Quelltext der Seite Kriterium von Ermakoff

Das '''Kriterium von Ermakoff''' oder das '''Ermakoffsche Kriterium''' ist ein  [[Mathematik|mathematisches]] [[Konvergenzkriterium]] zur Bestimmung der ([[Absolute Konvergenz|absoluten]]) [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] sowie [[Grenzwert (Folge)|Divergenz]] [[Unendliche Reihe|unendlicher Reihen]], das nach dem russischen [[Mathematiker]] [[Wassili Petrowitsch Ermakoff]] (1845–1922) betitelt ist.

== Formulierung ==

Die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f \colon {[0,\infty[} \to \R</math> sei [[Stetige Funktion|stetig]], positiv und [[Monoton fallende Funktion|monoton fallend]] für <math>x > 1</math>. Die Reihe habe die Gestalt
: <math>(*)</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>A := \sum\limits_{n=1}^\infty a_n = \sum\limits_{n=1}^\infty f(n)</math>,
wobei <math>f(n)</math> der Wert der für <math>x \geqq 1</math> definierten Funktion <math>f(x)</math> an der Stelle <math>x = n</math> ist. Dann gilt für die Reihe für hinreichend große <math>x</math> (etwa für <math>x \geqq x_0</math>) entweder die [[Ungleichung]] für Konvergenz oder die für Divergenz:
: <math>A\colon \begin{cases}
\text{konvergent, falls} & \Bigg.\dfrac{f(e^x) e^x}{f(x)} \leqq q < 1\Bigg.\\
\text{divergent, falls} & \dfrac{f(e^x) e^x}{f(x)} \geqq 1 \,.
\end{cases}</math><ref>{{Internetquelle |url=https://PnP.mathematik.uni-stuttgart.de/iadm/Weidl/ana2-10/AB1/Arbeitsblatt1.pdf |titel=Arbeitsblatt I |titelerg=Vorlesung ''Analysis II'' (SoSe 2010) |hrsg=Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung (Fakultät Mathematik und Physik) der Universität Stuttgart |seiten=3/8&nbsp;S. |datum=2010-04-29 |zugriff=2012-12-24 |format=PDF; 155&nbsp;kB}}</ref>

== Beweis ==

''Die erste Ungleichung sei erfüllt.'' Für jedes <math>x \geqq x_0</math> gilt dann mit der [[Substitution (Mathematik)|Substitution]] <math>t = e^u</math>:
: <math>\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x} f(t)\mathrm{d}t = \int\limits_{x_0}^x f(e^u) e^u \mathrm{d}u \leqq q \int\limits_{x_0}^x f(t) \mathrm{d}t</math>;
daraus folgt:
: <math>\begin{align}
(1-q)\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x} f(t)\mathrm{d}t & \leqq q \left(\,\int\limits_{x_0}^x f(t)\mathrm{d}t - \int\limits_{e^{x_0}}^{e^x} f(t)\mathrm{d}t\right)\\
& = q \left(\,\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\mathrm{d}t - \int\limits_x^{e^x} f(t)\mathrm{d}t\right) \leqq q \int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\mathrm{d}t
\end{align}</math>,
denn es gilt:
: <math>(**)</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>e^x > x</math>,
der [[Subtraktion|Subtrahend]] in der zweiten runden Klammer ist also positiv. In diesem Fall gilt:
: <math>\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x} f(t)\mathrm{d}t \leqq \frac{q}{1-q}\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\mathrm{d}t</math>;
fügen wir zu beiden Seiten das [[Integralrechnung|Integral]] <math>\int_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\mathrm{d}t</math> hinzu, so erhalten wir:
: <math>\int\limits_{x_0}^{e^x} f(t)\mathrm{d}t \leqq \frac{1}{1-q}\int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\mathrm{d}t = L</math>
und daraus, unter Berücksichtigung von <math>(**)</math>:
: <math>\int\limits_{x_0}^x f(t)\mathrm{d}t \leqq L\qquad \left(x \geqq x_0\right)</math>.
Da mit wachsendem <math>x</math> auch das Integral wächst, besitzt es für <math>x\to\infty</math> einen endlichen [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]:
: <math>\int\limits_{x_0}^\infty f(t)\mathrm{d}t</math>;
nach dem [[Integralkriterium]] ist die Reihe <math>(*)</math> also konvergent.

''Nun sei die zweite Ungleichung erfüllt.'' Dann ist:
: <math>\int\limits_{e^{x_0}}^{e^x} f(t)\mathrm{d}t \geqq \int\limits_{x_0}^x f(t)\mathrm{d}t</math>
und, wenn zu beiden Seiten das Integral <math>\int_x^{e^{x_0}} f(t)\mathrm{d}t</math> addiert wird:
: <math>\int\limits_x^{e^x} f(t)\mathrm{d}t \geqq \int\limits_{x_0}^{e^{x_0}} f(t)\mathrm{d}t = \gamma > 0</math>
(denn wegen <math>(**)</math> ist <math>x_0 <e^{x_0}</math>). Jetzt bilden wir eine [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolge]] <math>x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n, \ldots</math> durch die Festsetzung <math>x_n = e^{x_{n-1}}</math>; nach dem Bewiesenen ist:
: <math>\int\limits_{x_{n-1}}^{x_n} f(t)\mathrm{d}t \geqq \gamma</math>,
also:
: <math>\int\limits_{x_0}^{x_n} f(t)\mathrm{d}t = \sum\limits_{i=1}^n \int\limits_{x_{i-1}}^{x_1} f(t)\mathrm{d}t \geqq n\gamma</math>.
Damit ist klar, dass:
: <math>\int\limits_{x_0}^\infty f(t)\mathrm{d}t = \lim\limits_{x\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f(t)\mathrm{d}t = \infty</math>
gilt, d.&nbsp;h., nach dem Integralkriterium ist die Reihe <math>(*)</math> divergent.<ref>{{Literatur |Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz]] |Titel=Differential- und Integralrechnung 2 |Reihe=[[Hochschulbücher für Mathematik]] |BandReihe=62 |Auflage=10. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2009 |ISBN=978-3-8171-1279-1 |Kapitel=XI: ''Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern'' |Seiten=268/732&nbsp;S. |Originaltitel={{lang|ru|Курс дифференциального и интегрального исчисления}} |Originalsprache=ru |Übersetzer=Brigitte Mai, Walter Mai |Online={{Google Buch | BuchID=a2tEXjUi8doC}} |Abruf=2012-12-24}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz]]
   |Titel=Differential- und Integralrechnung 2
   |Reihe=[[Hochschulbücher für Mathematik]]
   |BandReihe=62
   |Auflage=10.
   |Verlag=Verlag Harri Deutsch [Fismatgis/{{lang|ru|Физматгиз}}]
   |Ort=Frankfurt am Main [Moskau]
   |Datum=2009
   |ISBN=978-3-8171-1279-1
   |Kapitel=XI: ''Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern''
   |Seiten=268/732&nbsp;S.
   |Originaltitel={{lang|ru|Курс дифференциального и интегрального исчисления}}
   |Originalsprache=ru
   |Übersetzer=Brigitte Mai, Walter Mai
   |JahrEA=1959
   |Online={{Google Buch | BuchID=a2tEXjUi8doC}}}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Konvergenzkriterium|Ermakoff]]