Quelltext der Seite Komplement (Mengenlehre)

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In der [[Mengentheorie|Mengenlehre]] und anderen Teilgebieten der Mathematik sind zwei verschiedene '''Komplemente''' definiert: Das '''relative Komplement''' und das '''absolute Komplement'''.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.biancahoegel.de/mathe/mengen/komplement.html |titel=Komplement (Mengenlehre) |abruf=2022-05-18}}</ref>

== Relatives Komplement ==
=== Definition ===
[[File:Venn A subset B.png|thumb|Das (relative) Komplement der Menge A in B ist wiederum eine Teilmenge von B und hier blau gefärbt.]]
Sind <math>A</math> und <math>B</math> Mengen, dann ist das relative Komplement, auch ''mengentheoretisches Komplement'' oder '''mengentheoretische Differenz'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=Achte, erweiterte und aktualisierte Auflage  |Verlag=Springer Spektrum |Ort= Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-57938-1 |Seiten=7 |DOI=10.1007/978-3-662-57939-8}}</ref> genannt, die Menge genau der Elemente aus <math>B</math>, welche nicht in <math>A</math> enthalten sind. Die formale Definition des relativen Komplements ist

:<math>B\setminus A := \left\{x \in B\mid x \not\in A\right\}</math>

und man sagt „<math>B</math> ohne <math>A</math>“ oder „relatives Komplement von <math>A</math> in <math>B</math>“. Das Komplement entspricht also der [[Mengenlehre#Differenz und Komplement|Subtraktion von Mengen]]. „Relativ“ heißt es deshalb, weil das Komplement einer Menge <math>A</math> stets in Relation zu einer weiteren Menge <math>B</math> angegeben wird.

Das relative Komplement kann auch so definiert werden, dass <math>A</math> eine [[Teilmenge]] von <math>B</math> sein soll. Grund hierfür ist, dass für die Definition des Komplements nur diejenigen Elemente in <math>A</math> von Relevanz sind, die gleichzeitig auch Elemente in <math>B</math> sind. Die Definitionen sind insofern äquivalent, als dass für beliebige Mengen <math>A</math> und <math>B</math> stets <math>B \setminus A = B \setminus (A \cap B)</math> gilt, d. h. es gibt mit <math>A \cap B</math> eine Teilmenge von <math>B</math>, deren Komplement in <math>B</math> dem Komplement von <math>A</math> (welches nicht notwendigerweise Teilmenge von <math>B</math> ist) in <math>B</math> entspricht.<ref>{{Internetquelle |url=https://de.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/relative-complement-or-difference-between-sets |titel=Relatives Komplement oder die Differenz zwischen Mengen (Video) |sprache=de |abruf=2022-05-18}}</ref><ref name=":0">{{Internetquelle |url=https://www.mathebibel.de/komplement |titel=Komplement {{!}} Mathebibel |abruf=2022-05-18}}</ref> Manchmal heißt das relative Komplement von <math>A</math> in <math>B</math> mit <math>A \subseteq B</math> auch '''eigentliches Komplement'''.<ref> {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Auflage=2., überarbeitete |Datum=1992 |Seiten=8 |Fundstelle=Lemma 2.2 |ISBN=3-11-013626-0}}</ref>

=== Beispiele ===

* <math>\left\{1,2,3\right\}\setminus\left\{2,3\right\} = \left\{1\right\}</math>
* <math>\left\{2,3,4\right\}\setminus\left\{2,3\right\} = \left\{4\right\}</math>
* Für <math>\mathbb R</math> (reelle Zahlen) und <math>\mathbb Q</math> (rationale Zahlen), ist <math>\mathbb R \setminus \mathbb Q</math> die Menge der irrationalen Zahlen.

=== Eigenschaften ===
Im Folgenden sind einige Eigenschaften relativer Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] und [[Durchschnittsmenge|Durchschnitt]] aufgelistet. Seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> Mengen, dann gelten folgende Identitäten:

* <math>C\setminus\left(A \cap B\right) =\left(C \setminus A\right)\cup\left(C\setminus B\right)</math>
* <math>C\setminus\left(A\cup B\right)=\left(C \setminus A\right)\cap\left(C\setminus B\right)</math>
* <math>C\setminus\left(B\setminus A\right) = (A\cap C) \cup (C \setminus B)</math>
* <math>\left(B\setminus A\right)\cap C = (B\cap C)\setminus A = B\cap (C\setminus A)</math>
* <math>\left(B\setminus A\right)\cup C = (B \cup C)\setminus\left(A \setminus C\right)</math>
* <math>A\setminus A =\emptyset</math>
* <math>A\setminus\emptyset = A</math>

== Absolutes Komplement ==
=== Definition ===
[[Datei:absolute complement.svg|thumb|200px|Das Komplement von A in U]]

Ist ein [[Grundmenge|Universum]] <math>U</math> definiert, so wird für jede Menge <math>A \subseteq U</math> das relative Komplement von <math>A</math> in <math>U</math> auch absolutes Komplement (oder einfach Komplement) von <math>A</math> genannt und als <math>A^{\rm C}</math> (manchmal auch als <math>A'</math>, oder auch als <math>\bar A</math>, <math>\complement_U A</math> bzw. <math>\complement A</math> wenn <math>U</math> fest ist) notiert, es ist also:<ref>{{Internetquelle |url=https://de.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/universal-set-and-absolute-complement |titel=Grundmenge und absolutes Komplement (Video) |sprache=de |abruf=2022-05-18}}</ref><ref name=":0" />

:<math>A^{\rm C} = U \setminus A</math>

=== Beispiel ===
Ist das Universum zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen, so ist das (absolute) Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen.

In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitsrechnung]] ist häufig der [[Ergebnisraum]] <math>\Omega</math> als Universum gesetzt. Für ein [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] <math>A \subseteq \Omega</math> ist dessen [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Komplementäres Ereignis|Gegenereignis]] <math>\bar A</math> das Komplement von <math>A</math>. Zum Beispiel ist das Komplement des Ereignisses „Würfel zeigt eine 5 oder 6“ das Ereignis „Würfel zeigt eine Zahl kleiner/gleich 4“.

=== Eigenschaften ===
Im Folgenden sind einige Eigenschaften absoluter Komplemente im Zusammenhang mit den mengentheoretischen Operationen [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] und [[Durchschnittsmenge|Durchschnitt]] aufgelistet. Seien <math>A</math> und <math>B</math> Teilmengen des Universums <math>U</math>, dann gelten folgende Identitäten:

[[De Morgansche Regeln]]:
* <math>\left(A\cup B\right)^{\rm C}=A^{\rm C}\cap B^{\rm C}</math>
* <math>\left(A\cap B\right)^{\rm C}=A^{\rm C}\cup B^{\rm C}</math>
Komplementgesetze:
* <math>A \cup A^{\rm C} = U</math>
* <math>A \cap A^{\rm C} = \emptyset</math>
* <math>\emptyset^{\rm C} = U</math>
* <math>U^{\rm C} = \emptyset</math>
* Ist <math>A \subseteq B</math>, so ist <math>B^{\rm C} \subseteq A^{\rm C}</math>
* <math>A^{\rm C} \setminus B^{\rm C} = B \setminus A</math>
Involution:
* <math>(A^{\rm C})^{\rm C} = A</math>
Beziehungen zwischen relativen und absoluten Komplementen:
* <math>A \setminus B = A \cap B^{\rm C}</math>
* <math>(A \setminus B)^{\rm C} = A^{\rm C} \cup B</math>

Die ersten beiden Komplementgesetze zeigen, dass, wenn <math>A</math> eine echte nichtleere Teilmenge von <math>U</math> ist, <math>\{ A, A^{\rm C} \}</math> eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] von <math>U</math> ist.

== Siehe auch ==
* [[Dualität (Mathematik)#Mengenlehre: Komplementbildung|Dualitätsprinzip der Mengenlehre]]

== Literatur ==

* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo.'' 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Mengenlehre]]