Quelltext der Seite Jordan-Algebra

In der [[Mathematik]] heißt eine [[Algebra über einem Körper#Kommutative Algebren|kommutative Algebra]] <math>A</math> eine '''(kommutative) Jordan-Algebra''', wenn für alle <math>x,y</math> aus <math>A</math> die sog. '''Jordan-Identität''' <math>x(x^2y)= x^2(xy)</math> erfüllt ist.

Eine alternative Definition ist
<math>x^{-1}(xy) = x(x^{-1}y) </math> (für <math>x,y</math> aus <math>A</math>, <math>x</math> invertierbar).

D.&nbsp;h., <math>A</math> ist nicht unbedingt assoziativ, es gilt aber eine schwache Form des [[Assoziativgesetz]]es.

Benannt ist sie nach dem deutschen Physiker [[Pascual Jordan]], der sie zur [[Axiom]]atisierung der [[Quantenphysik]] einsetzen wollte.

Eine beliebige Algebra heißt '''Jordan-Algebra''' (falls obiger Fall nicht eintritt, '''nichtkommutative Jordan-Algebra'''), wenn sie neben der Jordan-Identität noch das [[Flexibilitätsgesetz]] erfüllt. Das ist für [[Kommutativgesetz|kommutative]] Verknüpfungen schon der Fall.

== Spezielle und exzeptionelle Jordan-Algebren ==
Aus einer assoziativen Algebra <math>A</math> von [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>\operatorname{char}A\neq2</math> lässt sich eine Jordan-Algebra <math>A^{+}</math> konstruieren, indem man bei unveränderter Addition eine neue Multiplikation <math>{\cdot\!}_J</math> definiert:
:<math>x \; {\cdot\!}_J \; y = {xy+yx \over 2}.</math>

Jordan-Algebren, die isomorph zu so gebildeten sind, heißen ''spezielle Jordan-Algebren'', die anderen ''exzeptionelle Jordan-Algebren''.

Die exzeptionelle Jordan-Algebra <math>M(3,8)</math> (auch als <math>E_3</math> bezeichnet) ist durch Matrizen des Typs

:<math> \begin{pmatrix}
               a       & X     & Y \\
               \bar{X} & b     & Z \\
               \bar{Y} & \bar{Z}& c
       \end{pmatrix}
</math>

gegeben. Hierbei sind <math>a, b, c</math> [[reelle Zahl]]en und <math>X, Y, Z</math> [[Oktonionen]], die Multiplikation ist wie oben gegeben, aber es handelt sich nicht um eine spezielle Jordan-Algebra, da die Multiplikation der Oktonionen nicht assoziativ ist.

Über den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ist <math>M(3,8)</math> die einzige exzeptionelle Jordan-Algebra, während es über den reellen Zahlen drei Isomorphieklassen exzeptioneller Jordan-Algebren gibt.

== Formal reelle Jordan-Algebren ==
Eine Jordan-Algebra <math>A</math> heißt ''formal reell'', wenn sich <math>0\in A</math> nicht als nichttriviale Summe von Quadraten darstellen lässt. Formal reelle Jordan-Algebren wurden 1934 von Jordan, von Neumann und Wigner klassifiziert.

== Literatur ==
* [[Hel Braun]], [[Max Koecher]]: ''Jordan-Algebren'', Springer, Berlin 1966, ISBN 3-540-03522-2
* [[Tonny A. Springer]]: ''Jordan Algebras and Algebraic Groups'', Springer-Verlag, Heidelberg 1998
* Pascual Jordan, [[John von Neumann]], [[Eugene Wigner]] (1934), „On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism“, Annals of Mathematics (Princeton) 35 (1): 29–64

== Weblinks ==
* Walter Feit: [http://www.mathunion.org/ICM/ICM1994.1/Main/icm1994.1.0017.0024.ocr.pdf On the work of Efim Zelmanov] (mit einem Abriss der Geschichte der Theorie der Jordan-Algebren)

[[Kategorie:Kommutative Algebra|Jordan]]