Quelltext der Seite Kristalloptik

Die '''Kristalloptik''' beschäftigt sich mit der Wechselwirkung [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischer Strahlung]], in der Regel im sichtbaren [[Wellenlänge]]nbereich, mit [[kristall]]inen oder anderweitig [[Anisotropie|anisotropen]] [[Festkörper]]n, aber verallgemeinernd auch mit [[optisch aktiv]]en Flüssigkeiten. Sie ist ein Teilgebiet der [[Optik]], der [[Festkörperphysik]] und der [[Mineralogie]].

== Hintergrund ==
Die [[Optik|optischen]] Eigenschaften von Kristallen, die u.&nbsp;a. für [[Reflexion (Physik)|Reflexion]], [[Brechung (Physik)|Refraktion]] und [[Absorption (Physik)|Absorption]] des [[Licht]]es verantwortlich sind, sind durch ihren [[Kristallstruktur|regelmäßigen inneren Aufbau]] bestimmt. Anders als bei den optisch [[isotrop]]en [[Glas|Gläsern]] findet man bei Kristallen in der Regel das Phänomen der Anisotropie: Wichtige Eigenschaften wie z.&nbsp;B. der [[Brechungsindex]] sind von der Ausbreitungsrichtung des Lichts im Kristall und seiner [[Polarisation]] abhängig (genauer gesagt gilt dies für alle Kristalle, die ''nicht'' das [[Kubisches Kristallsystem|kubische Kristallsystem]] aufweisen).

Zur Veranschaulichung trägt man in einem dreidimensionalen Diagramm für jede mögliche Wellen[[normalenrichtung]] von Licht im Kristall den Wert der Brechungsindizes in den beiden Schwingungsrichtungen senkrecht zu dieser Richtung ein. Dadurch ergibt sich immer ein [[Ellipsoid]] mit im Allgemeinen drei ungleichen senkrecht aufeinander stehenden [[Halbachsen der Ellipse|Hauptachsen]], das man auch als [[Indexellipsoid]], Fletcher-Ellipsoid oder [[Indikatrix]] bezeichnet:
* Ist der Kristall kubisch, dann reduziert sich das Ellipsoid auf den Spezialfall einer [[Kugel]], da alle drei Hauptachsen dieselbe Länge haben. Die Lichtausbreitung ist in diesem Falle isotrop.
[[Datei:Kalkspat doppelbrechung laser.svg|mini|Doppelbrechung an einem [[Kalkspat]]-Kristall:<br />ordentlicher und außerordentlicher Strahl sind durch rote [[Fluoreszenz]] im Kristall sichtbar]]
* Im Falle des [[Wirteliges Kristallsystem|wirteligen Kristallsysteme]] ([[hexagonal]], [[trigonal]] und [[tetragonal]]) sind nur zwei der Hauptachsen gleich lang ([[Rotationsellipsoid]]), man spricht dann von optisch einachsigen oder uniaxialen Kristallen. Die in der Bezeichnung angesprochene [[Optische Achse (Kristalloptik)|optische Achse]] steht senkrecht auf den beiden gleich langen Hauptachsen. Nur bei Lichteinfall parallel zu dieser Achse findet ''keine'' [[Doppelbrechung]] statt.
* Drei unterschiedlich lange Hauptachsen ([[dreiachsiges Ellipsoid]]) finden sich für das [[orthorhombisch]]e, [[Monoklines Kristallsystem|monokline]] und [[triklin]]e Kristallsystem, der Kristall heißt nun optisch zweiachsig oder biaxial. Diese beiden Achsen fallen nicht mit Hauptachsen des Ellipsoids zusammen; vielmehr sind sie eindeutig dadurch definiert, dass sie senkrecht auf den beiden einzigen Kreisen stehen, die sich durch den Schnitt einer Ebene mit dem Ellipsoid durch seinen Mittelpunkt erzeugen lassen (alle anderen Schnitte ergeben keine Kreise, sondern [[Ellipse]]n). Der Radius dieser Kreise entspricht der von der Länge her mittleren der drei Hauptachsen.
Eine wichtige Folge der Anisotropie von Kristallen ist die Doppelbrechung, d.&nbsp;h. die Aufspaltung von Licht, das auf den Kristall trifft, in [[Doppelbrechung #Ordentlicher und außerordentlicher Strahl|einen ordentlichen und einen außerordentlichen Strahl]], die eine unterschiedliche Polarisation aufweisen.

Auch die [[optische Aktivität]] von Kristallen lässt sich auf ihre Anisotropie zurückführen: Dabei wird die Polarisationsebene linear polarisierten Lichtes um einen Winkel gedreht, der [[proportional]] ist zur im Kristall zurückgelegten Strecke. Je nachdem ob die Ebene im [[Uhrzeigersinn|Uhrzeiger-]] oder im Gegenuhrzeigersinn gedreht wird, wenn man genau gegen die Ausbreitungsrichtung des Lichtes schaut, unterscheidet man rechts- und linksdrehende Kristalle, die auch als ''optische Modifikationen'' bezeichnet werden. Beispiele sind Links- und Rechts[[quarz]].

Eine dritte spezifisch auf Kristalle zutreffende optische Erscheinung ist der [[Pleochroismus]]. Das bedeutet, dass Licht je nach Ausbreitungs- und Polarisationsrichtung unterschiedlich stark absorbiert wird. Da die Absorption zusätzlich noch von der [[Wellenlänge]] abhängt, zeigt sich der Pleochronismus in einer richtungsabhängigen Farbänderung des durchstrahlten Lichtes, die in extremen Fällen schon mit bloßem Auge feststellbar ist.

Die optischen Eigenschaften eines Kristalls lassen sich beeinflussen durch [[Belastung (Physik)|mechanische Belastung]], aber auch durch
* äußere [[Elektrisches Feld|elektrische Felder]] ([[Elektrooptik|elektrooptischer Effekt]])
* äußere [[Magnetisches Feld|magnetische Felder]] ([[Magnetooptik|magnetooptischer Effekt]]).
Umgekehrt können diese Effekte zur Diagnose der externen Einflüsse herangezogen werden.

== Mathematischer Formalismus ==
Grundlage des mathematischen Formalismus ist die Tatsache, dass die [[elektrische Feldstärke]] <math>\vec{E}</math> und die [[Elektrische Flussdichte|elektrische Verschiebungsdichte]] <math>\vec{D}</math> nicht mehr gleich gerichtet sind. Damit kann die [[Permittivität|dielektrische Funktion]] <math>\varepsilon</math>, welche die beiden Formelgrößen verknüpft, nicht mehr als [[Skalar (Physik)|Skalar]] aufgefasst werden, sondern muss als [[Tensor]] zweiter Stufe behandelt werden. Die Beziehung zwischen <math>\vec{D}</math> und <math>\vec{E}</math> schreibt sich nun:

<math>\begin{pmatrix} D_x \\ D_y \\ D_z \end{pmatrix} = \varepsilon_0
\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
 \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
 \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix},</math>

wobei <math>\varepsilon_0</math> die [[Elektrische Feldkonstante|Dielektrizitätskonstante des Vakuums]] darstellt.

Wie sich eine elektromagnetische Welle im anisotropen Medium ausbreitet, lässt sich durch Lösen der [[Wellengleichung]] für anisotrope Körper berechnen:

:<math>\varepsilon \cdot \vec{E} = n^2 (\vec{E} -\vec{k}(\vec{E} \cdot \vec{k}))</math>

mit
* dem Brechungsindex&nbsp;n
* einem [[Wellenvektor|Einheitsvektor]] <math>\vec{k}</math>, der in Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt.

Algebraisch ist die Wellengleichung ein System aus drei gekoppelten Gleichungen, aus dem sich die zwei Brechungsindizes für die beiden verschiedenen Polarisationsrichtungen ableiten lassen. Das Gleichungssystem ist jedoch im Allgemeinen in Bezug auf die Polarisationsrichtung nicht eindeutig. Deshalb wird ein Verfahren benutzt, um die drei Gleichungen auf zwei zu reduzieren.

Dazu konstruiert man zunächst ein System aus drei paarweise senkrecht aufeinander  stehenden Vektoren. Zwei davon sind die Ausbreitungsrichtung <math>\vec{k}</math> und Verschiebungsdichte <math>\vec{D}</math>, der dritte ist die [[magnetische Feldstärke]] <math>\vec{H}</math>. Da <math>\vec{k}</math> nicht mehr wie im isotropen Festkörper im 90-Grad-Winkel zu <math>\vec{E}</math> stehen muss, ist die Wellengleichung nicht geeignet, um den Polarisierungscharakter der Wellen zu bestimmen.

Nun wird ausgenutzt, dass <math>\vec{D}</math> senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung <math>\vec{k}</math> steht. Es ist

:<math>\vec{E}=(\varepsilon)^{-1} \cdot \vec{D}</math>,

wobei <math>(\varepsilon)^{-1}</math> der zu <math>(\varepsilon)</math> inverse Tensor ist. Durch Wahl eines neuen [[Koordinatensystem]]s mit den Koordinaten a, b, c, das so gewählt ist, dass die c-Richtung parallel zu <math>\vec{k}</math> liegt, kann man das Gleichungssystem von drei auf zwei Gleichungen reduzieren:

:<math>D_a = n^2 \varepsilon_{aa}^{-1} D_a + n^2 \varepsilon_{ab}^{-1} D_b</math>
:<math>D_b = n^2 \varepsilon_{ba}^{-1} D_a + n^2 \varepsilon_{bb}^{-1} D_b</math>

Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man die beiden Brechungsindizes und den Polarisationscharakter für jede beliebige Richtung.

== Literatur ==
* [[Werner Döring]]: ''Einführung in die Theoretische Physik, Band III (Optik).'' Sammlung Göschen, Berlin 1957.
* {{Literatur |Titel=Kristalloptik |Hrsg=[[Harry Paul (Physiker)|Harry Paul]] |Sammelwerk=Lexikon der Optik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=1999 |ISBN=978-3-827-40382-7 |Online=https://www.spektrum.de/lexikon/optik/kristalloptik/1680}}
* {{Literatur |Titel=Kristalloptik |Hrsg=|Sammelwerk=Meyers Großes Konversations-Lexikon|Band=11 |Verlag= |Ort=Leipzig|Datum=1907 |Seiten=712–716|Online=http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Kristalloptik}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle | autor= H.-G. Stosch | url= https://www.agw.kit.edu/downloads/Studiengang/Kristalloptik%20-%20Mineralmikroskopie%20(Stosch,%2021MB).pdf | titel= Skript zur Kristalloptik II – Mineralmikroskopie | werk= agw.kit.edu | hrsg= Uni Freiburg | datum= 2009-10-14 | abruf= 2019-09-23 | format= PDF 21789 kB}} 
* [http://gerdbreitenbach.de/crystal/index.html Interferenzfiguren an doppelbrechenden, optisch aktiven Kristallplättchen]

{{Normdaten|TYP=s|GND=4165767-6|LCCN=sh85034488}}

[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Kristallographie]]