Quelltext der Seite Konchoide von Dürer

[[Datei:DuererMuschellinie.png|rahmenlos|rechts|hochkant=1.2|Konchoide von Dürer]]
Die '''Konchoide von Dürer''', oder auch '''Muschellinie''', ist eine spezielle [[Ebene (Mathematik)|ebene]] [[algebraische Kurve]]. [[Albrecht Dürer]] zeichnete sie erstmals in seinem Buch ''Underweysung der Messung'' (1. Buch, Abb. 38) und nannte sie „ein muschellini“.

== Gleichung ==
* Kartesische Koordinaten: <math>(y^2 + xy + ay - b^2)^2 = (b^2 - y^2)(y - x + a)^2</math>
* Parametergleichung (2 Kurvenäste):
:<math> x(t) = t + \frac{b(a-t)}{\sqrt{a^2-2at + 2t^2}}\; ,\ y(t) = \frac{bt}{\sqrt{a^2-2at + 2t^2}}, </math>
:<math> x(t) = t - \frac{b(a-t)}{\sqrt{a^2-2at + 2t^2}}\; ,\ y(t) = -\frac{bt}{\sqrt{a^2-2at + 2t^2}}. </math>
(Der zweite Kurvenast wurde von Dürer nicht entdeckt.)<ref>{{Internetquelle |autor=Ingmar Rubin |url=http://www.zum.de/Faecher/Materialien/rubin/archiv/Kurvenanalyse/Muschelkurve/muschel2.pdf |titel=Albrecht Dürer und die Mathematik der Renaissance |titelerg=5 Parameterdarstellung der Kurve |hrsg=zum |seiten=8 |format=PDF |archiv-url=https://web.archive.org/web/20220216211203/http://www.zum.de/Faecher/Materialien/rubin/archiv/Kurvenanalyse/Muschelkurve/muschel2.pdf |archiv-datum=2022-02-16 |abruf=2023-09-25}}</ref>

== Eigenschaften ==
* Für <math>a=0</math> entartet die Kurve zu dem Geradenpaar <math>y=\pm b / \sqrt2</math> und einem [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] <math>x^2+y^2 = b^2</math>.
* Für <math>b=0</math> entarten die beiden Kurvenäste zu der Geraden <math>y=0 </math>.
* Für <math>b=2a</math> hat die Kurve eine Spitze bei <math>(x, y) = (-2a, a) </math>.

== Konstruktion ==
[[Datei:01 Dürers Muschellinie-2.svg|mini|hochkant=2|Dürers Konchoide (Muschellinie), eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01%20Dürers%20Muschellinie-Animation.gif siehe Animation]]]

Es beginnt mit dem Bestimmen des Punktes <math>A</math> (siehe Bild) auf einer Geraden und dem Abtragen sowie Beschriften von sechzehn gleich langen Teilen ab <math>A</math>. Anschließend wird mit dem Setzen des Punktes <math>B</math> die Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> mit ca. achtzehn dieser Teile festgelegt. Es folgt eine Senkrechte im Punkt <math>13</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, auf dem wieder sechzehn Teile, gleich denen auf <math>\overline{AB}</math>, aufzutragen sind.

Weiter geht es mit einem Strahl ab Punkt <math>1</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> der durch den Punkt <math>1</math> der Senkrechten zu <math>\overline{AB}</math> zu ziehen ist. Anschließend wird der Punkt <math>1</math> des Kurvenastes (blau, beginnt im Punkt <math>B</math>) durch Abtragen der Strecke <math>\overline{AB}</math> auf dem Strahl erzeugt. Für das Bestimmen der Punkte <math>2</math> bis <math>16</math> des Kurvenastes (blau) gilt Gleiches, dementsprechend beginnen dann die Strahlen in den Punkten <math>2</math> bis <math>16</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

Die so erzeugte Schar von Linien liefert eine Parabel als Hüllkurve des Kurvenastes beginnend im Punkt <math>A</math> und sechzehn Zwischenpunkte des Kurvenastes (blau) beginnend im Punkt <math>B</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Max Steck |Titel=Dürers Gestaltlehre der Mathematik und der bildenden Künste |Band=1 |Verlag=Max Niemeyer Verlag |Ort=Halle (Saale) |Datum=1948|Kapitel=19. Conchoide oder Muschellinie |Seiten=37-38 |Online=https://digi.ub.uni-heidelberg.de/diglit/steck1948/0057/image,info |Abruf=2023-09-26}}</ref>

Für eine [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal]] bedarf es noch des Eintragens der Kurvenbögen für den Kurvenast (blau); sie ergeben die Näherung ([[Approximation]]) eines Teils der Muschellinie. Um den [[Kreisbogen]] vom Punkt <math>B</math> bis Punkt <math>2</math> ziehen zu können, erzeugt man zuerst die (nicht eingezeichneten) [[Mittelsenkrechte]]n der [[Abstand|Abstände]] <math>d(B, 1)</math> und <math>d(1,2)</math>. Die beiden Mittelsenkrechten treffen sich im (nicht eingezeichneten) Mittelpunkt <math>M_1</math> des Kreisbogens <math>BM_12</math>. Anschließend wird der Kreisbogen mit Radius <math>|M_1B|</math> von <math>B </math> bis Punkt <math>2</math> gezogen. Der Mittelpunkt des Kreisbogens von Punkt <math>2</math> bis <math>3</math> wird mittels der bereits vorhandenen Mittelsenkrechten des Abstandes <math>d(1,2)</math> und der Mittelsenkrechten des Abstandes <math>d(2,3)</math> gefunden. Diese Vorgehensweise setzt man fort bis schließlich die Mittelsenkrechten der Abstände <math>d(14,15)</math> und <math>d(15,16)</math> den Mittelpunkt für den letzten Kreisbogen liefern.

Alternativ kann die Linie des Kurvenastes (blau) auch mithilfe eines [[Kurvenlineal]]s erzeugt werden.

== Siehe auch ==
* [[Konchoide]]
* [[Konchoide von de Sluze]]

== Weblinks ==
{{Wikisource|Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen/Erstes Buch#39|Underweysung der Messung}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Durers.html Information zur Kurve] (engl.)

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

{{SORTIERUNG:Konchoide von Durer}}
[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]
[[Kategorie:Albrecht Dürer als Namensgeber]]