Quelltext der Seite Konkrete Kategorie

Eine '''konkrete Kategorie''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Kategorientheorie|Kategorie]] zusammen mit einem [[Treuer Funktor|treuen Funktor]] von ihr in die [[Kategorie der Mengen]]. Dieser Funktor heißt '''Vergissfunktor'''. Eine Kategorie, zu der solch ein Vergissfunktor existiert, heißt '''konkretisierbare Kategorie'''.
Vermöge dieses Vergissfunktors kann man sich die Objekte der an sich abstrakten Kategorie auch als Mengen mit einer zusätzlichen [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]] vorstellen, wobei die Morphismen genau die mit dieser Struktur verträglichen Abbildungen zwischen den entsprechenden Mengen sind.

== Motivation ==
Viele wichtige Kategorien sind ohnehin in folgender Form gegeben:<ref>{{Literatur |Autor=[[Saunders MacLane]], [[Garrett Birkhoff]] |Titel=Algebra |Auflage=3 |Verlag=AMS |Ort=Chelsea |Datum=1999 |ISBN=978-0-8218-1646-2 |Sprache=en}}</ref>
* Objekte haben eine ''zugrunde liegende Menge'' bzw. sind Mengen mit zusätzlichen Strukturen,
* Morphismen sind mit der Zusatzstruktur [[Verträglichkeit (Mathematik)|verträgliche]] Abbildungen zwischen diesen Mengen,
* die Komposition von Morphismen ist einfach das Hintereinanderausführen von Abbildungen,
* der Identitätsmorphismus eines Objekts ist durch die [[identische Abbildung]] gegeben.
Durch den offensichtlichen Funktor in die Kategorie der Mengen sind solche Kategorien konkretisierbar. Dies ist insbesondere der Fall für die Kategorie '''Top''' der [[Topologischer Raum|topologischen Räume]] (mit stetigen Abbildungen als Morphismen), für die Kategorie '''Grp''' der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] und trivialerweise auch für die Kategorie '''Set''' der Mengen selbst.
Wenn man auf diese Weise von Elementen eines Objektes sprechen kann, ermöglicht dies beispielsweise einfache und anschauliche Definitionen von Begriffen wie [[Kern (Algebra)|Kern]] und [[Bild (Mathematik)|Bild]] eines Morphismus und das Beweisverfahren der [[Diagrammjagd]]. Eine wichtige Aussage in dieser Richtung liefert etwa der [[Einbettungssatz von Mitchell]].

== Definition ==
Sei <math>X</math> eine Kategorie, die sogenannte ''Basiskategorie''.
Eine ''konkrete Kategorie über'' <math>X</math> ist ein Paar <math>(C,U)</math> aus einer Kategorie <math>C</math> und einem treuen Funktor <math>U\colon C\to X</math> in die Basiskategorie. Eine Kategorie <math>C</math> heißt ''über'' <math>X</math> ''konkretisierbar'', wenn es eine über <math>X</math> konkrete Kategorie <math>(C,U)</math>, d.&nbsp;h. einen treuen Funktor <math>U\colon C\to X</math> gibt.

Falls <math>X</math> die Kategorie '''Set''' der Mengen und Abbildungen ist, heißt <math>(C,U)</math> auch schlicht ''konkrete Kategorie'' und <math>C</math> ''konkretisierbar''. Einige Autoren bezeichnen eine konkrete Kategorie auch als ''Konstrukt''.

Der Funktor <math>U</math> wird auch als ''Vergissfunktor'' bezeichnet, der jedem Objekt von <math>C</math> sein ''zugrunde liegendes'' <math>X</math>-''Objekt'' (bzw. ''zugrunde liegende Menge'') und jedem Morphismus in <math>C</math> seinen ''zugrunde liegenden'' <math>X</math>-''Morphismus'' (bzw. ''zugrunde liegende Abbildung'') zuordnet.<ref group="acc">S. 61</ref>

== Bemerkungen ==
* Die Untersuchung relativer Konkretheit (d.&nbsp;h. mit einer anderen Basiskategorie als <math>{\mathbf{Set}}</math>) ist insbesondere in der Theorie der [[Topos (Mathematik)|Topoi]] üblich und man kann beispielsweise Modelle einer Theorie mit <math>N</math> Sorten als Objekte einer konkreten Kategorie über <math>{\mathbf{Set}}^N</math> ansehen. Nachfolgend wird jedoch durchweg <math>{\mathbf{Set}}</math> als Basiskategorie betrachtet.
* Anders als man per Intuition vermuten mag, ist Konkretheit keine Eigenschaft, die einer Kategorie entweder zukommt oder nicht. Vielmehr kann ein und dieselbe Kategorie durchaus mehrere verschiedene treue Funktoren nach <math>{\mathbf{Set}}</math> haben und somit verschiedene konkrete Kategorien <math>(C,U)</math> zu einer gegebenen Kategorie <math>C</math> existieren. In der Praxis ist jedoch meist klar, welcher Vergissfunktor gemeint ist, und man spricht dann verkürzt von der „konkreten Kategorie <math>C</math>“. Beispielsweise ist „die konkrete Kategorie <math>{\mathbf{Set}}</math>“ genau genommen die konkrete Kategorie <math>({\mathbf{Set}},I)</math>, wobei <math>I\colon {\mathbf{Set}}\to{\mathbf{Set}}</math> der Identitätsfunktor ist.
* Die Voraussetzung, dass <math>U</math> treu ist, bedeutet, dass <math>U</math> verschiedenen Morphismen zwischen zwei gegebenen Objekten verschiedene Abbildungen zuordnet. Es kann jedoch durchaus sein, dass <math>U</math> verschiedenen Objekten die gleiche Menge zuordnet. In dem Fall ordnet <math>U</math> durchaus verschiedenen Morphismen (mit verschiedenen Quellen und/oder Zielen) dieselbe Abbildung zu.<ref group="acc">vgl. S. 63</ref> Als Beispiel denke man bei topologischen Räumen an dieselbe Menge, die einmal mit der [[Klumpentopologie]], einmal mit der [[Diskrete Topologie|diskreten Topologie]] versehen ist.

== Beispiele ==
* Jede kleine Kategorie ist konkretisierbar: Für ein Objekt <math>X\in\operatorname{Ob}(C)</math> sei zunächst <math>U(X)</math> die Menge aller Morphismen nach <math>X</math>. Für einen Morphismus <math>f\colon X\to Y</math> kann man die Abbildung <math>U(f)\colon U(X)\to U(Y)</math> durch <math>g\mapsto f\circ g</math> definieren. Dass auf diese Weise ein treuer Funktor ''U'': ''C'' → '''Set''' definiert wird, lässt sich unmittelbar verifizieren.
* Ist <math>G</math> eine Gruppe, so kann man hierzu eine Kategorie ''C'' mit nur einem einzigen Objekt <math>\ast</math> und  <math>\operatorname{Mor}(\ast,\ast):=G</math> definieren. [[Gruppenoperation|Operiert]] <math>G</math> treu auf einer Menge <math>M</math>, so ist (''C'',''U'') mit dem durch <math>U(\ast)=M</math> und <math>U(g)\colon m\mapsto g\cdot m</math> gegebenen Funktor eine konkrete Kategorie.
* Eine [[Ordnungsrelation|teilgeordnete Menge]] <math>(P,{\le})</math> lässt sich als Kategorie auffassen, deren Objekte die Elemente von <math>P</math> sind und mit einem Pfeil <math>x\to y</math> genau dann, wenn <math>x\le y</math>. Indem man <math>U(x):=\emptyset</math> definiert und jedem Pfeil die identische Abbildung auf <math>\emptyset</math> zuordnet, erhält man eine konkrete Kategorie.
* Zusammen mit dem kontravarianten [[Potenzmengenfunktor]] '''Set'''<sup>op</sup> → '''Set''', der jeder Menge <math>A</math> die Potenzmenge <math>\operatorname{Pot}(A)</math> und jeder Abbildung <math>f\colon B\to A</math> die Abbildung <math>\operatorname{Pot}(A)\to \operatorname{Pot}(B)</math>, <math>S\mapsto f^{-1}(S)=\{x\in B\mid f(x)\in S\}</math> zuordnet, wird '''Set'''<sup>op</sup> zu einer konkreten Kategorie.
* Aus dem vorstehenden Beispiel folgt, dass die [[duale Kategorie]] zu einer konkretisierbaren Kategorie ebenfalls konkretisierbar ist: Mit <math>(C,U)</math> ist auch <math>(C^{\operatorname{op}},\operatorname{Pot}\circ U^{\operatorname{op}})</math> konkret.<ref group="acc">S. 62, (4)</ref>
* Bei der Kategorie '''Ban''' der [[Banachraum|Banachräume]] und linearen [[Kontraktion (Mathematik)|Kontraktionen]] benutzt man meist nicht den „offensichtlichen“ Vergissfunktor, sondern ordnet einem Raum nur seine (abgeschlossene) Einheitskugel zu, um aus diesem eine [[Rechtsadjunktion]] zu machen.<ref group="acc">S. 62, (3)</ref>

== Gegenbeispiele ==
* Die [[Homotopie-Kategorie]] '''hTop''', deren Objekte topologische Räume und deren Morphismen die [[Homotopie]]klassen stetiger Abbildungen sind, ist eine nicht konkretisierbare Kategorie. Zwar sind die Objekte bereits Mengen (mit einer Zusatzstruktur), aber die Morphismen sind eben keine Abbildungen zwischen diesen, sondern [[Äquivalenzrelation|Äquivalenzklassen]] solcher Abbildungen. Der erste Beweis, dass dieser Mangel nicht behebbar ist, dass es also überhaupt keinen treuen Funktor von '''hTop''' nach '''Set''' gibt, stammt von [[Peter Freyd]].<ref>{{Literatur |Autor=Peter Freyd |Hrsg=Franklin Peterson |Titel=Homotopy is not concrete |Sammelwerk=The Steenrod Algebra and its Applications: A conference to celebrate N. E. Steenrod’s 60th birthday |Reihe=Springer Lecture Notes in Mathematics |NummerReihe=168 |Verlag=Springer |Datum=1970 |ISBN=3-540-05300-X |Sprache=en |Online=[http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/6/tr6abs.html ''Reprints in Theory and Applications of Categories''.] |Abruf=2010-10-11}}</ref>
* Die Kategorie der kleinen Kategorien mit [[natürliche Äquivalenz|natürlichen Äquivalenzklassen]] von Funktoren als Morphismen ist ebenfalls nicht konkretisierbar.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Freyd |Titel=On the concreteness of certain categories |Sammelwerk=Symposia Mathematica |Band=IV |Verlag=Academic Press |Ort=London |Datum=1970 |Seiten=431–456 |Sprache=en}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker
   |Titel=Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats
   |Verlag=John Wiley & Sons
   |Ort=New York
   |Datum=1990
   |ISBN=0-471-60922-6
   |Sprache=en
   |Online=[http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf katmat.math.uni-bremen.de]
   |Format=PDF
   |KBytes=
   |Abruf=2010-10-12}}
* {{Literatur
   |Autor=Jiří Rosický
   |Titel=Concrete categories and infinitary languages
   |Sammelwerk=Journal of Pure and Applied Algebra
   |Band=22
   |Nummer=3
   |Datum=1981
   |Seiten=309–339
   |Sprache=en
   |DOI=10.1016/0022-4049(81)90105-5}}

== Einzelnachweise ==
<references />
Adámek, Herrlich, Strecker: ''Abstract and Concrete Categories: the joy of cats''.
<references group="acc" />

[[Kategorie:Kategorientheorie]]