Quelltext der Seite Kreiswinkel

[[Datei:01 Kreiswinkelsatz.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.3|Veranschaulichung des allgemeinen Falls]]
Für viele Fragestellungen der [[Geometrie|Elementargeometrie]], bei denen es um '''Winkel an Kreisen''' geht, lassen sich die im Folgenden erklärten Begriffe und Aussagen verwenden.

== Begriffe ==
Verbindet man die voneinander verschiedenen Endpunkte <math>A</math> und <math>B</math> eines [[Kreisbogen]]s mit seinem Mittelpunkt <math>M</math> und einem Punkt <math>P</math> auf dem Kreisbogen, so liegen folgende Winkel vor:

* '''Umfangswinkel''', '''Peripheriewinkel''' oder '''Sehnenwinkel''' (ϕ) nennt man einen [[Winkel]] <math>\angle APB</math>, dessen Scheitel <math>P</math> auf demjenigen Kreisbogen liegt, der den gegebenen Kreisbogen über [AB] zum vollständigen Kreis (dem [[Umkreis]] des Dreiecks ABP) ergänzt.
* '''Mittelpunktswinkel''' (μ): Ist <math>M</math> der Mittelpunkt des gegebenen Kreisbogens, so bezeichnet man den Winkel <math>\angle AMB</math> als den zugehörigen '''Mittelpunktswinkel''' ('''Zentriwinkel''').
* Ein '''Sehnentangentenwinkel''' (τ) zum gegebenen Kreisbogen wird begrenzt von der [[Sehne (Mathematik)|Sehne]] [AB] und der [[Tangente|Kreistangente]] im Punkt <math>A</math> bzw. <math>B</math>.

Viele Autoren von Geometrie-Lehrbüchern nehmen bei Umfangswinkeln, Mittelpunktswinkeln und Sehnentangentenwinkeln nicht Bezug auf einen gegebenen Kreisbogen, sondern auf eine gegebene Kreissehne [AB]. Legt man eine solche Definition zugrunde, so muss man zwei Arten von Umfangswinkeln unterscheiden, nämlich ''spitze'' und ''stumpfe Umfangswinkel''. Als Mittelpunktswinkel definiert man in diesem Fall den kleineren der beiden Winkel, die von den Kreisradien [MA] und [MB] eingeschlossen werden. Die Formulierung der Sätze im nächsten Abschnitt muss bei Verwendung dieser Definition ein wenig variiert werden.

[[Datei:Kreiswinkel.svg|mini|zentriert|hochkant=3|Umfangs-, Mittelpunkts- und Sehnentangentenwinkel]]

== Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz) ==
Der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) eines Kreisbogens ist doppelt so groß wie einer der zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel).

=== Fall 1: Einer der Schenkel zum Umfangswinkel verläuft durch den Mittelpunkt ===
Die beiden Winkel <math>\angle MAP</math> und <math>\angle APM</math> sind beide gleich <math>\varphi</math>. Der Winkel <math>\angle PMA</math> beträgt entsprechend <math>180^\circ-2\varphi</math> und demnach  dessen Nebenwinkel <math>\mu = 180^\circ-(180^\circ-2\varphi) = 2\varphi</math>.

{{Doppeltes Bild|ohne|01 Kreiswinkelsatz, Schenkel MP.svg|250|01 Kreiswinkelsatz, Mittelpunktswinkel 180°.svg|250|Fall 1: Ein Schenkel des Umfangswinkels verläuft durch den Mittelpunkt <math>M</math>.|Fall 2: Der Mittelpunktswinkel beträgt 180°.|}}

=== Fall 2: Der Mittelpunktswinkel beträgt 180° ===
Hier kann man von <math>P</math> aus eine Hilfslinie durch den Mittelpunkt ziehen und sieht sich dann zweimal dem Fall 1 gegenüber. Es gilt: <math>\mu = \mu_1+\mu_2 = 2\varphi_1+2\varphi_2 = 2(\varphi_1+\varphi_2) = 2\varphi</math>.

An dieser Stelle ist praktisch der [[Satz des Thales]] bewiesen, da <math>P</math> ja prinzipiell beliebig gewählt war.

=== Fall 3: ''AMBP'' bildet ein reguläres, nicht überschlagenes Viereck ===
Die Argumentation ist dieselbe wie in Fall 2.

{{Doppeltes Bild|ohne|01 Kreiswinkelsatz, reguläres Viereck.svg|250|01 Kreiswinkelsatz, überschlagenes Viereck.svg|250|Fall 3: Die Punkte <math>AMBP</math> bilden ein<br />reguläres Viereck|Fall 4: Die Punkte <math>APMB</math> bilden ein [[Polygon#Weitere Typen|überschlagenes]] Viereck.|}}

=== Fall 4: ''AMBP'' bildet ein überschlagenes Viereck ===
Da das Dreieck <math>\triangle APM</math> gleichschenklig ist, sind die Winkel <math>\angle PAM</math> und <math>\angle MPA</math> beide gleich groß, hier: <math>\delta</math>. Nun ist auch das Dreieck <math>\triangle BPM</math> gleichschenklig, somit muss <math>\angle PBM = \varphi+\delta</math> gelten. Da die Scheitelwinkel bei <math>Q</math> gleich groß sind, müssen sich die beiden anderen Winkel der Dreiecke <math>\triangle QMA</math> und <math>\triangle QBP</math> zur selben Summe addieren:
<math>\angle AMQ + \angle QAM = \angle QPB + \angle PBQ</math>.
Setzen wir die bekannten Werte ein, so erhalten wir:
<math>\mu + \delta = \varphi + (\varphi + \delta) = 2\varphi + \delta</math>,
und es folgt auch in diesem Fall: <math>\mu = 2\varphi</math>.

== {{Anker|Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz)}} Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz, Sehnenwinkelsatz) ==
Alle Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über einem Kreisbogen sind gleich groß. Dieser Kreisbogen heißt dann [[Fasskreisbogen]].
<!-- TODO: Das Bild ist nicht mehr korrekt, da es für den unten auskommentierten Beweis gedacht war. Dieser ist aber Unfug, da der Satz über das Sehnenviereck selbst üblicherweise und insbesondere innerhalb von Wikipedia mit Hilfe des Umfangswinkelsatzes bewiesen wird. DAS BILD MUSS ALSO ERSETZT WERDEN, DIESER KOMMENTAR GELÖSCHT UND DER UNTENSTEHENDE TEXT AUF DAS BILD ANGEPASST WERDEN.
[[Datei:Umfangswinkelsatz.png|center|Skizze zum Umfangswinkelsatz]] -->

Der Umfangswinkelsatz ist eine unmittelbare Konsequenz des Kreiswinkelsatzes: Jeder Umfangswinkel ist nach dem Kreiswinkelsatz halb so groß wie der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). Also müssen alle Umfangswinkel gleich groß sein.

== Sehnentangentenwinkelsatz ==
Die beiden Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens sind so groß wie die zugehörigen Umfangswinkel (Peripheriewinkel) und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel).

<math> \delta  = \gamma</math>[[Datei:Sehnentangentenwinkel.svg|mini|links|hochkant=1.2|Sehnentangentenwinkelsatz:<br /> Da <math>\triangle ABM</math> gleichschenklig ist gilt:<br /> <math>\alpha_2=\tfrac{180^\circ-2\gamma}{2}=90^\circ-\gamma </math><br /> Zusammen mit <math>\alpha_2 + \delta=90^\circ </math> folgt:<br /> <math>\delta=90^\circ -\alpha_2=90^\circ-(90^\circ-\gamma)=\gamma</math>]]
{{Absatz}}

== Anwendung bei Konstruktionsaufgaben ==
=== Umfangswinkelsatz ===
Insbesondere der Umfangswinkelsatz lässt sich nicht selten für geometrische Konstruktionen verwenden. In vielen Fällen sucht man die [[Menge (Mathematik)|Menge]] (den ''geometrischen Ort'') aller Punkte <math>P</math>, von denen aus eine gegebene Strecke (hier <math>\overline{AB} </math>) unter einem bestimmten Winkel erscheint. Die gesuchte Punktmenge besteht im Allgemeinen aus zwei Kreisbögen, den sogenannten [[Fasskreisbogen|Fasskreisbögen]] (Bild 1).

Bekanntlich ist bei einem Dreieck der anliegende Außenwinkel stets so groß, wie sie Summe seiner nicht anliegenden Innenwinkel.<ref name="Aumann" /> Auf Grund dessen gilt:
:Liegt der Punkt <math>C</math> des Dreiecks <math>ACP</math> innerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel <math>\gamma</math> gleich <math>\alpha + \beta</math> (Bild 2 mit Beispiel <math>\alpha = 60^\circ</math>). Liegt dagegen der Punkt <math>C</math> des Dreiecks <math>APC</math> außerhalb des Fasskreisbogens, so ist der Winkel <math>\alpha</math> gleich <math>\beta + \gamma</math> (Bild 3 mit Beispiel <math>\alpha = 60^\circ</math>).<ref name="Aumann">{{Literatur |Autor=Günter Aumann |Titel=Kreisgeometrie |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45306-3 |Seiten=16–17 |Fundstelle=2.1 Die klassischen Sätze der Kreisgeometrie |Online=[https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-45306-3] |Abruf=2023-08-09}}</ref>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:Fasskreisbogenpaar.svg|mini|185px|ohne|Bild 1: Skizze zum Fasskreisbogenpaar]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Fasskreisbogen-1.gif|mini|350px|ohne|Bild 2: Ist Punkt <math>C</math> innerhalb des Fasskreisbogens, dann <math>\gamma >\alpha </math>]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Fasskreisbogen-2.gif|mini|350px|ohne|Bild 3: Ist Punkt <math>C</math> außerhalb des Fasskreisbogens, dann <math>\gamma <\alpha </math>]]</div>
{{Absatz}}
Der Beweis des nachfolgenden Anwendungsbeispiels beruht auf einer mehrfachen Anwendung des Umfangswinkelsatzes  ''(Bild 4)'':
<div class="tright" style="clear:none;">[[Datei:Kreiswinkelanwendung 2.svg|mini|252px|Bild 5: Skizze zum Anwendungsbeispiel (Spezialfall)]]</div>
<div class="tright" style="clear:none;">[[Datei:Kreiswinkelanwendung 1.svg|mini|294px|Bild 4: Skizze zum Anwendungsbeispiel]]</div>
:Gegeben seien drei [[Gerade]]n <math>g_1</math>, <math>g_2</math> und <math>g_3</math>, die sich im Punkt <math>S</math> schneiden. Von einem Punkt <math>P \neq S</math> werden jeweils die [[Lot (Mathematik)|Lote]] auf <math>g_1</math>, <math>g_2</math> und <math>g_3</math> gefällt.
:Dann stimmen die [[Innenwinkel]]weiten des entstandenen Dreiecks <math>ABC</math> mit den [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkelweiten]] der drei Geraden überein.
''Beweis:''
:Betrachtet wird der Thaleskreis <math>k</math> über der Strecke <math>\overline{PS}</math> mit verschiedenen Peripheriewinkeln.
:* Die Winkel <math>\angle BAC</math> und <math>\angle BSC</math> sind Umfangswinkel über dem zur Sehne <math>\overline{BC}</math> gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite <math>\alpha</math>.
:* Die Winkel <math>\angle ACB</math> und <math>\angle ASB</math> sind Umfangswinkel über dem zur Sehne <math>\overline{AB}</math> gehörigen (kleineren) Kreisbogen und haben deshalb dieselbe Weite <math>\gamma</math>.
:* Die Winkel <math>\angle g_1g_3</math> und <math>\angle CBA</math> haben wegen <math>\beta=180^\circ-\alpha-\gamma</math> dieselbe Weite <math>\beta</math>.
:Damit ist die Aussage bewiesen.

Für den Spezialfall, dass die drei Geraden sich im Punkt <math>S</math> unter einem Winkel von jeweils <math>60^\circ</math> schneiden, ergibt sich mit <math>\alpha=\beta=\gamma</math> als unmittelbare Folgerung ''(Bild 5)'':

:Gegeben seien drei Geraden <math>g_1</math>, <math>g_2</math> und <math>g_3</math>, die sich im Punkt <math>S</math> unter einem Winkel von jeweils <math>60^\circ</math> schneiden. Von einem Punkt <math>P \neq S</math> werden jeweils die Lote auf <math>g_1</math>, <math>g_2</math> und <math>g_3</math> gefällt.
:Dann ist das Dreieck <math>ABC</math> [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitig]].<ref>Lorenz Halbeisen, [[Norbert Hungerbühler]], Juan Läuchli: ''Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten - Perlen der klassischen Geometrie'', 2. Auflage, [[Springer Spektrum]] 2016, ISBN 978-3-662-63329-8, S. 23/219</ref>
{{Absatz}}

=== Kreiswinkelsatz ===
Der Kreiswinkelsatz eignet sich auch als Konstruktionsbaustein zur Lösung z.&nbsp;B. folgender Aufgaben:
* Zeichne ein [[Vierzigeck#Konstruktion bei gegebener Seitenlänge|Vierzigeck]], bei dem die Seitenlänge <math>a</math> gegeben ist.
: Hierfür wird zuerst der Umkreis eines [[Zehneck#Konstruktion bei gegebener Seitenlänge|Zehnecks]] mit nur einer Seitenlänge <math>a</math> konstruiert und anschließend zweimal hintereinander der Kreiswinkelsatz angewendet.
* Die [[Dreiteilung des Winkels]] mithilfe der [[Hyperbel (Mathematik)#Hyperbel als Trisektrix|Hyperbel]]; bereits im 4. Jhdt. nutzte [[Pappos]] für deren Lösung die Eigenschaften dieses Satzes (Bild 1).
* Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge <math>a</math> ein Polygon zu konstruieren, das die ''doppelte'' Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 2).
* Es ist aus einer vorgegebenen Seitenlänge <math>a</math> ein Polygon zu konstruieren, das die ''halbe'' Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat (Bild 3).

<div style="float:left;">[[Datei:01 Kreiswinkelsatz-Sonderfall.svg|mini|307px|Bild 1: Kreiswinkelsatz<br />Ansatz für die Dreiteilung eines beliebigen Winkels. Durch den Punkt <math>C</math> verläuft später der rechte Ast der Hyperbel]].</div>
<div style="float:left;">[[Datei:01-Zentriwinkelsatz-Anwendung.svg|mini|300px|Bild 2: Kreiswinkelsatz<br />Konstruktion eines Polygons bei gegebener Seitenlänge <math>a</math>, das die ''doppelte'' Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat.<br />Beispiel:<br />Die Seitenlänge <math>a</math> des gesuchten [[Zwanzigeck]]s (blau) ist gleich der des vorgegebenen Zehnecks.]]</div>
<div style="float:left;">[[Datei:01-Zentriwinkelsatz-Anwendung-2.svg|mini|300px|Bild 3: Kreiswinkelsatz<br />Konstruktion eines Polygons bei gegebener Seitenlänge <math>a</math>, das die ''halbe'' Anzahl Ecken eines Polygons mit gleicher Seitenlänge hat. Darin ist <math>Ms</math> die [[Mittelsenkrechte]] von <math>\overline{AM}.</math><br />Beispiel:<br />Die Seitenlänge <math>a</math> des gesuchten Zehnecks (blau) ist gleich der des vorgegebenen Zwanzigecks.]]</div>
{{Absatz}}

== Literatur ==
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie.'' 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u.&nbsp;a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 161–162
* ''Schülerduden – Mathematik I''. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S.&nbsp;415–417
* [[Günter Aumann]]: ''Kreisgeometrie: Eine elementare Einführung''. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45306-3,  S. [https://books.google.de/books?id=1lebBgAAQBAJ&pg=PA16 15–18]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel|Kreiswinkelsatz}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnentangentenwinkel|Sehnentangentenwinkelsatz}}
* [https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/uws Alternativbeweis des Umfangswinkelsatzes, Landesbildungsserver Baden-Württemberg] Der hier vorgeführte Beweis besticht durch seine Einfachheit und führt auf natürliche Weise auf die Zusammenhänge zwischen Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel sowie auf die Besonderheit von Sehnenvierecken.
<!-- * [https://kilchb.de/zentriwinkel.php Vom Winkelsummensatz über den Satz des Thales zum Zentriwinkelsatz] [https://kilchb.de/linkmathe.php auf kilchb.de] -->

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]