Quelltext der Seite Konjugierter Index

Der '''konjugierte Index''' ist ein Begriff aus der [[Mathematik]], insbesondere aus der [[Funktionalanalysis]]. Einer positiven [[reelle Zahlen|reellen Zahl]], die als Index aufgefasst wird, wird durch eine Gleichung eine andere positive Zahl zugeordnet und konjugierter Index genannt. Der Begriff wird insbesondere im Zusammenhang mit den [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Räumen]] und der [[Hölder-Ungleichung]] verwendet.

== Definition ==
Eine positive reelle Zahl <math>q</math> heißt konjugierter Index zur positiven reellen Zahl <math>p</math>, falls<ref>{{Literatur  | Autor = Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson | Titel = Real analysis | Jahr = 1997 | Verlag = Prentice-Hall | Ort = Upper Saddle River, N.J. | ISBN = 978-0-13-458886-5 | Seiten =  536}}</ref>

:<math>\begin{align}
                \frac 1p + \frac 1q & = 1\\
\Leftrightarrow  p + q              & =  p     \cdot q\\
\Leftrightarrow                   1 & = (p - 1)\cdot(q - 1) 
\end{align}</math>

gilt. Insbesondere ist dann auch die Zahl <math>p</math> ein konjugierter Index von <math>q</math>.

== Anwendung ==
Vor allem in der [[Integralrechnung]], aber auch in der klassischen [[Analysis]] wie in der [[Stochastik]] treten konjugierte Zahlenpaare auf. Üblicherweise findet die erste Begegnung mit zwei miteinander konjugierten Zahlen bei der Definition der [[Hölder-Ungleichung]] statt, wo die [[Norm (Mathematik)|Norm]] eines Produktes von Elementen durch das Produkt der zugehörigen [[Lp-Raum|p- und q-Normen]] der jeweiligen Elemente abgeschätzt werden kann.

== Beispiel ==
Das typische Beispiel für zueinander konjugierte Zahlen ist die Zahl 2, die konjugiert zu sich selbst ist. Zumeist sind die Spezialfälle von Aussagen über konjugierte Zahlen mit <math>p=q=2</math> vor allem historisch interessant, zum Beispiel ist die oben erwähnte Hölder-Ungleichung eine spätere Verallgemeinerung der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]].

== Weblinks ==
* [https://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2051 conjugate index] auf PlanetMath

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]