Quelltext der Seite Konsum-Investitions-Problem

Das '''Konsum-Investitions-Problem''' ist ein Standardproblem der modernen [[Finanzökonomik]]. Es stellt die Frage, wie ein [[Risikoscheu|risikoscheuer]] Anleger über seinen Lebenszyklus sein verfügbares Finanz- und Humankapital über die Zeit anlegen und wie viel er zu jedem Zeitpunkt konsumieren sollte (d.&nbsp;h. wie hoch seine [[Sparquote]] sein sollte und welches Portfolio er für sein Anlagevermögen wählen sollte). Das Problem lässt sich als [[Stochastik|stochastisches]] [[Optimierungsproblem]] darstellen und wurde in seiner Grundform 1969 von [[Robert C. Merton]] formuliert.<ref>Robert C. Merton: Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. ''Rev Econ Stat'' 51:3 (1969), S. 247–257</ref> Es ist deshalb auch als ''Mertonsches Portfolioproblem'' bekannt.

== Problemformulierung ==
Als Grundlage des Konsum-Investitions-Problems wird ein Marktmodell benötigt. Sei <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{F}, \mathbb{P})</math> der dem Marktmodell unterliegende [[Filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum|filtrierte Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>F = \{ B, S^1, \ldots , S^d \}</math> der Vektor aller verfügbaren Finanzinstrumente. Der Anleger besitzt ein Startvermögen <math>v \in \R_+</math> zu Beginn des Zeitraumes und folgt einer [[Nutzenfunktion (Mikroökonomie)|Nutzenfunktion]] <math>u</math> über den gesamten Zeitraum. Ziel des Anlegers ist es, die bestmögliche [[Handelsstrategie (Finanzmathematik)#Zulässige Handelsstrategie|zulässige Handelsstrategie]] <math>\xi</math> zu wählen, damit sein Vermögen <math>V^\xi</math> zum Endzeitpunkt <math>T \in \R_+</math> maximiert wird.

<math display="block">\mathbb{E}[u(V^\xi_T)] \rightarrow \max_{\begin{matrix} \xi.F_0 \leq v \\ \xi \mathrm{\ annehmbar} \end{matrix}} !</math>Das Problem lässt sich auch für unbegrenzte Zeiträume formulieren. Je nachdem welche Annahmen (z.&nbsp;B. ohne oder mit [[Transaktionskosten]]) gestellt werden, lässt sich das Vermögen verschiedentlich darstellen.

== Lösungsansätze ==
Je nach Annahmen und Bedingungen an das Konsum-Investitions-Problem ergeben sich verschiedene Lösungsansätze. Im Falle des Problems mit Transaktionskosten wurden viererlei Ansätze hauptsächlich gewählt:<ref name=":0" />

# Der primäre Ansatz beruht auf Methoden aus der [[Stochastische Kontrolltheorie|stochastischen Kontrolltheorie]], wobei [[Viskositätslösung]]en der zum Problem zugehörigen [[Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung]] ermittelt werden.
# Der duale Ansatz nutzt [[Schattenpreis]]e, um einen analogen [[Reibungsfreier Markt|reibungsfreien Markt]] zu formulieren, worauf optimale [[Handelsstrategie]]n ermittelt werden.
# Der dritte Ansatz untersucht die [[Asymptotik]] verschwindender Kosten.
# Der vierte Ansatz nutzt [[Superharmonische Funktion|superharmonische Funktionen]] ähnlich der stochastischen [[Perron-Methode]].

== Schlussfolgerungen ==
1969 löste Merton das Konsum-Investitions-Problem für Stiftungen mit fester sowie mit unendlicher Lebensdauer mithilfe der [[Itō-Formel]]. Eine zentrale Einsicht von Mertons Modell ist, dass ein Anleger mit einer gewöhnlichen [[Isoelastische Nutzenfunktion|isoelastischen Nutzenfunktion]] „kurzfristig“ anlegt; langfristige Anlage die Risiken nicht senkt.<ref>Paul Samuelson: Lifetime Portfolio Selection By Dynamic Stochastic Programming. ''Rev Econ Stat'' 51:3 (1969), S. 239–246</ref> Risiko äußert sich im Modell konkret darin, dass die Sparquote und damit das für den Konsum verfügbare Kapital mit dem Kapitalmarkt schwankt. Erzielt der Kapitalmarkt Verluste, muss die Sparquote erhöht werden und umgekehrt. Sie ist nicht mehr nur abstrakt Schwankung der Größe des Vermögens. Des Weiteren ergibt sich, dass sich die [[Tobin-Separation]] aufrechterhalten lässt.

Das Mertonsche Modell überwindet damit die Defizite des [[Kapitalgutpreismodell]]s. Verfeinerungen des Modells berücksichtigen Transaktionskosten<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Christoph Belak, Jörn Sass |Titel=Finite-horizon optimal investment with transaction costs: construction of the optimal strategies |Sammelwerk=Finance and Stochastics |Band=23 |Nummer=4 |Datum=2019-10 |ISSN=0949-2984 |DOI=10.1007/s00780-019-00404-4 |Seiten=861–888 |Online=http://link.springer.com/10.1007/s00780-019-00404-4 |Abruf=2025-11-24}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Michael J.P Magill, George M Constantinides |Titel=Portfolio selection with transactions costs |Sammelwerk=Journal of Economic Theory |Band=13 |Nummer=2 |Datum=1976-10 |DOI=10.1016/0022-0531(76)90018-1 |Seiten=245–263 |Online=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0022053176900181 |Abruf=2025-11-24}}</ref>, Rentenalterwahl, Insolvenz, menschentypische Lebenszyklen (d.&nbsp;h. stochastische Sterblichkeit) und andere Faktoren. Mertons Modell ist das Standardmodell für rationale, den gesamten Lebenszyklus berücksichtigende Finanzplanung geworden.<ref>Zvi Bodie: [http://www.cfapubs.org/doi/abs/10.2470/rf.v2008.n1.o Overview]. ''The Future of Life-Cycle Saving and Investing'' (February 2008), 2. Ausgabe, S. xviii.</ref>

== Literatur ==

* {{Literatur |Autor=Ralf Korn |Titel=Moderne Finanzmathematik – Theorie und praktische Anwendung: Band 1 – Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2014 |Reihe=Studienbücher Wirtschaftsmathematik |ISBN=978-3-658-04126-7 |Kapitel=Kap. 5: Zeitstetige Portfolio-Optimierung |Seiten=253–307 |Abruf=2025-11-24}}

== Quellen ==
<references/>
[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Kapitalmarkttheorie]]