Quelltext der Seite Komplexifizierung

In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ist eine '''Komplexifizierung''' eine Operation, die einem [[Reelle Zahl|reellen]] [[Vektorraum]] einen [[Komplexe Zahl|komplexen]] Vektorraum zuordnet, der sehr ähnliche Eigenschaften hat.

== Definition ==
Es gibt zwei unterschiedliche Möglichkeiten die Komplexifizierung eines reellen Vektorraums zu definieren. Die zwei Möglichkeiten, die nun vorgestellt werden, sind äquivalent.
 
=== Mittels der direkten Summe ===
Sei <math>V</math> ein Vektorraum über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math>. Die Komplexifizierung von <math>V</math> ist die [[direkte Summe]]
:<math>V_{\Complex} = V \oplus V = V \times V.</math>
 
Auf dem neuen Raum wird die Addition komponentenweise
:<math>(x,\, y) + (x',\, y') = (x + x',\, y + y')</math>
und die [[Skalarmultiplikation]] mit <math>\alpha + \beta i \in\Complex</math> durch
:<math>(\alpha + \beta i)(x,\,y) = \left(\alpha x - \beta y ,\, \beta x + \alpha y\right)</math>
definiert.

Dies macht <math>V_\Complex</math> zu einem Vektorraum über dem Körper der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math>.

In Analogie zur Schreibweise komplexer Zahlen schreibt man für das Paar <math>(x,y) \in V_{\Complex}</math> auch <math>x + y i</math>.

=== Mittels des Tensorprodukts ===
Man kann die Komplexifizierung auch durch das [[Tensorprodukt]] definieren:

:<math>V_{\Complex} = V \otimes_\R \Complex</math>.

Dann ist die Skalarmultiplikation mit <math>a \in \mathbb{C}</math> durch <math>\operatorname{id} \otimes a</math> gegeben, d.&nbsp;h., für <math>x \otimes b \in V_{\Complex}</math> mit <math>x \in V</math> und <math>b \in \Complex</math> gilt
:<math>a (x \otimes b) = x \otimes (a b)</math>.

== Beispiele ==
* Die Komplexifizierung des [[euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] <math>\R^n</math> ergibt den [[unitärer Raum|unitären Raum]] <math>\Complex^n</math>.
* Die Komplexifizierung des Vektorraums <math>\R^{m \times n}</math> der <math>m \times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit reellen Einträgen ergibt den Vektorraum <math>\Complex^{m\times n}</math> der Matrizen mit komplexen Einträgen. Die Komplexifizierung abstrahiert also die einfache Tatsache, dass man reelle Zahlen insbesondere auch als komplexe Zahlen auffassen kann.

== Eigenschaften ==
* Der reelle Vektorraum <math>V</math> lässt sich mittels der [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] <math>x \mapsto x + 0i</math> als reeller [[Untervektorraum]] von <math>V_{\Complex}</math> auffassen. Dabei ist <math>x + yi \in V_{\Complex}</math> genau dann in <math>V</math>, wenn <math>y=0</math> gilt.
* Auf <math>V_{\Complex}</math> ist auf natürliche Weise eine [[Involution (Mathematik)|Involution]] <math>\overline{x + yi} = x - yi</math> definiert, die der komplexen [[Komplexe Konjugation|Konjugation]] entspricht. Ein <math>z \in V_{\Complex}</math> liegt genau dann in <math>V</math>, wenn <math>\overline{z} = z</math> gilt.
* Ist <math>(x_j)</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V</math>, so ist <math>(x_j + i 0)</math> eine Basis des <math>\Complex</math>-Vektorraums <math>V_\mathbb{C}</math>. Insbesondere haben der reelle Vektorraum <math>V</math> und der komplexe Vektorraum <math>V_{\Complex}</math> die gleiche [[Dimension (Mathematik)|Dimension]].

== Komplexifizierung linearer Abbildungen ==
=== Definition ===
Jede <math>\R</math>-lineare Abbildung <math>f \colon V \rightarrow W</math> liefert eine <math>\mathbb{C}</math>-lineare Abbildung <math>f_\mathbb{C} \colon  V_\mathbb{C} \rightarrow W_\mathbb{C}</math> definiert durch
:<math>f_\mathbb{C} (x + yi) = f(x) + f(y)i.</math>

=== Eigenschaften ===
Für die komplexifizierte Abbildung <math>f_\mathbb{C} \colon  V_\mathbb{C} \rightarrow W_\mathbb{C}</math> gilt:
* <math>f_\mathbb{C}(\overline{z}) = \overline{f_\mathbb{C}(z)}</math> für alle <math>z \in V_\mathbb{C}</math>
* <math>(\operatorname{Id}_V)_\mathbb{C} = \operatorname{Id}_{(V_{\mathbb{C}})}</math>
* <math>(f \circ g)_\mathbb{C} = f_\mathbb{C} \circ g_\mathbb{C}</math>
* Die [[Abbildungsmatrix|darstellende Matrix]] von <math>f</math> bezüglich der Basis <math>(x_j)</math> ist gleich der darstellenden Matrix von <math>f_\mathbb{C}</math> bezüglich der Basis <math>(x_j + 0i)</math>.

Ist die zu betrachtende lineare Abbildung <math>f_\mathbb{C} \colon  V_\mathbb{C} \rightarrow V_\mathbb{C}</math> ein [[Endomorphismus]], dann gilt außerdem:
* <math>f</math> und <math>f_{\Complex}</math> haben dasselbe [[charakteristisches Polynom]].
* <math>f_{\Complex}</math> hat alle Eigenwerte von <math>f</math>. 

Komplexifizierte Matrizen sind häufig einfacher zu beschreiben, als das reelle Original. So ist zum Beispiel jede komplexe Matrix [[trigonalisierbar]], wobei die oben erwähnten normalen Matrizen sich sogar [[Diagonalisierbarkeit|diagonalisieren]] lassen.

== Komplexifizierung von Bilinearformen und Skalarprodukten ==
=== Definition ===
Zu einer [[Bilinearform]] <math>\Phi \colon V \times V \rightarrow \R</math> gibt es eine [[Sesquilinearform]] <math>\Phi_\mathbb{C} \colon V_\mathbb{C} \times V_\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math> gegeben durch 
:<math>\Phi_\mathbb{C}(x + yi, x' + y'i) = \Phi(x,x') + \Phi(y,y') + i(\Phi(y,x') - \Phi(x,y')).</math>
Es gilt <math>\Phi_{\mathbb{C}|V \times V} = \Phi</math>, die [[Einschränkung]] von <math>\Phi_\mathbb{C}</math> auf <math>V \times V</math> ist also wieder <math>\Phi</math>.

=== Eigenschaften ===
* Die [[Form (Algebra)|Form]] <math>\Phi</math> ist genau dann ein reelles [[Skalarprodukt]], wenn <math>\Phi_\mathbb{C}</math> ein komplexes Skalarprodukt ist. Da das komplexe Skalarprodukt einfacher zu beschreiben ist als das reelle, komplexifiziert man es, um dann im komplexen Raum weiterzuarbeiten.

* Ist V [[Euklidischer Vektorraum|euklidisch]] mit Skalarprodukt <math>\Phi</math> und <math>V_\mathbb{C}</math> der dazugehörige unitäre Vektorraum mit Skalarprodukt <math>\Phi_\mathbb{C}</math> so gilt <math>(f^*)_\mathbb{C} = (f_\mathbb{C})^*</math>. Das heißt, die Operation der Komplexifizierung der [[Adjungierter Operator|Adjunktion]] können vertauscht werden. Daraus folgt, dass die Komplexifizierung gewisse Eigenschaften einer linearen Abbildung erhält. Die Abbildung <math>f \colon V \rightarrow V</math> hat also genau dann eine der folgenden Eigenschaften, wenn auch <math>f_\mathbb{C} \colon V_\mathbb{C} \rightarrow V_\mathbb{C}</math> sie hat:
** [[normaler Operator|normal]] <math> (ff^* = f^*f)</math>
** [[selbstadjungiert]] <math> (f = f^*)</math>
** [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrisch]] <math>(f = -f^*)</math>
** [[Isometrie]] <math> (ff^* = \operatorname{Id})</math>

== Komplexifizierung einer Lie-Algebra ==
=== Definition ===
Es sei <math>\mathfrak{g}</math> eine [[Lie-Algebra]] über dem Körper <math>\R</math>. Die Komplexifizierung der Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> ist die Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}_\Complex</math>, die analog zum komplexifizierten Vektorraum durch
:<math>\mathfrak{g}_\Complex := \mathfrak{g} \otimes_\R \Complex</math>
definiert ist.

Auch die Komplexifizierung einer Lie-Algebra kann als Erweiterung des zugrundeliegenden Körpers der Lie-Algebra von <math>\R</math> auf den Körper <math>\Complex</math> aufgefasst werden. Ein Element der Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}_\Complex</math> kann als Paar <math>(u,v)</math> mit <math>u, v \in \mathfrak{g}</math> verstanden werden. Die Operationen auf <math>\mathfrak{g}_\Complex</math> sind dann definiert durch
:<math>\begin{align}
&(u_1, v_1) + (u_2, v_2) := (u_1 + u_2, v_1 + v_2)\\
&(\alpha + i \beta)(u_1,v_1) := (\alpha u_1 - \beta v_1, \alpha v_1 + \beta u_1) \quad \text{und}\\
&\left[(u_1,v_1), (u_2,v_2)\right] := (\left[u_1, u_2\right] - \left[v_1, v_2\right], \left[v_1, u_2\right] + \left[u_1, v_2\right]),
\end{align}</math>
wobei <math>\alpha, \beta  \in \R</math> und <math> u_1, u_2, v_1, v_2 \in \mathfrak{g}</math> gilt. Außerdem ist <math>+</math> die Addition und <math>\left[.,.\right]</math> die [[Lie-Klammer]] in der Lie-Algebra.

=== Beispiele ===

* Die Komplexifizierung von <math>\mathrm{sl}(n,\R)=\left\{A \in \mathrm{Mat}(n,\R): \mathrm{Tr}(A)=0\right\}</math> ist <math>\mathrm{sl}(n,\Complex)=\left\{A\in \mathrm{Mat}(n,\Complex): \mathrm{Tr}(A)=0\right\}</math>. 
* Die [[Cartan-Zerlegung]] <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}</math> hat für <math>\mathfrak{g}=\mathrm{sl}(n,\Complex)</math> die Gestalt
:<math>\mathfrak{k}=\left\{A\in \mathrm{sl}(n,\Complex): A \text{ schiefhermitesch}\right\}, \mathfrak{p}=\left\{A\in \mathrm{sl}(n,\Complex): A \text{ hermitesch}\right\}</math>, 
woraus in diesem speziellen Fall
<math>\mathfrak{p}=i\mathfrak{k}</math> und damit <math>\mathfrak{g}_\Complex=\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g}</math> folgt.

== Komplexifizierung einer Lie-Gruppe ==

Die Komplexifizierung einer [[einfach zusammenhängend]]en Lie-Gruppe <math>G</math> mit Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> ist, per Definition, die (eindeutig bestimmte) einfach zusammenhängende [[Lie-Gruppe]] mit Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}_\Complex</math>.

Allgemein, falls <math>G</math> nicht einfach zusammenhängend ist, heißt eine komplexe Lie-Gruppe <math>G_\Complex</math> die Komplexifizierung von <math>G</math>, wenn es einen stetigen Homomorphismus <math>\phi:G\rightarrow G_\Complex</math> mit folgender universeller Eigenschaft gibt: zu jedem stetigen Homomorphismus <math>f:G\rightarrow H</math> in eine komplexe Lie-Gruppe <math>H</math> gibt es einen eindeutigen komplex-analytischen Homomorphismus <math>F:G_\Complex\rightarrow H</math> mit <math>f=F\phi</math>. Die Komplexifizierung muss nicht immer existieren, sie ist aber eindeutig, wenn sie existiert.

Beispiele: Die Komplexifizierung von <math>SL(n,\R)</math> ist <math> SL(n,\Complex)</math>, die Komplexifizierung von <Math>SU(n)</Math> ist <Math>SL(n,\Complex)</Math>, die Komplexifizierung von <math>SL(n,\Complex)</math> ist <math>SL(n,\Complex)\times SL(n,\Complex)</math>.

== Kategorientheorie ==
In der Sprache der [[Kategorientheorie]] ist die Komplexifizierung von Vektorräumen ein [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] von der Kategorie der Vektorräume über den reellen Zahlen in die Kategorie der Vektorräume über den komplexen Zahlen. Die [[Morphismus|Morphismen]] der Kategorien sind jeweils die <math>\mathbb{K}</math>-linearen Abbildungen, wobei <math>\mathbb{K} = \R</math> für die reellen und <math>\mathbb{K} = \Complex</math> für die komplexen Vektorräume gilt. 
Der zu diesem Funktor [[Adjunktion (Kategorientheorie)|rechts adjungierte Funktor]] ist der Vergiss-Funktor von der Kategorie komplexen Vektorräume in die Kategorie der reellen Vektorräume, der die komplexe Struktur der Räume „vergisst“.

== Literatur ==
* Theodor Bröcker: ''Lineare Algebra und Analytische Geometrie'', Birkhäuser Verlag, 2004, ISBN 3-7643-7144-7.
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra'', Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
* {{EoM
| Titel = Complexification of a Lie algebra
| Autor = V. L. Popov
| id = Complexification_of_a_Lie_algebra
}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]