Quelltext der Seite Kesselformel

[[Datei:Zylindersegment mit Schnittspannungsdarstellung infolge Innendruck.png|mini|Zylindersegment mit Schnittspannungsdarstellung infolge Innendruck]]
Die '''Kesselformel''' ist eine Berechnungsformel aus der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]]. Sie hat eine elementare Bedeutung bei der Berechnung und [[Konstruktionsprozess|Auslegung]] von [[Dampfkessel]]n, [[Druckbehälter]]n und [[Rohrleitung]]en. Rohrleitungen werden nach DIN EN 13480, Teil 3 durch eine ähnliche Formel ausgelegt.<ref>DIN EN 13480-3, Ausgabe Dezember 2017: Metallische industrielle Rohrleitungen – Teil 3: Konstruktion und Berechnung; deutsche Fassung EN 13480-3:2017.<br /> Für unbefeuerte Druckbehälter findet sich die äquivalente Formel in der DIN EN 13445 Teil 3, Abschnitt 7.4: ''Zylinder- und Kugelschalen''.</ref>

== Anwendung ==
Die Kesselformel gibt die mechanischen [[Spannung (Mechanik)|Spannungen]] in durch gleichmäßigen [[Druck (Physik)|Innendruck]] belasteten [[Symmetrie (Geometrie)|rotationssymmetrischen]] Körpern an, wie sie beispielsweise in [[Rohr (Technik)|Rohren]] oder [[Druckbehälter]]n anzutreffen sind (Annahme: Außendruck = 0 bzw. viel kleiner als der Innendruck). Sie beruht als Membranspannung auf einem [[Kräftegleichgewicht]], daher sind zur Berechnung der [[Spannung (Mechanik)|Spannungen]] weder [[Verformung]]sannahmen noch [[Elastizität (Physik)|Elastizitätsgrößen]] notwendig.

Die Kesselformel gilt nur für dünnwandige und [[Krümmung|gekrümmte]] Druckbehälter aus einem [[Homogenität|homogenen]], [[Isotropie|isotropen]] [[Werkstoff]] und im Bereich des [[Elastizität (Physik)|linear-elastischen]] Materialverhaltens. Für Kessel, die aus ebenen Blechen bzw. [[Platte (Technische Mechanik)|Platten]] hergestellt sind, sowie für dickwandige [[Zylinder (Geometrie)|zylindrische]] Behälter, gilt die Kesselformel ''nicht'' bzw. nur als (grobe) [[Approximation|Näherungslösung]].

Ein Druckbehälter kann als ''dünnwandig'' betrachtet werden, wenn seine Wanddicke <math>s</math> klein im Vergleich zum [[Durchmesser#Innen- und Außendurchmesser|Außendurchmesser]] <math>D</math> ist (z.&nbsp;B. <math>D/s</math> ≥ 12 bzw. Außendurchmesser / Innendurchmesser = <math>D/d</math> ≤ 1,2). Die größte Spannung ist bei zylindrischen Körpern die Tangentialspannung <math>\sigma_{\rm{t}}</math>, weshalb zu schwach ausgelegte Rohre und ähnlich geformte Behälter tendenziell in Längsrichtung platzen bzw. [[Druckbehälter#Gefahren|bersten]].

== Formulierung ==
[[Datei:Zylindersegment mit Maßen.png|mini|Zylindersegment mit Maßen]]
Die Umfangsspannung (Tangentialspannung) und die Längsspannung (Axialspannung) in einem durch Innendruck belasteten dünnwandigen [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], der an den Enden abgeschlossen ist, sind:

:<math> \sigma_{\rm{t}} = \frac { p \cdot d_{\rm{m}} } { 2 \cdot s }</math>,

:<math> \sigma_{\rm{a}} = \frac { p \cdot d_{\rm{m}} } { 4 \cdot s }</math>,

mit dem Innendruck <math>p</math>, der [[Wanddicke]] <math>s</math> sowie dem mittleren Durchmesser <math>d_{\rm{m}}</math><ref>{{Literatur |Autor=Gerhard Knappstein |Titel=Statik, insbesondere Schnittprinzip |Auflage=3. |Verlag=[[Verlag Harri Deutsch|Harri Deutsch]] |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2007 |ISBN=978-3-8171-1803-8 |Seiten=243}}</ref>. Letzterer berechnet sich gemäß <math>d_{\rm{m}} = d + s = (D + d)/2</math>.<!-- Der Ausdruck  d_m = d + s ist korrekt, da d_m = d + 2 * s/2. -->

In dieser Form ist die Kesselformel auch als „Bockwurst-Formel“  bekannt. Die Bezeichnung dient als [[Eselsbrücke]], um sich zu merken, welche der beiden Spannungen die größere ist. Die Umfangsspannung ist doppelt so groß wie die Spannung in Längsrichtung, daher platzen [[Wurst|Würste]] bei übermäßiger Erwärmung stets in Längsrichtung.

Zusätzlich zu den oben genannten Komponenten wirkt außerdem eine Spannung in radialer Richtung: <math>\sigma_{\rm{r}}</math>. Diese ist an der Behälterinnenseite <math>\sigma_{\rm{r}}(d) = -p</math> und an der Außenseite (unbelastete Oberfläche) <math>\sigma_{\rm{r}}(D) = 0</math>.

== Herleitung ==

Die Gleichungen ergeben sich aus der Betrachtung der [[Mechanisches Gleichgewicht|Kräftegleichgewichte]] im dünnwandigen [[Zylinder (Geometrie)#Senkrechter Kreiszylinder|Zylindermantel]]/[[Membran|-membran]] (Längsschnitt bzw. Querschnitt). Es sind

: <math>\Delta l</math> …die Zylindersegmentlänge,
: <math>\Delta A_{\rm{L}} = 2( s \cdot \Delta l)</math> …die Wanddickenfläche im symmetrischen Zylindermantel-Längsschnitt (gemäß der Grafiken oben),
: <math>\Delta A_{\rm{M,proj.}} = d_{\rm{m}} \cdot \Delta l</math> …die projizierte Mantel-Innenfläche (Annahme: <math>d \approx d_{\rm{m}}</math>),
: <math>A_{\rm{Q}} = \pi \cdot d_{\rm{m}} \cdot s</math> …die Wanddickenfläche im Zylindermantel-Querschnitt (äquivalent zu <math>A_{\rm{Q}} = \pi \cdot (D^2 - d^2)/4</math>)&nbsp; sowie
: <math>A_{\rm{G,proj.}} = \pi \cdot d_{\rm{m}}^2/4</math> …die projizierte Innenfläche der geschlossenen Enden ([[Zylinder (Geometrie)#Senkrechter Kreiszylinder|Zylindergrundfläche]], <math>d \approx d_{\rm{m}}</math>).

Mit der Definition der [[Mechanische Spannung|mechanischen Spannung]] und des [[Druck (Physik)|physikalischen Drucks]] <math>\sigma = \Delta F / \Delta A</math>&nbsp; bzw. &nbsp;<math>\sigma = F / A</math>&nbsp; und &nbsp;<math>p = F / A</math> folgt

{| style="text-align:left; margin-left:1.5em;"
|-
| style="width:16em; " | <math>\Delta F_{\rm{t}} = \Delta F_{\rm{t}}</math><br /> <math> \sigma_{\rm{t}} \cdot \Delta A_{\rm{L}} = p \cdot \Delta A_{\rm{M,proj.}}</math><br /> <math> \sigma_{\rm{t}} = p \cdot d_{\rm{m}} / (2 \cdot s) </math>.
| <math> F_{\rm{a}} = F_{\rm{a}}</math><br /> <math> \sigma_{\rm{a}} \cdot A_{\rm{Q}} = p \cdot A_{\rm{G,proj.}}</math><br /> <math> \sigma_{\rm{a}} = p \cdot d_{\rm{m}} / (4 \cdot s)</math>.
|}

== Mindestwanddicke ==

Die von der [[Festigkeitslehre|zulässigen]] Mantelspannung <math>\sigma_{\rm{zul}}</math> abhängige Mindestwanddicke errechnet sich inklusive Wanddickenzuschlägen mittels folgender Formel:

:<math> s_{\rm{min}} = \frac { p \cdot d_{\rm{m}} } { 2 \cdot \sigma_{\rm{zul}}} + s_{\rm{1}} + s_{\rm{2}}</math>,

wobei <math> s_{\rm{1}}</math> den [[Korrosionszuschlag|Zuschlag für Korrosion]] und <math> s_{\rm{2}}</math> den Zuschlag für [[Toleranz (Technik)|Toleranzfehler]] bezeichnet.

Bei ''kugeligen'' Behältern werden die in allen Mantelrichtungen gleichen Tangentialspannungen, wie die Axialspannung beim Zylinder, durch ein Kräftegleichgewicht der Kreisringfläche des tragenden Mantels mit der „Druckwirkungskreisfläche“ berechnet (alle Schnittebenen durch den Mittelpunkt). Da die maximale Mantelspannung gegenüber der Zylinderform halb so groß ist, halbiert sich die erforderliche Mindestwandstärke:

:<math> s_{\rm{min}} = \frac { p \cdot d_{\rm{m}} } { 4 \cdot \sigma_{\rm{zul}}} + s_{\rm{1}} + s_{\rm{2}}</math>.

== Die Kesselformel(n) als Näherungslösung ==

Der Spannungszustand im Mantel geschlossener, druckbelasteter, langer [[Zylinder (Geometrie)#Hohlzylinder|Hohlzylinder]] kann allgemein über die [[Gabriel Lamé|Laméschen]] Formeln<ref>{{Literatur |Autor=G. Lamé, [[Émile Clapeyron|B. P. É. Clapeyron]] |Titel=Mémoire sur l'équilibre intérieur des corps solides homogènes. (Fin). |Sammelwerk=Journal für die reine und angewandte Mathematik |Band=7 |Nummer=4 |Verlag=[[Verlag Georg Reimer|Georg Reimer]] |Ort=Berlin |Datum=1831 |Seiten=381-413 |Sprache=fr |Online=[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/download/pdf/PPN243919689_0007/LOG_0038.pdf Artikel als PDF bei SUB Göttingen] |Format=PDF |KBytes=3678 |Abruf=2025-07-06}}</ref> berechnet werden. Diese ergeben sich aus dem statischen Gleichgewicht einer Kreiszylinderschale ohne Scherbelastung und Volumenkräfte<ref>{{Literatur |Autor=[[Stepan Tymoschenko|S. P. Timoshenko]], [[James N. Goodier|J. N. Goodier]] |Titel=Theory of Elasticity |Auflage=3. |Verlag=[[McGraw-Hill]] |Ort=New York |Datum=1970 |ISBN= |Seiten=66}}</ref>

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d r}\sigma_r + \frac{\sigma_r - \sigma_t}{r} = 0</math>,

mit <math>r</math> als [[Polarkoordinaten|Radialkoordinate]] und <math>\textstyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dr}</math> als [[Differentialoperator]].

Für die Tangentialspannung <math>\sigma_\mathrm{t}</math> an der Position der halben Wandstärke <math>d_{\rm{m}}</math> gilt bei einem Außendruck&nbsp; <math>p_{\text{außen}} = 0</math> [[Pascal (Einheit)|Pa]] (näherungsweise* auch bei &nbsp;<math>p_{\text{außen}}\ll p</math>):<ref>{{Literatur |Autor=S. P. Timoshenko, J. N. Goodier |Titel=Theory of Elasticity |Auflage=3. |Verlag=McGraw-Hill |Ort=New York |Datum=1970 |ISBN= |Seiten=71}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Anton Schweizer |url=https://www.schweizer-fn.de/rohr/festigkeit/festigkeit.php#spannungsberechnung |titel=Spannungsberechnung von Behältern und Rohrleitungen |werk=www.schweizer-fn.de |abruf=2025-01-12}}</ref>

:<math>\sigma_{\text{t,Lamé}}(d_{\rm{m}},p_{\text{außen}}\text{=0}) = \frac{p \cdot d^2}{D^2 - d^2}\left(1 + \frac{D^2}{d_{\rm{m}}^2}\right)</math>.

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="margin-left:1em; min-width:40em; font-size:100%; text-align:center;"
|-
! colspan="5" style="font-size:90%; text-align:left;"| * Relativer Fehler von &nbsp;<math>\sigma_{\text{t,Lamé}}(d_{\rm{m}})</math> bei Annahme &nbsp;<math>p_{\text{außen}} = 0</math>
|-
! style="width:4em;"| <math>D/d</math> !! <math>p / p_{\text{außen}} = 15</math> !! <math>p / p_{\text{außen}} = 25</math> !! <math>p / p_{\text{außen}} = 50</math> !! <math>p / p_{\text{außen}} = 100</math>
|-
| 1,01 || 7,2 % || 4,2 % || 2,1 % || 1,0 %
|-
| 1,05 || 7,5 % || 4,4 % || 2,1 % || 1,1 %
|-
| 1,10 || 7,9 % || 4,6 % || 2,2 % || 1,1 %
|-
| 1,15 || 8,3 % || 4,8 % || 2,4 % || 1,2 %
|-
| 1,20 || 8,7 % || 5,0 % || 2,5 % || 1,2 %
|-
| 1,50 || 10,2 % || 6,4 % || 3,1 % || 1,5 %
|-
| colspan="5" style="font-size:90%; text-align:left;"| <math>\frac{\sigma_{\text{t,Lamé}}(d_{\rm{m}},0)}{\sigma_{\text{t,Lamé}}(d_{\rm{m}},\tfrac{p}{m})} = \frac{m(5n^2 + 2n + 1)}{m(5n^2 + 2n + 1) - n^2(n^2 + 2n + 5)}</math>, mit <math>m = \frac{p}{p_\text{außen}}</math>, <math>n = \frac{D}{d}</math>.
|}

Mit den Annahmen für dünnwandige Zylinder <math>d \approx d_{\rm{m}}</math> und <math>D \approx d_{\rm{m}}</math> sowie den Beziehungen &nbsp;<math>2d_{\rm{m}} = D + d</math>&nbsp; und &nbsp;<math>2s = D - d</math>&nbsp; ergibt sich unter Anwendung der dritten [[Binomische Formeln|binomischen Formel]]

:<math>\sigma_{\text{t,Lamé}}(d_{\rm{m}},0) = \frac{p \cdot d^2}{(D + d)(D - d)}\left(1 + \frac{D^2}{d_{\rm{m}}^2}\right) \approx \frac{p \cdot d_{\rm{m}}^2}{2d_m \cdot 2s}\left(1 + \frac{d_{\rm{m}}^2}{d_{\rm{m}}^2}\right) = \frac{p \cdot d_{\rm{m}}}{2 \cdot s} = \sigma_{\rm{t,Kessel}}</math>.

Im Zuge dieser [[Approximation|Näherungslösung]] resultieren abhängig vom Durchmesserverhältnis <math>D/d</math> die in der zweiten Spalte der folgenden Tabelle angegebenen Abweichungen.

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin-left:1em;"
|-
! style="width:4em;"| <math>D/d</math>
! <math>\sigma_{\rm{t,Kessel}} / \sigma_{\text{t,Lamé}}(d_{\rm{m}},0)</math>
! <math>\sigma_{\rm{t,Kessel}} / \sigma_{\text{t,Lamé}}(d,0)</math>
! <math>\sigma_{\rm{a,Kessel}} / \sigma_{\text{a,Lamé}}(0)</math>
|-
| 1,01 || 1,005 || 1,000 || 1,010
|-
| 1,05 || 1,025 || 0,999 || 1,051
|-
| 1,10 || 1,051 || 0,998 || 1,103
|-
| 1,15 || 1,078 || 0,995 || 1,156
|-
| 1,20 || 1,105 || 0,992 || 1,210
|-
| 1,50 || 1,281 || 0,962 || 1,563
|}

Für den praktischen Anwendungsfall eines auf Innendruck belasteten [[Rohr (Technik)|Rohres]] oder [[Druckbehälter]]s ist es jedoch relevanter, die Abweichungen zum Wert der Tangentialspannung am Innendurchmesser des Zylindermantels

:<math> \sigma_{\text{t,Lamé}}(d,0) = \frac{p \cdot d^2}{D^2 - d^2}\left(1 + \frac{D^2}{d^2}\right)</math>

zu betrachten. Diese sind in Spalte 3 der obigen Tabelle aufgeführt. Es wird deutlich, dass, obwohl in der Kesselformel der Mittel-Durchmesser <math>d_{\rm{m}}</math> verwendet wird, der hiermit berechnete Tangentialspannungswert besser mit dem am Innendurchmesser des Zylinders übereinstimmt.

Für die Axialspannung im Zylindermantel gilt analog

:<math> \sigma_{\text{a,Lamé}}(0) = \frac{p \cdot d^2}{D^2 - d^2} \approx \frac{p \cdot d_{\rm{m}}}{4 \cdot s} = \sigma_{\rm{a,Kessel}}</math>,

wobei im Vergleich zur Tangentialspannung größere Abweichungen infolge der Vereinfachung auftreten (Spalte 4). Dies geschieht jedoch im Sinne einer [[Konservative Annahme|konservativen Annahme]]. Wird in der Kesselformel zur Berechnung der Axialspannung statt des Mittel-Durchmessers <math>d_{\rm{m}}</math> der Innendurchmesser <math>d</math> verwendet, so halbieren sich die Abweichungen etwa.

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Daniel Vischer, Andreas Huber
   |Titel=Wasserbau: Hydrologische Grundlagen, Elemente des Wasserbaus, Nutz- und Schutzbauten an Binnengewässern
   |Auflage=6.
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin Heidelberg
   |Datum=2002
   |ISBN=3-540-43713-4
   |Seiten=205 ff.}}
* {{Literatur
   |Autor=Hans Jürgen Matthies, Karl Theodor Renius
   |Titel=Einführung in die Ölhydraulik
   |Auflage=5. bearbeitete
   |Verlag=B.G. Teubner Verlag
   |Ort=Wiesbaden
   |Datum=2006
   |ISBN=3-8351-0051-3
   |Kapitel=6.1.1 ''Rohr-und Schlauchleitungen''}}

== Weblinks ==
* [https://wandinger.userweb.mwn.de/TM2/v2_2.pdf Dünnwandige Druckbehälter (Prof. Johannes Wandinger)] (PDF; 208&nbsp;kB)
* [https://www.schweizer-fn.de/rohr/festigkeit/festigkeit.php Rohrfestigkeit (Anton Schweizer)]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elastostatik]]