Quelltext der Seite Janssen-Gleichung

Mit der '''Janssen-Gleichung''' (nach H. A. Janssen, 1895)<ref name="Janssen">{{Literatur |Autor=Janssen, H. A. |Titel=Versuche über Getreidedruck in Silozellen |Sammelwerk=Z. Ver. Dt. Ing. |Band=39 |Jahr=1895 |Seiten=1045–1049 |Online=http://www.phy.duke.edu/~msperl/Janssen/Janssen1895.pdf |Kommentar=Scan des Artikels (Memento im Webarchive vom 30. Oktober 2011) |Format=PDF }} {{Webarchiv|url=http://www.phy.duke.edu/~msperl/Janssen/Janssen1895.pdf |wayback=20110303223406 |text=Versuche über Getreidedruck in Silozellen }}</ref> können die [[Spannung (Mechanik)|Spannungen]] in einem [[Silo]] beschrieben werden. Sie beschreibt das [[Kräftegleichgewicht]] in vertikaler Richtung und ist ein Spezialfall der allgemeinen Gleichung des [[Hydrostatik|hydrostatischen Gleichgewichts]] unter Berücksichtigung der Silowand.

Für ein [[scheibe]]nförmiges Volumelement (Radius&nbsp;''r'') der Höhe&nbsp;d''z'', das den gesamten Querschnitt&nbsp;<math>A = \pi r^2</math> des Silos mit Umfang&nbsp;<math>U = 2 \pi \cdot r</math> überspannt, gilt

:<math>A \cdot \sigma_\mathrm{v} + \rho_\mathrm{b} \cdot g \cdot A \cdot \mathrm{d}z = A \left( \sigma_v + d\sigma_v \right) + \tau_\mathrm{w} \cdot U \cdot \mathrm{d}z</math>,

wobei
: <math>\sigma_\mathrm{v}</math> die vertikale Spannung
: <math>\rho_\mathrm{b}</math> die mittlere [[Dichte]] des [[Schüttgut]]es
: <math>g</math> die [[Schwerebeschleunigung]]
: <math>\tau_\mathrm{w}</math> die [[Wandschubspannung]]
: <math>z</math> die Tiefe ab Oberkante des Schüttgutes bezeichnen.
Die [[Gewichtskraft]] <math>\rho_\mathrm{b} \cdot g \cdot A \cdot dz</math> des Schüttgutes in der Scheibe wirkt 
* dem Unterschied der Spannungen (Druck[[Gradient (Mathematik)|gradient]]) auf der Ober- und Unterseite der Scheibe (die ersten Terme auf beiden Seiten) sowie
* der durch die Silowand ausgeübte Schubkraft <math>\tau_\mathrm{w} \cdot U \cdot \mathrm{d}z</math> entgegen. 

Die Janssen-Gleichung kann in eine [[gewöhnliche Differentialgleichung]] umgeformt werden:

:<math>\begin{alignat}{2}
\Leftrightarrow \rho_\mathrm{b} \cdot g \cdot A \cdot \mathrm dz & = A \cdot \mathrm d\sigma_v && + \tau_\mathrm{w} \cdot       U   \cdot \mathrm dz\\
\Leftrightarrow \rho_\mathrm{b} \cdot g         \cdot \mathrm dz & =         \mathrm d\sigma_v && + \tau_\mathrm{w} \cdot \frac U A \cdot \mathrm dz\\
\Leftrightarrow \mathrm d\sigma_\mathrm{v}                       & = \Bigl(\rho_\mathrm{b} \cdot g   && - \tau_\mathrm{w} \cdot \frac U A\Bigr) \cdot \mathrm dz\\
\Leftrightarrow \frac{\mathrm d\sigma_\mathrm{v}}{\mathrm dz}            & =  \rho_\mathrm{b} \cdot g   && - \tau_\mathrm{w} \cdot \frac 2 r
\end{alignat}</math>

Die [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] <math>\sigma_\mathrm{v}(z)</math> der Differentialgleichung kann durch Wahl geeigneter [[Randbedingung|Rand-]] und [[Anfangsbedingung]]en gefunden werden.

== Literatur ==
<references/>

== Weblinks ==
* [https://www.dietmar-schulze.de/spann.html Berechnung von Spannungen in Silos (''Janssen-Gleichung'')]

[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]