
Das Laguerre-Polynom <math>L_{n+1}(x)</math> lässt sich mit den ersten beiden Polynomen
: <math>L_0(x) = 1</math>
: <math>L_1(x) = 1 - x</math>
über die folgende Rekursionsformel berechnen
: <math>(n+1)L_{n + 1}(x) = (2n + 1 - x)L_n(x) - n L_{n - 1}(x). </math>

Ist <math>L_{n}(x) = \sum_{i=0}^n a_{n,i} x^i = a_{n,n} x^n + \cdots + a_{n,1} x + a_{n,0} </math> die Darstellung des Laguerre-Polynoms, dann gilt für die Koeffizienten:

: <math>na_{n,i} = (2n-1)a_{n-1,i}(x)-a_{n-1,i-1}(x)-(n-1)a_{n-2,i}</math>

Des Weiteren gelten folgende Rekursionsformeln:
: <math>L_n'(x) = L_{n-1}'(x) - L_{n-1}(x)</math>,
: <math>(x-n-1) L_n'(x) = -(n+1) L_{n+1}'(x) -(2n +2 -x)L_n(x) + (n+1) L_{n+1}(x)</math>,
: <math>x L_n'(x) = n L_n(x) - n L_{n-1}(x)</math>.

Eine explizite Formel für die Laguerre-Polynome lautet
: <math>L_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{k!} x^k</math>.

;Beispiel:
Es wird das Polynom <math>L_3(x)</math> für <math>n=2</math> berechnet. Also
: <math>L_3(x) = \tfrac{1}{3}\big( (4+ 1 - x)L_2(x) - 2 L_{1}(x) \big)</math>.
Um dieses Polynom zu erhalten, ist es notwendig, das Polynom <math>L_2(x)</math> für <math>n=1</math> zu bestimmen. Es ergibt sich
: <math>L_2(x) = \tfrac{1}{2} \big( (2 + 1 - x)L_1(x) - 1 L_0(x) \big) = \tfrac{1}{2} \big( (3-x)(1-x) - 1 \big) = \tfrac{1}{2}(3-4x+x^2 -1) =\tfrac{1}{2}\big(2 - 4x +x^2 \big)</math>
Somit lautet das Polynom <math>L_3(x)</math>
: <math>\begin{align}
L_3(x) &= \tfrac{1}{3}\big( (4+ 1 - x) \tfrac{1}{2} (2 - 4x +x^2) - 2 (1-x) \big) =\tfrac{1}{6} \big( (5-x)(2-4x+x^2) -4 + 4x \big) \\
&= \tfrac{1}{6} (10 - 20x + 5x^2 - 2x + 4x^2 -x^3 - 4 + 4x) = \tfrac{1}{6} (6 - 18x + 9x^2 - x^3).
\end{align}</math>

=== Rodrigues-Formel ===
Das <math>n</math>-te Laguerre-Polynom lässt sich mit der [[Olinde Rodrigues|Rodrigues]]-Formel wie folgt darstellen
: <math>L_n(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\bigg( x^n \mathrm{e}^{-x} \bigg)</math>
und
: <math>L_n(x)=\frac{1}{n!} \bigg( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} -1 \bigg)^n x^n.</math>

Aus der ersten Gleichung berechnet sich das Laguerre-Polynom mit der [[Produktregel#Verallgemeinerungen|Produktregel]] für höhere Ableitungen und den Identitäten <math>\textstyle \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\big( \mathrm{e}^{-x} x^n \big) = \big( \mathrm{e}^{-x} x^n \big)^{(n)}</math>, <math>\left( \mathrm{e}^{-x} \right)^{(k)}= (-1)^k \mathrm{e}^{-x}</math> sowie <math>\big( x^n \big)^{(n-k)} = \tfrac{n!}{k!} x^k</math> gemäß

:<math>\begin{align}
L_n(x) &=\frac{\mathrm{e}^x}{n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) 
= \frac{\mathrm{e}^x}{n!} \bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg)^{(n)} 
= \frac{\mathrm{e}^x}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \big(\mathrm{e}^{-x} \big)^{(k)} \big( x^n \big)^{(n-k)} \\ \\
&= \frac{\mathrm{e}^x}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \mathrm{e}^{-x} \frac{n!}{k!} x^k 
= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{k!} x^k.
\end{align}</math>

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich das Laguerre-Polynom mit dem [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]] und der Identität <math>\big( \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \big)^{(n-k)} x^n = \big( x^n \big)^{(n-k)} = \tfrac{n!}{k!} x^k</math> wie folgt

: <math>\begin{align}
L_n(x) &=\frac{1}{n!} \bigg( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} -1 \bigg)^n x^n 
= \frac{1}{n!} \bigg( -1 + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg)^n x^n
= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \bigg( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg)^{(n-k)} x^n \\ \\
&= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \big( x^n \big)^{(n-k)} 
= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \frac{n!}{k!} x^k
= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{k!} x^k.
\end{align}</math>

=== Orthogonale Polynome ===
Da die Laguerre-Polynome für <math>n \to \infty</math> und/oder <math>x \to \infty</math> divergent sind, bilden sie keinen [[Prähilbertraum]] und keinen [[Hilbertraum]]. Deshalb wird eine Gewichtsfunktion eingeführt, welche die Lösung der Differentialgleichung ungeändert lässt und welche dafür sorgt, dass die Laguerre-Polynome [[quadratintegrierbar]] werden. Unter diesen Voraussetzungen bilden die Eigenfunktionen <math>L_n</math> eine [[Orthonormalbasis]] im Hilbertraum <math>L^2([0,\infty],w(x)\mathrm dx)</math> der quadratintegrierbaren Funktionen mit der Gewichtsfunktion <math>w(x)=\mathrm{e}^{-x}</math>. Demzufolge gilt

: <math>\langle L_n , L_m \rangle = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} L_n(x) L_m(x) \mathrm{d} x = \delta_{nm}.</math>

Hierbei bedeutet <math>\delta_{nm}</math> das [[Kronecker-Delta]].

; Beweis:

'''Teil 1:''' Zunächst wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht <math>w(x)=\mathrm{e}^{-x}</math> orthogonal sind, für <math>n \neq m</math> gilt demnach <math>\langle L_n , L_m \rangle = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} L_n(x) L_m(x) \mathrm{d} x = 0.</math>

Mit dem Sturm-Liouville-Operator <math>\textstyle \mathcal{L} = - \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)</math> ergeben sich für die Laguerre-Polynome <math>L_n, L_m</math> folgende Ausgangsgleichungen:

: '''(1)''' <math>\quad \mathcal{L} L_n = - \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x} \frac{\mathrm{d}L_n}{\mathrm{d}x}\right) = n L_n</math>
und
: '''(2)''' <math>\quad \mathcal{L} L_m = - \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x} \frac{\mathrm{d}L_m}{\mathrm{d}x}\right) = m L_m</math>.
Wird Gleichung '''(1)''' von links mit <math>L_m</math> multipliziert und von Gleichung '''(2)''', welche ebenfalls von links mit <math>L_n</math> multipliziert wird, subtrahiert, so ergeben sich die beiden Gleichungen:

: '''(3)''' <math>\quad L_n \mathcal{L} L_m - L_m \mathcal{L} L_n
= - L_n \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x} \frac{\mathrm{d}L_m}{\mathrm{d}x}\right) + L_m \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x{\mathrm{e}}^{-x} \frac{\mathrm{d}L_n}{\mathrm{d}x}\right) </math>
und
: '''(4)''' <math>\quad L_n \mathcal{L} L_m - L_m \mathcal{L} L_n
= (m - n) L_m L_n</math>.

Zunächst wird Gleichung '''(3)''' zusammengefasst. Mit der [[Differentialrechnung#Ableitungsregeln|Produktregel für Ableitungen]], der Term <math>\textstyle - \mathrm{e}^x</math> bleibt hierbei unberücksichtigt, ergeben sich folgende Darstellungen
: <math>\textstyle L_n \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x{\mathrm{e}}^{-x} \frac {\mathrm{d}L_m}{\mathrm{d}x} \right) = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x{\mathrm{e}}^{-x} L_n \frac {\mathrm{d} L_m}{\mathrm{d}x} \right) - \left( x{\mathrm{e}}^{-x} \frac {\mathrm{d}L_m}{\mathrm{d}x} \right) \frac {\mathrm{d}L_n}{\mathrm{d}x}</math>
und
: <math>\textstyle L_m \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x{\mathrm{e}}^{-x} \frac {\mathrm{d}L_n}{\mathrm{d}x} \right) = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x{\mathrm{e}}^{-x} L_m \frac {\mathrm{d} L_n}{\mathrm{d}x} \right) - \left( x{\mathrm{e}}^{-x} \frac {\mathrm{d} L_n}{\mathrm{d}x} \right) \frac {\mathrm{d}L_m}{\mathrm{d}x}</math>.
Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:

: '''(5)''' <math>\begin{align}
\quad L_n \mathcal{L} L_m - L_m \mathcal{L} L_n
&= - \mathrm{e}^x \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x{\mathrm{e}}^{-x} L_n \frac {\mathrm{d} L_m}{\mathrm{d}x} \right)
+ \mathrm{e}^x \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x{\mathrm{e}}^{-x} L_m \frac {\mathrm{d} L_n}{\mathrm{d}x} \right) \\ \\
&= - \mathrm{e}^x \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg( x{\mathrm{e}}^{-x} \left( L_n \frac {\mathrm{d} L_m}{\mathrm{d}x} -  L_m \frac {\mathrm{d} L_n}{\mathrm{d}x} \right)\bigg) \\ \\
&= - \mathrm{e}^x \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg( x{\mathrm{e}}^{-x} W(L_n, L_m) \bigg), \\
\end{align}</math>
wobei <math>W(L_n, L_m) = \left| \begin{smallmatrix} L_n & L_m \\ L_n' & L_m' \end{smallmatrix} \right|</math> die [[Wronski-Determinante]] der Funktionen <math>L_n, L_m</math> bedeutet.

Zur Berechnung der Wronski-Determinante mittels der [[Abelsche Identität|Abelschen Identität]] wird die Differentialgleichung <math>\textstyle \mathcal{L} y =  - \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x \mathrm{e}^{-x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right) y = - x y'' - \mathrm{e}^{x} \big(x \mathrm{e}^{-x} \big)' y' =  - x y'' - \big(1 - x \big) y' 
= 0</math> oder <math>\textstyle y'' + \frac{ 1 - x }{x} y' =0</math> betrachtet, so dass eine [[hebbare Singularität]] bei <math>x=0</math> entsteht. Die Koeffizientenmatrix des [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalsystems]] lautet dann <math>\left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & - \tfrac{ 1 - x }{x} \end{smallmatrix} \right)</math> und deren [[Spur (Mathematik)|Spur]] ist <math>\mathrm{Spur} \Bigg( \left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & - \tfrac{ 1 - x }{x} \end{smallmatrix} \right) \Bigg) =  -  \frac{ 1 - x }{x}</math>. Somit lautet die Abelsche Identität:
: <math>W(L_n, L_m) (x) = W(L_n, L_m)(0) \exp\left(\int_{0}^{x} \bigg(1 - \frac{1}{\xi}  \bigg) \mathrm{d} \xi \right)</math>.

Da <math>L_n</math> und <math>L_m</math> linear unabhängig sind, ist <math>W(L_n, L_m)(0) >0</math> – bei genauer Betrachtung ist <math>W(L_n, L_m)(0) =1</math> – und es ergibt sich folgendes Resultat:
: <math>\begin{align}
W(L_n, L_m) (x) &= W(L_n, L_m)(0) \exp\left(\int_{0}^{x} \bigg(1 - \frac{1}{\xi}  \bigg) \mathrm{d} \xi \right)
= W(L_n, L_m)(0) \exp \Bigg( \bigg[ \xi - \ln \xi \bigg]_0^{x} \Bigg) \\
&= \lim_{\xi \to x} W(L_n, L_m)(0) \exp \Big( \xi - \ln \xi \Big) - \lim_{\xi \to 0} W(L_n, L_m)(0) \exp \Big( \xi - \ln \xi \Big) \\
&= \lim_{\xi \to x} W(L_n, L_m)(0) \frac{ \exp ( \xi )}{\exp ( \ln \xi )} - \lim_{\xi \to 0} W(L_n, L_m)(0) \frac{ \exp ( \xi )}{\exp ( \ln \xi )} \\
&= \lim_{\xi \to x} W(L_n, L_m)(0)\frac{ \mathrm{e}^{\xi}}{\xi} + \lim_{\xi \to 0} W(L_n, L_m)(0) \frac{\mathrm{e}^{\xi}}{\xi} \\
&= W(L_n, L_m)(0) \frac{\mathrm{e}^{x}}{x} + \lim_{\xi \to 0} W(L_n, L_m)(0) \frac{\mathrm{e}^{\xi}}{\xi} + C.
\end{align}</math>
Die Integrationskonstante wird <math>C = - \lim_{\xi \to 0} W(L_n, L_m)(0) \frac{\mathrm{e}^{\xi}}{\xi}</math> gewählt und Gleichung '''(5)''' wird mit <math>\mathrm{e}^{-x}</math> multipliziert, so dass folgt:
: <math>\begin{align}
\mathrm{e}^{-x} \big( L_n \mathcal{L} L_m - L_m \mathcal{L} L_n \big)
&= - \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg( x{\mathrm{e}}^{-x} W(L_n, L_m) (0) \frac{ \mathrm{e}^{x}}{x} \bigg) \\
&= - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg(W(L_n, L_m) (0) \bigg)
\end{align}</math>

Nach Umformen und [[Trennung der Variablen]] lautet die Gleichung nun:
: <math>- \mathrm{e}^{-x} \big( L_n \mathcal{L} L_m - L_m \mathcal{L} L_n \big) \mathrm{d}x = \mathrm{d}\bigg(W(L_n, L_m) (0) \bigg)</math>

Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale [[Pfaffsche Form]]en und da <math>W(L_n,L_m)(0)</math> eine konstante Funktion ist, gilt <math>\mathrm{d} \Big( W(L_n,L_m)(0) \Big) =0</math>. Für die Berechnung der verbleibenden Pfaffschen Form ist eine geeignete Parametrisierung <math>\varphi(t)=t, \varphi(t_0)=0, \varphi(t_1)=\infty, \dot \varphi(t)=1</math> zu wählen. Das Integral lautet nun:
: <math>\int_\varphi\omega=\int_0^\infty \omega_{\varphi(t)}(\dot\varphi(t))\,\mathrm dt =
\int_0^\infty w \Big( L_n \mathcal{L} L_m - L_m \mathcal{L} L_n \Big) \mathrm{d}t = 0</math>.<ref>Wegen der linearen Parametrisierung kann [[o.B.d.A.]] das Differential <math>\mathrm{d}t = \mathrm{d}x</math> gewählt werden.</ref>
Demnach verschwindet das Integral längs dem Intervall <math>[0,\infty]</math>, so dass unter Verwendung von Gleichung '''(4)'''  gilt:
: <math>0 = (m - n) \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} L_m L_n \mathrm{d}t</math>

Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn:
: <math>\langle L_n, L_m \rangle = \langle L_m, L_n \rangle = 0</math>.


'''Teil 2:''' Im Folgenden wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht <math>w(x)=\mathrm{e}^{-x}</math> [[Beschränktheit|beschränkt]] sind,<ref>In der Physik wird statt beschränkt üblicherweise der Begriff normiert verwendet.</ref> für <math>n = m</math> gilt demnach <math>\langle L_n , L_m \rangle = \int \mathrm{e}^{-x} L_n(x) L_m(x) \mathrm{d} x = 1</math>, oder abkürzend <math>\langle L_n , L_n \rangle =1</math>.

Für den Beweis wird einerseits die Reihendarstellung <math>L_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} x^k</math> und anderseits die Rodrigues-Formel <math>L_n(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg)</math> benutzt. Es gilt: 

: <math>\langle L_n , L_n \rangle 
= \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} x^k \frac{\mathrm{e}^x}{n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \mathrm{d} x 
= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} \int_0^\infty x^k \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \mathrm{d} x</math>.

Für <math>n=0</math> mit <math>\textstyle \frac{\mathrm{d}^{n=0}}{\mathrm{d} x^{n=0}} \big( \mathrm{e}^{-x} x^0\big) = \mathrm{e}^{-x} x^0</math> ergibt sich:
: <math>\langle L_n , L_n \rangle
= \int_0^\infty x^0 \bigg( \mathrm{e}^{-x} x^0 \bigg) \mathrm{d} x = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x = - \bigg[ \mathrm{e}^{-x} \bigg]_0^\infty = 1</math>.

Wird nun für <math>n>0</math> das Laguerre-Polynom zerlegt, so folgt:
: <math>\langle L_n , L_n \rangle
= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k!} \int_0^\infty x^k \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \mathrm{d} x + \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^\infty x^n \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \mathrm{d} x.</math>

Durch diese Zerlegung wird der Grad des Polynoms in der Summe um 1 reduziert und in der Folge gilt <math>\langle L_{(n-1)}, L_n \rangle =0</math>, wie in '''Teil 1''' gezeigt. Es verbleibt somit lediglich der zweite Term, der mit [[partielle Integration|partieller Integration]] berechnet wird, also:
: <math>\begin{align} \langle L_n , L_n \rangle
&= \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^\infty x^n \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}\bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \mathrm{d} x \\
&= \frac{(-1)^n}{n!} \bigg[ x^n \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{(n-1)}}{\mathrm{d} x^{(n-1)}} \bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \bigg]_0^\infty - n \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^\infty x^{(n-1)} \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{(n-1)}} {\mathrm{d} x^{(n-1)}} \bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \mathrm{d} x
\end{align}</math>

Die Stammfunktion wurde mithilfe der Produktregel berechnet und es ergibt sich im Grenzwert <math>\textstyle \lim_{x \to 0}  x^n \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{(n-1)}}{\mathrm{d} x^{(n-1)}} \big( \mathrm{e}^{-x} x^n \big) = \sum_{k=0}^{n-1} \lim_{x \to 0} x^n \frac{1}{n!} \binom{n}{k} \big(\mathrm{e}^{-x} \big)^{k} \big( x^n \big)^{(n-k)} = 0 </math>. Dasselbe Resultat wird im Grenzwert <math>\textstyle \lim_{x \to \infty}</math> erhalten. Da dieses Ergebnis für alle <math>n</math> partiellen Integrationen gilt, folgt:
: <math>\begin{align} \langle L_n , L_n \rangle
&= (-1)^1 n \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^\infty x^{(n-1)} \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{(n-1)}} {\mathrm{d} x^{(n-1)}} \bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \mathrm{d} x \\
&= (-1)^2 n(n-1) \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^\infty x^{(n-2)} \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{(n-2)}} {\mathrm{d} x^{(n-2)}} \bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \mathrm{d} x \\
& \; \; \vdots \\
&= (-1)^n n! \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^\infty x^{(n-n)} \frac{1}{n!}\frac{\mathrm{d}^{(n-n)}} {\mathrm{d} x^{(n-n)}} \bigg( \mathrm{e}^{-x} x^n \bigg) \mathrm{d} x \\
&= \frac{(-1)^{2n}}{n!}  \int_0^\infty  \mathrm{e}^{-x} x^n  \mathrm{d} x \\
&= \frac{1}{n!}  \int_0^\infty  \mathrm{e}^{-x} x^n  \mathrm{d} x 
\end{align}</math>

Mittels weiterer <math>n</math>-facher partieller Integration oder Integrationstabelle folgt <math>\textstyle \int_0^\infty  \mathrm{e}^{-x} x^n  \mathrm{d} x = n!</math> und somit:
: <math>\langle L_n , L_n \rangle = 1</math>.

Aus '''Teil 1''' und '''Teil 2''' ergibt sich:
: <math>\langle L_n , L_m \rangle = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} L_n(x) L_m(x) \mathrm{d} x = \delta_{nm}.</math>
<div align="right"><math>\Box</math></div>

=== Erzeugende Funktion ===
Eine [[erzeugende Funktion]] für das Laguerre-Polynom lautet
:<math>\sum_{n=0}^\infty L_n(x) \, t^n=  \frac{1}{1-t} e^{-\frac{tx}{1-t}}</math>

== Zugeordnete Laguerre-Polynome ==
[[Datei:Zugeordnete Laguerre-Polynome.svg|mini|hochkant=1.8|Einige zugeordnete Laguerre-Polynome]]
Die zugeordneten (verallgemeinerten) Laguerre-Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über
:<math>L_n^k(x) = (-1)^k \, \frac{{\rm d}^k}{{\rm d}x^k} \, L_{n+k}(x) \qquad k = 0, 1, \dotsc</math>
zusammen. Ihre [[Olinde Rodrigues|Rodrigues]]-Formel lautet
:<math>L_n^k(x) = \frac{\mathrm{e}^x \, x^{-k}}{n!} \, \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n} \, (\mathrm{e}^{-x}\,x^{n+k}).</math>
Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerre-Gleichung
:<math>x\,y''(x) + (k+1-x)\,y'(x) + n\,y(x) = 0, \qquad n = 0, 1, \dotsc</math>
Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten:
:<math>L_0^k(x) = 1</math>
:<math>L_1^k(x) = -x + k + 1</math>
:<math>L_2^k(x) = \frac{1}{2}\,\left[x^2 - 2\,(k+2)\,x + (k+1)(k+2)\right]</math>
:<math>L_3^k(x) = \frac{1}{6}\,\left[-x^3 + 3\,(k+3)\,x^2 - 3\,(k+2)\,(k+3)\,x + (k+1)\,(k+2)\,(k+3)\right]</math>
Zur Berechnung lässt sich die Rekursionsformel
:<math>(n+1) L_{n+1}^k(x) = (2 n + 1 + k - x) L_n^k(x) - (n+k) L_{n-1}^k(x)</math>
verwenden.

Der [[Sturm-Liouville-Problem|Sturm-Liouville-Operator]] lautet
: <math>\mathcal{L} = - \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{k+1}\mathrm{e}^{-x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)</math>
und mit der Gewichtsfunktion <math>\mathrm{e}^{-x}</math> gilt:
:<math>\int\limits_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^k L_m^k(x) L_n^k(x) \mathrm{d}x = 0 \qquad m \ne n</math>
:<math>\int\limits_0^{\infty} \mathrm{e}^{-x} x^k \left(L_n^k(x)\right)^2 \mathrm{d}x = \frac{\Gamma(n+k+1)}{n!} \qquad n = 0, 1, \dotsc</math>

Zugeordnete Laguerre-Polynome lassen sich als [[Kurvenintegral|Wegintegrale]] ausdrücken:

: <math>L_n^k(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_C\frac{\mathrm{e}^{-\frac{x t}{1-t}}}{(1-t)^{k+1}\,t^{n+1}} \; dt,</math>

Dabei ist <math>C</math> ein Weg, der den Ursprung einmal im Gegenuhrzeigersinn umrundet und die wesentliche Singularität bei 1 nicht einschließt.

== Asymptotische Analysis ==
* [[Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ]]

== Wasserstoffatom ==
Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der [[Schrödinger-Gleichung]] für das [[Wasserstoffatom]] bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential.<ref>[[Harro Heuser]]: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen'', Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), Seite&nbsp;352–354, ISBN 978-3-8348-0705-2</ref> Mittels der zugeordneten Laguerre-Polynome lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion schreiben als
:<math>R_{nl}(r) = D_{nl} \, \mathrm{e}^{-\kappa\,r} \, (2\,\kappa\,r)^l \, L_{n-l-1}^{2\,l+1}(2\,\kappa\,r)</math>
(Normierungskonstante <math>D_{nl}</math>, charakteristische Länge <math>\kappa</math>, Hauptquantenzahl <math>n</math>, [[Bahndrehimpulsquantenzahl]] <math>l</math>). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle.
Die normierte Gesamtwellenfunktion ist durch
:<math>
\Psi_{n,l,m}(r, \vartheta, \varphi) =
\sqrt{\frac{4\, (n-l-1)!}{(n+l)!\;n\,(n a_0/Z)^3}}
\left[
  \frac{2 r}{n a_0/Z}
\right]^l
\exp{\left\{
  -\frac{r}{n a_0/Z}
\right\}} \;
L_{n-l-1}^{2l+1}
\left(
  \frac{2r}{n a_0/Z}
\right)\;
Y_{l,m}(\vartheta, \varphi)
</math>
gegeben, mit der [[Hauptquantenzahl]] <math>n</math>,
der [[Hauptquantenzahl#Nebenquantenzahl|Bahndrehimpulsquantenzahl]] <math>l</math>,
der [[Quantenzahl|magnetischen Quantenzahl]] <math>m</math>,
dem [[Bohrscher Radius|bohrschen Radius]] <math>a_0</math> und
der [[Kernladungszahl]] <math>Z</math>. Die Funktionen
<math>L_n^l(r)</math> sind die zugeordneten Laguerre-Polynome,
<math>Y_{l,m}(\vartheta, \varphi)</math> die [[Kugelflächenfunktionen]].

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id = LaguerrePolynomial|title = Laguerre Polynomial}}
* {{Webarchiv | url=http://www.ipf.uni-stuttgart.de/lehre/online-skript/mathe/p03.html | wayback=20160229004521 | text=''Laguerre-Polynome.''}}. Bei: ''ipf.uni-stuttgart.de.''
* ''[http://www.stellarcom.org/aw/Physik/fosa/node19.html Laguerre’sche Funktionen.]'' Bei: ''stellarcom.org.''
* ''[http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk4-2005/node54.html Radiale Wellenfunktionen, Laguerre-Polynome.]'' Bei: ''physik.uni-ulm.de.''

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Polynom]]